光学设计 第14章 光学系统初始结构设计方法概要

2023年12月30日发(作者：永无止境的意思)

第三篇 光学系统设计

光学仪器的基本功能是借助于光学原理，通过光学系统来实现的。光学系统的优劣直接影响仪器的性能和质量，因此，光学系统设计是光学仪器设计和制造过程中的重要一环。

本部分的目的是使读者获得光学设计所需要的基本理论和知识，并通过必要的设计实践以掌握光学设计的初步能力。

光学设计工作大体上可分四个阶段：

一、根据仪器的技术参数和要求，考虑和拟定光学系统的整体方案，并计算其中各个具有独立功能的组成部分的高斯光学参数；

二、选择各组成部分的结构型式，并查取或计算其初始结构参数；

三、逐次修改结构参数，使像差得到最佳的校正和平衡；

四、对设计结果进行评价。

上述各个阶段性工作之间有着密切的联系，前期工作的合理与否会影响到后期工作能否顺利进行，甚至会决定设计工作能否成功。

光学系统的整体方案可以有很大的灵活性和多样性，应该力求在满足仪器的性能要求的前提下，寻求一个简单易行、便于装调和经济合理的最佳方案。相应地，系统各组成部分的光学性能参数也应根据整体要求定得恰如其分。

选择结构型式是光学设计中的重要一步，可能导致设计的成败。现在，各种用途的光学镜头已积累起种类甚多的结构型式，它们有各自的像差特征和在保证像质时可能达到的相对孔径和视场，有些型式还能在工作距离或镜筒长度等参数方面达到其特殊要求。因此，基于对已有结构型式基本特征的全面了解，有可能挑选到符合要求的型式。但应注意到，随着对镜头要求的不断提高，设计者还应不断探求和研究新的更佳结构。

镜头初始参数的获得一般采用二种方法，一是根据初级像差理论求解满足初级像差要求的解，另一种方法是在已有的设计成果中选取性能参数相当的结果作为初始参数。

像差的平衡是一项通过反复修改结构参数以逐步逼近最佳结果的工作，这在过去以人工计算光路时，工作量是很大的。计算机应用于光学设计后，先是取代了繁重的光路计算，随后又用于像差自动平衡，才根本上改变了光学设计的面貌。应用像差自动平衡方法，能充分挖掘出系统各个结构参数对像差校正的潜力，不仅极大地加快了设计进程，而且显著提高了设计质量。

在认为像差已全面校正和平衡到良好程度后，需对像质作全面评价，以决定设计结果是否已达到要求。如果没有达到要求，仍需继续做像差平衡工作；如果属于结构型式的局限或初始参数不合理，应另选结构型式或另定初始参数，并重复前面的工作。

任何光学系统都是由许多光组组成，每个光组有自己的性能要求，如显微系统、望远系统至少要分为物镜和目镜两部分，照相系统多为一个照相物镜。根据各光组的光学特性要求选定其结构型式，进行初始结构参数的求解

上述光学设计的第一步工作主要以几何光学部分的内容为基础。第二步和第三步则需有较全面和坚实的像差知识。作为它们的应用，本部分还将以若干个典型光学系统与镜头为例进行设计计算。无论是用初级象差理论为基础求解得的初始结构参数，或根据已有资料选得的初始结构参数。它们的象差都不一定能满足要求。因此，要进行象差校正。、

最后值得指出，在光学设计过程中，必须使所设计系统在满足仪器的技术要求和达到良好像质的前提下，充分注意其经济性，包括做到结构简单合理、材料选用恰当、公差恰如其分、工艺性能良好、装配调整方便等，所有这些，都与降低成本有密切的联系。

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第十四章 光学系统初始结构设计方法

利用共轴球面系统的初级像差公式，由第一、第二近轴光线的计算数据可以算出系统的初级像差，并可以分析系统的像差性质，研究像差与光学系统结构的关系，对光学系统设计有重要的指导意义。但是，光学设计要求正好相反，根据对光学系统的像差要求求出光学系统的结构，即设计出符合预定像差要求的光学系统。解决这个问题的理论基础是薄透镜系统的初级像差理论。

光学系统的初级像差可以表示为“像差特性参量”P、W。当光学系统的外形尺寸和像差要求确定后，可以求出“像差特性参量”，而“像差特性参量”是与光学系统的结构有关的，这样就可以求出光学系统的结构。首先，对整个光学系统作外形尺寸计算，求出各个光组上的光线入射高度h、hp，光焦度，拉赫不变量J；再根据对各个薄透镜组的像差要求，求出各个薄透镜组的“像差特性参量”P、W；最后，由“像差特性参量”P、W确定各个薄透镜组的结构参数。

实际上，任何光学系统或薄透镜组的结构参数可以分为两部分。一部分是内部参数，是指光组各个折射面的曲率半径r、折射面间的间隔d、折射面间介质的折射率n。另一部分称为外部参数，是指物距l、焦距f、半视场角、相对孔径Df等。

“像差特性参量”P、W不仅与内部参数有关，还与外部参数有关，即P、W值还随外部参数的变化而变化。为使P、W值只决定于内部参数，以便由其决定光学系统的结构，对光学系统的P、W值的计算给以特定条件，称为“规化条件”，即令u10、h11、/f/1、uk1。即把任何焦距的光学系统缩放到f/1后，按规化条件作光线光路计算，//所求得的像差特性参量以P、W表示，称为光学系统的基本像差参量，它们只与系统的内部参数有关，而不再受外部参数的影响。

§1 赛得和数的表示形式

一 阿贝零不变量Q表示的赛得和数

赛得和数表征了光学系统的初级单色像差在各个折射面上的分布。因此，赛得和数除了与光学系统的物距（l）、视场（u）有关外，还与光学系统的结构（r，d，n）有密切的关系。

图14－1 单球面折射的第一、第二近轴光线

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如图14－1所示，在第一赛得和数中：

lrluruunnrr11ni式中，Qn()是阿贝零不变量。还有：

rlhnin2hrhlhn(11)hQ

rrl(ii/)(i/u)ii/iui/i/ui/(uii/)iuu/u11iuiuni(/)hni(//)

nnlnnl11hnih2Qnlnl另外，luh，则第一赛得和数可写为：

kkk1//42Sluni(ii)(iu)(hQ)

Ⅰnli1i1i111由于niphpn()hpQp，同样得到第二赛得和数：

rlpkkkkipnip1hpQp42SS(S)(hQ)ⅡⅠⅠininlhQi1i1i1i1//(h3hpQQpi1k1)nl

式中，hp是第二近轴光线在折射面上的入射高度，Qp是第二近轴光线的阿贝零不变量。Qp和Q之间可用拉赫不变量J联系起来：

Jnyunuup(lpl)nhhp11(lpl)hhpn()llpllp1111hhpn()n()hhp(QpQ)rlrlp因此得到第二赛得和数的另外一种表示：

kk32

k112S(hhQ)J(hQ)

Ⅱpnlnli1i1i1ipnipSⅡ对于第三赛得和数，由于SⅢSⅡ，同样可以得到：

inikk1222

SⅢ(hhpQp)

nli1i1对于第四赛得和数，得到：

kn/n1111122

SⅣJJ[()]J()

//nrnni1i1nnri1ripnip(SⅢSⅣ)对于第五赛得和数，由于SⅤ(SⅢSⅣ)，同样可inik2k以得到：

khpQp112S(hh)J()

ⅤQnlhQnli1i1i1kk3p2Qp

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阿贝零不变量表示的赛得和数，便于分析初级像差与光学系统结构参数（r，d，n）的关系。或者说，给这种形式的赛得和数以要求的值，列出方程，求解光学系统的初始结构，以便进行光路计算，修改结构参数，以使像差满足要求。

二

PW形式的赛得和数

在光学设计中更为常用的是PW形式的赛得和数。引入符号P和W如下：

Pni(ii/)(i/u)，W(ii/)(i/u)

n11//由于uuiii/ini(/)，所以

nnnu/uu

nihQ

111nn/n因此：

11u2/(i/u)(11)

P(ni)(iu)(/)nnnn/1n而

211i/ui/ui/uiu/(iu)(/)//nnnnnn

///iiuuuuu///nnnnnnn由此可以得到但折射球面的P和W的表示式：

/uuPuu

 ，

WPnin1n1nnP和W的表示式还可以写成另外的形式。由于nihQ，以及

2uu/uh/hhh111/////h(//)h

nnnnlnlnlnlnlnlnl则得到

u11(hQ)2hh3Q2

nnlnlPP1Wh2Q

nihQnl为导出PW形式的赛得和数，还要求得i和ip的关系。由阿贝零不变量Qp和Q与拉赫P(ni)2不变量J之间的关系，得到：

1111Jhhp(QpQ)hhpn()n()nhhprlprl

1111()()rlrlphphphphhhnh()hp()nh(up)hp(u)rlprlrr

nhipnhpi

168

或

J

ihnhi第一赛得和数的PW表示形式为：

iphpSluni(ii)(i/Ⅰi1i1kk/u)luPhP

i1i1kk第二赛得和数的PW表示形式为：

kkJPShPhP()hPJpⅡihnhii1i1i1i1i1nikkipkhphpPJWi1i1kk

第三赛得和数的PW表示形式为：

Si1kⅢSⅡi1kkipiSⅠi1k2ipi2kkhpJJSⅡ()SⅡSⅡhnhihi1nhii1i1kkkkhphpJJhpPJWhpPJW

hhi1nhinhii1i1i1hpi1k2hphPJi1kkhphWJi12kkhpkP1W2Jhnii1hnihi1第四赛得和数的PW表示形式为：

kkn/n2

SⅣJ/nnri1i1第五赛得和数的PW表示形式为：

kkipS(SS)ⅤⅢⅣii1i1kkkkhphpJJSⅢSⅢSⅣSⅣhi1nhii1hi1nhii1i12khkhhphpuphpp12P2JWJhhhni1hi1hi1hk2kkhphpJJJ1u2P2JWJhhni1nhii1nhii1nhihkhkn/nJn/np22JJ//nnri1hi1nhinnrkk2hpP2Jhp1uWJhni1h

其中：

2kh3hphpp第一项为P2P

hi1hi1hk

169

kh2hphpp第二项为2JW2J2W

hi1hi1hkhkhuup1p22第三项为JJ2

hnni1hi1hk2kh2kh2hpJPpp第四项为

PJ2J2W，可与第二项合并。

hnii1nhii1hi1hk第五项为

khkhhpJWupp222JW2J22J2，可与第三项合并。

hnini1nhii1hi1h//第六、八项合并（应用折射定律、以及iuiu和hriu化简）：

kkJ1uJn/n22JJ/ni1nhihi1nhinnrkk11uhn/n11u/u113J2J(iu)(/)/2/ninrninnhnnhnni1i13kk11u/uiui/u/11ii/33J2/2/J/nnnni1nihni1nihnk3k

k11i/113J22J2nin/n2i1hni1h第七项不变。由此得到第五赛得和数的PW表示形式为：

kkh3kh2khk3un/n11ppp23

SP3JWJ()JⅤ22/22hnnnrni1i1hi1hi1hi1h

三 薄透镜系统初级像差的PW表示式

薄透镜系统是由若干个“薄透镜光组”组成，透镜光组之间有一定的间隔，每个“薄透镜光组”由几个相接触的薄透镜组成，每个“薄透镜光组”中各个折射面上的h和hp相等，如双胶合透镜（组）有3个折射面。可以将同一个“薄透镜光组”中各个折射面的P和W之和作为该“薄透镜光组”的P和W。

1 薄透镜光组的P和W表示式

设第j个“薄透镜光组”有k个折射面，其P和W可表示为：

ukkkkuuu

 ，

WjWPjP1n1ni1i1i1i1nn2 薄透镜系统的赛得和数

对于第j个“薄透镜光组”来说

21u1ku1nhji1nhji1h1u1hnhji1

kk/u1/u1uk/uku2u2(/)(/)(/)

n2n2nknkn1n1由于ui/ui1、ni/ni1，则得到

uk/u1/

nkn1170

/若第j个“薄透镜光组”置于空气中，nkn11，则可以进一步得到：

1u1/(uku1)j

nhji1hj对于单个透镜（两个折射面）组成的第j个“薄透镜光组”来说：

/2n1/nn1/n1n2n2n/n

////n1n1r1n2n2r2i1nnri1nnrkk/若薄透镜置于空气中，n2，则可以进一步得到：

n11、n1/n2n（透镜的折射率）n1/nn11nn111

()/nr1nr2nr1r2ni1nnr式中，为单个薄透镜在空气中的光焦度。

对于由M个薄透镜所组成的第j个“薄透镜光组”，在空气中，有：

2Mn/n

/i1nnrm1nk设knm1Mj，若忽略各个薄透镜的折射率差别，则1n，则得到：

Mn/nj

/i1nnrm1n对于一般的光学玻璃n1.5~1.7，则0.6~0.7。

对于“薄透镜光组”来说，所有折射面上的入射高度h相同，可以提到求和号外面，并/且ni/ni1，再设“薄透镜光组”置于空气中，nkn11，则：

111k10

2222nhi1ni1h经过以上化简，对于置于空气中的、由N个“薄透镜光组”组成的光学系统，其赛得和数公式可以写为以下形式：

kShⅠi1j1kNjPj

NSi1kkⅡhpjPjJWj

j1NNj1Si1Ⅲj12hpjhjNj1Pj2Jj1NhpjhjWjJj

2j1NSi1kkⅣJj

2Si1Ⅴj1Nh3pjh2jPj3Jj1N2hpjh2jWjJ2j1Nhpjhjj(3)

3 相接触薄透镜系统的赛得和数

对于由相接触薄透镜组成的光学系统，每个折射面上的h和hp相等，其赛得和数的表示式还可以进一步简化为：

ShⅠi1j1kNjPjhPjhP

j1N

171

Si1ki1kⅡhpjPjJWjhpPJW

j1NNNj1SⅢj12hpjhjNj1Pj2Jj1NhpjhjWjJj2j1N2hphP2JhphWJ2

SⅣJjJJ222i1kkm

nm1mMNSi1Ⅴj13p2Nh3pjh2jPj3Jj1N2hpjh2jWjJ2j1hpjhjj(3)

hhP3Jhh2p2WJ2hph(3)若光阑与相接触薄透镜系统相重合时，则hp0，则上式又可以写为：

SSi1i1kkⅠhP

hpPJWJW

2hpⅡSⅢi1ki1kh2P2Jhph2WJ2J2

m

nm1mMSⅣJJSⅤi1kh3ph2P3J2hph2WJ2hph(3)0

4 讨论

（1）当光学系统的物距（l）、光阑位置（lp）、第一和第二近轴光线的孔径角（u）和（up）

确定后，对于由彼此相间一定距离的两个或两个以上薄透镜光组组成的光学系统，五种初

级像差决定于各个薄透镜光组的光焦度分配和各个光组的Pj和Wj的组合。

（2）当l、lp、u、up和总的光焦度确定后，由单组薄透镜组成的光学系统，五种初级像

差由系统的P和W决定。且当初级球差为零时，初级慧差或初级正弦差决定于W。

（3）当l、lp、u、up和总的光焦度（）确定后，且lp0（hp0），初级球差决定

于系统的P，初级慧差或初级正弦差决定于系统的W。

（4）对于单组的薄透镜光组构成的光学系统，由于其第四赛得和数似于常数，所以该种系统除0外，不能使SⅣJ2近

SⅣ0。而对于分离的两个或两个以上薄

透镜光组构成的光学系统，则有可能满足一定光焦度的情况下，使SⅣ0。比如，两个

薄透镜光组：21，间隔为d的光学系统，设n1n2，则有

SⅣJ2(合成光焦度

1n12n2)0

12d12d12

（5）当单组薄透镜组成的光学系统的P和W均为零时，光阑位置将对SⅡ不发生影响。这时，

SⅢ、SⅣ、SⅤ均取决于总光焦度。

172

（6）当光阑与薄透镜光组重合时，

SⅢ、SⅣ取决于总光焦度，而SⅤ0。

§2 薄透镜系统的基本像差参量

为应用初级像差理论求解光学系统的初始结构参数，需把实际计算初级像差系数的基本公式组作必要的变换，以便使它们能与透镜或透镜组的结构参数联系起来。使用PW表示的初级像差系数表示式是解决这一问题的比较好的方法。

一

P、W值随物体位置的变化

像差参量P、W不仅与透镜组的内部结构参数有关，还要随外部参数（即物体位置）而异。为便于求解透镜组结构参数，须将P、W中与内部参数有关的量和与物体位置有关的量分离开来。具体做法是以某特定位置，即物在无限远时的P、W值来作为薄透镜组的基本像差参量，极值以符号P、W表示，再建立起任意位置时的P、W值与P、W值之间的关系。

图14－2 物点在轴上不同点时PW的关系

如图14－2所示，当物体位于A处时，物方孔径角为u1；当物体移到B处时物方孔径*角为u1。此时满足

**

hl1u1l1

u1由单折射球面近轴折射公式，得到

n1/n1n1/n1n1/n1n1/n1，**

//rllrl1l11111两边同乘以h，得到

h(n1/n1)h(n1/n1)////**

n1u1n1u1，

n1u1n1u1

r1r1*故有

n1/(u1/u1/)n1(u1u1)

同理，对于其它折射面，亦有

*///*uk)

n2(u2u2)n2(u2u2) …

nk/(uk/uk/)nk(uk***

173

又有转面公式：n/jn(j1)，u/ju(j1)，因此，对整个薄透镜组求和，得到

*nk/(uk/uk/)n1(u1u1)

*式中，带星号的量为物面移动后的量。

设

n(u*u)n/(u/u/)，则

*/*/uun，u*un/

*uu***将此式代入单折射球面的W中，得到“薄透镜光组”的W

n1n/u/unn

W(/22)

/11nnni1nn/n1kun(u1)

1nn2i1nkuuuu11222

11nnnniknn上式中，第一项就是移动前“薄透镜光组”的W

kuuW

1ni1n*ku/u第二项

u

ni1//ukuu1/u1u2u2

[(/)(/)(/k)]

n1n1n2n2nknkkuk/u1uk/u1/(/)(uku1)h()hhnkn1h(111)hh//llf/式中，假设

nkn11，即“薄透镜光组”放在空气中。为“薄透镜光组”的光焦度。

第三项

ku12

1ni1n

174

ku/u1111(22)(u/u)(/)

1n/nnni11i1n/nkuu/n/unu/uu/u

[(/)(/)]/nnnnnnni1ku/n/i/n/unin

h/nni1kn/(u/i/)n(ui)hnn/i1k(nn)(ui)nn/i1kk(n/n)h

hhh/nnri1ni1hhh(1)

hn/n1k式中，

；对于单折射面，光焦度为/i1nnr第四项

k/

1

2ni1111111112[(22)(22)(22)]2(22)0

///n1n2nkn1n1/n2nknk2k/式中，nkn11，即假设“薄透镜光组”放在空气中。

由此得到“薄透镜光组”的W的表达式：

*W*Whh(1)Wh(2)

*用同样的方式推导，可以得到“薄透镜光组”P的表达式

/P*P[4Wh(uku1)]2h(32)

当目标处在无限远时，

***//，n1(u1

u10，huku1)n1u1u1u1uk则得到：

WWh(2)Wu1h(2)

*/*P*Pu1[4Wh(uku1)]u1h(32)2*21**Pu[4W(h)]uh(32)用P、W表示物面移动前的P、W值，用不带星号的P、W表示物面移动后的P、W值，则有

*12

WWu1h(2)

PPu1[4W(h)2]u12(32)h

式中，u1是物面移动到有限远处时，轴上物点的孔径角。

二

P、W值的规化

实际应用上，常以规化条件下的P、W、P、W值作为基本像差参量。设有一个//焦距为f的透镜组，对于一般情况，物体并不在无穷远，设物距为l，像距为l，第一近

175

W，轴光线入射高度为h，如图14－3（a）所示。这样一个薄透镜组，其像差特性参量为P、我们可以找出一个与它相对应的规化系统，亦即假定上述薄透镜组的各个球面的半径值都除以薄透镜组的焦距f/值，得到一个新的薄透镜组，其焦距也缩小f/倍，也就是得到一个焦距等于1的薄透镜组。再假设物距、像距也缩小f/倍，即保持薄透镜组物像相对位置不变，并且取入射高度h1。对于这样的规化系统的相应量用字母上加横线表示，如图14－3（b）所示，其像差特性参量用P、W表示，称为P、W的规化值。

图14－3 光线在单折射球面上折射及其规化

由图14－3得到：

uhh/，u/

llh1l1uh1l/1u//，u///

u///lhhlllflllfl/u111并且，由高斯公式/u1/，由此，可以得到

/，得到lhhlffu/u1

uuhhu/、u分别称为规化的像方孔径角和物方孔径角。

//由于P与u、u的三次方成比例，W与u、u的二次方成比例。用P、W表示规化的P、W值，则

uPWu，P，

W32h(h)(h)/32因此，uu(h)，PP(h)，WW(h)，则：

P(h)3P(h)3u1(h)[4W(h)2(h)2]u(h)(32)(h)W(h)2W(h)2u1(h)h(2)

所以，对于规化系统，得到

212

PPu1(4W1)u12(32)

WWu1(2)

式中，P、W称为透镜组的基本像差参量，它们是在规化条件下，并且目标在无限远处时的情况下的P、W值。

176

三 基本像差参量表示的“薄透镜光组”组成的光学系统的初级像差

对于由N个“薄透镜光组”组成的光学系统，其初级像差表示为：

ShⅠi1kkNjj1N3(hjj)Pjh4jjPj

3j13NNSi1Ⅱhpj(hjj)PjJ(hjj)2Wjj1j1322hpjh3jjPjJhjjWjj1j1NN

Si1kⅢj1N2hpjhjNj1(hjj)Pj2J3j1Nhpjhj(hjj)WjJj

22j1NSi1ki1kⅣJj

2NSⅤj1N3pj2jj1h3pjh2j(hjj)Pj3J3j13jN2pj2jN2hpjh2j(hjj)WjJ22j12NNhpjhjj(3)hhPj3JhWjJj1j1hpjhjj(3)四 薄透镜系统的初级色差

同样需要将初级色差公式对薄透镜系统的情形进行简化。薄透镜光组初级色差公式为：

kudndnJ

nni11n对于同一个“薄透镜光组”中的各个折射面来说，h和hp相等，可以提到求和号外面。

kkudnCIh ，

Chp1ni1i1n首先看单个透镜的情况。设透镜玻璃的折射率为n，色散为dnnFnC，透镜置于空气中，则有：

//n11，dn10；n1/n2n，dn1/dn2dn；n20

1，dn2/将和式展开，并考虑到u1u2

//2u2u2dn2dn2udnu1/u1dn1/dn1()()//11111nn1n2n1n2i1/n2n1/n1n2n

//u1/u1dnu2u2u2u1dndndn(0)(0)h111nnnn111nnn/2dn2dn2dndn1/dn1dndn()()(0)(0)0

//nnnnnnni11212dn式中，是单透镜的光焦度，在光学设计中经常用到，其倒数用表示，称为色散倒n1数，或阿贝数：

177

因此

nD1

nFnCudnh

1ni1n对于由M个薄透镜组成的“薄透镜光组”来说，有：

kMudnh

1ni1j1n2令C，则由若干个薄透镜组成的“薄透镜光组”的色差系数为：

j1CIh2C ，

ChhpC

M可见，对于一个由若干个薄透镜组成的“薄透镜光组”来说，消色差的条件是：

C0

j1M当满足这一条件时，“薄透镜光组”可以同时消除位置色差和倍率色差，与物体的位置没有关系，因此“薄透镜光组”对任一物平面位置校正了色差，则所有物平面的色差也就没有了。由于“薄透镜光组”具有这一性质，因此一般由若干个“薄透镜光组”组成的薄透镜光学系统中，大多数采取每一个“薄透镜光组”分别消色差，这时，整个系统也就同时消除位置色差和倍率色差。

另外，由消色差条件可以看到，欲使“薄透镜光组”消色差，必须采用两种或两种以上不同色散的玻璃。因为如果“薄透镜光组”采用同一种玻璃，则其阿贝数相同，于是：

M1MC，或0

j1j1j1M可见，在“薄透镜光组”消色差时，“薄透镜光组”的总光焦度为0，这是没有实际用途的。

，由于C1进行规化。至于物体位置（l）和入射高度（h）与它们无关，无须规化。对应f/1的C值用CI表示。

如果将这个“薄透镜光组”按比例缩小f/倍，“薄透镜光组”的焦距就等于1，“薄透镜光组”每一个透镜的焦距也要缩小f/倍，CI比原来的C值增加f/倍，由此得到：

CCⅠCf/，或

CCⅠ

式中，是“薄透镜光组”的光焦度。这样，“薄透镜光组”的色差表示为：

CIh2CⅠ ，

ChhpCⅠ

对于由N个“薄透镜光组”组成的光学系统，其色差表示为：

同样，可以把C值对f/Ci1kkIh2CⅠ

j1NN

Ci1hhpCⅠ

j1这里，CⅠ也是基本像差参量。

178

§3 双胶合透镜组的基本像差参量

在“薄透镜光组”中，双胶合透镜是最具有代表性、且应用广泛的透镜组。它是能够满足一定的P、W、CⅠ要求的最简单的结构形式。如果能把双胶合透镜的结构参数与P、W、CⅠ联系起来，就可以由所要求的P、W、CⅠ来解出双胶合透镜的结构参数来，再经过像差校正和平衡，就可以设计出满足要求的双胶合透镜。

一 双胶合透镜的结构参数

首先，必须选定表示双胶合透镜的结构参数。如图14－3所示，双胶合透镜由两种玻璃材料构成，其三个折射球面的曲率半径分别为r1、r2、r3，两种玻璃的折射率和色散系数分别为N1、1、N2、2。规化条件要求：

//u10、h11、uku31、双胶合透镜的焦距f/1、总光焦度1

图14－4 双胶合透镜

由光焦度的规化条件，得到

121，或211。

式中，1、2分别是两个透镜的光焦度。可见，1和2中只有一个独立变数，现取1作为独立变数，作为表示双胶合透镜结构的一个参数。

当玻璃材料（N1、1、N2、2）确定、光焦度（）确定的情况下，只要确定三个折射球面曲率半径之一，其余两个折射球面曲率半径也就确定了。因为：

111)、2(N21)()

r2r2r3当N1、N2、1、2确定时，如果给定r2，则可以确定r1、r3。所以，在双胶合透镜的玻1(N11)(1r1璃材料和光焦度确定以后，就只剩下了一个结构参数。我们选择如下与r2有关的变量

Q2111

r2作为双胶合透镜结构参数的一个独立变数。Q是与双胶合透镜的弯曲形状有关的变量，称为形状系数。

因此，用以表示双胶合透镜的全部独立结构参数为：N1、1、N2、2、1、Q。

二 双胶合透镜的PWC

由于我们最后的目的是求出双胶合透镜的各个半径值，为此我们首先将r1、r2、r3表示为双胶合透镜结构参数的函数：

179

C211Q

r2C111N1C21Q11Q

r1N11N11N1121111N1

C3C2C21Q21QN21N21N21N21N21CⅠ规化的色差系数为

12

1211)1

将211代入上式，有

CⅠ1(在P和W122的表达式中，除了与玻璃的折射率N1、N2有关外，还与第一近轴光线//与光轴的夹角（孔径角）u、u有关，为此，要先将u、u表示为结构参数的函数。

/根据规化条件，对于第一折射球面，有u10，n11，n1N1，h11；而由近轴光线计算n1u1n1u1h1N1(n1/n1)，则

N1u1/011，得

r1r1N1N11N1N111u1/1C11(Q)1Q(1)

N1r1N1N1N11N1///////对于第二折射球面，根据规化条件，有u2u1，n2n1N1，n2n3N2，h21；而由近轴光线计算n2u2n2u2/N2u2N1[1(1h2NN1/(n2n2)21，则

r2r21)Q](N2N1)(1Q)，得

N1/u21Q(11)

N2/对于第三折射球面，根据归化条件，有

u31。

/另有u3u2，这样，就可以将P和W表示为双胶合透镜结构参数的函数：

P/uuu/u(/)

11n1nn/n3u/uu/uu/uu/uu/uu/u3311112222(3(/)(/)3

)

/111111nnnn3n1n2123///n1n1n2n2n3n32

aQbQc

11bba1a1QQ2

W

2323式中

180

2122

N1N22N2123b122122

N11N2133212222

N11N21a12N1N2N2323c1122

22N21(N11)(N21)N1N2N2332

21222(N21)(N11)(N21)b令

Q0

2ab2

P0c

4ab2a3a1Q02Q0

W02336则

b2a(QQ0)2P0

Pa(QQ0)c4aa1(QQ0)W0

W2至此，我们已经用变量Q把P、W与透镜的结构联系起来。即在透镜玻璃材料和光焦度分配确定后，已知P、W，可以求得透镜的形状系数Q。解得

22(WW0)PP0

QQ0，和QQ0

a1a这里，P0、Q0、W0、a、b、c等系数是双胶合透镜的结构参数N1、N2、1、2的函数。而1、2是由消色差要求CⅠ决定的，它们取决于所选玻璃的阿贝数1、2，可见，1、2也由所选玻璃决定。因此，上述各个系数归根结底是由透镜的玻璃组合决定。玻璃组合不同，各个系数也不同，当玻璃选定后，对应消色差要求的C

Ⅰ的各个系数也就确定了。上面两式中所求得的Q值并不会完全相同，通常是取其平均值。由Q值就得到透镜的曲率半径等结构参数。

对于双胶合透镜，要消色差，通常是冕牌玻璃和火石玻璃的组合。如果对现有的冕牌玻璃和火石玻璃进行组合，并对不同的CⅠ值来计算a值，发现a值变化很小，在2.3～2.45之间，一般取2.35来近似。同时，(a1)21.67，4a(a1)0.85。因此，近似取

2WW0PP0，和QQ0

QQ01.672.35为讨论像差特性参量P和W与玻璃材料的关系，从P和W的表示式中消去与透镜结构形状有关的因子(QQ0)，得到

4aPP0(WW0)2P00.85(WW0)2

2(a1)当冕牌玻璃在前面时，W00.1；当火石玻璃在前面时，W00.2。因此

181

当冕牌玻璃在前面时PP00.85(W0.1)2

当火石玻璃在前面时PP00.85(W0.2)2

为简化起见，不管哪种玻璃在前面，用统一的公式来表示，误差也不大，可取W00.14，则PP00.85(W0.14)2。

由此可见，当选定透镜玻璃组合而确定P0值后，这时其P和W合透镜的P和W就不再是独立变量，二者之间是抛物线关系。我们可以根据对球差（SⅠ）和慧差（SⅡ）的要求，分别求出双胶。这样，算出的P和W能否满足上述抛物线关系，关键在于P0值，就是说，必须找出一个具有合适PⅠ值有不同0值的玻璃组合。但不同的玻璃组合和不同的C的P0值，按照P0值求出对应的玻璃组合是很不方便的，在应用中是采用相反的求解方法，即选定大量的玻璃组合，对不同的CⅠ值分别求出其P0值，列成表格，编制出P0表。在设计时，根据P0值和CⅠ值的大小，按照冕牌玻璃在前和火石玻璃在前的不同情况，查出合适的玻璃组合。

一般情况下，要求的CⅠ值不是P0表中给出的CⅠ值，这时，各个玻璃组合所对应于要求的CⅠ值的P0需要用插值法求出。另外，玻璃组合的P0与要求的P0难以完全相同，一般允许0.1的误差。还有，满足P0的玻璃组合可能有几组，挑选的原则是要求对应的光焦度1和Q0尽量小，这样求出的透镜的半径较大，有利于减少高级像差。最后，还要注意玻璃的化学、物理性能、工艺性能和成本等。

三 双胶合透镜的设计

现在，我们把设计双胶合透镜的简要步骤列下：

1 根据对双胶合透镜的像差要求，求出初级像差系数SⅠ、SⅡ、CⅠ。

2 由SⅠ、SⅡ、CⅠ，求出P、W，然后求出P、W3由P、W、CⅠ。

求出P0

P0P0.85(WW0)2

式中W0，当冕牌玻璃在前时取0.1，当火石玻璃在前时取0.2。

4 由P0、C0表，找出合适的玻璃组合，查出相对应的1、Q0。

Ⅰ值，查P5 由P、W、Q0求出Q值，或者根据对球差和慧差的要求取合适的Q值

WW0PP0

QQ0，和QQ0

1.672.35 由前一个公式可以求出两个Q值，选取与第二式求出的Q值相近的一个，然后它们取平均，作为Q值。

6 由Q、1值求出曲率半径r1、r2、r3的规化值

n1n111

1Q，

11Q，

C321Qr2r1n11r3n21n217 恢复双胶合透镜曲率半径的实际值。

将得到的双胶合透镜的曲率半径乘上透镜的实际焦距f，得到曲率半径的实际值。

8 对双胶合透镜加厚度。

9 光线的光路计算，计算像差，进行像差平衡和校正，直到取得满意的结果。

182

/

§4 单透镜的基本像差参数

单透镜是构成光学系统的最简单的单元，也是最常用的光学元件。

可以把单透镜看作是双胶合透镜的特例，即11、20、N1n，则

QC21C21，CⅠ1

据此，可以求出a、b、c。

23332a1，b，

12222nN11N21n1N1N2N2n332

c122222(N21)(N11)(N21)(n1)因此求得P0、Q0、W0

9b2nn9(n1)2P0c[1]

2224a(n1)4(n2)(n1)4(1)nb3nQ0

2a2(n1)(n2)b2a3a1a3W0Q02Q0Q023366

n233n1n][[]62(n1)(n2)2(n2)进而求出P、W

2

PaQbQc

23n23n22P(1)[Q]

(1)Q

Q02n2(n1)(n2)nn1(n1)11bba1a1WQQ2

2323n2310n1n1Q1n1(QQ)W

nQ00n23nn1将Q值和W代入P的计算式，得

1112

PP0[1][W]P[1][WW0]2

0222(n2)(n1)(n1)11W0.14，则 上式中，由于1，0.8502(n2)(n1)2

P

WP00.85(W0.14)2P02.35(QQ0)2

1.67(QQ0)0.14

由P、W，可求出Q值

PP0W0.15

QQ0，QQ0

1.672.35

183