CVaR的定义

2023年12月24日发(作者：中国地理位置)

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CVaR的定义

VaR是英文“Value-at-Risk”的缩写，字面含义是处在风险之中的价值，也常常被称为“在险价值”。VaR方法在金融风险度量、确定内部经济资本需求、设定风险限额以及绩效评估等方面有着广泛的应用，但是其作为风险度量本身存在着缺陷，因此，Rockfall[17]首次提出了风险度量CVaR（条件在险价值，Conditional Value at Risk）的定义，并引发了大量的理论和实践工作。下面首先给出VaR与CVaR的定义。

2.1VaR与CVaR的定义

设x(x1,,xn)T表示投资组合中对应资产占总资产的比率，r(r1,,rn)T表示相应的资产

损失率，f(x,r)表示投资组合的预期损失函数，表示置信度，则

VaRminR:Pf(x,r) （1）

由VaR得定义可以看出，风险价值VaR是在给定的置信度下，资产或证券组合可能遭受的最大可能损失值，描述了相应的损失分布的分位数。从其定义中不难发现VaR仅仅给出了在一定的置信度下损失分布的最大可能值，并没有充分利用损失的尾部分布信息，而且在某些时候VaR还不能满足次可加性和凸性，因此下面给出CVaR的定义

CVaRE[f(x,r)|f(x,r)VaR]VaRE[f(x,r)VaR|f(x,r)VaR] （2）

由CVaR的定义可以看出，CVaR给出了超过最大可接受损失的那部分的期望值，CVaR值不仅充分反映了损失的尾部信息，且还满足次可加性和凸性，是较好的风险度量指标。由（1）和（2）可知在相同置信度下CVaR不会小于VaR。

由于VaR只是度量在置信度下的最大损失，无法估计超出最大损失之外的超额损失，因此不能很好的刻画尾部风险，而恰恰是这种极端的尾部风险有时能够彻底摧毁一家庞大的金融机构。而CVaR度量的正是超过VaR值部分的超额损失的平均情况因此它能比较好的预测极端风险情况，而且CVaR关于置信度是连续的，因此当置信度发生小幅变化时,用CVaR度量的风险不会发生大幅度变化,但VaR被用于非连续分布的情况时,可能对置信度的小幅变化非常敏感，这导致VaR度量的风险值会发生大幅度的跳跃。因此本文选择CVaR度量商业银行的整合风险。

2.2CVaR的计算

由（2）可知，要想计算CVaR，首先要知道r的分布。假设r(r1,,rn)T是连续型随机向量，p(r)为r的联合密度函数，

(x,)f(x,r)p(r)dr （3）

则(x,)是关于的非增右连续函数则对于任意(0,1)

VaRmin{R:(x,)}. （4）

CVaRE[f(x,r)|f(x,r)VaR]11f(x,r)VaRf(x,r)p(r)dr

由于公式（5）中的积分，很难得出（5）的解析表达式，因此CVaR的计算，通常采用离散化方法来进行处理，即假设现实中r有J中可能，且每种可能将以1的可能性出现，则（5）可以通过

JCVaRVaRE[f(x,r)VaR|f(x,r)VaR]1

VaR(1)J

[f(x,rk1Jk)VaR] （6）