三等分线段的方法

2023年12月10日发(作者：物流运输合同范本)

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２０１０年第２期　数学教育研究　・　５７　・　三等分线段的方法　叶建平　（浙江师范大学　浙江金华　３２１０００　浙江省衢州华茂外国语学校　３２４０００）　本文将介绍几种三等分已知线段的方法，并且点　明其是否可推广，供教师和学生参考．为述说方便，本　ＤＦ、ＡＦ的中点　’．．ＢＥ为ＡＡＤＦ的中位线，．‘．ＢＥ　／／ＡＤ　文约定等分的对象是线段ＡＢ．　１非尺规作图——度量法　用刻度尺量出已知线段ＡＢ的长度，然后将其长度　之三分之一作为平分后线段的长度，用圆规或刻度尺　依次截取即可．这种方法是一种数形结合的方法，并且　这种方法可推广至　等分线段．　２　尺规作图　２．１利用平行线等分　如图１，过Ａ作射线　４　Ｃ　Ｄ　Ｂ　ＡＰ，分别在射线ＡＰ上依次　截取ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＧ，连接　ＢＧ，分别过点Ｅ、Ｆ作ＢＧ的　平行线ＥＣ、ＦＤ交ＡＢ于点　图１　ｃ、Ｄ．点ｃ、Ｄ即为ＡＢ的三　等分点．　理由：Ｎ为ＣＥ／／ＤＦ／／ＢＧ，故ＡＥ：ＥＦ：ＦＧ＝ＡＣ　点Ｃ、Ｄ为线段ＡＢ的三等分点。这种方法可推广至　线　ＭＬ／　／ＡＢ，臻　ＭＬ在射线　上　　’／｜　Ｉ　＼　依次截取ＭＥ—ＥＦ—ＦＮ，———　—　厂—　连结ＡＭ，ＢＮ，分别延长　圈９　Ｄ，则点Ｃ、Ｄ即为线段ＡＢ的三等分点．　理由：因为ＭＬ／／ＡＢ澈　ＭＥ一ＰＭ一　ＰＥ一　一　雨一　，而ＭＥ—ＥＦ—ＦＮ，所以ＡＣ—ＣＤ—ＤＢ，即　等分线段，请读者思考。　备注：线段ＭＮ的长度是否有限制？为什么？请　２．３　利用三角形的中位线定　理　如图３．过Ｂ任意作一条　线段ＤＦ，使得ＢＤ＝ＢＦ，分别　连结ＡＤ、ＡＦ，取ＡＦ中点Ｅ，　连结ＤＥ交ＡＢ于Ｃ，则点ｃ　Ｄ　Ｂ　Ｆ　即为ＡＢ的三等分点．　图３　理由：。．‘Ｂ、Ｅ分别为　一　・一面一一’２　１．．　一　一一，　即点Ｃ为ＡＢ的三等分点　思　Ｈ　寺丌恩　２．４利用矩形来等分　如图４，不妨以ＡＢ为斜　边，作Ｒｔ△ＡＥＢ，分别过Ａ、　Ｂ两点作ＡＥ、ＢＥ的平行线，　交点记为Ｆ，则四边形ＡＦＢＥ　为矩形，取ＢＥ中点Ｈ，ＡＦ　中点Ｇ，分别连结ＥＧ，ＦＨ，　图４　依次交ＡＢ于Ｃ、Ｄ两点，则点Ｃ、Ｄ即为ＡＢ的三等分　点．　理由’．。ＥＢ／／ＡＦ，Ｈ、Ｇ分别ＥＢ、ＡＦ的中点　。．．ＥＨ／／ＧＦ。ＥＨ—ＧＦ　‘．．四边形ＥＧＦＨ为平行四边形，．‘．ＥＧ　／／ＨＦ　・一　’．．　．ＡＣ￣ＣＤ同理ＣＤ＝ＢＤ　。．．ＡＣ—ＣＤ—ＤＢ　２．５利用圆来等分　如图５，分别以点　Ａ、Ｂ为圆心，以ＡＢ为　．Ｄ／　半径画圆，其交点依次　记为Ｅ、Ｆ，则ＥＦ垂直　平分ＡＢ，现在直线ＡＢ　＼　Ⅳ　上取ＡＯ一　ＡＢ（在　图５　ＡＢ异侧），再以０为圆心，０Ｂ为半径画圆，交０Ｂ于　Ｇ、Ｈ，连结ＧＨ，交ＡＢ于Ｃ，则ｃ即为ＡＢ的三等分　点，这种方法可以　等分线段ＡＢ，请读者思考。　理由：不妨设ＡＢ—ｎ，分别连结ＧＤ、ＧＢ易知　ＢＧＤ　ＧＣＢ一９０。，则　ＢＧ。一ＢＣ・ＢＤ，即ｎ　一ＢＣ・３ａ　１　‘．．ＢＣ＝÷口．‘．点Ｃ为ＡＢ三等分点．　２．６利用矩形来等分　如图６，以ＡＢ为一　边作矩形ＡｌＢＥＦ，连结　ＡＥ、ＢＦ交于点０，过０　作ＯＤ上ＡＢ于Ｄ，连结　ＤＥ交ｏＢ于Ｇ，过Ｇ作　图６　ＧＣ上ＡＢ于Ｃ，则点Ｃ即　为ＡＢ三等分点．这种方法可以　等分线段ＡＢ，请读　者思考．　理由：。．。四边形ＡＢＣＤ为矩形　．　．ｏＡ一０Ｂ一０Ｅ一０Ｆ　。．。ｏＤｊＩＡＢ，．‘．ｏＤ∥ＢＥ　一・．．　ＢＥ　一　ＡＥ　一　ＡＢ　一　ＧＥ　一百１　（下转第３页）　２　、’’、　…　２０１０年第２期　数学教育研究　・　３　・　话，需经过几年？（取ｌｇ２—０．３１）　该类题的求解一方面使学生的数学能力得到了提　高，另一方面也使学生了解到无休止的砍伐将带来巨　大的灾难，土地沙化，水土流失．只有注意保护环境，人　差的等差数列的概率为　（Ａ）击　（Ｂ）去　（ｃ）　（Ｄ）　类才能可持续发展．要多鼓励学生参与与所学知识相　关的重大社会问题的讨论，必要时可先让学生调查研　究，然后组织起来讨论，共同寻找解决问题的办法．这　样既增长了学生的知识，又使学生增强了社会责任感，　关心社会，融人社会．　应该说，在数学中渗透环境教育，对于帮助学生掌　握环境知识，培养正确的环境态度，树立保护环境的观　这类试题，在学习概率知识的同时，我们可以辅以　渗透奥运火炬传递的意义和竞技场上的拼搏精神．人　念，发展环保技能，具有不可忽视的作用．　４培养学生健康的竞争意识　现代社会是一个竞争激烈的社会，敢不敢去竞争，　善不善于挑战，是一个人能否在事业上取得成功的关　们常说有竞争意识、价值意识，就会有学习效率意识．　当然，发挥数学课堂教学的德育功能，全面推进素　质教育，并非仅仅通过以上几方面才能得以实现，只要　我们教师潜心挖掘教材、试题和习题的德育功能，用心　思考，是大有可为的．　显然，高中数学学科德育的进行在实际操作过程　中的切入口可能不是很多，德育的渗透也许不能够如　此集中，否则有冲淡学科教学主题之嫌，或者也得不到　好的效果，因此，我在案例中提及的几处渗透也许只能　够有机进行，在此，我认为值得探讨是毫无疑问的，但　是学科德育的功能是不容忽视的．　总之，高中数学学科教学中的德育渗透问题，是一　个重要的并且需要进一步研究和探索的课题．如何在　内容、原则、方法和方式上加强德育，使之产生更大的　键所在．随着素质教育的深入推进，竞争与挑战给高中　数学教学提出了更高的要求，实践表明，把竞争的机制　引入高中数学教学之中，向高中生渗透优胜劣汰、锐意　进取、积极向上的思想意识，可对高中生学习数学的积　极性起到极大的激励作用．因此，我们在教学中要尽可　能多创造各种契机，积极激发、培养学生不甘落后的强　烈的健康的竞争意识，从而使他们进入社会后能自如　效益，为教书育人做出更大的贡献，也是教师应思考的　问题．我认为，在数学教学中渗透德育教育有其必要　性，但也要注意它的策略性，一定不要喧宾夺主，要提　高渗透的自觉性，把握渗透的可行性，注重渗透的反复　性．我相信只要在教学中，结合学生思想实际和知识的　接受能力，点点滴滴，有机渗透，耳濡目染，潜移默化，　就可以达到德育、智育的双重教育目的，为素质教育添　砖加瓦．　地迎接时代的挑战，肩负起四个现代化建设的重任．　２００８北京奥运和２０１０年广州举办的亚运话题就是一　个契机．　例７（２００８年高考山东卷理）在某地的奥运火炬　传递活动中，有编号为１，２，３，…，１８的１８名火炬手．若　从中任选３人，则选出的火炬手的编号能组成３为公　［责任编校王蓓］　（上接第５７页）　不妨令ＯＧ＝ａ，则ＢＧ＝２ａ，ＢＦ＝６ａ　’ＧＣ上ＡＢ．。．Ｃ，Ｃ∥ＡＦ　。点，为方便起见，不妨令半径为口，则ＡＤ一　，ＡＧ—　ＡＢ一口，连结ＧＩ，过Ｄ作ＤＭ／／ＧＩ交ＡＦ于Ｍ　。　ＧＡＩ＝６０。，ＡＧ＝ＡＩ，．‘．△ＡＧＩ为正三角形　‘．。．．．ＢＣＢＧ２ａ１　“丽一丽一　一了　ｃ为ＡＢ三等分点。　２．７利用圃来等分　如图７，以Ａ为圆心，ＡＢ　为半径作ｏＡ，ＩＥ、ＢＨ、ＧＦ都　为直径，且　ＥＡＢ一　ＥＡＦ　ＢＡＧ一６０。，连结ＢＦ，交　ＡＥ于Ｄ，则Ｄ为ＡＥ的中　点，连结ＤＧ，交ＡＢ于ｃ，则　Ｃ为ＡＢ三等分点．这种方法　可以　等分线段ＡＢ，请读者　。．‘ＤＭ∥ＧＪ，．。．△ＡＭＤｏｏ△ＡＧＩ，．’．ＡＡＭＤ为　．　．正三角形　ＤＡＣ一　ＡＩＧ一　ＡＤＭ一６Ｏ　：．ＧＩｆＩＡＣ　？ＤＭ　．ＡＣ　ＤＣ　ＡＣ　ＧＣ　一百一丽’　．一　一面　一　ＡＣ．ＡＣ　ＤＣ。ＧＣ　ｂＭ一丽十面一　・．．图７　‘．．Ａｃ一丽ＧＩ￣ＤＭ　一　＝÷　口十　思考（ＩＣ与ＡＧ的交点为ＡＧ之四等分点）．　理由：Ｄ为ＡＥ之中点易证，现证Ｃ为ＡＢ三等分　点Ｃ为ＡＢ三等分点．　［责任编校王蓓］　

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