初二第7讲 梯形

2023年12月25日发(作者：巴黎之夜)

第七讲 梯形、多边形、中心对称图形

一、知识梳理

1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

2．特殊梯形的定义：

（1）等腰梯形：两腰相等的梯形． （2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．

3．等腰梯形的性质：

（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；

（2）从边看：等腰梯形两腰相等；

（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等．

4．等腰梯形的判定：

（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．

（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．

5、梯形的中位线

定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。

逆定理：经过梯形一腰的中点平行于两底的直线平分另一腰。

6、梯形辅助线的添加方法：

7、多边形：

(1)．多边形的定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封

闭图形叫多边形．

(2)．多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°．

(3)．多边形外角和定理：多边形的外角和等于360°．

8．多边形的对角线

(1) 从n边形的一个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，将多边形分成(n-2)个三角形．

(2) n边形共有n(n3) 条对角线.

2四、中心对称图形：

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合．那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

二、精典题例巧解与点拨

（一）等腰梯形性质的运用

例1．（1）某多边形的内角和与外角和共1080°，则多边形的边数是___________.

（2）．________边形的内角和是外角和的2倍； _______边形的内角和与外角和相等．

（3）．n边形的每一个内角都相等，它的一个外角与一个内角的比是1∶3，n边形的对角线有_____条．

例1：如图，梯形ABCD中，AB//CD，ACB90°，且AC

平分BAD，D120°，CD＝3cm，则梯形的周长为________cm；

1

变式：如图，等腰梯形ABCD中，AB//CD，DCADBC，且对角线AC垂直于腰BC，求梯形的各个内角．

（二）考查等腰梯形的判定条件

例1：在梯形ABCD中，AD//BC, E为BC中点，EF⊥A B，EG⊥CD，EF=EG.

求证：梯形ABCD为等腰梯形.

变式：在梯形ABCD中，AD//BC，∠ACB=∠DBC.求证:梯形ABCD是等腰梯形.

（三）考查等腰梯形的常见辅助线的作法

【法一：平移对角线】

例2：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，DE∥AC，AD=3㎝，BC=7㎝，求BD的长.和梯形的面积

【法二：连接底边顶点与腰中点，构造全等三角形】——【连中点】

例3：如图，但E是梯形ABCD的腰AD的中点，且AB+CD=BC，试说明BE平分∠ABC.

变式1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，若△AEB的面积为S，则梯形ABCD的面积为（ ）

579 A.S B.2S C.S D.S

244

变式2：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB+CD=BC，M是AD的中点，求证：BM⊥CM

2

【有关中位线的应用】

例4如图△ABC中，AB=AC延长AC到D，使CD=AC，BE是AC边中线。

求证：BE=

变式：如图，四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是边AD、BC的中点，连接NM并延长交BA、CD延长线于E、F。

求证：∠1=∠2

BAAE1BD

2BCED 1F 2MDNC

【综合应用】

例4：如图、梯形ABCD中，AB∥DC，以AD和AC为边作□ACED，DC的延长线交EB于F。

求证：EF=FB （看谁的证法多）

E

D

C

F

A

B

例5、已知，如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD，AD=BC=4，∠ADC=60°，EF是中位线，交BD于M，交AC于N。

AB求EF、MN的长及S梯形ABCD

EMNF

DC

例6、如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞DC,AD=BC,AC、BD交于O，∠AOB=60°且E、F、M分别是AO、DO、BC的中点。

DCF（1）求证：△EFM是等边三角形。

（2）、若AB=5,CD=3,求SEMF

EOMB（3）若SEMF∶SAOD=7∶8，求CD∶AB的值。

3

A

（三）梯形中的动态问题

，AD6厘米，DC4厘米，例7、如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，A90°AB=12厘米，动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．

C（1）求边BC的长； D（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

Q

BAP变式：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3㎝，∠C=60°，

BD⊥CD.

（1）求BC、AD的长度；

（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1㎝/秒的速度运动，当P、Q分别分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围（不包含P在B、C两点的情况）.

四、创新探究（培优、竞赛、中考）

1、如图，已知梯形ABCD，上底AD＝12，下底BC＝28，

EF∥AB分别交AD、BC于点E、F，且将梯形分成面积相等的

两部分。则BF的长.是_______.

B

F

C

ADA E D

2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AC=5，BD=6，则梯形ABCD的面积是________。

3、如图，四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC中点，E、F分别是AC、BD中点，连结MN、EF。求证：MN与EF互相评分。

4、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC中点，EF⊥AD于E。

求证：S梯形ABCD=AD·EF

4

BCAEBNMDFCDFACEB

家庭作业

姓名：_________

1．某多边形的内角和为1080°，则多边形的对角线条数是___________.

2．在平行四边形、矩形、菱形、直角梯形、正方形、圆中既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是 __________

3．下列说法正确的是（ ）

A．一组对边平行的四边形是梯形 B．有两个角是直角的四边形是直角梯形

C．只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形

D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形

4、顺次连接平行四边形四边中点所得的四边形是__________形，顺次连接任意四边形四边中点所得四边形是__________形，顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点所得四边形是__________形，顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得四边形是__________形，

5、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=DC。

（1）、E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，试判断△ECF的形状。

（2）、在（1）的条件下，当BE∶CE=1∶2，∠BEC=135°时，

AB求BE∶BF的值。

E

FD

C

6、关于梯形拼图问题

（1）、(山东枣庄) 如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.

①求四边形ABCD四个内角的度数；

②试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；

③现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致CD的示意图．

AB

图甲 图乙

（2）、将上、下底分别为2和4，一底角为60的等DC腰梯形分成4个相同的图形．

AB5