3提高--平行线中三角形问题

2023年12月10日发(作者：满减活动)

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平行线中三角形问题

模块一：与三角形内角和有关

知识点睛

解题思路：

一般在三角形的顶点或内部点做与对边相平行的平行线，再进行倒角计算，注意此时三角形内角和为180°不能直接使用，需旁证。

典型例题

【例1】（1）填空：如图（1），过△ABC的顶点A有一直线EF，且EF∥BC,

求证：∠BAC+∠B+∠C=180°；

证明：∵EF∥BC

（已知）

∴∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C；（ ）

又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF＝180° （平角定义）

∴∠BAC+∠B+∠C=180° （ ）

本题所证明的命题可用一句话概括为

（2）如图（2），在（1）基础上请证明：△ABC中，∠A=50°，点P是∠ABC与∠ACB平分线的交点，求∠BPC的度数；

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（3）如图（3），有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．若∠A=β°，则∠XBC+∠XCB= _________ ，∠ABX+∠ACX＝ 。 （直接填写结果）

能力提升

【例2】操作与探究

如图，已知△ABC．

（1）画出∠B、∠C的平分线，交于点O；

（2）过点O画EF∥BC，交AB于点E，AC于点F；

（3）写出可用图中字母表示的相等的角，并说明理由；

（4）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠A，∠BOC的度数；又若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠A，∠BOC的度数；

（5）根据（4）的解答，请你猜出∠BOC与∠A度数的大小关系这个结论对任意一个三角形都成立吗？为什么？

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模块二：利用三角形中的平行线求角度

知识点睛

解题思路：

利用平行线的相关性质（同位角、内错角相等、同旁内角互补），必要时结合三角形内角和为180°，但需旁证

典型例题

【例3】（1）如图，AE∥BD，∠CBD=57°，∠AEF=125°，求∠C的度数．

（2）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B=70°，∠EDC=30°，求∠ADC的度数．

（3）如图，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠ACB=60°．求∠EDC和∠BDC的度数．

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能力提升

【例4】如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．

模块三：三角形四边形中角平分线与平行结合

知识精讲

解题思路：

出现各种角平分线与等角时，大胆将等角设成未知数α或β，再进行倒角计算

典型例题

【例5】（1）如图1，△ABC, ∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A的度数

（2）如图2，△ABC,∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点D、E，若∠1=110°，∠2=130°，求∠A的度数

AD1E2BC

Page 4 of 9 【例6】（1）已知：如图，DE∥BC，∠AED=80°，CD平分∠ACB，求∠EDC的度数．

（2）已知，如图AD是△ABC的角平分线，DE∥CA交AB于点E，DF∥BA交AC于点F．试问∠1=∠2吗？为什么？

【例7】如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，

（1）求证：∠1+∠2=90°；

（2）若∠ABD的平分线与CD的延长线交于F，且∠F=55°，求∠ABC

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能力提升

【例8】如图1.将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC.

（1）填空：AB与CD的关系为 ,∠B与∠D的大小关系为

（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分

∠CDE交BE于G,求∠FDG。

（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=

【例9】如图ABCD为一长方形纸片，E为BC上一点，将纸片沿AE折叠，B点落在形为的F点。

（1）如图1，当∠AEB=30°时，∠DAF的度数为 。

（2）如图2，连BD，若∠CBD=20°，AF∥BD，求∠BAE。

（3）如图3，当AF∥BD时，设∠CBD=a，请你直接写出∠BAE= （用a表示）

Page 6 of 9 【例10】如图①，AB、CD是两条射线，P为夹在这两条射线之间的一点，连PA和PC，作∠PAB和∠PCD的平分线相交于点Q．

（1）旋转射线AB，使AB∥CD，并调整点P的位置，使∠APC=180°，如图②，请直接写出∠Q的度数；

（2）当AB∥CD时，再调整点P的位置如图③，猜想并证明∠Q与∠P有何等量关系；

（3）如图④，若射线AB，CD交于一点R，其他条件不变，猜想∠P、∠Q和∠R这三个角之间满足什么样的等量关系？

课后作业

【习题1】如图，∠E=40°，CD∥AB，∠ABE=2∠ABC，∠BCE=4∠ABC，

（1）若设∠ABC=x°，则∠BCD= °，∠D= °（用含x的代数式表示）；

（2）求∠D的度数．

Page 7 of 9 【习题2】如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O。

(1)若∠ ABC=40°，∠ ACB=50°，则∠ BOC=_______；

(2)若∠ ABC+∠ ACB=l00°，则∠ BOC=________ ；

(3)若∠ A=70°，则∠ BOC=_________；

(4)若∠ BOC=140°，则∠ A=________

(5)你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?直接写出结论并说明理由

【习题3】已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，CF与DE的延长线垂直，垂足为F．

（1）求证：∠B=∠ECF；

（2）若∠B=55°，求∠CED的度数．

【习题4】如图，AD∥BC，∠D=96°，∠A=104°，BE、CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BEC的度数．

Page 8 of 9 【习题5】已知：如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．

证明：（请你在横线上填上合适的推理）

∵AC∥DE（已知），

∴∠1=∠

同理∠ =∠3

∴∠ =∠3

∵DC∥EF（已知），

∴∠2=∠

∵CD平分∠ACB，

∴∠ =∠

∴∠ =∠

∴EF平分∠BED．

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