第2章 单自由度系统的受迫振动题解

2023年12月18日发(作者：巨蟹座男生的性格)

习 题

2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s，相邻两振幅的比值Ai4.2，若质量块受激振力F(t)360cos3tN的作用，求系统的稳态响应。

Ai11解：由题意，可求出系统的运动微分方程为

2pnxx2nx360cos3t

m得到稳态解

其中

xBcos(3t)

BB0(12)2422tgB03600.45m

k

2n2

2pn212Ai4.2enTd

Ai1

2πpd3.489Td2pnn2

由

lnnTd

Td1.8lnn0.797Td又

有

pd22pnpdn2pn3.579



pn30.8383.579n0.7970.223pn3.5790.45(10.838)240.22320.838220.2230.8380.3741.25520.29810.8380.451.103

0.408Btg51.45所以

x＝1.103 cos(3t－5127)

AAAAAA

2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率1

=6rad/s时，系统发生共振；给质量块增加1 kg的质量后重新试验，测得共振频率2

=5.86rad/s，试求系统原来的质量及弹簧刚度。

解：设原系统的质量为m，弹簧常数为k

由

pnk，共振时pn1mk 所以

6mk

m ①

又由 当

pn2k5.86 ②

m1①与②联立解出 m＝20.69 kg，k＝744.84 N/m

2-3总质量为W的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st，转子重Q，重心偏离轴线e，梁重及阻尼可以不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。

解：列出平衡方程可得：

Wk(stx)Q2Wwesinwtxgg

WQxkxw2esin(wt)ggkgQxxw2esin(wt)WWPnkgWW所以：， 又因为Wkst即k

stQhw2eW将结果代入BQw2estB=W(gw2st)即为所求的振幅

hPn2W22得：

2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力F(t)F0sint，弹簧支承端有运动xsacost，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。

AAAAAA

题2-4图

解：选xs0时物块平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，如右图，

则

mxk(xxs)p(t) 即

mxkxkxsp(t)

即

mxkxkacoswtp0sinwt （*）p0改成F0，下面也都一样

利用复数求解 ， 用

ejwt代换sinwt 并设方程（*）的特解为

x(t)Bejwt 代入方程（*）得Bp0jkaBej

2kmw其中B为振幅，为响应与激励之间的相位差，有

22p02k2a2p0ka=BB222222kmwkmwmpnwp02pn4a22m422pn1p02a242pnm122

112p022。

a2kka2kakakmw

tg

arctg

p0p0p0kmw21

x(t)Bsinwt12其中

p02ka2asinwtarctg

2kp0wk

,pnpnm2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力F0sint，求质量块的振幅。

解：设弹簧1，2的伸长分别为x1和x2，则有，

xx1x2 （A）

由图（1）和图（2）的受力分析，得到

AAAAAA

题2-5图

k1x1k2x2P0sint （B）

k2x2 （C）

mxx联立解得，mk1k2k2xP0sint

k1k2k1k2xk1k2k2xP0sint

(k1k2)m(k1k2)m所以pnk1k2，n = 0，得，

m(k1k2)Bh(p)(2n)2n222Hk1(1)(2)222P0k111(pn

)2

2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB的质量忽略不计，B端作用有激振力F0sint，写出系统运动微分方程，并求下列情况中质量m作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2)等于固有频率pn的一半。

解：图（1）为系统的静平衡位置，以为系统的广义坐标，画受力如图（2）

题2-6图

XA

A

YA

F0sint



mg

FC

B

FK

2lc(2l)3lk(3l)3lFsint

I04ck3Fsint 又 I＝ml2

0mmml则

AAAAAA

29kpnm2n4c,mh3F0ml

Bh2(pn2)2(2n)2BlB1）系统共振，即

pn

hl2(pn2)2(2n)2

B(3F0/ml)lF0hl2npn4c4c9kmmm

k2）1pn

2hl322pn(npn)42

B3F0lml4c9k27k2mm4m224F09k1164c81mk2

2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率pn、阻尼比及稳态响应振幅。

题2-7图

解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理

k(lxs)lcl2

4l2m即

ckkasint

4m4ml令，pnknccka，2n，，h，得到

4mpn8mpnpn4m4mlAAAAAA

Bka2l4ml2pn(1h(p)(2n)2a2n222

BB2l22)(22pnn2)pnpn(1)(2)222

2-8一机器质量为450kg，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm。机器有一偏心重，产生偏心激振力F02.2542gN，其中是激励频率，g是重力加速度。求(1)在机器转速为1200 r/min时传入地基的力；(2)机器的振幅。

解：设系统在平衡位置有位移x，

则mxkxF0，即xFmgk （1）

x0，又有mgkst 则kstmmF02所以机器的振幅为B （2） 且，40rad（3）

2spnk1又有pn2kg（4） 将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅B=0.584 mm

mst则传入地基的力为pTkB514.7N

2-9一个粘性阻尼系统在激振力F(t)F0sint作用下的强迫振动力为x(t)Bsint，已π6知F0=19.6N，B =5 cm ，20πrad/s，求最初1秒及1/4秒内，激振力作的功W1及W2。

解：由已知可得：FtF0sin20t

AAAAAA

ππtBcostxπcos20πt66W11Ftxtdt01π19.6sin20πtπcos20πtdt60cos40πt13|04.9π1cos80πtdt4001

4.915.39J同理可得：

140W2Ftxtdt0π19.6sin20πtπcos20πtdt

600.0395J

140(0)0，求系统响应。 2-10无阻尼系统受题2-10图示的外力作用，已知x(0)x周期函数才用频谱分析！

解：由图得激振力方程为

0tt1P1F(t)P1t1tt2

0tt2题2-10图

当 0 < t < t1时，F()P1，则有

x(t)2由于pnP1Psinpn(t)d12[1cospnt]

0mpmpnntk，所以有

mx(t)P1[1cospnt]

kAAAAAA

当t1 < t < t2时，F()P1，则有

x(t)t1tPP11sinpn(t)dsinpn(t)d

t1mpmpnn0

P1P[cospn(t1t)cospnt]1[1cospn(t1t)]

kk当 t < t2时，F()0，则有

x(t)t1tPP11sinpn(t)dsinpn(t)d+ 0

t1mpnmpn0



P1P[cospn(t1t)cospnt]1[cospn(t2t)cospn(t1t)]

kk(0)0，求质量m的2-11如题2-11图的系统，基础有阶跃加速度bu（t），初始条件为x(0)x相对位移。

解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为

c(xxs)k(xxs)

mxrcxrkxrmbu(t)

x令xr(xxs)，则有

m得到系统的激振力为，F()mbu()，可得响应为

题2-11图

xr(t)mbn(t)esinpd(t)d0mpdtpdbntnnnte[2esinp(t)ecosp(t)]dd0

222pdnpdnPd其中pd

bnentnt2(1sinptecospdt)d2pdnpdkc22pnn2，pn，2n。

mm2-12上题系统中，若基础有阶跃位移au(t)，求零初始条件下的绝对位移。

解：由上题可得系统的微分方程为

AAAAAA

mxkxsxcxsx

即

mxcxkxkxscxs

基础有阶跃位移为aut 故xs=0

xs=aut

mxcxkxkaut

得到系统的激振力为，F()kau()，可得响应为

tFntkau()n(t)esinpd(t)d

xtesinpdtdt0mpmpdd0tkantnneempdn2pd2pdpd1sinptcosptdd

n2entn2npntpna1esinpdtcospdt

pd其中pd

22pnn2，pnkc，2n。

mm2-13 求零初始条件的无阻尼系统对题2-13图示激振力的响应。

解：由图得激振力方程为

tP(1)0tF(t)100tt1tt1

题2-13图

当 0 < t < t1时，F()P0(1tt1)，则有

x(t)P1t1P0(1)sinpn(t)d0[1cospntsinpnt]

0mpt1kt1pnt1n当t 》 t1时，F()0，则有

AAAAAA

x(t)t101P0(1)sinpn(t)d0mpnt1P10{cospnt[sinpntsinpn(tt1)]}kpnt1

2-14 零初始条件的无阻尼系统受题2-14图的外力作用，求系统响应。

解：由图得激振力方程为

P0F(t)P00运动微分方程为

tt1t2tt2t10tt1t1tt2

tt2题2-14图

mxkxFt

当0tt1时，FtF0t

t1txtt0FsinpntdmpnF0sinpntd0mptn1F110(cospn(t)|t0mpnt1pnpnF0tF0tcospn(t)d0kt1kt1F0tF01sinpn(t)|t0kt1kt1pnF0tF0sinpntkt1kt1pnF0tsinpntkt1pnt1cosp(t)d)0nt

AAAAAA

当t1tt2时，FtF0tFt02 算法同上，所以有

t1t2t2t1xt10tFsinpntd0mpnttF0F0t21F0sinpntdsinpntdt1mpmpnt1t2t1nt1t2

F0kt2tsinpntt2sinpntt1

ttptptttn1n12121

当tt2时，Ft0

xtt10t2FF0t2t0sinpntdsinpntd+0

t1mpmpnt1ttttn1221F0ksinpntt2sinpntt1sinpntt2

pnt1t2t1pnt2t1pnt1

系统响应为

Ftsinptn0,0tt1pnt1kt1Fttsinpntt2sinpntt1

xt02,t1tt2pnt1pnt1t2t1kt2t1F0sinpntt2sinpntt1sinpntt2,tt2kpnt1ptttpttn121n21

2-15 零初始条件的无阻尼系统受题2-15图的半正弦脉冲作用，若πpn，求系统响应。

t1

解：由图得激振力方程为

P0sintF(t)00tt1tt2

题2-15图

当 0 < t < t1时，F()P0sint，则有

AAAAAA

x(t)P0Psintsinpn(t)d00mpknt11(pn(sint)2pnsinpnt)

当 t > t1时，F()0，则有

x(t)t10P0Psintsinpn(t)d00mpnkpn1(pn)2[sinpn(t1t)sinpnt]

12-16求无阻尼系统对题2-16图的抛物型外力F(t)F0t2的响应，已知x(0)2t1(0)0。

x解：由图得激振力方程为

t2P0P02F(t)t100tt1tt1

当 0 < t < t1时，F()P0P0t2t21，则有

题2-16图

P0P022t2x(t)[12]sinpn(t)d[(122)(1cospnt)2]

0mpkt1pnt1t1n当 t < t2时，F()0，则有

x(t)t10P02[12]sinpn(t)d0

mpnt1P022{22[cospn(tt1)cospnt]sinpn(tt1)cospnt}

kpnt1pnt1



2-17无阻尼系统的支承运动加速度如题2-17图所示，求零初始条件下系统的相对位移。

解：系统运动的微分方程为

k(xxs)

mx令xrxxs，则

AAAAAA

题2-17图

rkxrms

mxx由图得支承运动加速度方程为

tbst1xbsmbx当 0 < t < t1时，F()mt0tt1tt1

t1，则有

xr(t)mbbtsinpntsinpn(t)d2()

0mppnt1pnt1nt1当 t > t1时，F()0，则有

xr(t)

2-18 求零初始条件的无阻尼系统对题2-18图所示支承运动的响应。

t10tmbmbsinpn(t)dsinpn(t)d

t1mpnt1mpnsinpn(tt1)sinpntb[1]

2ptpnn1解：系统运动的微分方程为

k(xxs)

mxkxkxs

mx由图得支承运动方程为

ta(aa)112t1xs00tt1tt1

题2-18图

当 0 < t < t1时，F()kxska1k(a1a2)tt1，则有

x(t)sinpntka1k(a1a2)aa2sinpn(t)da1(1cospnt)1(t)

0mpnt1t1pn当 t < t1时，F()0，则有

AAAAAA

x(t)t10ka1k(a1a2)sinpn(t)d0mpnt1aa2a1cospnt1[sinpntsinpn(tt1)]a2cospn(tt1)pnt

2-19 题2-19图为一车辆的力学模型，已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k及车的水平行驶速度v，道路前方有一隆起的曲形地面∶ysa1cos(1) 求车通过曲形地面时的振动；

(2) 求车通过曲形地面后的振动。

题2-19图

2πx。

lk(yys)

y解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，m由曲形地面∶ysa1cos2kykys

yx，得到

mlxvt

2F()ka(1cosvt)l得到系统的激振力为，F()ka(1cos2x)。

l（1）车通过曲形地面时0tt1的振动为

y(t)t0F()sinpn(t)dmpntkat[sinpn(t)dcossinpn(t)d]0mpn0a(1cospnt)

AAAAAA

apn{sinpnt[sin(pn)tsin(pn)tcos(pn)tcos(pn)tp]cospnt[2n2]2(pn)2(pn)2(pn)2(pn)pnpncostpncospnta22]a(cosptpcost)

nn222222(pn)(pn)pna(1cospnt)apn[（2）车通过曲形地面后的振动

(t1)作自由振动，即 车通过曲形地面后tt1以初位移y(t1)和初速度yy(t1)aaa2222(cosptpcost)y(t)(psinptpsint1) ，n1n11nn1n2222pnpn(t1)ysinpn(tt1)，得到车通过曲形地面后的振动响应为

pn由公式y(t)y(t1)cospn(tt1)2ay(t)2[cospntcospn(tt1)

2pn2其中pnk2，v。或积分为

mlt1F()kat1sinpn(t)d[sinpn(t)dcossinpn(t)d]

0mpnmpn0y(t)t102a2[cospntcospn(tt1)2

pn兰亭序

永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也。群贤毕至，少长咸集。此地有崇山峻岭，茂林修竹；又有清流激湍，映带左右，引以为流觞曲水，列坐其次。虽无丝竹管弦之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情。是日也，天朗气清，惠风和AAAAAA

畅，仰观宇宙之大，俯察品类之盛，所以游目骋怀，足以极视听之娱，信可乐也。

夫人之相与，俯仰一世，或取诸怀抱，晤言一室之内；或因寄所托，放浪形骸之外。虽取舍万殊，静躁不同，当其欣于所遇，暂得于己，快然自足，不知老之将至。及其所之既倦，情随事迁，感慨系之矣。向之所欣，俯仰之间，已为陈迹，犹不能不以之兴怀。况修短随化，终期于尽。古人云：“死生亦大矣。”岂不痛哉！

每览昔人兴感之由，若合一契，未尝不临文嗟悼，不能喻之于怀。固知一死生为虚诞，齐彭殇为妄作。后之视今，亦犹今之视昔。悲夫！故列叙时人，录其所述，虽世殊事异，所以兴怀，其致一也。后之览者，亦将有感于斯文。

AAAAAA