有关公理化思想

2023年12月28日发(作者：湖北一本分数线)

公理化思想与欧几里德

所谓公理化方法（或公理方法），就是从尽可能少的无定义的原始概念（基本概念）和一组不证自明的命题（基本命题）出发，利用纯逻辑推理法则，把一门数学建立成为演绎系统的一种方法。所谓基本概念和公理，当然必须反映数学实体对象的最单纯的本质和客观关系，而并非人们自由意志的随意创造。

如所共知，希尔伯特1899年出版的《几何学基础》一书是近代数学公理化的典范著作。该书问世后的二、三十年间曾引起西方数学界的一阵公理热，足见其影响之大。希尔伯特的几何公理系统实际是在前人的一系列工作成果基础上总结出来的，书中的公理条目也曾屡经修改。直到1930年出第七版时，还作了最后修改。这说明一门学科的公理化未必是一次完成的，公理化过程可以是包含一些发展阶段的。

谈到数学公理化的作用，至少可以举出如下三点：（1）这种方法具有分析、总结数学知识的作用。凡取得了公理化结构形式的数学，由于定理与命题均已按照逻辑演绎关系串联起来，故使用起来也较方便。（2）公理化方法把一门数学的基础分析得清清楚楚，这就有利于比较各门数学的实质性异同，并能促进和推动新理论的创立。（3）数学公理化方法在科学方法论上有示范作用。这种方法对现代理论力学及各门自然科学理论的表述方法都起到了积极的借鉴作用。例如，20世纪四十年代波兰的巴拿赫（Banach）曾完成了理论力学的公理化；物理学家还把相对论表述为公理化形式，等等。

公理化方法的历史发展，大致可分成三个阶段：

一是公理方法的产生阶段，大约在公元前三世纪，希腊的哲学家和逻辑学家亚里斯多德（Aristotle）总结了古代积累起来的逻辑知识，以演绎证明的科学（主要是数学）为实例，把完全三段论作为公理，由此推导出别的所有三段论（共分了十九个格式）。因此可以认为，亚里士多德在历史上提出了第一个成文的公理系统。

亚里士多德的思想方法深深地影响了公元前三世纪的希腊数学家欧几里得，后者把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》。欧几里得从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理。他总结概括出14个基本命题，其中有5个公设和9条公理。由此出发，他运用演绎方法将当时所知的几何知识全部推导出来，这便是古代数学公理方法的一个辉煌成就。

《几何原本》的问世标志了数学领域中公理方法的诞生。它的贡献不在于发现了几条新定理，而主要在于它把几何学知识按公理系统的方式妥切安排，使得反映各项几何事实的公理和定理都能用论证串联起来，组成了一个井井有条的有机整体。

二是公理方法的完善阶段，如所知，欧氏几何的公理系统是不完善的，其主要的不足之处可以概括为：（1）有些定义是不自足的，亦即往往使用一些未加定义的概念去对别的概念下定义。（2）有些定义时多余的，略去它毫不影响往后的演绎和展开。（3）有些定理的证明过程往往依赖于图形的直观。

另一方面，由于第五公设（即平行线公理）在陈述与内容上的复杂和累赘，古代学者们早就怀疑地指出，第五公设是不是多余的，它能否从其他公设、公理中逻辑地推导出来？而且进一步认为，欧几里得之所以把它作为公设，只是因为他未能给出这一命题的证明。因而，学者们纷纷致力于证明第五公设。但是所有试证第五公设的努力均归于失败，在这些失败之中唯一引出的正面结果便是一串与第五公设相等价的命题被发现。

基于两千多年来在证明第五公设的征途上屡遭失败的教训。十九世纪俄国年轻数学家JIoóausbckńň产生了与前人完全不同的信念：首先，认为第五公设不能以其他的几何公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧几里得几何之外，还可以有第五公设不成立的新几何系统存在。于是，他在剔除第五公设而保留几何其余公理的前提下引进了一个相反于第五公设的公理：“过平面上一已知直线外的一点至少可以引进两条直线与该已知直线平

行”。这样，JIoóausbckńň在与前人完全不同的思想方法基础上构造了一个新的几何系统，它与欧几里得几何系统相并列。后来，人们又证明了这两个部分地相互矛盾的几何系统竟是相对相容的，亦即假定其中之一无矛盾，则另一个必定无矛盾。如此，只要这两个系统是无矛盾的，第五公设与欧氏系统的其余公理就必定独立无关。现在人们就用JIoóausbckńň的名字对这一新几何命名，并把一切不同于欧氏几何公理系统的几何系统统称为非欧几何。应当指出，独力地发现这个新几何的还有大数学家高斯和青年大学生Bolyai。但是高斯由于害怕学术界顽固守旧势力的攻击而始终不敢公开发表他的结果。

非欧几何学中的一系列命题都和人们的朴素直观不相符合。这是它在开创阶段之所以遭受人们冷嘲热讽的重要原因。但是，这种背离直观的几何学在逻辑系统内没有矛盾，演绎论证的严格性也是无懈可击的。事实上，非欧几何给人们开拓了“空间”的概念（如所知，非欧几何的重要分支“黎曼几何”在爱因斯坦1915年创立“广义相对论”后，已得到了证实和应用）。非欧几何的产生，不仅为公理化方法进一步奠定了基础，而且为公理方法可以推广和建立新的数学理论提供了依据。

非欧几何的创立大大地提高了公理方法的信誉。接着便有许多数学家致力于公理方法的研究。例如，1871~1872年间德国数学家康托（Cantor）与戴德金（Dedekind）不约而同地拟成了连续性公理。德国数学家巴许（Pasch）在1882年拟成了顺序公理。正是在这样的基础上，希尔伯特于1899年发表了《几何学基础》一书，终于解决了欧氏几何的欠缺问题，完善了几何学的公理化方法。此书也就成为近代公理化思想的代表作。

三是公理方法的形式化阶段，欧氏《几何原本》表现的公理化可称之为“实体公理化”，因为在这样的公理系统中，概念直接反映着数学实体的性质，而且那些概念、定义、公理和论证的表述往往束缚于直觉观念的指导。但在希尔伯特于其《几何学基础》一书中对欧氏系统加以完善化以后，不仅在公理的表述或定理的论证中摆脱了空间观念的直觉成分，而且给出和奠定了对一系列几何对象及其关系进行更高一级抽象的可能性和基础。就是说，人们可以在高度抽象的意义下给出公理系统，只要能满足系统中诸公理的要求，就可以使得该公理系统所设计的对象是任何事物，并且在公理中表述事物或对象之间的关系时，也可以具有其具体意义的任意性。这样，自从《几何学基础》问世之后，不仅公理化方法进入数学的各个分支，而且把公理化方法本身推向了形式化的阶段。

后来，公理化方法形式化之所以能取得成功，在很大程度上得力于康托创始的抽象集合论。如果没有集合论思想方法和数理逻辑学的近代发展，形式公理化方法也不可能获得新的进展。如所知，希尔伯特后来从事“元数学”即“证明论”的研究，又把公理方法推向一个新的阶段，即纯形式化阶段。其基本思想就是采用符号语言把一个数学理论的全部命题变成公式的集合，然后证明这个公式的集合是无矛盾的。详言之，在这个集合中凡定义、公理及定理均写成公式的形状，而定理的证明步骤也无非是一串符号公式作成的系统，系统中的最后一式即所要证明的结论。形式化公理方法不仅推动着数学基础研究，而且还推动着现代算法论研究，从而为数学应用于电子计算机等现代科学技术开辟了新的前景。

如前所述，数学公理化的目的就是要把一门数学表述为一个演绎系统。这个系统的出发点就是一组基本概念和公理。因此，如何引进基本概念和确立一组公理便是运用公理化方法的关键，也即这种方法的基本内容。

基本概念既是不加定义的概念，它们就必须是真正基本的，而无法用更原始更简单的概念去界定的概念。换言之，基本概念应该是最原始最简单的思想规定，它们必须是对数学实体的高度纯化的抽象。当基本概念确定以后，重要的问题是如何设置公理的问题。

公理是对诸基本概念（例如基本元素、基本关系等概念）相互关系的规定。这些规定必须是必要的、合理的。详细说来，公理的选取和设置必须符合三条要求：一是协调性要求，协调性又称无矛盾性或相容性。这一要求是指在公理系统内，不允许同时能证明某一定理及

其否定定理。反之，如果能从该定理系统导出命题A和否命题“非A”（记作﹃A），则A与﹃A的并存便称之为矛盾。因此，无矛盾性要求是对公理系统的一个基本要求。二是独立性要求，这就是要求公理的数目减少到最低限度，不容许公理集合中出现多余的公理，因为多余的公理总可作为定理推证出来，又何必再把它列为公理呢？三是关于公理系统的完备性要求，这就是要确保从公理系统能推导出所论数学某分支的全部命题。因此，必要的公理不能省略，否则将得不到由它所能推得的结果。

一般说来，当一个公理系统满足上述三条要求时，即可认为是令人满意的系统了，但针对一个较复杂的公理系统要逐一验证三条要求，却并不是轻而易举的事，甚至至今不能彻底实现。例如，我们所熟知的几何学公理系统，至今还只能在相对相容的意义下来讨论它的无矛盾性等等。

通常把由一组原始概念和公理刻划的数学理论称为一个数学系统，而一个数学系统的相容性问题就是指刻划它的那个公理系统的相容性问题。

关于相容性证明这一概念的产生和历史发展的背景这样的，自从罗巴切夫斯基几何诞生后，由于罗氏平行公理是如此地为常识所不容，这才激起了人们对于数学系统的无矛盾性证明的兴趣和重视。虽然在罗氏公理系统的展开中一直没有出现矛盾，却不能保证它在今后的发展中一定不出矛盾。后来，庞卡莱在欧氏系统中构造了一个罗氏几何的模型，亦即在欧氏平面上划一条直线a而使之分为上、下两个半平面，把不包括这条直线在内的上半平面作为罗氏平面，其上的欧氏点当作罗氏几何的点，把以该直线上任一点为中心，任意长为半径所作出之半圆周算作是罗氏几何的直线，然后对如此规定了的罗氏几何元素一一验证罗氏几何诸公理全部成立。通过庞卡莱模型，罗氏系统的相容性证明化归为欧氏系统的相容性证明，这种把一个公理系统的相容性证明化归为另一个看上去比较可靠的公理系统的相容性证明，或者说依靠某一个数学系统的无矛盾性来保证另一个数学系统的协调性叫做数学系统的相对相容性证明。但是，人们本来对于欧氏系统的相容性没有怀疑过，却因罗氏系统的相容性要有欧氏系统的相容性来保证，从而导致对欧氏系统相容性的重重疑虑。人们还在罗氏系统的展开中发现，罗氏几何空间中的极限球面上也可构造欧氏模型，亦即欧氏几何的全部公理能在罗氏的极限球上实现，这样欧氏几何的相容性又可由罗氏几何的相容性来保证。这说明欧氏与罗氏的公理系统虽然不同，但却是相对相容或互为相容的。人们当然不满足于两者互相之间的相对相容证明，因为看上去较为合理的欧氏系统的无矛盾性竟要由看上去很不合理的罗氏系统来保证，这是难以令人满意的。因此，必须重新寻求欧氏系统的相容性证明。由于那时已经有了解析几何，等于在实数系统中构造了一个欧氏几何的模型，这就把罗氏系统的相容性进一步归结到了实数论的相容性，但实数论的相容性如何？这样的归结和体温永远不会完结。Dedekind把实数论的无矛盾性归结到了自然数系统的无矛盾性，而Frege又把自然数系统的相容性归结为集合论的无矛盾性。然而，集合论的无矛盾性又如何？至今还是个迷，以致公理系统的这种相对相容性证明至今还是一场空。希尔伯特早就提出，不能依靠相对相容性证明来解决问题，而应该搞直接的相容性证明。

固然希尔伯特的几何公理系统从纯逻辑

观点看尚未彻底解决协调性问题，但只要明确引入自然数无矛盾的基本假设作为公设之后，该公理系统在相对意义下的无矛盾性就获得保证了。

人们在理性思维上总是习惯于希望通过逻辑推理证明一切，岂知某些具有“无限性”飞跃结构的概念系统往往越出有限步逻辑推理判断的范围之外。因此，如果懂得点概念思维的辩证法，也就能够较自觉地去识别并避免徒劳无功的尝试了。

最后，值得说明一下，正因为希尔伯特几何公理系统中的点、线、面、位于、通过等名词都无非是一批抽象元素及其关系的代名词，因此对它们可以赋予各种各样的具体解释。如果把它们解释作古典欧氏几何（平面几何与立体几何）中的对象，则得到二维及三维欧氏几

何。特别，如果我们把公理中的点与直线分别反过来解释成普通欧氏几何中的直线与点，便可得出原定理的对偶定理。正因为公理中的点与直线皆为抽象元素，故在名词上互易其位也无不可。所以，就有一般形式的对偶原理：在任何一条涉及点、线关系的平面几何定理里，如将点、线位置互换，则所得命题仍成立（后一命题即称为前一定理的对偶命题）。

上述对偶原理很有用，它可以帮助我们在几何证题上一举两得。例如，当我们证明了著名的巴斯卡（Pascal）圆内接六边形定理后，也就立即可得到布列安讯(Brianchon)的圆外切六边形定理。

从对偶原理的导出，已使我们看出抽象化的公理系统确实概括了较丰富的内容。

摘自徐利治先生的《数学方法论选讲》第4讲