中山大学珠海校区2010学年度第二学期10级高等数学一期中考试题及参考答

2023年12月14日发(作者：烟台社保)

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珠海校区2010学年度第二学期10级高等数学一期中考试题及参考答案

完成以下各题,每题10分.考试时间90分钟. yyduexdxxe(sin)(=++-cosy)dy的函数u(x,y).

1. 求满足条件¶P¶Qy+y-y==,=,=PxyexQxyxey(,)sin,()co解

¶y¶x,故积分与路径无关,于是

于是

u(x,y)=e+sinx)dx+(xey-cosy)dy(ò0ò00y11xy=xe-siny-cosx+C.2.计算累次积分: 

I=

òò010dxxy3x2dy.

dx解:I=òdxòx20=111xy1+yy1+yy03dy=òdyòy2xy31+y113dy0ò01+y320ò21+y11d(1+y3)12-1

131+y=.==6ò01+y3330×dy=yx2D=xyx+y£{(,)I=òò(Dx+ydxdy).

3.若1},计算二重积分解:  积分区域关于两个坐标轴都对称,且被积函数关于x,y均为偶函数,故如记

故如记

D1={(x,y)(x,y)ÎD,x³0,y³0}

I=(x+y)dxdy=4(x+y)dxdy

òòòòDD1=4ò0dxò0(x+y)dy=4ò0[x(1-x)+(1-x)]dx=.

I=x+ydsC2x+y=3xò222221-1x1144. 求第一型曲线积分C,其中是圆周2.

2解:  用极坐标:圆周的方程为r=2cosq,故参数方程为x=2cosq,y=2cosqsinq. ds=(dx)+(dy)=(2sin2q)+(2cos2q)dq=2dq

2222I=5.若C是上半圆周x+y=9,y>0,方向由点(3,0)到点(-3,0),求第二型曲线积分

22Iydxxdy.

=+

òCòCx2+y2ds=22p2ò-p22×2cos2q×2dq=4p2ò-p2cosqdq=8.

解: 

圆周的极坐标方程为:x=3cosq,y=3sinq,0£q£p.故

I=pò0[(3sinq)2(-3sinq)+(3cosq)2(3cosq)]dq

p33=27ò0(cosq-sinq)dq=27é(1-sin)sin+(1-cos)cosù=27´(-4)=-36.22ppdd

qqqq00êúòëòû31a2aa(),求证;f(x)dxf(y)dy=éf(x)dxù.6. 

已知函数fx连续求证;

ò0òxúëò0û2ê证明;证明;显然ò=a0f(x)dxaéêëò0f(y)dy+f(x)dxf(y)dyò0òx0ùéaùéaù2

=f(x)dxf(y)dyf(x)dx.òòúúúûêë0ûêë0ûòxaa而变换积分次序后再换积分变量字母,有òa0f(x)dxòaxf(y)dy=òa0f(y)dy1òy0f(x)dx=2òa0f(x)dxòx0f(y)dy

于是

于是

òa0f(x)dxFx=òx0òaxf(y)dy=aéf(x)dxù.证毕. ò0êúëû2fydya证法2: 

记()x()则,òf(x)d=0Fa.

(于是)aaòa0f(x)dxò2axf(y)dy=aòa0f(x)[F(a)-F(x)]dx=F(a)2ò0f(x)dx-2ò0F(x)f(x)dx

a2=F(a)-ò0F(x)dF(x)=F(a)-F(x)221a01=2F(a)=17. 求由曲面z=2-x-y与z=x+y所围立体的体积.

解:  立体在xOy坐标面的投影为区域D={(x,y)x+y£1}.故

222222éf(x)dxù.

úëò0û2êV=dV=dxdy2òòòòòòxW2-(x2+y2)+y2p

=2ò02drrdr=p.qò01(1-2)Ddz=2(1-x2-y2)dxdyòòD

228.求三重积分I=òòò(y+sinz)dV,其中W是由锥面z=x+y与平面z=p所围的区域.

W解:  由对称性, 

ydV=0.故如记区域在xOy面的投影区域为D,则

I=òòòsinzdV=òòrdrdqòrsinzdzWD3=ò0dqò0(1+cosr)rdr=p-4p.2pòòòWppx2+(y-1)2-(y-1)x==(,),Q(x,y),解: 

Pxy2222x+(y-1)x+(y-1)L+9.求曲线积分I=òxdy-(y-1)dx,其中L+方程为x2+(y-1)22=1,逆时针方向.

¶P-2-x2¶Qy(1)==,

222¶y[x+(y-1)]¶x+222+x+y=r,则由格林公式, (记为D)内,作圆周C: 由于点(0,1)位于L-所围区域-xdy(y1)dx=I=0,

22òxy+(-1)(L+C)++r2222xdy-(y-1)dxxdy-(y-1)dx2prcosqsinq===2222I=2dq2p.òòò(1)(1)0x+y-x+y-rL+C+10.计算曲面积分I=òòS+ezx2+y+dxdy,其中S为锥面z=x2+y2及平面z=1,z=2所围

所围

2立体的表面,取外侧. 解: 

P=Q=0,R==ezx22ezx2+y2，记S，记S所围的区域为W,由高斯公式,由高斯公式,

IòòS+2p+y2dxdyz=æ¶P+¶Q+¶Röez=ç¶x¶y¶z÷dVx2y2dV

òòòòòò+øWèW2p2z

=ò0dqò1dzò0ezrrdr=ò0dqò1zedz=2p(z-1)ez212=2ep.

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