河北省2023年各地区中考考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编

2023年12月25日发(作者：存在感)

河北省2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）①一．列代数式（共2小题）1．（2023•任丘市二模）如图，小明和小美在做数学游戏．（1）若小美给出的数是421，则得到的结果是 　 　；（2）假设小美给出的三位数的百位数字为a，个位数字是b，请解释其中的原因．2．（2023•竞秀区二模）在知识竞赛中，规定答对一题加5分，答错一题（不答按答错）扣3分，小明答对x道题，答错y道题．（1）用含x，y的式子表示小明的得分为 　 　分；（2）若小明答对20道题，总分在80分以上，求他最多答错多少道题．二．整式的加减（共1小题）3．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．（1）最小的三位“和谐数”是 　 　，最大的三位“和谐数”是 　 　；（2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”；（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．三．一次函数的应用（共1小题）4．（2023•清苑区二模）太阳能是一种新型能源，与传统能源相比有着高效、清洁和使用方便等特点，某地区有20户居民安装了甲、乙两种太阳能板进行光伏发电，这不仅解决了自家用电问题，还能产生一定的经济价值．已知2片甲种太阳能板和1片乙种太阳能板

一天共发电280度；1片甲种太阳能板和2片乙种太阳能板一天共发电260度．（1）求每片甲、乙两种太阳能板每天的发电量．（2）设20户居民中有m户居民安装甲种太阳能板，且甲种太阳能板数量不多于乙种太阳能板数量的3倍，若20户居民安装的太阳能板每天的发电总量为W度，求W与m的函数关系，并求W的最大值．四．反比例函数的应用（共1小题）5．（2023•竞秀区二模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：桌面所受压强P（Pa）受力面积S（m2）（1）根据表中数据，求出桌画所受压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值．（2）将另一长，宽，高分别为0.3m，0.2m，0.1m，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．0.50.375a0.20.13500五．二次函数的应用（共2小题）6．（2023•竞秀区二模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，A→B→C为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线A→B→C的函数表达式；（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线C→E→F

的形状与抛物线A→B→C完全相同，E点坐标为（33，0），求n的值；（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算OM多长时，造价最低？最低造价为多少元？7．（2023•武安市二模）某电子屏上下边缘距离为9cm，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘2cm，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度vcm/s向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为dcm，d由两部分组成：d1为常数，d2与t的平方成正比，且有如表格中的数据．

tt＝1t＝2dd＝3.2d＝3.8（1）用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标；（2）若v＝2，用t（t＞2）分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标；（3）甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发ms，v甲＝2，v乙＝1，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于1.2cm，直接写出m的最小值．

六．二次函数综合题（共1小题）8．（2023•裕华区二模）甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，图为从侧面看乒乓球台的视图，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，MN＝28dm，EF＝1.5dm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球以MA所在直线为x轴，M为原点做平面直角坐标系，x（dm）表示球与M的水平距离，y（dm）表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的解析式为，设CP段抛物线的解析式为（1）点F的坐标为 　

表示）；（2）当球在球网EF正上方时到达最高点，①求此时球与F的距离；②要使球从C弹起后落在N或N的右侧，求k的最小值；（3）若球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，乙的球拍在N处正上方如线段GH，GH＝1.5dm，HN＝0.8dm，将球拍向前水平推出ndm接球，如果接住了球，直接写出n的取值范围．　；点C的坐标为 　

．　（用含t的式子七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2023•裕华区二模）如图，AB＝10，AC＝BD＝4，AC∥BD，分别以A，B为圆心，AC，BD长为半径画弧交AB于点E，F，CD与AB相交于点G．

（1）求证：△ACG≌△BDG；（2）∠AGC最大时直线CD与⊙A有什么位置关系（不说理由），并求此时tanA的值；（3）∠A为30°时，求阴影部分的面积（结果保留π）．八．切线的性质（共1小题）10．（2023•藁城区二模）如图，AB＝4，O为AB中点，以O为圆心，以1为半径画圆交AB于点E，F，过点A作⊙O的切线，切点为C，在⊙O上取点D，连接BD，使BD＝AC（1）∠A的度数是 　

是 　

　，阴影部分的面积是 　 　，的长　；（2）BD与⊙O的位置关系是怎样的，说明理由．九．圆的综合题（共1小题）11．（2023•竞秀区二模）已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5．（1）如图1，当时，求证：△CAB≌△DBA；（2）如图2，若∠DAB＝22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积；（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB的距离的最小值是 　 　．

一十．解直角三角形的应用（共1小题）12．（2023•清苑区二模）如图所示的是某种升降机示意图，A，B，C，D，E，F，G，H处由可转动零件连接．如图1，在初始状态时，四边形ABCD为正方形，△DEF与△BGH均为等腰直角三角形，且AB＝BG＝DE＝20cm．（上下置物板厚度忽略不计）（1）求初始状态时货物距地面的高度h．（结果保留根号）（2）如图2，当货物上升至指定高度时，∠DCB＝124°，求货物相对于初始状态上升的高度．（结果保留一位小数，参考数据 ，sin62°≈0.88，cos62°≈0.47）一十一．条形统计图（共1小题）13．（2023•武安市二模）在2023年4月、23日“世界读书日”之前，某校为了了解学生的阅读情况，对学生在2022年读课外书的数量进行了调查．所示图表是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题．2022年学生的读书数量分组A0B1～3本C4～7本　名学生？D8～12本E超过12本（1）此次抽样调查共调查了 　

（2）请将条形统计图补充完整；（3）请说明样本数据中，学生读书数量的中位数落在哪个范围内；（4）该校共有3600名学生，估计在2022年读课外书的数量超过12本的学生有多少名？一十二．列表法与树状图法（共2小题）14．（2023•清苑区二模）如图为某中学八（1）班每位同学数学和语文学科的期末成绩（满分100分），表格为全班30名同学数学和语文成绩的平均分，根据统计图回答下列问题．学科平均分数学85.1语文80.6（1）璐璐数学成绩接近满分，而语文成绩没有达到平均分，请用“〇”在统计图中圈出代表璐璐的点．（2）若该年级有600名学生，请估计全年级语、数两门课程成绩都超过平均分的人数．（3）本学期外语课程要求从A．英语、B．俄语、C．西班牙语三种语言中选一种进行学习和考试，若学生选择每种语言的可能性相同，求璐璐和彤彤选择相同语言学习和考试的概率．15．（2023•裕华区二模）一次数学课堂小测中，老师设计了10道选择题让同学们在线提交

答案，答对一道题得4分，答错或不答不扣分不给分，如图为某小组四人全部做完后不完整的成绩统计图，已知D同学错了3道题．（1）补全统计图；（2）求该小组的平均成绩；（3）得分不低于总分的80%为优秀，用树状图或列表法求随机抽取两名同学至少有一人为优秀的概率．

河北省2023年各地区中考考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编-03解答题（提升题）①参考答案与试题解析一．列代数式（共2小题）1．（2023•任丘市二模）如图，小明和小美在做数学游戏．（1）若小美给出的数是421，则得到的结果是 　180　；（2）假设小美给出的三位数的百位数字为a，个位数字是b，请解释其中的原因．【答案】（1）180；（2）理由见解析过程．【解答】解：（1）将421的百位数字和十位数字交换，则得到的三位数是241，又421﹣241＝180，所以得到的结果是180．故答案为：180．（2）由百位数字为a，个位数字是b得，十位数字是（a﹣2），所以这个三位数是：100a+10（a﹣2）+b＝110a+b﹣20．则百位数字与十位数字交换后的三位数为：100（a﹣2）+10a+b＝110a+b﹣200，又（110a+b﹣20）﹣（110a+b﹣200）＝180，所以无论小美写的三位数是几，最后的结果都是180．2．（2023•竞秀区二模）在知识竞赛中，规定答对一题加5分，答错一题（不答按答错）扣

3分，小明答对x道题，答错y道题．（1）用含x，y的式子表示小明的得分为 　（5x﹣3y）　分；（2）若小明答对20道题，总分在80分以上，求他最多答错多少道题．【答案】（1）（5x﹣3y）；（2）小明最多答错6道题．【解答】解：（1）由题意得：（5x﹣3y）；（2）由题意得：5×20﹣3y＞80，，∴小明最多答错6道题．故答案为：（5x﹣3y）．二．整式的加减（共1小题）3．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．（1）最小的三位“和谐数”是 　110　，最大的三位“和谐数”是 　990　；（2）若一个“和谐数”的个位数字为a（a≥0），十位数字为b（b≥1，b＞a且a、b都是自然数），请用含a，b的代数式表示该“和谐数”；（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．【答案】（1）110，990；（2）110b﹣99a；（3）能，理由见解析．【解答】解：（1）设个位数字为x（x≥0），百位数字为y（y＞0），则十位数字为x+y，∴“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，当x＝0，y＝1时，有最小的三位“和谐数”是110，当x＝0，y＝9时，有最大的三位“和谐数”是990，故答案为：110，990；（2）100（b﹣a）+10b+a＝100b﹣100a+10b+a＝110b﹣99a，∴该“和谐数”为：110b﹣99a；（3）能，理由：由（1）得“和谐数”为：100y+10（x+y）+x＝110y+11x，

∵110y+11x＝11（10y+x），∴任意一个三位“和谐数”能被11整除．三．一次函数的应用（共1小题）4．（2023•清苑区二模）太阳能是一种新型能源，与传统能源相比有着高效、清洁和使用方便等特点，某地区有20户居民安装了甲、乙两种太阳能板进行光伏发电，这不仅解决了自家用电问题，还能产生一定的经济价值．已知2片甲种太阳能板和1片乙种太阳能板一天共发电280度；1片甲种太阳能板和2片乙种太阳能板一天共发电260度．（1）求每片甲、乙两种太阳能板每天的发电量．（2）设20户居民中有m户居民安装甲种太阳能板，且甲种太阳能板数量不多于乙种太阳能板数量的3倍，若20户居民安装的太阳能板每天的发电总量为W度，求W与m的函数关系，并求W的最大值．【答案】（1）每片甲种太阳能板每天的发电量为100度，乙种太阳能板每天的发电量为80度；（2）W与m的函数关系为W＝20m+1600，W的最大值为1900度．【解答】解：（1）设每片甲、乙两种太阳能板每天的发电量分别为x、y度，由题意得解得，，∴每片甲种太阳能板每天的发电量为100度，乙种太阳能板每天的发电量为80度；（2）∵有m户居民安装甲种太阳能板，∴有20﹣m户居民安装乙种太阳能板，∵甲种太阳能板数量不多于乙种太阳能板数量的3倍，∴m≤3（20﹣m），∴m≤15，∵20户居民安装的太阳能板每天的发电总量为W度，∴W＝100m+80（20﹣m）＝20m+1600，∵20＞0，∴W随m的增大而增大，∴m＝15时，W有最大值，W最大值＝20×15+1600＝1900（度），

答：W与m的函数关系为W＝20m+1600，W的最大值为1900度．四．反比例函数的应用（共1小题）5．（2023•竞秀区二模）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：桌面所受压强P（Pa）受力面积S（m2）（1）根据表中数据，求出桌画所受压强P（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值．（2）将另一长，宽，高分别为0.3m，0.2m，0.1m，且与原长方体相同重量的长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．0.50.375a0.20.13500【答案】（1）；a＝0.3；（2）这种摆放方式不安全，理由见解析．【解答】解：（1）由表格可知，压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，设，将（300，0.5）代入得：k＝300×0.5＝150，∴，，当P＝500时，∴a＝0.3；（2）这种摆放方式不安全，理由如下：由图可知S＝0.1×0.2＝0.02（m2），

∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上，∵7500＞2000，∴这种摆放方式不安全．五．二次函数的应用（共2小题），6．（2023•竞秀区二模）过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，深受年轻游客的喜爱．某游乐场修建了一款大型过山车．如图所示，A→B→C为这款过山车的一部分轨道（B为轨道最低点），它可以看成一段抛物线，其中OA＝16.9米，OB＝13米（轨道厚度忽略不计）．（1）求抛物线A→B→C的函数表达式；（2）在轨道上有两个位置P和C到地面的距离均为n米，当过山车运动到C处时，又进入下坡段C→E（接口处轨道忽略不计，E为轨道最低点），已知轨道抛物线C→E→F的形状与抛物线A→B→C完全相同，E点坐标为（33，0），求n的值；（3）现需要对轨道下坡段A→B进行安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架GD、GM、HI、HN，且要求MN＝2OM，已知这种材料的价格是100000元/米，请计算OM多长时，造价最低？最低造价为多少元？【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝0.1（x﹣13）2；（2）n＝10；（3）当OM为3.2米时，造价最低，最低造价为2356000元．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的函数表达式为y＝m（x﹣13）2，把A（0，16.9）代入，得：m（0﹣13）2＝16.9，解得：m＝0.1，

∴抛物线的函数表达式为y＝0.1（x﹣13）2；（2）∵OB＝13米，E点坐标为（33，0），∴BE＝20，∵P和C到地面的距离均为n米，且P，C在抛物线y＝0.1（x﹣13）2上，∴P，C关于直线x＝13对称．∵C为两条形状完全相同的抛物线C→E→F与A→B→C的交点，∴抛物线C→E→F由抛物线A→B→C向右平移20个单位得到，∴PC＝BE＝20，∴C（23，n），P（3，n），将（3，n）代入y＝0.1（x﹣13）2得n＝0.1（3﹣13）2，∴n＝10；（3）设OM＝a，则G（a，0.1（a﹣13）2），H（3a，0.1（3a﹣13）2），∵MN＝2OM，∴l＝GM+GD+HN+HI＝a+0.1（a﹣13）2+3a+0.1（3a﹣13）2＝a2﹣6.4a+33.8＝（a﹣3.2）2+23.56，∵1＞0，∴当a＝3.2时，l最短，最短为23.56．此时，100000×23.56＝2356000（元），∴当OM为3.2米时，造价最低，最低造价为2356000元．7．（2023•武安市二模）某电子屏上下边缘距离为9cm，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘2cm，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度vcm/s向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为dcm，d由两部分组成：d1为常数，d2与t的平方成正比，且有如表格中的数据．

tt＝1dd＝3.2

t＝2d＝3.8（1）用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标；（2）若v＝2，用t（t＞2）分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标；（3）甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发ms，v甲＝2，v乙＝1，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于1.2cm，直接写出m的最小值．【答案】（1）d＝0.2t2+3，M（2，6）；（2）y＝﹣（3）．（x﹣2）2+6，（0，5.8）；【解答】解：（1）设d2＝at2，则：d＝d1+at2，∵当t＝1时，d＝3.2，当t＝2时，d＝3.8，∴∴a＝0.2，d1＝3∴d＝3+0.2t2，M（2，6）；（2）易知x＝vt+2，故当v＝2时，x＝2t+2①，y＝9﹣d＝﹣t2+6②．由①可得：t＝③，，

把③代入②中，可得：y＝﹣（）2+6＝﹣（x﹣2）2+6．当x＝0时，y＝﹣×4+6＝5.8∴点P在电子屏左边缘时的坐标为（0，5.8）．（3）m的最小值为，理由如下：在下落过程中，x甲＝v甲t甲+2＝2t甲+2，x乙＝v乙t乙+2＝1（t甲+m）+2＝t甲+m+2，故当甲点恰好处于乙点正上方时，2t甲+2＝t甲+m+2，∴m＝t甲．由（2）可知，y甲＝﹣（x甲﹣2）2+6，）2+6＝﹣（x乙﹣2）2+6．y乙＝﹣t乙2+6＝﹣（当甲点恰好落在乙点正上方时，可设x甲＝x乙＝x2（x2＞2）．由题意知此时y甲﹣y乙≥1.2，即：[﹣（x2﹣2）2+6]﹣[﹣（x2﹣2）2+6]≥1.2，，根据二次函数的图象与性质可得：x2≥2+2∴t甲+m+2≥2+2∴2m≥2∴m≥，，即m的最小值为．，六．二次函数综合题（共1小题）8．（2023•裕华区二模）甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，图为从侧面看乒乓球台的视图，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，MN＝28dm，EF＝1.5dm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球以MA所在直线为x轴，M为原点做平面直角坐标系，x（dm）表示球与M的水平距离，y（dm）表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的解析式为，设CP段抛物线的解析式为．（1）点F的坐标为 　（14，1.5）　；点C的坐标为 　（t+12，0）　（用含t的式子

表示）；（2）当球在球网EF正上方时到达最高点，①求此时球与F的距离；②要使球从C弹起后落在N或N的右侧，求k的最小值；（3）若球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，乙的球拍在N处正上方如线段GH，GH＝1.5dm，HN＝0.8dm，将球拍向前水平推出ndm接球，如果接住了球，直接写出n的取值范围．【答案】（1）F（14，1.5），C（t+12，0）．（2）①球与F的距离为0.3dm ②k的最小值为0.8．（3）1≤n≤7．【解答】解：（1）E为MN中点，EF＝1.5，∴ME＝MN＝14，即F（14，1.5）．C是x轴与抛物线的交点，令yt＝0，解得：x1＝t，x2＝t+12，∴C（t+12，0）．（2）①∵BC段抛物线与x轴交于（t，0），（t+12，0），∴BC段抛物线的对称轴为直线：x＝当球在EF上方到达最高点时，即t+6＝14，∴t＝8，即：BC段抛物线为

当x＝14 时

1.8﹣1.5＝0.3．此时球与F的距离为0.3dm．②由①得t＝8，，．，

点C的坐标为（20，0）当球弹起后落在点N（28，0）时，k取最小值，此时CP段抛物线的对称轴为直线x＝24．∴∴k的最小值为0.8．（3）∵球第二次的落点在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，∴球过（19，0）且最高点为1.25，，解得h＝24或14（舍），

又∵1.25＜0.8+1.5，∴1≤n≤7．七．直线与圆的位置关系（共1小题）9．（2023•裕华区二模）如图，AB＝10，AC＝BD＝4，AC∥BD，分别以A，B为圆心，AC，BD长为半径画弧交AB于点E，F，CD与AB相交于点G．（1）求证：△ACG≌△BDG；（2）∠AGC最大时直线CD与⊙A有什么位置关系（不说理由），并求此时tanA的值；（3）∠A为30°时，求阴影部分的面积（结果保留π）． 时，x＝27或21．，解得：k＝0.8．【答案】（1）见解析；（2）；（3）5﹣．【解答】（1）证明：∵AC∥BD，∴∠A＝∠B，∠ACG＝∠BDG，在△ACG和△BDG中，

，∴△ACG≌△BDG（ASA）；（2）解：∠AGC最大时，直线CD与⊙A相切；∵直线CD与⊙A相切，∴AC⊥CD，∴∠ACG＝90°，∵△ACG≌△BDG，∴AG＝BG＝AB＝×10＝5，在Rt△ACG中，AC＝4，AG＝5，CG＝∴tanA＝＝；＝＝3，（3）解：过D作DH⊥AB于H，∵△ACG≌△BDG，∴∠A＝∠B＝30°，AG＝BG＝AB＝5，∵BD＝4，∴DH＝2，∴阴影部分的面积＝△BDG的面积﹣扇形BCF的面积＝×5×2﹣．＝5﹣八．切线的性质（共1小题）10．（2023•藁城区二模）如图，AB＝4，O为AB中点，以O为圆心，以1为半径画圆交AB于点E，F，过点A作⊙O的切线，切点为C，在⊙O上取点D，连接BD，使BD＝AC（1）∠A的度数是 　30°　，阴影部分的面积是 　（2）BD与⊙O的位置关系是怎样的，说明理由．﹣　，的长是 　　；

【答案】（1）30°，﹣，；（2）BD与⊙O相切，理由见解答．【解答】解：（1）连接OC，∵AB＝4，O为AB的中点，∴OA＝OB＝AB＝×4＝2，∵AC与⊙O相切于点C，∴AC⊥OC，∴∠OCA＝90°，∵OC＝1，∴cos∠COA＝＝，AC＝＝＝，∴∠COA＝60°，∴∠A＝90°﹣∠COA＝90°﹣60°＝30°；∴S阴影＝S△COA﹣S扇形COE＝××1﹣＝﹣；∵∠COF＝180°﹣∠COA＝180°﹣60°＝120°，∴＝＝﹣，，．故答案为：30°，（2）BD与⊙O相切，理由如下：连接OD，则OD＝OC，在△BOD和△AOC中，，∴△BOD≌△AOC（SSS），∴∠ODB＝∠OCA＝90°，∵OD是⊙O的半径，且BD⊥OD，

∴BD是⊙O的切线，即BD与⊙O相切．九．圆的综合题（共1小题）11．（2023•竞秀区二模）已知，在半圆O中，直径AB＝10，点C，D在半圆O上运动，弦CD＝5．（1）如图1，当时，求证：△CAB≌△DBA；（2）如图2，若∠DAB＝22.5°，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积；（3）如图3，取CD的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：点M到AB的距离的最小值是 　　．【答案】（1）证明见解答；（2）（3）+．＝，；【解答】（1）证明：∵∴∠CAD＝∠DBC，∵，∴∠DAB＝∠CBA，AC＝BD，∴∠CAD+∠DAB＝∠DBC+∠CBA，∴∠CAB＝∠DBA，又∵AB＝BA，

∴△CAB≌△DBA（SAS）；（2）解：过D作DH⊥AB于H，连接OD，如图2：∵半圆O中，直径AB＝10，∴OA＝OD＝5，∵∠DAB＝22.5°，∴∠DOB＝45°，∴DH＝OD＝，S扇形DOB＝，+；，∴S△AOD＝OA•OH＝∴S阴影部分＝S扇形DOB+S△AOD＝（3）连接OM，OC，∵M是CD的中点，∴OM⊥CD，CM＝CD＝，∴OM＝＝＝，∴点M在以O为圆心，为半径的圆弧M'M''上运动，过M'作M'N⊥AB，垂足为N，∵sin∠AOM'＝＝＝，×＝，，∴M'N＝OM'•sin∠AOM'＝∴点M到AB的距离的最小值是故答案为：．一十．解直角三角形的应用（共1小题）12．（2023•清苑区二模）如图所示的是某种升降机示意图，A，B，C，D，E，F，G，H处

由可转动零件连接．如图1，在初始状态时，四边形ABCD为正方形，△DEF与△BGH均为等腰直角三角形，且AB＝BG＝DE＝20cm．（上下置物板厚度忽略不计）（1）求初始状态时货物距地面的高度h．（结果保留根号）（2）如图2，当货物上升至指定高度时，∠DCB＝124°，求货物相对于初始状态上升的高度．（结果保留一位小数，参考数据 ，sin62°≈0.88，cos62°≈0.47）【答案】（1）初始状态时货物距地面的高度h为4014.4cm．cm；（2）货物上升的高度为【解答】解：（1）如图，连接BD，分别过D、B作DM⊥EF，BN⊥GH于点M、N．∵四边形ABCD为正方形，△DEF与△BGH均为等腰直角三角形，且AB＝BG＝DE＝20cm．∴AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝DF＝20cm，∠A＝∠EDF＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∠EDM＝45°，∠ADE＝90°，EM＝MF＝EF，

∴BD＝180°，＝20cm，EF＝＝20cm，∠ADB+∠ADE+∠EDM＝∴B、D、M三点共线，DM＝10cm，cm，同理可得B、D、N三点共线，BN＝10∴B、D、M、N四点共线，∴h＝DM+BN+BD＝40cm．答：初始状态时货物距地面的高度h为40cm．（2）如图，连接AC，BD交于点O，分别过D、B作DM⊥EF，BN⊥GH于点M、N．∵AB＝BC＝CD＝AD＝20cm，∴四边形ABCD为菱形，∴CO⊥DO，DB＝2DO，∠DCO＝∠DCB＝62°，又DM⊥EF，∴∠DME＝∠COD＝90°，∴EF∥AC，∴∠DEM＝∠DCO＝62°，∴DO＝CD•sin∠DCO＝AB•sin62°≈20×0.88＝17.6cm，DM＝DE•sin∠DEM≈20×0.88＝17.6cm，同理可得：DN＝17.6cm，∴MN＝BN+BD+DM＝BN+2DO+DM＝70.4cm，

∴货物上升的高度为70.4﹣40一十一．条形统计图（共1小题）≈14.4cm．13．（2023•武安市二模）在2023年4月、23日“世界读书日”之前，某校为了了解学生的阅读情况，对学生在2022年读课外书的数量进行了调查．所示图表是根据随机抽取的部分学生的读书数量情况整理的表格和两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解答下列问题．2022年学生的读书数量分组A0B1～3本C4～7本D8～12本E超过12本（1）此次抽样调查共调查了 　100　名学生？（2）请将条形统计图补充完整；（3）请说明样本数据中，学生读书数量的中位数落在哪个范围内；（4）该校共有3600名学生，估计在2022年读课外书的数量超过12本的学生有多少名？【答案】（1）100；（2）见解答；（3）D组8～12本；（4）1260．【解答】解：（1）此次抽样调查共调查了学生20÷20%＝100（名），故答案为：100；（2）C组的人数为100﹣（5+15+20+35）＝25（名），补全图形如下：（3）∵共有100个数据，∴其中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均落在D组内，∴学生读书数量的中位数落在D组8～12本；

（4）估计2022年读课外书的数量超过12本的学生有3600×＝1260（名）．一十二．列表法与树状图法（共2小题）14．（2023•清苑区二模）如图为某中学八（1）班每位同学数学和语文学科的期末成绩（满分100分），表格为全班30名同学数学和语文成绩的平均分，根据统计图回答下列问题．学科平均分数学85.1语文80.6（1）璐璐数学成绩接近满分，而语文成绩没有达到平均分，请用“〇”在统计图中圈出代表璐璐的点．（2）若该年级有600名学生，请估计全年级语、数两门课程成绩都超过平均分的人数．（3）本学期外语课程要求从A．英语、B．俄语、C．西班牙语三种语言中选一种进行学习和考试，若学生选择每种语言的可能性相同，求璐璐和彤彤选择相同语言学习和考试的概率．【答案】（1）见解答；（2）180；

（3）．【解答】解：（1）如图，（2）600×＝180（人），所以估计全年级语、数两门课程成绩都超过平均分的人数为180人；（3）画树状图为：共有9种等可能的结果，其中璐璐和彤彤选择相同语言学习和考试的结果数为3，所以璐璐和彤彤选择相同语言学习和考试的概率＝＝．15．（2023•裕华区二模）一次数学课堂小测中，老师设计了10道选择题让同学们在线提交答案，答对一道题得4分，答错或不答不扣分不给分，如图为某小组四人全部做完后不完整的成绩统计图，已知D同学错了3道题．（1）补全统计图；（2）求该小组的平均成绩；

（3）得分不低于总分的80%为优秀，用树状图或列表法求随机抽取两名同学至少有一人为优秀的概率．【答案】（1）图形见解析；（2）30分；（3）．【解答】解：（1）∵共有10道选择题，D同学错了3道题，∴D同学做对了：10﹣3＝7（道题），∴D同学的得分为：4×7＝28（分），补全统计图如下：（2）该小组的平均成绩为×（36+32+24+28）＝30（分）；（3）∵得分不低于总分的80%为优秀，总分为4×10＝40（分），40×80%＝32（分），∴A、B同学优秀，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中随机抽取两名同学至少有一人为优秀的结果有10种，∴随机抽取两名同学至少有一人为优秀的概率为＝．