基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

更新时间:2023-12-24 16:05:43 阅读：评论：0

2023年12月24日发(作者：蒋勋作品)

大连理工大学学位论文独创性声明

作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。

若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。

学位论文题目：基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

作者签名：日期： 2020 年 6 月 3 日

大连理工大学专业学位硕士学位论文

摘要

当今的世界正处于全球化的时代，无论是经济、文化还是政治都紧密联系、相互依存。随着移动互联网科技的不断发展，各种经济贸易更加密不可分，金融市场之间的关系也愈加复杂。2008年的经济危机，起源于金融衍生品的失控，对全世界的经济带来了极大的冲击。因此在经济全球化愈加紧密的今天，及时地防范金融风险是极为重要的一项工作。无论是企业还是个人投资者，都需要采用合理的风险度量工具，正确衡量金融市场风险，并使用科学的金融风险管理方法进行提前防范。

以往的大量研究都表明，金融时间序列的分布都具有一些规律性的特征：“尖峰”性和“厚尾”性，与自然世界中最为常见的正态分布有所偏离，且金融时间序列的波动存在着明显的“集聚性”的现象。本文将采用时间序列理论中的条件异方差模型对金融时间序列进行建模，且利用极值理论细致地刻画其分布特点，尤其是分布两端尾部的特征。

众所周知，一名理性的经济人在进行投资决策时总是会考虑两种决策情况：在可承受的风险下试图使收益最大化或达到预期收益的前提下尽可能地规避自身风险。本文将基于风险规避态度进行投资组合优化探讨。VaR和CVaR是两种实用的风险度量工具，且CVaR相对于VaR有一些更为优良的性质。因此，在投资组合优化部分，本文先利用Copula函数将边缘分布联合，进而采用CVaR的风险度量构建Mean-CVaR模型，利用蒙特卡洛方法进行情景模拟，最终算出了投资组合的最优投资权重。这一结论将会给各类投资者在进行投资决策时，提供有价值的理论指导。

关键词：GARCH；极值理论；Mean-CVaR；投资组合优化

- I -

基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

Portfolio Optimization of Stock Market Bad on CVaR

Abstract

Today's world is in the era of globalization, economic, cultural and political are cloly

linked and interdependent. With the continuous development of mobile Internet technology, all

kinds of economic and trade are more inparable, and the relationship between financial

markets is more complex. The 2008 economic crisis, originated from the financial derivatives

out of control, has brought great impact on the world economy. Therefore, in today's

increasingly clo economic globalization, timely prevention of financial risks is an extremely

important work. Both enterpris and individual investors need to u reasonable risk

measurement tools, measure the financial market risk correctly, and u scientific financial risk

management methods to prevent in advance.

A large number of previous studies have shown that the distribution of financial time ries

has some regular characteristics: "peak" and "thick tail", which deviates from the most common

normal distribution in the natural world, and the volatility of financial time ries has obvious

"clustering" phenomenon. In this paper, the conditional heteroscedasticity model of time ries

theory is ud to model financial time ries, and the extreme value theory is ud to describe

its distribution characteristics, especially the characteristics of the tail at both ends of the

distribution.

As we all know, a rational economic person always considers two kinds of decision-making situations when making investment decisions: trying to maximize the return or achieve

the expected return under the condition of tolerable risk, avoiding his own risk as much as

possible. This paper will discuss the portfolio optimization bad on the risk aversion attitude.

VaR and CVaR are two practical risk measurement tools, and CVaR has some better properties

than var. Therefore, in the part of portfolio optimization, this paper first us copula function

to combine the edge distribution, then us CVaR risk measurement to build mean CVaR model,

us Monte Carlo method to carry out scenario simulation, and finally calculates the optimal

investment weight of the portfolio. This conclusion will provide valuable theoretical guidance

for all kinds of investors when making investment decisions.

Key Words：GARCH; Extreme Value Theory; Mean CVaR; Portfolio Optimization

- II -

大连理工大学专业学位硕士学位论文

摘要 ........................................................................................................................ I

Abstract ........................................................................................................................ II

1 绪论 ..........................................................................................................................1

1.1 研究背景和研究意义 ....................................................................................1

1.2 国内外研究综述 ............................................................................................2

1.2.1 投资组合理论研究综述 ......................................................................2

1.2.2 风险度量方法研究综述 ......................................................................3

1.3 本文的研究内容和框架 ................................................................................5

2 相关理论研究综述 ...................................................................................................6

2.1 风险度量 .......................................................................................................6

2.1.1 基于VaR的风险度量 .........................................................................6

2.1.2 基于CVaR的风险度量 ......................................................................6

2.2 Copula函数 ...................................................................................................8

2.2.1 Copula函数理论 .................................................................................8

2.2.2 Copula函数的定义及性质 .................................................................8

2.2.3 Copula函数的种类 .............................................................................9

2.2.4 Copula函数的参数估计 ................................................................... 11

2.2.5 基于Copula函数的情景模拟 ........................................................... 12

2.3 异方差模型 .................................................................................................. 13

2.3.1 ARCH模型 ....................................................................................... 13

2.3.2 GARCH模型 .................................................................................... 14

2.3.3 衍生的GARCH模型 ........................................................................ 14

2.4 极值理论 ..................................................................................................... 15

2.4.1 极值理论模型 ................................................................................... 15

2.4.2 参数的极大似然估计 ........................................................................ 17

3 基于Garch-EVT-Copula-CVaR的投资组合优化模型 .......................................... 18

4 实证分析 ................................................................................................................ 21

4.1 数据处理和检验 .......................................................................................... 21

4.1.1 数据处理 ........................................................................................... 21

4.1.2 数据检验 ........................................................................................... 23

4.2 标准化残差序列半参数化边缘分布 ........................................................... 28

- III -

基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

4.3 基于Mean-CVaR的投资组合优化 ............................................................. 32

4.3.1 Mean-CVaR投资组合的有效前沿 ................................................... 32

4.3.2 置信水平对Mean-CVaR投资组合的影响 ....................................... 34

5 总结与展望 ............................................................................................................ 35

参考文献 ................................................................................................................ 37

附录A 标准化残差自相关图和LM检验结果 ......................................................... 40

攻读硕士学位期间发表学术论文情况 ........................................................................ 41

致谢 ...................................................................................................................... 42

大连理工大学学位论文版权使用授权书 .................................................................... 43

- IV -

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1 绪论

1.1 研究背景和研究意义

2008年的次贷危机，给世界一记重锤，曾经被人们视为摇钱树的金融市场外表上看起来郁郁葱葱，实际上却隐藏着巨大的风险。全球的金融行业在这一次冲击中哀鸿遍野，几乎无一幸免。多少个曾经叱咤风云的金融巨头，在面对危机时毫无抵抗之力，一瞬间分崩离析、倒塌幻灭，让美国等欧洲国家在此后的十数年处在危机的余震之中。这一次的世界性的经济危机让人们深刻地意识到金融风险是维护经济稳定需要重点防范和控制的问题。

金融风险，广义地说是一切有关金融的风险，包括市场风险、产品风险和机构风险。狭义地说，一般是指在投资过程中，对于投资者而言，由于市场不确定的因素造成投资预期收益产生损失的可能性。当今，经济全球化已成为现实，金融一体化程度也逐渐加深。金融新产品层出不穷，交易往来也日益密切，金融资产之间相互影响，金融风险的依赖性和牵制性不断攀升。除了传统的金融机构之外，随着科技的迅猛发展，现在也吸引了各种各样的互联网金融机构的涌进。然而，对金融市场的监管力度远远赶不上金融市场的发展速度，由于监管机制的不到位，管理的松散，金融隐患日益积聚，给整个金融行业的稳定埋下了一颗定时炸弹。2018年，李克强总理在做政府工作报告时强调：虽然我国当前金融风险大体上处在可控范围之内，但仍要标本兼治，消除潜在的风险隐患。打击一些严重威胁金融市场安全的活动，如非法集资、金融诈骗等[1]。因此，进行风险控制，预测潜在的金融风险和危机，并有效地规避风险，是影响一国乃至整个世界的重要课题。

投资组合理论是规避金融市场风险的重要理论之一。很早就开始受到学术界以及金融投资界的重视。在Markowitz提出了著名的投资有效边界理论荣获诺贝尔经济学奖后，金融业正式开启了资产组合风险管理的新篇章，且在之后的一段时间内获得了很大的发展。然而Markowitz所提出的风险管理理论对计算量的要求极大；并且Markowitz的理论采用方差作为风险度量的实际应用可行性并不大。因此，围绕着改进Markowitz的投资组合优化理论的各种研究如雨后春笋般涌现而来。

为了弥补Markowitz理论的缺陷，人们考虑更加科学的风险度量，由于对大多数人而言，只有收益产生损失才算是风险，因此用方差来定义风险有失妥当。后人提出了VaR方法，可以同时衡量损失发生的可能性和程度。由于此度量具有科学性和实用性的特点，在提出之后得到了很快地推广。时至今日，已经被广泛地应用于银行等金融机构的金融- 1 -

基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

风险评估和资产定价之中，在此之后，又产生了基于VaR改进后的新的度量，如CVaR和CDaR等等。

在初期，出于简便化的考虑，对金融时间序列的假定大多为正态分布，然而，通过后人对各金融数据的分布形态的观察，发现金融时间序列的分布与正态分布相差甚远，且根据大量的数据归纳出一些共有的形态特征，即“尖峰”性和“厚尾”性，而且观察时序数据发现，波动的发生也存在着聚集的现象，大波动往往集聚在一起。因此根据这一现象，人们引入极值理论和波动理论来刻画时间序列分布。由于投资选择的多样化，需要进行联合分布建模，后人引入了一个新型工具——Copula函数，它能将多元问题转化成为了一元问题和Copula函数的选取问题，提出之后，在风险管理的领域得到了广泛的应用。

1.2 国内外研究综述

1.2.1 投资组合理论研究综述

常言道，“别把鸡蛋放在同一个篮子里”，风险规避的思想其实早就根深蒂固在人们的头脑之中了。

1952年，Markowitz发表了《证券组合选择》[2]，提出了均值-方差模型。在其理论下，投资者在进行决策时只关注投资组合会带来的收益和与此同时造成的风险；每个投资者都是理性投资者；同时投资者的资产是具有完全的流动性的。他用资产收益率的均值代表期望回报率，用收益率的方差定义资产组合的风险。经过二次规划计算出有效的投资组合集，并得出了关键性的结论：为了规避风险，我们要进行多样化的投资，尽量去投资一些相关性较弱的证券组合。“均值-方差”投资理论成为了现代投资组合理论的开山之作。此外，他还通过资产收益率的均值和方差，找出了相应的证券组合的有效边界。在此之后，投资组合理论不断发展、不断充实与改进，日益丰富。

尽管Markowitz的理论通俗易懂，比较容易为人所接受，但仍存在着一些缺陷。其一，Markowitz的理论将收益的波动定义为风险，但是在现实操作中，人们只会对损失比较敏感，并不会拒绝超额收益的产生；二，该理论是基于分布服从正态分布进行的，而后人发现用正态分布刻画收益率分布并不合适；三，该模型在求解时需要计算投资组合中各项资产的协方差矩阵，这是需要大量的历史数据来进行估计的。Markowitz本人后来也认识到其理论的相关漏洞，后期Markowitz（1959）[3]、Mao（1970）[4]也提出了均值-下半方差模型来进行补充。在Markowitz的理论出现之后，有很多新的研究进一步地发展或改进了他的理论。Sharpe针对于均值-方差模型计算复杂的问题，从计算方法的角度进行了改进。他于1963年提出了“单因子模型”，基于收益率仅与市场和随机两- 2 -

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个因素影响的假设，简化了原有的均值-方差模型，投资组合的估计值数量减少至3n+2[5]。同时，提出了一种“资产定价的均衡模型”（CAPM），主要讨论了市场均衡价格的形成[6]。Konn和Yamazaki[7]于1991年再次改进风险度量，引入了L1风险函数，即平均绝对误差来度量风险，通过等价变换，将此模型在离散条件下转化为一个线性规划问题。Bawa在1975年提出风险度量工具LPM[8]，后来，Harlow[9]则于1991年根据其理论构建了“均值-下偏位矩”模型。继VaR被提出后，学者们开始采用VaR进行投资组合优化。Gaivoronski和Pflug（1999）[10]将VaR融入到投资组合优化理论中，建立模型并求解。后来，由于Rockafellar和Uryav（2000） [11][12]讨论了一致风险度量标准，从而证明了VaR的缺陷，其并不能满足次可加性，同时探索出满足一致风险度量的CVaR投资组合优化模型。

我国对于资产投资组合的研究从20世纪九十年代开始逐渐开展起来。荣喜民等人（1998）[13]比较了均值-方差模型、均值-下半方差模型和均值-绝对离差模型，指出了后两种模型在改进模型的同时，牺牲了一定的信息，计算复杂性加大。因此定义了一个新的风险测度，建立了优化模型，该模型克服了正态分布假设，并且将各资产间的相关性纳入考量，计算量也有所降低，并通过实证分析说明了该优化模型的有效性。唐小我[14]（2003）针对Markowitz的均值-方差模型的理论和求解算法进行了深刻的研究，并总结汇编成书。汪贵浦等人（2001，2003）[15][16]针对均值-下偏位矩模型难于求解的问题，进行了一定的模型转化，从而将其转化为二次规划问题，使求解变得简易。张树斌等人（2004）[17]基于均值-方差模型，增添了交易成本，基于一个非对称收益分布的实际案例，对模型进行了灵敏性研究。温镇西和毕秋香（2006）[18]通过引进估计误差和机会成本的概念，对均值-方差模型和绝对离差模型进行了多方面的对比，总结了在不同情况下的两种模型的优劣势情况。郭文旌（2009）[19]引入了可以重点刻画时序序列非对称和杠杆特征的EGARCH模型来刻画单一资产分布，并利用Copula技术去描述资产间相关性。傅强（2011）[20]基于新息服从t分布的前提，构建了时变Copula-GARCH-t模型，同时验证了MCMC方法的有效性。何娟等人（2015）[21]基于供应链金融的实际背景，在“Mean-CVaR”的优化框架下，建立了在积极和保守两种态度下的投资优化模型，并且利用极值分布对各资产分布进行了拟合。林宇等人（2019）[22]采用MST选择出的R-vine Copula来刻画资产间相依性，并将Mean-VaR、Mean-CVaR和R-Mean-CVaR三者模型相比较，得出R-Mean-CVaR的有效前沿曲线更为优越的结论。

1.2.2 风险度量方法研究综述

1994年，J.P.摩根公司与一些合作机构构建了RiskMetrics信用风险管理系统，后来- 3 -

基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

逐渐成为主流的风险度量工具。虽然VaR是目前银行等金融机构应用最为广泛的一种风险度量方法，但其仍存在着很多局限性。Basak（2001）[23]提出用VaR度量风险会放大股市在下跌（和低产出）时的波动，并减弱在上涨时的波动。McKay（1996）[24]经过详细分析，提出传统的风险价值技术并不值得作为市场风险的衡量标准，指出了VaR的非凸性的问题。Artzner[25]在没有完全市场假设的背景下，分别讨论了市场风险和非市场风险的度量方法；提出并证明了风险度量的一组理想性质，并将满足这些性质的度量称为“一致的”。Rockafellar和Uryav在其文章中导出了CVaR的基本性质，肯定了CVaR作为一种比风险价值（VaR）更具优势的风险度量方法，能够量化风险价值之外的风险，而且它是一致的。Fredrik（2000）[26]通过Monte Carlo模拟产生一系列信用风险分布的随机数，采用线性规划的方法解决了原始的优化问题。这种CVaR进行线性规划的方法能够在合理的时间进行海量场景的处理，效率非常高。Topaloglou（2002）[27]分析比较了CVaR模型和MAD模型的性能。并利用历史市场数据对国际股票和债券指数组合模型进行了实证研究。尽管MAD和CVaR模型的事前风险-收益效率边界的投资组合几乎不分伯仲，但在某几个时间段，CVaR模型在较高的收益和较低的波动性方面获得了优异结果。Uryav（2000，2004）[28][29]对CVaR的优化方法进行了具体的阐述，并比较了CVaR和VaR。他还与Rockafellar（2002）一起对于损失函数服从一般分布的CVaR模型进行了探讨[30]。

在国内，牛昂（1997）[31]是最先引入VaR，并且详细阐述该指标的学者，他介绍了几种常用的VaR计算方法，进行了优劣性比较，并指出VaR对极端盈亏情况下的度量不够，且对于交易周期较长的金融业务，如资产负债管理，则没有足够的每日数据来进行分析。接着，郑文通（1997）[32]介绍了VaR的使用背景和计算方法，并阐述了中国引用VaR的社会意义。姚刚（1998） [33]、刘宇飞（1999）[34]、王春峰（2000）[35]等人的文章中相继探讨了VaR计算方法，并针对各方法的不足提出了改进方向。随着一致度量和CVaR的提出，我国也开始了对条件风险价值CVaR的研究。陈金龙等人（2002）[36]

第一次在其文中提出了VaR的修正方法CVaR，并将CVaR这一新概念与投资组合优化统一模型[37]结合了起来。王建华（2002）[38]、林辉（2003）[39]、曲圣宁（2005）[40]等人则说明了VaR在实际投资组合应用中的不足之处，并指出了CVaR的优势所在。田新民等人（2004）[41]详述了VaR和CVaR的概念，构建了无摩擦情形下的优化模型，从模型输入参数和约束方程的角度比较了Mean-CVaR和MV模型的复杂程度，并且对于[42]优化模型的其他实际应用场景的做出了拓展。吴忠（2009）则基于单参风险模型CDaR，[43]进行了社保基金投资管理。贺月月（2013）则采用最坏情况下的风险度量标准WCVaR构建模型，并利用遗传算法求解。

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1.3 本文的研究内容和框架

本文的主要研究内容是通过选取合适的风险度量，结合投资组合理论和相关的联合分布构建的方法，构建Mean-CVaR的投资组合优化模型，运用蒙特卡洛情景生成法求出最优投资权重，具体研究内容如下所示：

第一章是绪论，从现实情况的角度揭示了对于银行等金融机构进行投资组合优化的重要性，介绍了投资组合优化理论和相关风险度量方法的国内外研究现状。

第二章是与本文相关的理论研究综述。包含四个方面的内容：1、投资的风险度量方法，2、时间序列异方差模型，3、常见的连接分布的Copula函数，4、极值理论。

第三章是构建GARCH-EVT-Copula-CVaR投资组合优化模型。

第四章是基于我国股票市场的实证分析，选取了我国股票市场上的四支股票：招商银行、工商银行、贵州茅台和中国人寿，来进行股票市场的投资组合优化，建立了各支股票基于GARCH模型下的边缘分布，选用t-Copula函数连接，进行Mean-CVaR投资组合优化得出了四支股票的最优权重。

第五章是结论与展望。给出了通过本文研究后得到的四支股票的最优投资权重，指出了本文在分析过程中的不足之处，并且对本文尚未实现，有待完善的地方提出了展望。

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

2 相关理论研究综述

2.1 风险度量

风险度量的方法有很多，在这里我们主要讲两种重要且被广泛使用的方法。

2.1.1 基于VaR的风险度量

传统的风险度量采用的是方差，它只能衡量潜在的损失或收益的大小。然而，对于风险，我们不仅要考虑损失量的大小，也要考虑损失可能性的大小。为了综合考虑量和几率这两个方面，风险价值的概念被提出来。

VaR，亦被称为风险价值，是指在置信水平1-下，某一金融资产或其组合在接下来一定时期内的最大可能损失。

P(Xt>-VaRt)=1- (2.1)

其中，Xt资产为第t期的损益，它是一个随机变量，当Xt0时表示某项资产产生了收VaRt表示的是在置信益，Xt0时表示某项资产造成了损失，是给定的显著性水平，水平1-下，第t期的VaR值。

2.1.2 基于CVaR的风险度量

1、一致风险度量

Artzner[25]在1997年提出了一致风险度量的概念，他提出好的一致风险度量应满足以下几个条件，在这里我们用Z1,Z2来表示两个资产组合的随机收益,R(Z)表示相应的风险。

（1）单调性：对于Z1,Z2（2）次可加性：对于Z1,Z2（3）平移不变性：aR,Z（4）正齐次性：如果t0且Z对于上述四条性质的理解如下：

条件（1）意味着，如果资产组合Z2在任何情况下都比Z1优越，则它的产生风险也相对来说较小。

条件（2）则表示任意投资组合的总体风险不会大于他们各自的风险加和，这一条件，如果Z1Z2，则R(Z1)R(Z2) ；

，则R(Z1+Z2)R(Z1)+R(Z2)；

，则R(Z+a)=R(Z)−a；

，那么R(tZ)=tR(Z)。

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反映了用资产组合进行投资能分散风险的特点。

条件（3）意味着在已有的投资组合中再添加一定的现金，或者其他的无风险资产，那么投资组合的风险将相应地减少a。

条件（4）是指当投资组合资产组合的量纲发生变化时，如用不同的货币去度量时，其风险也会发生相同尺度的变化。

上述四个条件已成为现在投资组合研究领域判断风险度量优劣性的重要标准。其中，最为重要的一条就是条件（2），次可加性，这一条保证了投资的分散化决策的有效性，也是VaR的缺陷之一。

2、CVaR的定义

针对于VaR的不足之处，CVaR应运而生。CVaR囊括了VaR所具备的优点，且在很多方面较VaR有更好的性质，例如：CVaR满足次可加性和凸性等，这些性质在优化领域都有很好的应用。

CVaR的度量方式与VaR略有差异。是指在一定的置信水平下，在某一时期内，资产或其组合的总体损失超过VaR下的条件均值。CVaR的计算公式如下：

CVaRt=E[−Xt|−XtVaRt] (2.2)

令某项资产或者资产组合的概率密度函数为g(x)，则CVaR的计算公式如下：

CVaRt=E[−Xt|−XtVaRt]

=−E[Xt|Xt−VaRt] (2.3)

=−3、CVaR的优点

−VaRt−−VaRt−xg(x)dxg(x)dx.（1）专注于尾部风险，适应于金融时间序列数据。CVaR相比于VaR最突出的一点改进就是，CVaR考虑到金融时间序列的“尖峰厚尾”的基本特征，关注尾部概率发生的可能性，能够评估极端事件的可能性。

（2）次可加性更符合现实意义。次可加性反映了资产分散化投资能够分散风险的实际意义。

（3）凸性便于优化求解。VaR不满足凸性，这在优化求解时会产生多个极值点的情况，无法确定全局最优点，而CVaR的凸性可以解决这一问题。

（4）CVaR和VaR构成双保险。在计算CVaR的前提是先确定VaR，因此在CVaR的优化求解过程中，能获得VaR和CVaR两个度量，不仅可以防范当前风险，还可以预- 7 -

基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

测超过VaR部分的风险大小，起到了双保险的作用。

2.2 Copula函数

2.2.1 Copula函数理论

Copula理论的提出可以追溯到1959年，Sklar[44]指出对于一个任意的n维联合累计分布函数，都可以拆解为一系列的边缘分布和某个Copula函数。边缘分布刻画的是每个变量自身的分布，而Copula函数则是刻画这些变量之间的相关性的度量。Copula相当于起了一个中介的作用，它能将各变量的边缘累计分布函数与所有变量的联合累计分布函数连接起来，构成了从边缘分布到联合分布的一个巧妙的桥梁，是研究多元分布的一个重要方法之一。

2.2.2 Copula函数的定义及性质

Neln（2006）[45]提出，N元Copula函数是满足下述条件的函数：

（1）函数的定义域为IN；

（2）具有零基面，并且函数是N元递增的；

（3）对于n[1,N]，un[0,1]，其边缘分布满足：Cn(un)=C(1,...,1,un,1,...,1)=un。

Copula函数理论是通过Sklar定理来保证的：

定理（Sklar定理）令F是一个n维随机变量的联合累计分布函数，将各个变量的边缘累计分布函数记为Fi,1=1,...,n，存在一个n维的Copula函数C，使得：

F(x1,...,xn)=C(F1(x1),...,Fn(xn)) (2.4)

若每一个累计边缘分布Fi,i=1,...,n都连续，则C唯一确定。否则，C仅在各自的Fi值域内是唯一确定的。

根据Sklar定理，设ui=F(xi),u=(u1,...,un),i=1,...,n，则对于有连续的边缘分布的情况，Fi−1是对应Fi的逆函数，对于u[0,1]n，均有:

C(u)=FF1−1(u1),...,Fn−1(un)() (2.5)

SKlar定理传达的含义是：当需要探讨随机变量的联合分布时，可以采用一个中介，即Copula函数，将问题研究转向各随机变量的边缘分布和它们之间的相关性结构，这样就将原来比较复杂的问题化繁为简了。如式（2.6）所示，其中，i=1,...,n，Fi对应的- 8 -

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概率密度函数为fi。

f(x1,...,xn)=nF（x1,...,xn）x1...xnnC（u1,...,un）nnF（xi）i

=u1,...,unxii=1=c(u1,...,un)fi(xi).i=1n (2.6)

N元Copula函数拥有以下几条性质：

（1）对un[0,1],n[1,N],C(u1,...,uN)是非减的；

（2）C(u1,u2,...,0,...,un)=0,C(1,...,1,un,1,...,1)=un；

（3）un[0,1]，vn[0,1]，n[1,N]，有：C(u1,u2,...,uN)-C(v1,v2,...,vN)un−vn；

n=1N（4）C-CC+，其中C-是N元Copula函数的Frechet下界，C+是N元Copula函数的Frechet上界，且有：

NC(u1,...,uN)=max0，u−N+1n，

n=1−C+(u1,...,uN)=min(u1,...,uN)；

（5）如果对于变量un[0,1]，n[1,N]相互独立，那么C(u1,...,uN)=un。

n=1N2.2.3 Copula函数的种类

Copula函数的种类有很多，一般而言，大体上可以总结为两大类：1、椭圆型，2、Archimedean型[46]。

1、椭圆族Copula函数

（1）正态Copula

多元正态Copula分布函数如下：

其密度函数为：

c(u1,u2,...,uN;)=-1/2C(u1,...,uN;)=(−1(u1),−1(u2),...,−1(uN)) (2.7)

1exp−T(−1−1)

2(2.8)

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

其中，()代表标准正态分布函数，其逆函数为−1()，()是变量相关阵为的多元正态分布函数，=(1,...,N),i=−1(ui),i=1,...,N，I为单位阵。

（2）t-Copula

多元t-Copula分布函数如下：

C(u1,u2,,uN;p,v)=Tp,vtv−1(u1),Tv−1(u1)Tv−1(u2)(,tv−1(un)1) (2.9)

=−−−v+N2−1Tv(uN)v+N||−12−1(1+x'dxNNvv−(v)22其密度函数为：

c(u1,u2,...,uN;,v)=||−v+Nv22v+12NN−1−1(1+−1)vv+N2n=1(1+N2nv)v+12 (2.10)

其中，x=x1,...,xN,=1,...,N，代表变量之间的相关阵，且是对角线均为1的正定阵，Tv()是自由度为v的t分布，Tv−1()则是Tv()的伪逆函数，且i=Tv−1(ui)，i=1,...,N，Tv,p()是指在相关系数为、自由度为v下的多元t分布。

()()2、Archimedean Copula函数

在1986年，Genest等人[47]提出了一种新的Copula函数，定义为阿基米德函数，其形式如下：

C(u1,u2,...,uN)=−1((u1)+...+(uN)),0u1,u2,...,uN1 (2.11)

其中(u)被称之为阿基米德生成元，且有(1)=0。确定了阿基米德Copula函数的生成元，就唯一确定了一个阿基米德函数。由于它具有一些优良品质，如对称性、简易型和可结合性等，所以在日常的实际场景中，它的应用很广泛。

（1）N元 Gumbel Copula函数

Gumbel Copula对上尾变化比较敏感，一般用来刻画金融资产产生正收益时的风险，当市场呈现牛市的态势时，用Gumbel Copula来刻画资产间的相关性比较符合。生成元以及Copula函数的形式如下所示：

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(t)=(−lnt),1,)

NC(u1,u2,...,uN;)=exp−[(−lnun)]1/.

n=1(2.12)

(2.13)

（2）N元 Clayton Copula函数

Clayton Copula函数与Gumbel Copula相反，其刻画的是下尾风险，更适用于熊市的情形下。

(t)=(t1−−1),−1,),0 (2.14)

(2.15)

N−

C(u1,u2,...,uN;)=max(un−N+1)−1/,0.

n=1（3）N元 Frank Copula函数

Frank Copula是用来描述对称的相关结构的函数，它对上下尾的相关性都不是很敏感。

e−t−1(t)=−ln−,(−,),0

e−1N−un−11n=1eC(u1,u2,...,uN;)=−ln1+(e−−1)N−1(2.16)

(2.17)

().2.2.4 Copula函数的参数估计

某一联合密度函数为：

f(x1,x2,...,xn;)=c(u1,u2,...,un;c)fi(xi,i)

i=1n(2.18)

其中ui=Fi(xi,i),i=1,...,n,c(u1,u2,...,un;)=C(u1,u2,...,un)u1...un，i是Fi的待估参数，c是Copula密度函数的待估参数，=(1,...n;c)是我们需要去估计的所有待估参数。

常见的三种Copula函数的估计方法：极大似然法、边际推断函数法和半参法。设ttX=(x1,.xit.,xn)Tt=1,i=1,...,n代表1~T期的样本观测数据。

1、MLE法

MLE法估计Copula函数的未知参数是直接写出联合分布的对数似然函数表达式：

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t,n (2.19)

l()=lncF1x;1,F2x;2,...,Fnx;n;c+lnfixnt1t2tnt=1t=1i=1T(()()())Tn()然后对上式求极大值，得出相应的参数=(1,...,n;c)估计值。

2、IFM法

IFM法又称为分步估计，它是对Copula进行参数估计就是将估计分为两个阶段，首先通过极大似然方法估计边缘分布的未知参数，如下式所示：

ˆ=argmaxlnfxt;

iiiiit=1T()(2.20)

ˆ=ˆ,...,ˆ,代入到函数中，将极大似然估计得出的边缘分布的未知参数向量进而再估1n()计Copula函数中包含的未知参数c：

ˆ=argmaxlncFxt;ˆ,Fxt;ˆ,...,Fxt;ˆ;c111222nnnct=1T(()()()) (2.21)

通过两个阶段的估计，从而完成了对所有未知参数=(1,...,i;c)的参数估计。

3、CML估计

CML估计是一种半参数估计方法，它的基本思想是用非参数统计中的经验分布的方法来拟合边缘分布，先利用经验分布函数代替边缘分布函数，将样本数据转换为[0,1]内的均匀分布，再利用极大似然求解。

2.2.5 基于Copula函数的情景模拟

在金融投资领域，Copula函数普遍地出现在风险管理中。Copula函数能够描述资产变量之间的非线性的关系，刻画资产间的尾部相关性。但是由于Copula函数的复杂性，我们往往无法计算出VaR或CVaR具体的解析式，所以在通常的情况下，我们只能采用蒙特卡洛模拟的方法来帮助我们计算相应的VaR和CVaR的值。这里介绍Copula函数应用在风险管理领域，并用来求解VaR和CVaR的一般步骤：

步骤1：根据时间序列中的GARCH模型，选择合适的边缘分布，如构建GARCH(1,1)-ARMA-t模型拟合各资产收益率序列。

步骤2：通过概率积分变换让标准化残差序列变为服从均匀分布的序列，并求解ˆ=argmaxlncF(xt),...,F(xt);.

c11nnct=1T()(2.22)

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Copula函数中的未知参数。

步骤3：生成Copula函数的随机数。不同的Copula函数产生随机数的算法不同，这里以正态Copula为例，介绍其随机数生成法。先计算各变量之间的协方差矩阵，对对其实现Cholesky分解，设存在一个矩阵A，满足：=ATA，产生n个独立的随机变量：z1,...,zn，Z=(z1,...,zn)，且其服从于标准正态分布，并且记X=ATZ，ui=(xi),i=1,...,n，则得出了服从正态Copula的随机数，u1,...,un()CGS。

步骤4：将3中的随机数u1,...,un代入到GARCH模型的波动方程中，模拟得到下期的收益率，确定了各资产的投资权重后，即可得资产组合的收益率。

步骤5：将步骤4重复k次，就能够得到下期收益率的k种情景，根据该序列，设定好显著性水平，即可求得VaR值，进一步得出CVaR的值。

()2.3 异方差模型

金融时间序列观察值的预测和波动的建模是时间序列研究中重要组成部分，其中序列的波动直接与风险挂钩，因此对波动性的研究是量化投资方向的一个重要课题。波动建模的应用广泛，常被应用于进行期权定价、风险控制等金融投资活动中[48]。

2.3.1 ARCH模型

在投资领域，某些情况下，投资者并不需要在意所投资产在整个观察期的实际水平，他们更倾向于关心在其持有期内，资产的波动是否发生了显著的变化，是否发生了巨大的波动，他们是能从中获得大额的收益还是承担残酷的损失。而早期的研究中，对于收益率的模型假设都是方差不变的，也就是方差符合齐次性。显然，这不符合经济意义，也不能满足一些投资者的需求。尤其是对于股票市场的收益率这样的时间序列，它变动是持续变化的，波动造成影响会持续一段时间，在图形上呈现出在某个时期内波动很大，在其他时期波动又很小这样的波动的集聚性的现象，因此以往方差相同假定下的模型是不能很好地刻画具有“尖峰厚尾”、“波动丛集性”、“持久记忆性”等特点金融时间序列数据的[49]。美国财政经济学家恩格尔（Engle）在研究英国的通货膨胀现象时发现利用ARIMA模型很难得到好的拟合效果，于是他从残差序列入手，发现残差序列违反了方差齐次的条件，在不同观察期数的方差是变化的，因而根据这一研究结果，提出了违反基本假定中方差齐次性的ARCH模型，即自回归条件异方差模型[50]。主要表达式如下所示：

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xt=f(t,xt−1,xt−2,...)+t=ztttq2=w+a2tjt−jj=1 (2.23)

其中，f(t,xt−1,xt−2,...) 为第t期时间序列观测值xt的自回归模型部分，t是条件方差，。

t则为残差项，且zt~N（0，2）所以，自回归条件异方差模型就是一个研究时间序列的时变方差和以往的数据波动之间关系的模型，能够有效地描绘金融时间序列数据的“集聚性”的现象。

2.3.2 GARCH模型

ARCH模型中，如果q很大，则要估计很多的参数，则需要大量的样本来进行参数估计，然而现实中往往无法获得充足的数据样本，广义自回归条件异方差在ARCH模型原有形式的基础上，加上了t2的自回归部分，使得待估参数减少，对未来条件方差的预测更加准确[51]。因此ARCH模型经过改进后变成如下形式：

xt=f(t,xt−1,xt−2,...)+t=z.

tttpq22=w+b+a2tit−ijt−ji=1j=1iid(2.24)

2.3.3 衍生的GARCH模型

由于GARCH模型存在着约束上过于严格，且并没有对正负向的扰动加以区分的缺点，因此后来的统计学家们对此模型加以改进[52][53]。

1、EGARCH模型

该模型具体结构如下所示：

xt=f(t,xt−1,xt−2,...)+t=ztttpqln(2)=w+ln(2)+g(z)

tit−iiii=1j=1g(zt)=zt+[zt−Ezt] (2.25)

在这里，改进了GARCH模型的约束过于严格的缺陷；ln(t2)没有非负的相关约束，并且此模型引进了一个有关zt的函数，对正负向的扰动区分处理。

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2、IGARCH模型

已知，GARCH模型平稳时，有：

Var(t)=w1−(bi+ai)i=1i=1qpq (2.26)

GARCH模型的约束中要求bi+ai1，这样能确保上式有界。IGARCH模型的i=1i=1p特点则是将上述约束条件改为：bi+ai=1，此时Var(t)无界，它的无条件方差也没i=1i=1pq有意义了，其适用于去描述随机游走的条件异方差。

3、GARCH-M模型

一般地，风险越大，收益越大，即投资的资产收益率的波动性基本上是与其收益率匹配的。这是一种风险溢价的思想。后来，Engle[50]等科学家将此思想引入了异方差模型，认为收益率的均值不仅依赖于自回归项，还同时受波动项控制，从而创造了GARCH-M模型。其具体结果如下所示：

xt=f(t,xt−1,xt−2,...)+t+t=z.

tttpq2=w+b2+a2tit−ijt−ji=1j=1 (2.27)

2.4 极值理论

极值理论（Extreme Value Theory，EVT）主要研究的是发生十分罕见，但是一旦发生就会产生的深远影响的事件，如一些突发性的意外自然灾害：地震、海啸等。在历史上，人们留存下很多有关极端自然事件的资料，基于这些历史数据，能够预测出各种程度的自然灾害发生的可能性。目前极值理论也很多地应用于银行、保险和基金等领域，关注某些重大变动或设计产品的价格等。

2.4.1 极值理论模型

目前以下两种极值理论的模型较为成熟：

一是分布样本极大值模型，又称为BM模型，其模型应用的理论前提是一组独立同分布的样本的极值，是渐近地服从于广义极值分布（GEV）的，BM模型基于分组数据- 15 -

基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

的最大值，形成极值数据组，从而进行建模[54]。由于极值数据本身就少，此方法在分组过程中需要大量的样本数据，因此应用起来并不方便。

二是超门限极值理论模型，该方法仅对于超过某一特定阈值后的样本进行建模分析，重点研究厚尾分布的形态特性，在实践中比较实用且有效。因此，本文采用此模型进行分析[55]。

设X1,X2,...,Xn是一组服从独立同分布的随机变量，对应的分布函数为F(x)，记序列值的右端点为x0，该点可能是有限值，也可能是无限值。即：

x0=sup{x0R:F(x)1} (2.28)

设u是一个足够大的阈值，超过该阈值的样本数据个数为Nu，则超过某一阈值的超额数为y=Xi−u，则超额数y在一定条件下的分布函数为：

Fu(y)=P{X−uy|Xu}=P{X−uy,Xu}Xu

uXy+u=P{}XuF(y+u)−F(u)=1−F(u) (2.29)

则通过变换可以得到：

F(x)=[1−F(u)]Fu(y)+F(u) (2.30)

因为超过阈值部分的样本数据一般很少，所以对这部分的分布进行拟合比较困难，不过，利用极值理论思想可以有效地利用超过阈值后有限的样本观察值，帮助解决小样本下的估计问题。Balkema等人[56]证明了在有一个充分大的阈值的前提下，超阈值的分布会渐进地服从于一个两参数𝜉、𝛽的广义帕累托分布（GPD）如下所示：

y−1/1−(1+),0Fu(y)G，(y)=

1−exp(−y),=0(2.31)

其中，为形状参数，为尺度参数。则：

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F(x)=1−F(u)G,(x−u)+F(u) (2.32)

设Nu为样本数据中大于阈值的样本个数，则：

ˆ(u)=n−NuFn

(2.33)

将式（2.31）和（2.33）代回式（2.32），得：

x−u−1/ˆ(x)=1−NuF（1+）.

n(2.34)

2.4.2 参数的极大似然估计

上文已经明确了GPD分布的形式，接下来就需要对参数进行估计。广义帕累托分布的概率密度函数如下所示：

−1/−11y，01+

g,(y)=y1exp−，=0 (2.35)

则相应的对数似然函数形式如下：

n−nln−(1/+1)ln(1+yi/) ，0i=1

lnL(,)=n−nln−1/yi，=0i=1 (2.36)

ˆ。代回式（2.34），得

ˆ和上述对数似然函数求解得到和的估计值

x−uˆˆ(x)=1−NuF1+ˆnˆ−1/. (2.37)

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3 基于Garch-EVT-Copula-CVaR的投资组合优化模型

进行投资组合优化模型的构建主要有三个关键点：1、各收益率边缘分布的确定；2、联合分布的构建；3、合适的风险度量方法和优化模型。

首先，需要对尾部分布进行拟合，利用GARCH模型去模拟股票收益率序列的收益率波动变化。同时，本文将采用极值理论细致地刻画标准化残差序列分布。

其次，进一步去拟合各股票对数收益率标准化残差序列的联合分布。算出各支股票相应的累计分布函数，并且能够通过检验得到，它们是在[0,1]上的均匀分布，符合Copula函数的定义域范围。由于当维度多时不易直观观察四支股票的相依性，因此我们根据以往经验选取t-Copula来进行联合。

建立起Garch-t-Copula模型：

rnt=nt+nt;n=1,,N;t=1,,Tnt=ntznt222nt=wn+nnt−1+nnt−1

vnzntt−1t(vn)vn−2(z1t,z2t,,zNt)|t−1~C(Tv1t(z1t),,TvNt(zNt)|t−1) (3.1)

其中，n=1,...,N代表第n项资产，t=1,...,T代表第t期，nt为均值项，nt为残差项，zntiidN(0,1)，Tvnt()代表自由度为n的t分布，C()是n元t-copula函数，t−1代表t-1期及以前的历史信息。

最后，构建投资组合优化模型。本文采用风险规避型投资组合优化，构建Mean-CVaR投资优化模型。设CVaR()是一种风险度量方法，r0是期望收益，x=(x1,...,xn)T是权重向量，R=(r1,...,rn)T是收益率向量，xTR表示资产组合收益率，其中ri是第i个资产收益率，I=(1,...,1)T，E()代表资产组合收益率的期望，模型形式如下所示：

minCVaRxTR

()(3.2)

E(xTR)r0.

Ts.t.xI=1x0- 18 -

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直接去计算CVaR是非常困难的，尤其是当投资组合种类繁多时会涉及到计算高维积分的问题，参考Anderson[26]的文章，可将原问题转化成一个相对来说简单的等价问题，即将最小化CVaR转化为一个最小化一个特殊的函数F(x,)，则模型可以变形为：

minF(x,)

E(xTR)r0s..txTI=1x0 (3.3)

其中，

F(x,)=+11−yRn[f(x,y)−]+p(y)dy (3.4)

其中，[z]+=max{z,0}，y的密度函数为p(y)。将原目标函数转化为等价形式后，假设收益率分布的每一个取值都是来自于原分布的一个情景，即可再利用情景模拟的方法将其离散化，假设其有m种可能会出现的情形，则第j次情形发生时的取值为yj(j=1,2,...,m)，发生的概率为j，所以F(x,)可以近似成：

m1F(x,)=+j[f(x,yj)−]+

(1−)j=1(3.5)

一般常见损失函数都是线性函数，即f(x,y)=−xTy=−(x1y1+...+xnyn)。如果每次情景发生的概率相等，则i=

1，因此上式又可以转化为：

m(3.6)

mn1ˆ(x,)=+F[(−yijxi)−]+

m(1−)j=1i=1引入一个新变量dj，

dj=[(−yijxi)−]+

i=1n(3.7)

通过引入新变量，使原问题转化成了一个简单易于求解线性规划的问题，线性规划问题的具体形式如下所示：

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m1ˆ(x,)=+minFdjx,m(1−)j=1

xTE(yi)r0nd(−yx)−ijij

i=1s..tdj0nxi=1i=10xi1 (3.8)

注意到式（3.8）是一个线性规划问题，采用matlab软件包来实现优化过程。

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4 实证分析

本章将基于第三章的GARCH-EVT-Copula-CVaR模型进行投资组合优化的实证分析，将投资组合优化理论应用于我国的股票市场。这里选取了来自沪深两市的四只股票：招商银行、工商银行、贵州茅台和中国人寿从2015年1月5日到2019年12月31日期间的每日收盘价数据，剔除非交易日，共计1219个样本。数据来源于网易财经，下文程序均用matlab软件编写。

4.1 数据处理和检验

4.1.1 数据处理

计算收益率的方法有两种：简单收益率和对数收益率（几何收益率）。因为对数收益率有优于简单收益率的一些性质：可以实现价格上涨和下降的对称性；使数据变得更为平滑；方便计算区间收益率、复利等，因而对数收益率在实际的应用中更为广泛。本文用每日收盘价来计算对数收益率，第t期的对数收益率的计算公式为：

rt=lnpt−lnpt−1

其中rt表示某项资产的日收益率。pt表示第t期的资产收盘价。

在这里将收益率放大100倍进行下面的检验，从而使结果易于观察，且对我们的分析不产生影响。各股票的收益率的波动图如图4.1所示：

图4.1（a）招商银行的收益率波动图

Fig.4.1(a) return volatility chart of China Merchants Bank

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图4.1（b）工商银行的收益率波动图

Fig.4.1(b) return volatility chart of Industrial and Commercial Bank

图4.1（c）贵州茅台的收益率波动图

Fig.4.1(c) return volatility chart of Moutai

图4.1（d）中国人寿的收益率波动图

Fig.4.1(d) return volatility chart of China Life

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观察上述股票的基本形态，以招商银行的对数收益率（图4.1（a））为例，序列的波动在大部分的时段是平稳的，并且围绕着0值附近波动，大部分时期的波动范围位于-6和6之间。在某些时期波动会持续性地进行，且表现出集聚性的现象。如图所示在第100~200个观测值,也就是2015年6月~ 2015年10月期间有较大的波动，且波动会持续一段时间，表现为大的波动后跟大的波动，小波动后跟小波动这样的形态，因此我们可以看出经济现象的惯性或者滞后性使得金融时间序列的波动存在着高度的相关性，从而表现为“集群效应”这样的特征。在此期间，其他股票收益率波动图也具有类似特征，说明了各股票之间也存在一定的相关性。

4.1.2 数据检验

1、基本统计特征及正态分布检验

计算四支股票对数收益率的基本统计特征，并利用J-B检验来对各支股票进行正态性检验。得到的结果如表4.1所示：

表4.1 四种股票对数收益率的基本统计特征

Tab.4.1 The basic statistical characteristics of logarithmic returns of four stocks

招商银行工商银行贵州茅台中国人寿

均值

中位数

方差

最大值

最小值

偏度

峰度

J-B统计量

P值

0.0667

0.0000

3.4652

9.1404

-10.4403

0.0663

6.9605

796.9538

0.0000

0.0123

0.0000

2.3419

9.5310

-10.4282

-0.2089

11.4678

3647.7788

0.0000

0.1449

0.0242

4.1647

9.5310

-10.5361

0.1156

6.0774

483.3267

0.0000

0.0019

-0.0695

5.3316

9.5517

-10.5361

0.2381

6.6199

676.5184

0.0000

偏度是数据的三阶标准化矩，它能够反映出分布偏斜方向以及程度。从表4.1看出，招商银行、贵州茅台和中国人寿股票对数收益率分布呈现出一定的右偏趋势，偏度分别为0.0663，0.1156和0.2381，而工商银行呈现一定的左偏分布，偏度为-0.2089。峰度是标准化数据序列的四阶中心矩，直观上反映了概率密度曲线在其尾部的厚度。一般地，正态分布的峰度值为3，峰度值越大，说明数据中的极端数据越多，体现为概率密度分布的明显的厚尾性，四支股票的峰度都大于3，尖峰厚尾特性极为明显。综合考虑偏度和峰度特性，引入JB检验，该统计量在正态分布的零假设下，是渐近地服从自由度为- 23 -

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2的卡方分布的，而四支股票计算出来的JB统计量对应的P值近似为0，都显著地拒绝了正态分布的原假设。

为了更直观地感受四支股票的分布情况，我们做出四支股票各自对数收益率分布QQ图（Quantile Quantile Plot，分位数图示法）进行观察，以样本数据的分位数为y坐标轴，标准正态分布的分位数为x坐标轴，绘制散点图进行观察，如图4.2所示：

图4.2 四种股票对数收益率序列QQ图

Fig.4.2 QQ chart of four stock logarithm return ries

以招商银行股票对数收益率QQ图为例，图4.2中左上方图形中的虚线为参考线，如果数据服从标准正态分布，则数据应该落于该直线上或附近。然而，观察上图发现，虽然样本对数收益率在-3~2范围内时，图形中的散点基本和参考直线重合，但是在双尾处，收益率序列理论的正态分布分位数与实际的分位数有明显的偏差，可见用正态分布的尾部概率来描绘金融时间序列的分布是十分不恰当的，其他四只股票对数收益率的QQ图形亦是如此。因此结合以上两种判断数据正态性的方法，我们可以得出结论：四种对数收益率序列无一服从正态分布。因此我们不能简单地使用正态分布来拟合股票对数收益率序列的分布，应该注意双尾处的正态偏离现象，选择更合适的分布来进行拟合，否则计算CVaR得出的结果是不准确的和不合理的。

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2、平稳性和相关性检验

通过前面的分析，我们总结出收益率序列具有尖峰、厚尾和聚集性的特征。尖峰厚尾特征意味着我们不宜使用正态分布来拟合收益率分布，集群效应的则意味着在整个序列的观察范围内，序列的方差是非齐性的，在某些时段的方差不等于期望方差，因此适合引入时间序列理论中的条件异方差模型。在应用GARCH模型之前，先要检验各股票对数收益率序列各自的平稳性和相关性。

表4. 2 四支股票的单位根检验

Tab.4.2 Unit root test of four stocks

招商银行工商银行贵州茅台

-35.2686

0.0010

-35.0327

0.0010

-35.0978

0.0010

ADF统计量

P值

中国人寿

-34.7141

0.0010

数据平稳性检验的方法很多，如ADF检验法、PP检验等，这里采用ADF检验法。通过检验收益率序列中单位根的存在情况，来讨论其平稳性，采用matlab中的adftest检验，结果如表4.2所示。可以看出四支股票对数收益率序列的ADF单位根检验的P值都显著的小于0.05，即所有序列都不含单位根，是平稳序列。

进一步，验证序列的自相关性，作出自相关图来观察各股票对数收益率序列的自相关性，计算滞后20阶以内的自相关系数如图4.3所示。

- 25 -

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图4.3 四种股票对数收益率序列自相关图

Fig.4.3 Autocorrelation graph of log return ries of four stocks

由图4.3，可以看出四支股票的对数收益率序列的自相关系数大都落入到二倍标准差范围内，即相关性不明显，因此我们可以认为序列是不存在自相关性的，在后续的GARCH模型的均值方程中不需要加上自相关的描述部分。

3、ARCH效应检验

根据前面的分析，即可得出各支股票对数收益率序列是平稳的、不相关的，因此均值方程不需要描述自相关性的项，即有rt=t+t，并且根据四只股票对数收益率序列的时序图，初步判断序列可能存在异方差的特征。为了进一步证明此猜想，接下来观察对数收益率平方序列的自相关图，并进行LM检验，判断序列是否存在着随着时间的推移发生变化的时变方差。

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大连理工大学专业学位硕士学位论文

图4.4 对数收益率平方序列自相关图

Fig.4.4 Autocorrelation graph of square ries of logarithmic yield

进一步，通过LM检验法来判断，结果如表4.3所示：

表4.3 ARCH-LM检验

F-统计量

P值

Tab.4.3 ARCH-LM test

招商银行工商银行

3.1435

0.008

3.7503

0.0023

贵州茅台

2.8246

0.0238

中国人寿

3.3366

0.0029

由图4.4可以看出各平方序列都有或多或少的相关性；由表4.3看出，在0.05的显著性水平下，四支股票均拒绝了“残差平方序列纯随机”的原假设，即可认为存在ARCH效应，可以进行GARCH模型建模。

上文中已经通过序列的自相关检验发现四支股票对数收益率序列不存在自相关，因此建立GARCH模型时不含自相关的均值项，这里采用代表性的GARCH(1,1)-t模型进行拟合。同时，为了验证模型拟合的优劣，对GARCH-t模型生成的标准化残差序列进行概率积分变换，如果边缘分布拟合良好，则变换后的序列应当服从0~1间的均匀分布，这里采用K-S检验。结果如表4.4所示。

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

表4.4 GARCH(1,1)-t模型参数估计结果

Tab.4.4 Parameter estimation results of GARCH (1,1)-t model

𝜇

𝜔

𝛼

𝛽

𝑘

K-S概率值

招商银行

0.0667

0.0161

0.0553

0.9442

4.3252

0.1347

工商银行

0.0123

0.0411

0.1305

0.8695

3.4966

0.1796

贵州茅台

0.1449

0.0748

0.0631

0.9223

4.8511

0.1253

中国人寿

0.0019

0.1216

0.1039

0.8807

4.2989

0.1864

观察表4.4，四支股票的K-S概率值都大于0.05，即可认为变换后的序列服从均匀分布。观察此刻标准化残差平方序列的自相关图（附录图1）并进行LM检验（附录表1），认为已经不存在异方差性，可以说，GARCH(1,1)-t模型成功地提取了序列的波动信息，很好地拟合了边缘分布。

4.2 标准化残差序列半参数化边缘分布

上文中通过图形和检验法，得出金融时间序列的分布具有一定的“尖峰”、“厚尾”特征，本节将基于极值理论进行边缘分布的拟合。由于极值理论的前提条件是序列是独立同分布的，因此做出标准化残差序列的自相关图如图4.5所示：

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大连理工大学专业学位硕士学位论文

图4.5 对数收益率标准化残差序列自相关图

Fig.4.5 Autocorrelation chart of standardized residual ries of logarithmic yield

四支股票对数收益率的标准化残差序列的各阶自相关函数值大多落入到两倍标准差的范围内，因此不能认为显著地偏离0，即认为各股票对数收益率的标准化残差序列不存在自相关性，序列是服从独立同分布的，可以进行极值分布建模。

极值分布拟合的第一步需要选择恰当的阈值，再进行分布中其他参数的估计。阈值不能过小，否则影响超额分布的收敛性；亦不能过大，导致超过阈值的样本量很少。根据以往的经验，这里选取10%上分位点为上尾阈值，90%上分位点为下尾阈值，得出四支股票的上尾阈值2.4527、1.4475、2.3466和2.5912，下尾阈值分别为-2.2154、-1.5012、-2.2614和-2.3442。然后采用极大似然法用matlab编程，求出GPD分布的参数估计结果，如表4.5所示：

表4.5 四支股票标准化残差序列的GPD参数估计

Tab.4.5 GPD parameter estimation of standardized residual ries

𝑢𝐿

𝜉𝐿

𝛽𝐿

𝑢𝑅

𝜉𝑅

𝛽𝑅

招商银行

2.4527

0.0568

1.2926

-2.2154

-0.2600

3.2490

工商银行

1.4475

0.1221

1.1605

-1.5012

-0.1697

2.0660

贵州茅台

2.3466

-0.0883

1.6795

-2.2614

-0.2620

3.2420

中国人寿

2.5912

0.1221

1.5788

-2.3442

-0.2364

3.3857

为了验证极值分布的拟合效果，分别取上尾和下尾内的数据根据上表中的参数估计结果绘制分布图，并与原始数据的经验分布比较，做出图4.6-4.7[57]。

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

图4.6 上尾样本数据GPD分布和核密度经验累积分布拟合效果

Fig.4.6 Fitting effect of GPD distribution and empirical cumulative distribution of nuclear density of

upper tail sample data

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大连理工大学专业学位硕士学位论文

图4.7 下尾样本数据GPD分布和核密度经验累积分布拟合效果

Fig.4.7 Fitting effect of GPD distribution and empirical cumulative distribution of nuclear density of

lower tail sample data

观察上述图形，实线是上下尾部分的经验分布，虚线是拟合的GPD分布，整体看来，GPD分布拟合效果良好。

进一步，将上下尾分布合并在一个图形中，对于上下尾中间的样本数据采用核密度估计来拟合，如图4.8所示，散点代表拟合GPD上下尾累积分布，实线部分代表核密度估计得到的经验累积分布。

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

图4.8 各股票标准化残差序列边缘分布的拟合效果

Fig.4.8 Fitting effect of marginal distribution of standardized residual ries

观察上图，发现GPD分布对尾部分布的拟合效果很好。整体而言，各股票对数收益率标准化残差序列的边缘分布拟合取得了较优秀的效果。

4.3 基于Mean-CVaR的投资组合优化

在前两节中，观察了金融时间序列的图像特征并进行了相关检验，对于各股票进行了极值分布刻画，并根据“集聚性”的特征构建了条件异方差模型。本小节将根据上文中的边缘分布建模结果，进一步进行联合分布的构造，通过蒙特卡洛模拟法，实现Mean-CVaR的投资组合优化。

4.3.1 Mean-CVaR投资组合的有效前沿

上文已经构建边缘分布相关模型，然而，在实际的投资情景中，我们的“投资篮子”中的股票数量会有多种，因此需要探索“投资篮子”的联合分布率。在这里，本文引进一个连接边缘分布和联合分布的工具：Copula函数，根据以往的经验，采用t-Copula函数进行拟合。表4.6是t-Copula的拟合结果。

表4.6 t-Copula参数估计结果

Tab.4.6 t-Copula parameter estimation results

招商银行工商银行贵州茅台

t-Copula(k=8.8494)

招商银行

工商银行

贵州茅台

中国人寿

0.6481

0.3231

0.4914

0.6481

0.2227

0.4332

0.3231

0.2227

0.3047

中国人寿

0.4914

0.4332

0.3047

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大连理工大学专业学位硕士学位论文

应用GARCH-Copula-Mean-CVaR模型，并采用蒙特卡洛模拟法，模拟10000期收益率数据，给定置信水平为95%，得出期望收益率在一定范围内时VaR和CVaR的取值，如表4.7所示：

表4.7 不同期望收益率下的VaR和CVaR

Tab.4.7 VaR and CVaR under different expected returns

VaR CVaR ER(10−2) VaR

1.7928

1.7936

1.8107

1.8359

1.8533

1.8838

1.9181

1.9679

2.6259

2.6266

2.6380

2.6593

2.6911

2.7317

2.7833

2.8437

0.8621

0.9483

1.0345

1.1207

1.2069

1.2931

1.3793

1.4655

1.5517

2.0410

2.0788

2.1519

2.1989

2.2767

2.3305

2.4001

2.6856

3.3568

ER(10−2)

0.0862

0.1724

0.2586

0.3448

0.4310

0.5172

0.6034

0.6897

0.7759

CVaR

2.9113

2.9852

3.0659

3.1543

3.2487

3.3523

3.4888

3.9132

4.9216

根据上表数据，绘制有效前沿如图4.9所示：

图4.9 各股票对数收益率有效前沿

Fig.4.9 Effective frontier of logarithm yield of each stock

可以看出给定置信水平时，随着期望收益率的升高，投资组合的VaR和CVaR同时上升，风险和收益是无法分割的；在同等的期望收益率和置信水平下，由Mean-CVaR得出的最优投资组合总有CVaR>VaR；期望收益越高，边际风险在上升，观察在收益率高于0.014后，风险有明显的攀升，每上升一单位的收益，所承受的风险愈加大。

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

4.3.2 置信水平对Mean-CVaR投资组合的影响

均值-方差模型在给定股票投资组合的前提下，只能得出一种投资组合方案，而Mean-CVaR则不一样，Mean-CVaR模型下的有效前沿是随着置信水平的改变而移动的。这里选取几种常见的水平，90%、95%、99%，观察相应的变化情况，如图4.10所示。

图4.10 不同置信水平下对数收益率有效前沿

Fig.4.10 Effective frontier of logarithm yield under different confidence levels

可以看出：随着置信水平的提升，有效前沿曲线会向右移动，即置信水平上升，资产组合所达到的期望收益率在下降。这是由于置信水平的上升，出现“坏情景”的可能性越小，风险也愈小，从而收益也有所降低。进一步，给定期望收益率为0.01，即可得到不同置信水平下最优投资权重的情况，如表4.8所示：

表4.8 不同置信水平下的最优投资权重

Tab.4.8 Optimal investment weight under different confidence levels

招商银行

工商银行

贵州茅台

中国人寿

99%

0.603

0.1452

0.1734

0.0784

95%

0.5841

0.1656

0.1512

0.0991

90%

0.6106

0.1784

0.1297

0.0813

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5 总结与展望

风险度量方法的研究和应用已经十分广泛和普及。本文基于常见的风险度量方法，采用时间序列中的GARCH模型和连接边缘分布的Copula函数，将风险度量CVaR引入到投资组合优化的决策之中，进行了Mean-CVaR模型的构建和求解，得出了此模型下的最优投资权重。本文所做工作如下：

第一，利用VaR和CVaR对投资决策进行双项监管。投资组合优化的过程中，优秀的风险度量方法在进行投资组合权重的求解中功不可没，采用不同的风险度量工具会求解出不同的投资权重。在这些投资组合优化模型之中，均值-方差模型是最为基础的模型，随着VaR的出现，风险度量更符合现实情境；CVaR的补充，更能衡量超额风险的部分。而基于以上方法结合而成的Mean-CVaR模型，能够同时得到CVaR和VaR两个值，可以对风险进行双项监管。

第二，极值理论刻画超阈值分布。本文对样本股票收益率的分布进行了探索，通过观察时序图，看出序列的波动集聚的特征；进行正态性检验，得出收益率分布有一定的左偏或右偏趋势，且呈现金融时间序列普遍具有的“尖峰厚尾”的特征。这表明我们无法用正态分布去拟合股票收益率序列，从而采用均值-方差模型是不合理的。在此前提下，采用了极值理论的模型对分布的尾部进行建模，中间部分则利用核密度经验分布建模，刻画出标准化残差序列的分布情况，拟合效果良好。

第三，Mean-CVaR模型求解最优权重。Mean-CVaR模型可以通过一定的变换，将其离散化、线性化，变为一个线性规划问题，求解出最优权重；并且可以基于不同置信水平下的选择，让具有不同风险倾向的投资者都能够选择到合适的模型。本文从上深两市中选取了四支股票，并构建了Mean-CVaR投资组合优化模型。根据四支股票的相依情况，选取合适的Copula连接函数，并基于Mean-VaR优化模型进行了求解，求出了各资产的最优投资权重，并得出了投资组合对应的CVaR有效前沿，总结了风险和收益的关系；另外探讨了不同置信水平下的有效前沿情形。

股票市场的震荡对于国民经济会造成很大的影响与冲击，很可能会给一部分人带来巨大的损失。对于金融市场的维稳问题，宏观上，主要是受国家政策方针和自身的经济状况的影响；微观上看，投资者的行为才算风险最根本的源头，因此投资者如何将自己的资产进行合理地投资显得至关重要。这一问题也是近几十年来学者们一直致力于研究的内容。本文在微观投资者的角度，提供了一种理论上的投资组合的分配方案，在一定程度上是可以分散投资者的投资风险，进而缓解金融市场的大幅度振动的情况。不过限于笔者的水平，本文仍存在一些学术或实践上的不足的问题需要进一步地改进与解决。

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

1、本文在进行极值分布中阈值u的确定时，是采用样本的上10%和90%的分位数来定义的，虽然在实证中显示极值分布的拟合效果良好，阈值选取较有效，但是是否有更具科学性和合理性的方法来帮助阈值的确定，仍值得进一步探讨。

2、本文采用t-Copula去衡量变量之间的相关关系，而传统的n维Copula函数可能会忽略资产变量的维数以及尾部相关性的影响，pair Copula模型在这些方面有一定的优势，更具灵活性和优越性。后续可以采用pair Copula针对变量相依关系进行进一步研究。

3、本文的投资组合优化模型中并未设置过多的限制条件。事实上，交易成本、单一证券的投资占整个投资组合的比例，最小交易规模等在实际投资过程中都是需要加以考量的因素。如何将理论模型设置得更加贴合实际，是今后研究需要努力的方向。

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大连理工大学专业学位硕士学位论文

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

附录A 标准化残差自相关图和LM检验结果

图1 标准化残差的自相关图

Fig.1 Autocorrelation graph of standardized residuals

表1 ARCH-LM检验

Tab.1 ARCH-LM test

F-统计量

P值

招商银行

0.1445

0.9817

工商银行

0.1668

0.9747

贵州茅台

1.1580

0.3279

中国人寿

0.2159

0.9558

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大连理工大学专业学位硕士学位论文

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

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基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

致谢

一晃之间，研究生生活即将结束，两年的时光如白驹过隙，还清楚地记得踏进大工校园时的憧憬。回顾近两年来的学习生活，感慨良多，收获很多，感谢这一路来关心和支持我的人。

首先感谢我的导师，刘永朝老师，刘老师是一位学识渊博，治学严谨的老师。他时常教导我们，要潜心学习，把握时间，努力涉猎各方面知识，无论今后是升学还是就业，这都是宝贵的财富；刘老师也常带领我们开展讨论班，一起交流学习机器学习，带我们了解优化方面的知识；在课外，刘老师关心我们的学习工作和生活，他不仅是一名良师，也像一个朋友一样，时常和我们一起谈笑风生。

其次，感谢数学科学学院的老师们为我们呈现了很多优质的课程，让我对专业知识有了更多思考，努力理解理论背后的实际背景，更加注重理论与实践相结合；感谢同门师兄师妹的学习交流，在讨论班的课程中收获了丰富的知识，也锻炼了自己的表达能力；感谢室友们的陪伴，感谢你们在生活和学习中的关心和鼓励，因为有你们，短暂且忙碌的研究生生活才因此变得多姿多彩起来。

最后，我要感谢我的父母，感谢父母一直以来默默无闻地奉献，从小到大的栽培和无微不至的关心照顾，正是因为他们一直站在我的身后，我的每一步才愈加坚定！

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大连理工大学专业学位硕士学位论文

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学位论文题目：基于风险度量CVaR的股票市场投资组合优化

作者签名：日期： 2020 年 6 月 3 日

导师签名：日期： 2020 年 6 月 3 日