数学神奇莫比乌斯带

2023年12月10日发(作者：因为有根)

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数学神奇莫比乌斯带

《神奇的莫比乌斯带》教学设计

北师大版六年级下册54-55页。

一、教材分析：公1858年，德国数学家莫比乌斯发现：把纸条的一端旋转180度后再两头粘接起来，会有神奇的变化。因为普通纸带具有两个面(双侧曲面），一个正面一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（单侧曲面），一只蚂蚁可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。我们把这种由莫比乌斯发现的神奇的单面纸带成为“莫比乌斯带”。

二、学情分析：神奇的莫比乌斯带这节活动课对老师来说是很新奇的。我以前从没接触过，对学生来说更是陌生的。通过这节课使学生了解认识莫比乌斯带；动手制作，自主探索莫比乌斯带，感受数学知识的无穷奥秘，激发学习数学的兴趣。

三、教学目标：

（一）知识与技能

使学生了解认识莫比乌斯带，动手制作莫比乌斯带。

（二）过程与方法

在莫比乌斯带的探索过程中，初步体会莫比乌斯带的特征。培养猜想，验证的数学思想方法。

（三）情感、态度与价值观

让学生在探究活动过程中，感受数学活动的乐趣，培养学生敢于动手，乐于交流，善于推理的能力，在学习过程中获得积极向上的情感体验。

四、教学重点：自主探索并制作莫比乌斯带，发现莫比乌斯带的特征。

五、教学难点：培养学生勇于猜想，验证的数学思想方法。

六、活动准备：

1、长纸条（长20-30厘米，宽约4厘米）若干，其中，一张正面“小偷应当放掉”，反面“农民应当关押”。 2、一张纸条正面写“小偷应当放掉”，反面“农民应当关押”。

3、剪刀

4、双面胶或固体胶

5、水彩笔

七、教学过程：

（一）导入

师：其实，一条普通的纸条也有神奇地方，今天这节课，老师和同学们一起来玩一个数学游戏，我们一边玩一边研究，看看这样一根普普通通的纸条，究竟有多神奇！（板书：神奇）

师：（出示一张纸条）请看我手中的这张纸条，它有几条边几个面（生：齐回答）四条边，两个面。

师：一个正面，一个反面。现在谁能将他变成只有两条边，两个面指名操作

师：是不是两条边，两个面

师：神奇吗（生：不神奇）是啊，这没什么神奇的，神奇的在后面，谁有办法将它变成一个面和一条边

小组合作探究（教师巡视）

【设计意图】由“这张纸条几条边，几个面”到“谁能将这张纸条变成两条边，两个面”，再到“怎样变成一个面，问题一层一层深入，一个比一个更有难度，进一步激发了学生学习数学的兴趣。有趣的问题能促使学生思考和探究，在探究过程中问题层层深入，提高了思维能力。

（二）制作莫比乌斯带

师：（看到有一部分同学做成了）同学们可以互帮助，做出来的同学，想想是怎么做的，把你的方法分享给大家。

指名回答（可以边说边演示）。

教师小结做法：一只手捏住纸条的一端，另一只手捏住纸条的另一端，把它旋转180度，变成一个纸环，再用固体胶把两端粘住。师：通过老师的演示希望对你们有帮助，刚才没完成的孩子现在完成它。

师：为什么是一条边哪位同学说说（师边说边用手师范）沿着纸条的任意一边一直摸下去，有什么发现

生：是一条边。

师：第二个问题，是不是一个面我们一起动手，都来检验一下吧，我们拿起笔来（师示范）从这面起，在纸条的中间画一条线（师生操作）画好了有什么发现生：所有的面都画上了，真是一个面。

师：不是有两个面吗怎么变成了一个面（里面的接到外面，上面的边与下面的边连接在一起）好玩吗举起刚做好的纸带，这叫什么知道吗

（板书：莫比乌斯带）

师：1858年德国的数学家莫比乌斯一次偶然的机会发现了这样一个神奇的纸圈，所以就用他的名字命名叫莫比乌斯圈或莫比乌斯带。

师：像这样没有里外之分，只有一个面，在数学上叫单侧曲面，那么普通的纸圈有里外之分就叫双侧曲面。

【设计意图】从纸条到普通纸圈再到“莫比乌斯带”，学生经历了一个从熟悉到陌生，从普通到神奇的知识形成过程，这个过程对学生来说是新鲜、有趣的，它指引着学生一步步揭开“莫比乌斯带”的神秘面纱。

（三）变化的莫比乌斯带

探究一：沿二分之一线剪

师：（展示普通纸圈）如果我沿着刚画的线剪开会怎样

生：会变成2个同样大小的纸圈。

师：是吗（师示范）还真是。

师：（展示一个莫比乌斯带）刚才你们不是在这个莫比乌斯带中间画了一条线吗如果我们沿着这条线把这个纸圈剪开的话会怎么样呢

生1：会变成两个纸圈。

生2：会变成两个莫比乌斯带。

生3：有可能是三个纸圈。

师：要知道究竟是什么样的，应该怎么办呢

生：动手剪一剪。

师：是啊，实践出真知！（学生动手剪） 学生汇报

生：在我剪完后，不像刚才同学说的那样是两个圈，是连在一起。

师：是一个圈还是两个圈

生：一个圈。

师：我们都认为从中间剪开应该是两个圈，结果是一个圈，这就是莫比乌斯的神奇之处，（展示剪开后的纸圈）这个还是一条莫比乌斯带吗现在你们验证一下，用笔画一画，说说你的发现。

生：画完之后只画了一个面，还有一个面没画上。

师：那么是莫比乌斯带吗

生：不是

师：现在在中间又画一条线，如果再沿着这条线剪开，想想，又会是什么结果

生1：还是一个圆。

生2：我觉得是两个圆。

师：大家做做看（学生动手操作，教师也动手操作）

汇报结果

生：是两个套着的圈。

探究二：沿三分之一线剪

师：我们继续来感受这个纸圈的神奇，好吗请同学们再拿一张白纸条，在白纸条上画三等分线，请把中间的部分涂上你喜欢的颜色，

两面都涂再做成莫比乌斯带。

师：好，现在你们有什么想法

生：能沿着线把这个莫比乌斯带剪开吗

师：可以的，如果我们沿着三等分的线把这个莫比乌斯带剪开的话，需要剪几次呢

生：两次。

师：剪完以后会是什么样呢

生1：可能会是三个圈套在一起。

生2：会变成一个大圈。

师：真佩服你们的想象力，那究竟会怎样，还是动手做一做吧！ 指名回答（剪一次，两个圈套在一起）

小结：一个大圈套着一个小圈。

师：这个大圈和小圈是莫比莫斯带吗（生：不是）请用刚才的方法证明一下。

师：小圈就是原来长方形纸条的哪一部分

学生汇报

【设计意图】通过让学生动手沿二分之一，三分之一线剪，使学生经历了一个从猜测到验证的过程，不仅满足了学生的好奇心，也向学生初步渗透了猜测、验证、探索等数学思想，并引导孩子们寻找生活中的“莫比乌斯带”，发挥想象看到能否创造性地用上它，这让孩子们体会到，数学来源于生活，又回到生活。

（四）学以致用

救救可怜的农民

从前，有一个小偷偷了一位很老实的农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县官发现小偷正是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉，而在纸的反面写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。执事官不想误判此案，但是又不敢得罪县官，你们猜他怎么做聪明的执事官想了一个办法。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，确实没错。仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。

你们知道其中的奥秘吗动手试试吧！

学生汇报结果

【设计意图】以学生喜欢的故事入手，符合儿童的年龄特点和心理特征，唤起学生的兴趣，能够更加积极主动的参与学习，课堂气氛活跃。

（五）生活中的应用

师：一个看似简单的小纸圈竟如此神奇，它可不光好玩有趣，还被应用到生活的方方面面，让我们跟随莫比乌斯带一起走进生活中去吧，欣赏图片（课件出示） （1）过山车

（2）莫比乌斯爬梯

（3）工厂传送带

（4）莫比乌斯茶具

（5）2007特奥会会标“眼神”

（6）三叶扭结

（六）说收获与遗憾

师：这节课即将结束，上了今天这节课你有什么收获与遗憾

生1：我知道了什么是莫比乌斯带。

生2：莫比乌斯带只有一条边、一个面。

生3：不能多剪几次。……

师：好了，同学们，大家通过今天这节课的学习，是不是对莫比乌斯带还有很多疑问呢还有很多没有解答的问题，有的问题老师也不怎么清楚，数学家们也在继续探索。我告诉大家，数学中有一门专门研究莫比乌斯带的学问叫拓扑学（板书：拓扑学）。希望同学们能在课下继续探讨有关莫比乌斯带的问题，可能有一天你们会有新的创造发明呢！

【设计意图】回顾本节课的内容，有效的激发学生的学生兴趣和求知欲望。

（七）作业

研究沿着一个莫比乌斯带的四分之一、五分之一线剪，将研究的结果写成数学小论文，班级交流。

【设计意图】通过学生动手剪和记录数学日记的操作性的活动，使学生在获得结论的同时，体验到学习数学的乐趣，体验到成功的喜悦，从而加深对数学问题的感性认识，提高学生们的动手实践能力。

（八）板书设计

神奇的莫比乌斯带

二分之一剪

拓扑学一个面一条边单侧曲面

三分之一剪两个面四条边 双侧曲面

两个面两条边

教学反思

《数学课程标准》指出：“成功的教学所需要的是激发探究兴趣，学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣。”本是数学课，学生带着学习数学、研究数学的心理期待走进课堂，出乎意料的是，教师却给学生表演魔术。学生疑窦丛生兴趣盎然。课始伊，趣已生。

课从普普通通的纸条开始，就把学生的注意力引入到一种神奇而未知的数学世界。在做纸圈时先做一个普通的纸圈，然后将一端翻转180度，再用胶水粘牢，问：“是不是一条边一个面呢”教师不仅创设了让每个学生剪一剪、画一画、拧一拧这种活动情境，而且还让学生在动手之前先动脑猜想，再小心地验证。而学生正是在想一想的过程中，在这种人际互动中自然而然地体验到数学美在思想。

模仿学习是小学生学习方法之一，它就是从大同小异、小同大异、仿作，由临摹到创新的训练方式,可以培养学生的理解力和鉴赏力。但有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿，模仿仅仅是手段，模仿的目的是为了创造。从模仿到创造，要有一个过程，这个过程也就是学生的发展过程。在这节课，从变魔术引入到学生自己创造这一环节，让每个学生自主地玩，这就把模仿到创造落到了实处。在这个过程中，每个学生在教师的启发下充分地体验到数学美在创造。

数学来源于生活。又应用于生活，与生活实际紧密联系，讲用途可以使学生看到生活中处处有数学。这节课，教师把前几个环节学生探索学习到的知识返回到了显示，又一次激起了学生情绪兴奋之浪花，使学生在兴奋之时能真切地体验到数学就在自己身边，数学是有用的。教师还让学生大胆想象，显示生活中哪些地方还可以应用莫比乌斯带的原理。教师应用图声并茂的动态课件，让学生体验数学之美。

一次成功的数学活动，应该能使学生感受数学的美。这种美，一方面是因为

它承接了学生原有的认知经验，学生感觉到数学很简单、很日常、很好玩，有信心，有兴趣去学习。另一方面学生通过多感官的活动，探究这些亲切有趣的现象背后的原理，建立一定的数学模型，培养一定的数学能力。由此体会到数学的真正美！

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