数学中的公理化方法及其对数学教学的启示

2023年12月28日发(作者：三途河畔)

６０　数学教学研究　第３２卷第１１期２０１３年ｌ１月　数学中的公理化方法及其对数学教学的启示　杨　琪　（西北师范大学教育学院，甘肃兰州　７３００７０）　摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，如何正确认识它，不仅对数学科学自身的发　展，而且对于其它相关联学科的建设与发展都有重要意义．笔者在对公理化方法的发展历史进行回　顾的基础上，论述了公理化方法的不同类型及其逻辑特征，浅析了公理化方法的积极作用及其局限　性，并据此探讨了公理化方法对数学教学的启示．　关键词：公理化方法；发展历程；特征；作用；局限性；启示　中图分类号：Ｇ６５　所谓数学公理化方法，就是从一组不加　字面上看很不自明，所以人们从两个方面对　定义的原始概念和一组不加证明的命题（公　它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反　理）出发，由原始概念再逻辑地定义其他概念　映了空间的性质；第二，它本身很可能是一个　（派生概念），由公理再逻辑地证明其他命题　定理．通过很多一流数学家近两千年的努力　（定理），从而建立起一个演绎系统的方法．许　仍无进展．到了１８世纪中叶，意大利数学家　多数学家都希望把自己的研究成果表述成一　萨克利吸收了前人正面直接证明而失败的教　个完整的公理系统．虽然大多数的研究往往　训，反其道而行，改用反证法来证明．但随后　无疾而终或最终证实无法实现，但探索的过　不久，数学家们发现他的证明有问题．虽然萨　程中我们还是发现了无数的“闪光智慧”它们　克利的证明是错误的，但他提出的反证法及　从不同侧面，不同角度推动了数学的发展。　其所得到的结果却起了很大的作用，即两种　ｌ公理化方法发展的历史回顾　几何并存的可能．也就是说，除欧氏几何外，　公理化方法是从数学（主要是几何学）和　还有非欧几何．　逻辑学的发展中产生的，其历史发展可分为　数学家们从萨克利的错误中得到了启　如下几个阶段：首先，亚里士多德在总结前人　发，发现了锐角假设的罗巴切夫斯基几何系　所发展和创立的逻辑知识的基础上，已完全　统和钝角假设的黎曼几何系统．后来人们称　三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其　这两种几何为非欧几何．随着微分几何，射影　余１９种不同格式的所有三段论，创立了人类　几何的发展，之后人们又找到了非欧几何的　历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方　客观原型。　法，从而为数学公理化方法创造了条件．　非欧几何的问世打破了传统的欧氏几何　在这之后，欧几里得的《几何原本》具有　空间概念，为几何发展史开辟了新的阶段．然　封闭的几何理论演绎体系、抽象化的数学内　而，为了进一步研究两种几何平行不悖，以希　容等特点，是实质性公理化阶段形成的重要　尔伯特为代表的数学家，掀起了对几何基础　标志。但《几何原本》中的第五公设的陈述从　的研究．与此同时，在数学分析方面以康托、　收稿日期：２０１３—０７—０６　作者简介：杨琪（１９８８一），女　河北保定人，硕士，从事数学谍程与教学论研究　

第３２卷第１１期２０１３年１１月　数学教学研究　６１　维尔斯托拉斯、戴德金等为代表的数学家，掀　没有离开几何实体，但从本质上讲，却为现代　起了对数学分析基础的实数理论研究的高　形式化公理系统奠定了基础，这也正是它被　潮，从而导致了“分析算术化”方向的出现，使　称为公理化方法发展史上一个里程碑的根本　数学分析的基础立足于实数理论之上，取代　原因所在．现代形式公理化方法具有高度的　了直观的几何说明．就在这个时候，代数也发　形式化和抽象化，采用了现代数理逻辑作为　生了重大变化，即由代数方程的求解导致了　它的演绎推理工具等特点．　群论的产生，使代数的研究对象发生了质的　公理化系统有其自身的逻辑特征．公理　　变化，逐渐变成一门研究各种代数运算系统　化方法的作用在于，由一组公理作为出发点，形式结构的科学．由于形式方法在分析、代数　领域中取得了成功，反过来又将几何公理化　方法的研究推向一个新的阶段，即形式公理　化方法．希尔伯特终于在１８９９年发表了他的　名著《几何基础》，这本著作第一次提出了一　个简明、完整、逻辑严密的形式化公理系统．　从此公理化方法不仅是数学中一个重要方　法，而且已被其他学科领域所采用．　由于现代形式公理化方法的发展，需要　研究更复杂的逻辑结构，从而也就导致了现　代数理逻辑的形成和发展．　２公理化方法的特征及作用　２．１公理化方法的不同类型及其特征　在数学公理化的发展过程中出现了实质　公理化和形式公理化两个发展阶段．　所谓实质公理化方法是指在一个公理系　统中的基本概念（包括基本对象和基本关　系），不是原始概念，而是给基本概念下了定　义或确定了它的具体内容．也就是说，一个公　理系统所研究的对象的范围、涵义和特征先　于公理而被给定，公理只是表达这类特定对　象的基本性质，而且必须是白明的．欧氏《几　何原本》的公理化方法就是实质公理方法的　一个典型例子．所谓形式化公理方法，其公理　系统中的基本概念虽然先于公理组而陈述，　然而它的属性是由公理组所规定的，或说是　隐定义的．希尔伯特的《几何基础》采用的就　是形式公理化方法，群论的公理系统采用的　也是这种方法．　尽管希尔伯特几何公理系统从字面上看　以推演规则为工具，把某一范围内（或系统）　的真命题推演出来．公理要最少，而推出的结　论要最多．同时我们还要求从它不能推出我　们所不要的东西，特别是逻辑矛盾．因而这三　个条件是衡量一个公理系统科学性和严密性　的重要标志即无矛盾性、独立性和完备性．　２．２公理化方法的积极作用及局限性　公理化方法的积极作用是多方面的，简　略地说有如下几方面：　一是，从公理化方法的发展历史来看，公　理化方法的形成和发展推动了整个数学的发　展．由于对公理化方法逻辑特征的研究，发现　了很多新的数学分支和新的数学方法，使得　整个数学体系更加庞大、严谨、优美．而且，由　于上个世纪初公理集合论的出现，不仅避开　了康托朴素集合论中的悖论，还使得有些数　学问题也有了进展．其中较为突出的例子就　是上个世纪６Ｏ年代柯恩对连续统假设及选　择公理所获得的重要结果．　二是，公理化方法有利于数学教师的教　学和学生知识的系统掌握．首先，公理化方法　可以揭示一个数学系统或分支的内在规律，　从而使它系统化，条理化，逻辑化，有利于人　们学习和掌握．其次，由于公理系统是一个逻　辑演绎系统，所以对培养学生的逻辑思维能　力和演绎推理能力都有其重要意义．现阶段　许多教材编写者也会根据一定水平的公理化　要求来编写数学教科书，帮助学生培养逻辑　思维能力．　三是，公理化方法对科学方法论有示范　

６２　数学教学研究　第３２卷第１１期２０１３年１１月　作用．从科学方法论的发展历史来看，数学公　的作用和意义估价要恰当，否则，不论是从认识　理化方法对整个科学方法论的形成和发展起　作用．　到了示范作用．这种方法对现代理论力学及　３　公理化方法对数学教学的启示　各门自然科学理论的表述方式都起到了积极　基于上述对公理化方法特征及作用的分　的借鉴作用．比如，牛顿曾运用公理化方法陈　析，对数学教学而言，总结出了如下启示：　述了经典力学理论体系．　首先，公理化是在数学发展到一定程度　四是，公理化方法在形式上所显现出的　后，建构数学体系的方法，数学教学中对公理　简洁性、条理性以及结构的和谐性确实符合　化的要求要适当．教师应充分考虑到学生的　美学上的要求，因而为数学活动中贯彻审美　原则提供了范例．学生在参与学习公理化方　法的活动中，不仅要让他们接受美的薰陶，从　中陶冶性格，丰富精神生活，老师也应该相信　学生可以自己动脑去构建公理系统．　公理化方法有许多的特色和优点，但与　此同时，公理化方法也存在着自身的局限性．　主要表现在以下几方面：　一是，若使所有的数学分支都要按公理　化方法的三条标准来实现公理化是不可能　的．虽然以希尔伯特为代表的数学家曾试图　将所有数学分支都按公理化三条标准实现它　的公理化，但正如哥德尔不完备定理指出的，　包括算术内容的任何一个无矛盾的公理系统　都是不完备的，这种公理系统的无矛盾性在　本系统内根本无法证明．　二是，公理化方法一般地讲，只能运用于　一个数学分支发展到一定的成熟阶段，否则　就有可能对数学的发展起到束缚作用．公理　化方法的优点之一是可使它的内容系统化、　条理化、逻辑化．但如果一个新的数学分支在　起步阶段就强调它的系统性与逻辑严密性，　反而会适得其反．微积分的产生、发展直至完　善，它所经历的道路就是一个实例，若人们只　在算术四则运算系统里进行逻辑演绎，没有　“无穷小方法”超越而成的极限方法，那么，现　代数学的广泛应用也难以实现．　三是，由于公理化方法主要突出了逻辑思　维，而且它主要用于“回顾”性的“总结”，对“探　索”和“发现”的作用较少．所以，对公理化方法　认知发展水平和已有的知识经验，根据学生　学习的不同层次与阶段，在一定的学习基础　之上，给予学生适度的公理化，不能急于求　成，也不能过分加重学生的学习负担．　其次，为了便于理解，降低难度，教师的　授课内容未必采用严格的公理体系．应在新　课程基本理念的指导下灵活地帮助学生完成　对公理化体系的认识．例如，在学生的几何学　习过程中，教师可以帮助学生增强几何的直　观程度，加强对学生合情推理能力的培养，这　些并不妨碍公理化体系的学习，相反使得公　理化体系建立在生动形象的几何图形基础之　上，更有利于综合的培养学生的学习素养．　再次，公理化是数学的特征，教师在数学　教学中要让学生体会公理化思想的作用．公　理化方法可以揭示一个数学系统或分支的内　在规律性，从而使它系统化、逻辑化，有利于　学生学习和掌握知识．此外，公理系统作为一　个严密的逻辑演绎系统，对培养学生的逻辑　思维能力和演绎推理能力都有其重要意义．　参考文献　［１］王仲春．数学思维与数学方法论［Ｍ］．北京：高　等教育出版杜，１９８９．　［２］　张荣华．数学公理化方法浅谈口］．九江师专学　报（自然科学版），１９９ｏ，（１Ｏ）．　［３］唐煌．关于数学公理化方法的教学问题口］．安　庆师范学院学报（自然科学版），２００２，（Ｏ２）．　［４］翟延慧，赵红发．论数学中的公理化方法口］．　长春师范学院学报，２００４，（１２）．　［５］毛耀忠，许尔伟．公理化方法的发展及其对数　学教育的启示［Ｊ］．当代教育论坛，２０１０，（Ｏ７）．