北师大版初中数学八年级上册《7.5 三角形内角和定理》同步练习卷(含答

2023年12月10日发(作者：如果我会飞)

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北师大新版八年级上学期《7.5 三角形内角和定理》

同步练习卷

一．选择题（共23小题）

1．如图，在△ABC中，∠C=78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ）

A．282°

B．180°

C．258°

D．360°

2．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（ ）

A．115°

B．110°

C．100°

D．90°

3．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD=70°，则∠ACB的度数为（ ）

A．10°

B．20°

C．30°

D．40°

4．如图，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A=70°，则∠D=（ ） A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

5．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC=β，那么∠A等于（ ）

A．180°﹣

B．180°﹣2β

C．90°﹣β

D．90°﹣

6．如图，△ABC中，∠A=60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（ ）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外点A'的位置，则下列结论正确的是（ ）

A．∠1+∠2=∠A

B．∠1+∠2=2∠A

C．∠1﹣∠2=∠A

D．∠1﹣∠2=2∠A

8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（ ） A．20°

B．30°

C．40°

D．50°

9．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为（ ）

A．60°

B．65°

C．75°

D．85°

10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）

A．75°

B．80°

C．85°

D．90°

11．如图△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数是（ ）

A．36°

B．26°

C．18°

D．16°

12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（ ） A．80°

B．82.5°

C．90°

D．85°

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠ADE度数为（ ）

A．71°

B．64°

C．38°

D．45°

14．如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A=80°，∠BCA=50°，那么∠BFC的度数是（ ）

A．110°

B．l15°

C．120°

D．125°

15．在△ABC中，∠A=150°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如图1．第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如图2．照此下去，至多能进行（ ）步．

A．3

B．4

C．5

D．6

16．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P的度数为（ ） A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

17．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（ ）

A．150°

B．180°

C．210°

D．270°

18．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为（ ）

A．40°

B．41°

C．42°

D．43°

19．如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，∠C为（ ）

A．38°

B．39°

C．40°

D．41°

20．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（ ） A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

21．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

22．如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=128°，∠BGC=114°，则∠A的度数为（ ）

A．64°

B．62°

C．70°

D．78°

23．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）

A．60°

B．50°

C．40°

D．30° 二．填空题（共17小题）

24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A=60°，则∠1﹣∠2= 度．

25．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是 ．

26．如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的一个角折叠，使点C落在△ABC内，∠α=25°，则∠β= ．

27．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为 ．

28．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=135°，∠A=15°，则∠A′DB的度数为 ． 29．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A=55°，则∠1+∠2+∠3+∠4= 度．

30．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2= ．

31．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=48°，∠BAD=28°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，则∠AFC= °．

32．如图，已知AB、CD相交于点O，且∠A=38°，∠B=58°，∠C=44°，则∠D= ．

33．如图，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于点P，若∠A=70°，则∠BPC= °．

34．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，则∠α度数为 ．

35．如图，点D、E、F、G、H分别是△ABC的边上一点，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在△ABC内点O处，则∠1+∠2为 °．

36．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A= ．

37．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．（用度数表示）

38．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE=∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG=∠DGF．若∠EFG=35°，则∠CDF的度数为 ．

39．如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小= （度）．

40．如图，在△ABC中，∠A=70°∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为 ．

三．解答题（共9小题）

41．如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD与∠BOA的度数．

42．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E． （1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；

（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由．

43．动手操作：

一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．

观察猜想

（1）如图1，若∠A=40°，则∠1+∠2= °；

若∠A=55°，则∠1+∠2= °；

若∠A=n°，则∠1+∠2= °．

探索证明：

（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．

拓展应用

（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．

44．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P是直线AC上一点，过点P作PH⊥BM于点H．

（1）如图1，当∠ACB=110°，∠BAC=30°，且点P与点C重合时，∠APH= °；

（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；

（3）如图3，当点P在线段AM上（不含端点）时， ①补全图形；

②直接写出∠APH、∠ACB、∠BAC之间的数量关系： ．

45．如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA，过点A向右作AD∥BC，点E是射线AD上的一个动点，∠ACE的平分线交BA的延长线于点F．

（1）若∠ACB=40°，∠ACE=38°，求∠F的度数；

（2）在动点E运动的过程中，若变化，请说明理由．

的值是否发生变化？若不变，求它的值；

46．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．

（1）如图①，当点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°时，求∠EFD的度数，并直接写出∠EFD与（∠C﹣∠B）之间的数量关系．

（2）如图②，当点F在线段AE上（不与点A重合），∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由．

（3）当点F在△ABC外部时，在图③中画出符合题意的图形，并直接写出∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系． 47．已知：如图，AM，CM分别平分∠BAD和∠BCD．

①若∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度数；

②探索∠M与∠B、∠D的关系并证明你的结论．

48．△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE⊥BC，垂足为E，作CF∥AD，交直线AE于点F．设∠B=α，∠ACB=β．

（1）若∠B=30°，∠ACB=70°，依题意补全图1，并直接写出∠AFC的度数；

（2）如图2，若∠ACB是钝角，求∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）；

（3）如图3，若∠B＞∠ACB，直接写出∠AFC的度数（用含α，β的式子表示）．

49．（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是 ；

（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P= ； （3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B=80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；

（4）如图4，如果∠MCD=∠BCD，∠NDE=∠ADE，当∠A+∠B=n°时，试求∠M+∠N的度数．

北师大新版八年级上学期《7.5 三角形内角和定理》

同步练习卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共23小题）

1．如图，在△ABC中，∠C=78°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（ ）

A．282°

B．180°

C．258°

D．360°

【分析】先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．

【解答】解：如图，∵∠1、∠2是△CDE的外角，

∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，

即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=78°+180°=258°．

故选：C．

【点评】此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．

2．如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（ ）

A．115°

B．110°

C．100°

D．90°

【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=130°，根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算．

【解答】解：∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，

∵BE、CF是△ABC的角平分线，

∴∠EBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB，

∴∠EBC+∠FCB=×（∠ABC+∠ACB）=65°，

∴∠BDC=180°﹣65°=115°，

故选：A．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．

3．如图，在△ABC中，AD和BE是角平分线，其交点为O，若∠BOD=70°，则∠ACB的度数为（ ）

A．10°

B．20°

C．30°

D．40°

【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠ABO+∠BAO=∠BOD=70°，再根据角平分线的定义，即可得到∠ABC+∠BAC=140°，进而得出∠C的度数．

【解答】解：∵∠BOD是△ABO的外角，

∴∠ABO+∠BAO=∠BOD=70°，

又∵AD和BE是角平分线，

∴∠ABC+∠BAC=2（∠ABO+∠BAO）=2×70°=140°，

∴∠ACB=180°﹣140°=40°，

故选：D．

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是180°．

4．如图，BD，CD分别是内角∠ABC和外角∠ACE的平分线，若∠A=70°，则∠D=（ ）

A．30°

B．35°

C．40°

D．45°

【分析】根据角平分线的定义得到∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，根据三角形的外角的性质计算即可．

【解答】解：∵BD，CD分别是∠ABC与外角∠ACE的平分线，

∴∠DCE=∠ACE，∠DBC=∠ABC，

∵∠ACE﹣∠ABC=∠A=70°，

∴∠D=∠DCE﹣∠DBC=∠A=35°，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

5．如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC=β，那么∠A等于（ ）

A．180°﹣

B．180°﹣2β

C．90°﹣β

D．90°﹣

【分析】在△BCD中利用三角形内角和定理可求出∠BCD+∠CBD的度数，由角平分线的定理可得出∠CBE+∠BCF的度数，由邻补角互补可求出∠ABC+∠ACB的度数，再在△ABC中利用三角形内角和定理即可求出∠A的度数．

【解答】解：∵∠BCD+∠CBD+∠D=180°，∠D=β， ∴∠BCD+∠CBD=180°﹣β．

∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，

∴∠CBE+∠BCF=2（∠BCD+∠CBD）=360°﹣2β，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠CBE+180°﹣∠BCF=360°﹣（∠CBE+∠BCF）=2β．

又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠A=180°﹣2β．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理、邻补角以及角平分线的性质，利用三角形内角和定理、角平分线的性质及邻补角互补求出∠ABC+∠ACB的度数是解题的关键．

6．如图，△ABC中，∠A=60°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2的和等于（ ）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF+∠AFE的度数，再根据折叠的性质求出∠AED+∠AFD的度数，然后根据平角等于180°解答．

【解答】解：∵∠A=60°，

∴∠AEF+∠AFE=180°﹣60°=120°，

∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，

∴∠AED+∠AFD=2（∠AEF+∠AFE）=2×120°=240°，

∴∠1+∠2=180°×2﹣240°=360°﹣240°=120°．

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．

7．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外点A'的位置，则下列结论正确的是（ ） A．∠1+∠2=∠A

B．∠1+∠2=2∠A

C．∠1﹣∠2=∠A

D．∠1﹣∠2=2∠A

【分析】根据折叠的性质和三角形的外角的性质解答即可．

【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到，

∴∠A′=∠A，

∵∠1=∠A+∠3，∠3=∠A′+∠2，

∴∠1=∠A+∠A′+∠2，

∴∠1﹣∠2=2∠A，

故选：D．

【点评】本题考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．

8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30，∠2=20°，则∠B=（ ）

A．20°

B．30°

C．40°

D．50°

【分析】利用角平分线的定义结合∠1的度数可得出∠CAE的值，进而可得出∠DAE、∠BAD的值，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B的值，此题得解．

【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠1=30，

∴∠CAE=∠1=30°， ∴∠DAE=∠CAE﹣∠2=10°，

∴∠BAE=∠1+∠DAE=40°．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠B=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=50°．

故选：D．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记三角形内角和是180°是解题的关键．

9．已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C=35°，∠DEF=15°，则∠B的度数为（ ）

A．60°

B．65°

C．75°

D．85°

【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF=15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．

【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF=15°，

∴∠ADB=90°﹣15°=75°．

∵∠C=35°，

∴∠CAD=75°﹣35°=40°．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAC=2∠CAD=80°，

∴∠B=180°﹣∠BAC﹣∠C=180°﹣80°﹣35°=65°．

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）

A．75°

B．80°

C．85°

D．90°

【分析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．

【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，

∴∠BAD=30°，

∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，

∴∠BAE=25°，

∴∠DAE=30°﹣25°=5°，

∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，

∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，

故选：A．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．

11．如图△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是边AC上的高，则∠DBC的度数是（ ） A．36°

B．26°

C．18°

D．16°

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A和∠C，根据垂直的定义得到∠BDC=90°，计算即可．

【解答】解：∵∠A+∠C+∠ABC=180°，∠C=∠ABC=2∠A，

∴2∠A+2∠A+∠A=180°，

解得，∠A=36°，

则∠C=72°，

∵BD是边AC上的高，

∴∠BDC=90°，

∴∠DBC=90°﹣∠C=18°，

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．

12．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE平分∠ADC，∠B=45°，∠C=35°，则∠AED=（ ）

A．80°

B．82.5°

C．90°

D．85°

【分析】根据三角形的内角和定理可得∠BAC=100°，再利用角平分线的性质得到∠EDC=47.5°，最后利用三角形外角的性质得出结果．

【解答】解：∵∠B=45°，∠C=35°，

∴∠BAC=180°﹣45°﹣35°=100°，

∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD═50°，

∵∠ADC=∠B+∠BAD=50°+45°=95°，

∵DE平分∠ADC，

∴∠EDC═47.5°，

∵∠AED=∠C+∠EDC，

∴∠AED=35°+47.5°=82.5°．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A=26°，则∠ADE度数为（ ）

A．71°

B．64°

C．38°

D．45°

【分析】由折叠的性质可求得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，在△ACD中，利用外角可求得∠BDC，即可解决问题．

【解答】解：由折叠可得∠ACD=∠BCD，∠BDC=∠CDE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD=45°，

∵∠A=26°，

∴∠BDC=∠A+∠ACD=26°+45°=71°，

∴∠ADE=180°﹣71°﹣71°=38°

故选：C．

【点评】本题主要考查折叠的性质，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．

14．如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，CE为△ABC的高，CE交BD于点F，∠A=80°，∠BCA=50°，那么∠BFC的度数是（ ） A．110°

B．l15°

C．120°

D．125°

【分析】依据三角形内角和定理，即可得到∠ABC=50°，依据BD为△ABC的角平分线，可得∠ABD=25°，根据CE为△ABC的高，即可得到∠BEF=90°，再根据三角形外角性质，即可得到∠BFC=∠BEF+∠ABD．

【解答】解：∵∠A=80°，∠BCA=50°，

∴∠ABC=50°，

又∵BD为△ABC的角平分线，

∴∠ABD=25°，

∵CE为△ABC的高，

∴∠BEF=90°，

∴∠BFC=∠BEF+∠ABD=90°+25°=115°，

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

15．在△ABC中，∠A=150°．第一步：在△ABC上方确定一点A1，使∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，如图1．第二步：在△A1BC上方确定一点A2，使∠A2BA1=∠A1BA，∠A2CA1=∠A1CA，如图2．照此下去，至多能进行（ ）步．

A．3

B．4

C．5

D．6

【分析】由三角形内角和定理可得出∠ABC+∠ACB=30°，由∠A1BA=∠ABC、∠A1CA=∠ACB结合三角形内角和定理可求出∠A1=120°，同理可求出∠A2=90°、∠A3=60°、…、∠An=180°﹣30°•（n+1），令∠An＞0°，求出n的最大值即可．

【解答】解：∵∠A=150°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=30°．

∵∠A1BA=∠ABC，∠A1CA=∠ACB，

∴∠A1BC+∠A1CB=2（∠ABC+∠ACB）=60°，

∴∠A1=180°﹣（∠A1BC+∠A1CB）=120°．

同理可得：∠A2=90°，∠A3=60°，…，∠An=180°﹣30°•（n+1），

∴当∠An＞0°时，180°﹣30°•（n+1）＞0°，

解得n＜5，

∴至多能进行4步．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理找出∠An=180°﹣30°•（n+1）是解题的关键．

16．如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=55°，∠D=15°，则∠P的度数为（ ）

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

【分析】延长PC交BD于E，根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠1=∠P+∠3，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠5，整理可得∠P=（∠A﹣∠D），然后代入数据计算即可得解．

【解答】解：如图，延长PC交BD于E，

∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

由三角形的内角和定理得，∠A+∠1=∠P+∠3①， 在△PBE中，∠5=∠2+∠P，

在△DCE中，∠5=∠4﹣∠D，

∴∠2+∠P=∠4﹣∠D②，

①﹣②得，∠A﹣∠P=∠P+∠D，

∴∠P=（∠A﹣∠D），

∵∠A=55°，∠D=15°，

∴∠P=（55°﹣15°）=20°．

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出∠A、∠D、∠P三者之间的关系式是解题的关键．

17．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（ ）

A．150°

B．180°

C．210°

D．270°

【分析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可．

【解答】解：如图：

∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，

∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO， ∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°﹣∠C=30°+90°+180°﹣90°=210°，

故选：C．

【点评】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．

18．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=100°，则∠C的度数为（ ）

A．40°

B．41°

C．42°

D．43°

【分析】连接AO、BO．由题意EA=EB=EO，推出∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，由DO=DA，FO=FB，推出∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，推出∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，由∠CDO+∠CFO=100°，推出2∠DAO+2∠FBO=100°，推出∠DAO+∠FBO=50°，由此即可解决问题．

【解答】解：如图，连接AO、BO．

由题意EA=EB=EO，

∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，

∵DO=DA，FO=FB，

∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，

∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，

∵∠CDO+∠CFO=100°，

∴2∠DAO+2∠FBO=100°，

∴∠DAO+∠FBO=50°，

∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=140°，

∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣140°=40°，

故选：A． 【点评】本题考查三角形内角和定理、直角三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，学会把条件转化的思想．

19．如图，乐乐将△ABC沿DE，EF分别翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF=139°，∠C为（ ）

A．38°

B．39°

C．40°

D．41°

【分析】根据翻折的性质得出∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，进而得出∠DOF=∠A+∠B，利用三角形内角和解答即可．

【解答】解：∵将△ABC沿DE，EF翻折，

∴∠A=∠DOE，∠B=∠FOE，

∴∠DOF=∠DOE+∠EOF=∠A+∠B=139°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣139°=41°，

故选：D．

【点评】本题考查三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转化的思想，属于中考常考题型．

20．如图，△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H．下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=∠BAC﹣∠C；④∠BGH=∠ABE+∠C．其中正确个数是（ ）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

【分析】①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；

②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；

③证明∠DBE=∠BAC﹣∠C，根据①的结论，判断出错误；

④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．

【解答】解：①∵BD⊥FD，

∴∠FGD+∠F=90°，

∵FH⊥BE，

∴∠BGH+∠DBE=90°，

∵∠FGD=∠BGH，

∴∠DBE=∠F，

①正确；

②∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∠BEF=∠CBE+∠C，

∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，

∠BAF=∠ABC+∠C，

∴2∠BEF=∠BAF+∠C，

②正确；

③∠ABD=90°﹣∠BAC，

∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=∠ABE﹣90°+∠BAC=∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，

∵∠CBD=90°﹣∠C，

∴∠DBE=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，

由①得，∠DBE=∠F，

∴∠F=∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，

③错误；

④∵∠AEB=∠EBC+∠C，

∵∠ABE=∠CBE，

∴∠AEB=∠ABE+∠C， ∵BD⊥FC，FH⊥BE，

∴∠FGD=∠FEB，

∴∠BGH=∠ABE+∠C，

④正确，

∴正确的有①②④，共三个，

故选：B．

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键

21．如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②∠DFB=∠CGE；③∠ADC=∠GCD；④CA平分∠BCG．其中正确的个数是（ ）

A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．

【解答】解：①∵EG∥BC，

∴∠CEG=∠ACB，

又∵CD是△ABC的角平分线，

∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB，故正确；

④无法证明CA平分∠BCG，故错误；

③∵∠A=90°，

∴∠ADC+∠ACD=90°，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠ADC+∠BCD=90°．

∵EG∥BC，且CG⊥EG，

∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°， ∴∠ADC=∠GCD，故正确；

②∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，

∴∠AEB+∠ADC=90°+（∠ABC+∠ACB）=135°，

∴∠DFE=360°﹣135°﹣90°=135°，

∴∠DFB=45°=∠CGE，

∴∠CGE=2∠DFB，

∴∠DFB=∠CGE，故正确．

∴正确的为：①②③，

故选：C．

【点评】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．

22．如图，△ABC，∠ABC、∠ACB的三等分线交于点E、D，若∠BFC=128°，∠BGC=114°，则∠A的度数为（ ）

A．64°

B．62°

C．70°

D．78°

【分析】设∠GBC=x，∠DCB=y，在△BFC和△BGC中，根据三角形内角和定理列方程，相加可得：3x+3y的值，即可求结论．

【解答】解：设∠GBC=x，∠DCB=y，

在△BFC中，2x+y=180°﹣128°=52°①，

在△BGC中，x+2y=180°﹣114°=66°②，

解得：①+②：3x+3y=118°，

∴∠A=180°﹣（3x+3y）=180°﹣118°=62°，

故选：B．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三等分线的定义，利用整体的思想解决问题比较简便． 23．如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABD+∠ACD的值为（ ）

A．60°

B．50°

C．40°

D．30°

【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=130°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数．

【解答】解：在△ABC中，∵∠A=50°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，

在△DBC中，∵∠BDC=90°，

∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，

∴∠ABD+∠ACD=130°﹣90°=40°；

故选：C．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．

二．填空题（共17小题）

24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点M．若MN⊥BC于N，∠A=60°，则∠1﹣∠2= 30 度．

【分析】利用三角形内角和和角平分线的定义，构建方程组即可解决问题；

【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB， ∴∠BMC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=120°，

∴∠1+∠BMN=120°①，

∵MN⊥BC，

∴∠2+∠BMN=90°②，

①﹣②得：∠1﹣∠2=30°．

故答案为：30

【点评】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

25．如图所示，在△ABC中，∠A=52°，若∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，得到∠D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，得到∠D2；依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，得到∠D5，则∠D5的度数是 56° ．

【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理可得．

【解答】解：∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，

又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，

∴∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，

∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，

∴∠BD1C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣64°=116°，

同理∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，

依此类推，∠BD5C=180°﹣故答案为：56°．

【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，解决本题的关键是利用三角形内角和定理．

26．如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的一个角折叠，使点（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°． C落在△ABC内，∠α=25°，则∠β= 65° ．

【分析】首先根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，再算出∠C的度数，代入相应数值，即可算出∠β．

【解答】解：根据四边形内角和定理可得：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，

∵∠A=75°，∠B=60°，

∴∠C=45°，

∵∠α=25°，

∴25°+∠β+180°﹣45°+75°+60°=360°，

解得∠β=65°．

故答案为：65°．

【点评】本题主要考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．

27．如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=55°，∠1=95°，则∠2的度数为 15° ．

【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=125°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°﹣125°=235°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．

【解答】解：∵∠A=55°，

∴∠AEF+∠AFE=180°﹣55°=125°，

∴∠FEB+∠EFC=360°﹣125°=235°， ∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=235°，

∴∠1+∠2=235°﹣125°=110°，

∵∠1=95°，

∴∠2=110°﹣95°=15°，

故答案为：15°．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，四边形的内角和等于360°，熟记定理并准确识图是解题的关键．

28．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=135°，∠A=15°，则∠A′DB的度数为 120° ．

【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠B，根据两直线平行，同位角相等可得∠ADE=∠B，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．

【解答】解：∵∠C=135°，∠A=15°，

∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣15°﹣135°=30°，

∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，

∴∠ADE=∠B=30°，

∠A′DE=∠ADE=30°，

∴∠A′DB=180°﹣30°﹣30°=120°．

故答案为120°．

【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

29．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上一点，将△ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上．若∠A=55°，则∠1+∠2+∠3+∠4= 235 度． 【分析】依据三角形内角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，再根据∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠C）=235°．

【解答】解：∵∠A=55°，

∴△ABC中，∠B+∠C=125°，

又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°﹣（∠B+∠C）=360°﹣125°=235°，

故答案为：235．

【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合运用各定理是解答此题的关键．

30．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠BA′C=110°，则∠1+∠2= 80° ．

【分析】连接AA′．首先求出∠BAC，再证明∠1+∠2=2∠BAC即可解决问题．

【解答】解：连接AA′．

∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C=110°， ∴∠A′BC+∠A′CB=70°，

∴∠ABC+∠ACB=140°，

∴∠BAC=180°﹣140°=40°，

∵∠1=∠DAA′+∠DA′A，∠2=∠EAA′+∠EA′A，

∵∠DAA′=∠DA′A，∠EAA′=∠EA′A，

∴∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠BAC=80°，

故答案为80°．

【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识，属于中考常考题型．

31．如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B=48°，∠BAD=28°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，则∠AFC= 104 °．

【分析】根据折叠的性质求出∠FAD=∠BAD=28°，根据三角形外角性质求出∠ADF，再根据三角形外角性质求出∠AFC即可．

【解答】解：∵∠BAD=28°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F，

∴∠BAD=∠FAD=28°，

∵∠B=48°，

∴∠ADF=∠B+∠BAD=48°+28°=76°，

∴∠AFC=∠FAD+∠ADF=28°+76°=104°，

故答案为：104．

【点评】本题考查了折叠的性质和三角形外角的性质，能根据折叠的性质求出∠FAD的度数是解此题的关键．

32．如图，已知AB、CD相交于点O，且∠A=38°，∠B=58°，∠C=44°，则∠D=

64° ． 【分析】根据三角形内角和定理即可求出答案．

【解答】解：∵∠A+∠D=∠C+∠B，

∴∠D=64°，

故答案为：64°

【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，本题属于基础题型．

33．如图，在△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于点P，若∠A=70°，则∠BPC= 110 °．

【分析】根据四边形的内角和等于360°，求出∠DPE的度数，再根据对顶角相等解答．

【解答】解：∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，

∴∠DPE=360°﹣90°×2﹣70°=110°，

∴∠BPC=∠DPE=110°．

故答案为：110°．

【点评】本题考查了多边形的内角和，对顶角相等的性质，熟记定理并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

34．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折而成的，若∠1=140°，∠2=25°，则∠α度数为 80° ． 【分析】依据∠1=140°，∠2=25°，可得∠3=15°，利用翻折变换前后对应角不变，得出∠2=∠EBA，∠3=∠ACD，进而得出∠BCD+∠CBE的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠α的度数．

【解答】解：∵∠1=140°，∠2=25°，

∴∠3=15°，

由折叠可得，∠2=∠EBA=25°，∠3=∠ACD=15°，

∴∠EBC=50°，∠BCD=30°，

∴由三角形外角性质可得，∠α=∠EBC+∠DCB=80°，

故答案为：80°．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形外角的性质的运用，利用翻折变换前后对应角不变得出是解题关键．

35．如图，点D、E、F、G、H分别是△ABC的边上一点，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在△ABC内点O处，则∠1+∠2为 180 °．

【分析】根据折叠的性质得：∠A=∠DOE，∠B=∠GOH，∠C=∠EOF，中间以O的顶点的周角为360°，和三角形内角和定理可得结论．

【解答】解：由折叠的性质得：∠A=∠DOE，∠B=∠GOH，∠C=∠EOF，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠DOE+∠GOH+∠EOF=180°，

∴∠1+∠2=360°﹣180°=180°，

故答案为；180． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，熟练掌握折叠前后的两个角相等是关键．

36．如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE、CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A= 80° ．

【分析】根据三角形的内角和定理，及角平分线上的性质先计算∠ABC+∠ACB的度数，从而得出∠A的度数．

【解答】解：如图，连接BC．

∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，

∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠ACF=∠DCF=∠ACD，

又∠BDC=140°，∠BGC=110°，

∴∠DBC+∠DCB=40°，∠GBC+∠GCB=70°，

∴∠EBD+∠FCD=70°﹣40°=30°，

∴∠ABE+∠ACF=30°，

∴∠ABE+∠ACF+∠GBC+∠GCB=70°+30°=100°，即∠ABC+∠ACB=100°，

∴∠A=80°．

故答案为：80°．

【点评】本题考查角平分线的性质及三角形的内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．

37．如图，是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180° ．（用度数表示） 【分析】根据三角形外角性质，可得∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，那么有∠1=∠C+∠A+∠D，再根据三角形内角和定理有∠1+∠B+∠E=180°，从而易求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

【解答】解：如右图所示，

∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，

∴∠1=∠C+∠A+∠D，

又∵∠1+∠B+∠E=180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

故答案是：180°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质．三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．

38．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE=∠DEC，点F在AC、点G在DE的延长线上，∠DFG=∠DGF．若∠EFG=35°，则∠CDF的度数为 70° ．

【分析】根据三角形内角和定理求出x+y=145，在△FDC中，根据三角形内角和定理求出即可．

【解答】解：∵∠DCE=∠DEC，∠DFG=∠DGF，

∴设∠DCE=∠DEC=x°，∠DFG=∠DGF=y°，

则∠FEG=∠DEC=x°， ∵在△GFE中，∠EFG=35°，

∴∠FEG+∠DGF=x°+y°=180°﹣35°=145°，

即x+y=145，

在△FDC中，∠CDF=180°﹣∠DCE﹣∠DFC=180°﹣x°﹣（y°﹣35°）

=215°﹣（x°+y°）

=70°，

故答案为：70°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，能求出x+y=145是解此题的关键．

39．如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB的平分线交AB边于点E，在AC边取点D，使∠CBD=20°，连接DE，则∠CED的大小= 10 （度）．

【分析】根据题意和图象，通过作辅助线，可以求得∠CED的度数，本题得以解决．

【解答】解：延长CB到F，

∵在△ABC中，∠ABC=100°，∠CBD=20°，

∴∠ABF=80°，∠ABD=80°，

∴AB平分∠FBD，

又∵∠ACB的平分线交AB边于点E，

∴点E到边BF，BD，AC的距离相等，

∴点E在∠ADB的平分线上，

即DE平分∠ADB，

∵∠DBC=∠ADB﹣∠ACB，∠DBC=20°，

∴∴10°=，

，

，

∵∠DEC=∠ADE﹣∠ACE=∴∠DEC=10°， 故答案为：10．

【点评】本题考查三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

40．如图，在△ABC中，∠A=70°∠B=50°，点D，E分别为AB，AC上的点，沿DE折叠，使点A落在BC边上点F处，若△EFC为直角三角形，则∠BDF的度数为 110°或50° ．

【分析】由内角和定理得出∠C=60°，根据翻折变换的性质知∠DFE=∠A=70°，再分∠EFC=90°和∠FEC=90°两种情况，先求出∠DFC度数，继而由∠BDF=∠DFC﹣∠B可得答案．

【解答】解：∵△ABC中，∠A=70°、∠B=50°，

∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=60°，

由翻折性质知∠DFE=∠A=70°，

当∠EFC=90°时，∠DFC=∠DFE+∠EFC=160°，

则∠BDF=∠DFC﹣∠B=110°；

当∠FEC=90°时，∠EFC=180°﹣∠FEC﹣∠C=30°，

∴∠DFC=∠DFE+∠EFC=100°，

∠BDF=∠DFC﹣∠B=50°；

综上，∠BDF的度数为110°或50°，

故答案为：110°或50°．

【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形内角和定理，熟知折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质是解答此题的关键．

三．解答题（共9小题）

41．如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD与∠BOA的度数．

【分析】因为AD是高，所以∠ADC=90°，又因为∠C=70°，求出∠DAC度数，根据∠EAD=∠EAC﹣∠DAC可求∠EAD；因为∠BAC=50°，∠C=70°，所以∠BAO=25°，∠ABC=60°，BF是∠ABC的角平分线，则∠ABO=30°，故∠BOA的度数可求．

【解答】解：∵AD⊥BC

∴∠ADC=90°

∵∠C=70°

∴∠DAC=180°﹣90°﹣70°=20°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=×50°=25°

∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=25°﹣20°=5°；

∵∠BAC=50°，∠C=70°

∴∠BAO=25°，∠ABC=60°

∵BF是∠ABC的角平分线

∴∠ABO=30°

∴∠BOA=180°﹣∠BAO﹣∠ABO=180°﹣25°﹣30°=125°．

【点评】本题考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．

42．在△ABC中，点D在边BA或BA的延长线上，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线于点E．

（1）如图1，当点D在边BA上时，点E恰好在边AC上，求证：∠ADE=2∠DEB；

（2）如图2，当点D在BA的延长线上时，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得出∠ABE=∠CBE，由平行线的性质可得出∠CBE=∠DEB、∠ADE=∠ABC，进而可得出∠ABE=∠DEB，再利用三角形外角的性质即可证出∠ADE=2∠DEB；

（2）根据角平分线的定义可得出∠ABC=2∠CBE，利用平行线的性质可得出∠DEB=∠CBE，进而可得出∠ABC=2∠DEB，再利用“两直线平行，同旁内角互补”可证出∠ADE+2∠DEB=180°．

【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE．

∵DE∥BC，

∴∠CBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，

∴∠ABE=∠DEB，

∴∠ADE=∠ABE+∠DEB=2∠DEB．

（2）∠ADE+2∠DEB=180°．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠CBE．

∵DE∥BC，

∴∠DEB=∠CBE，∠ADE+∠ABC=180°，

∴∠ABC=2∠DEB，

∴∠ADE+2∠DEB=180°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质以及三角形的外角性质，解题的关键是：（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ABE=∠DEB；（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质找出∠ADE+2∠DEB=180°．

43．动手操作：

一个三角形的纸片ABC，沿DE折叠，使点A落在点Aˊ处．

观察猜想

（1）如图1，若∠A=40°，则∠1+∠2= 80 °；

若∠A=55°，则∠1+∠2= 110 °；

若∠A=n°，则∠1+∠2= 2n °．

探索证明：

（2）利用图1，探索∠1、∠2与∠A有怎样的关系？请说明理由．

拓展应用

（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用（2）中结论求∠BA′C的度数．

【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；

（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE=∠A+∠AED、∠CED=∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；

（3）由（1）∠1+∠2=2∠A知∠A=54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=（∠ABC+∠ACB）=90°﹣∠A．利用∠BA'C=180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．

【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，

∴∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED， ∴∠ADE=（180°﹣∠1），∠AED=（180°﹣∠2）

在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，

∴40°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）=180°，

整理得∠1+∠2=80°；

同理∠A=55°，则∠1+∠2=110°；∠A=n°，则∠1+∠2=2n°；

故答案为：80°；110°；2n°；

（2）∠1+∠2=2∠A，

理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，

∴∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，

∴∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，

∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠ADE，

即∠1+∠2=2∠A；

（3）由（1）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=108°，

∴∠A=54°，

∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，

∴∠A'BC+∠A'CB=（∠ABC+∠ACB）

=（180°﹣∠A）

=90°﹣∠A．

∴∠BA'C=180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），

=180°﹣（90°﹣∠A）

=90°+∠A

=90°+×54°

=117°．

【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．

44．在△ABC中，BM平分∠ABC交AC于点M，点P是直线AC上一点，过点P作PH⊥BM于点H．

（1）如图1，当∠ACB=110°，∠BAC=30°，且点P与点C重合时，∠APH= 40 °；

（2）如图2，当点P在AC的延长线上时，求证：2∠APH=∠ACB﹣∠BAC；

（3）如图3，当点P在线段AM上（不含端点）时，

①补全图形；

②直接写出∠APH、∠ACB、∠BAC之间的数量关系： ∠APH=180°+（∠BAC﹣∠ACB） ．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠HBC，然后求出∠HCB，再根据∠APH=∠ACB﹣∠HCB计算即可得解；

（2）作射线AH，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，从而得到∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，再根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义用∠ACB和∠BAC表示出∠2，代入整理即可得解；

（3）用∠ACB和∠BAC表示出∠HBC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解．

【解答】解：（1）如图1中，

∵∠ACB=110°，∠BAC=30°，

∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠BCA=180°﹣110°﹣30°=40°，

∵BM平分∠ABC，

∴∠HBC=×40°=20°，

∵PP⊥BM，

∴∠HCB=90°﹣∠HBC=90°﹣20°=70°，

∴∠APH=∠ACB﹣∠OCB=110°﹣70°=40°；

故答案为40．

（2）如图2中，作射线AH，

则∠4=∠1+∠2，∠3=∠5+∠P，

所以，∠3+∠4=∠1+∠2+∠5+∠P，

∵PH⊥BH，

∴∠3+∠4=90°，

∴∠1+∠2+∠5+∠P=90°，

即∠BAC+∠2+∠P=90°，

∵BH平分∠ABC，

∴∠2=∠ABC，

∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，

∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB，

∴∠2=（180°﹣∠BAC﹣∠ACB），

∴∠APH=90°﹣∠BAC﹣∠2=90°﹣∠BAC﹣（180°﹣∠BAC﹣∠ACB）=（∠ACB

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