2020-2021学年七年级数学苏科版下册课时练:7.5多边形的内角和与外角和

2023年12月10日发(作者：巴彦街道)

-

2020-2021学年七年级数学苏科版下册课时练：

7.5 多边形的内角和与外角和（三）

1．（1）如图①，在△ABC中，P是△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎样的大小关系？证明你的结论；

（2）如图②，△ABC两个外角∠CBD、∠BCE的角平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数；

②已知∠A＝n°，求∠BOC的度数．

2．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．

（1）请根据下列图形，填写表中空格：

正多边形边数

正多边形每个内角的度数

3

4

5

6

…

…

（2）如图，如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形；

（3）正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用第1页（共22页）

这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．

3．已知任意三角形的内角和为180°，试利用多边形中过某一点的对角线条数，寻求多边形内角和的公式．

根据上图所示，一个四边形可以分成 个三角形；于是四边形的内角和为

度：一个五边形可以分成 个三角形，于是五边形的内角和为 度，…，按此规律，n边形可以分成 个三角形，于是n边形的内角和为 度．

4．（1）如图1，则∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ．

（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数；

（3）如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，请猜想∠P、∠B、∠D之间的数量关系．并说明理由．

第2页（共22页）

5．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．

（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；

（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；

（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．

6．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°．

（1）如图1，若BE平分∠ABC，DF平分∠ADC的邻补角，请写出BE与DF的位置关系，并证明；

（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系，并证明；

（3）如图3，若BE、DE分别五等分∠ABC、∠ADC的邻补角，（即∠CDE＝∠CDN，∠CBE＝∠CBM），求∠E度数．

第3页（共22页）

7．问题引入：

（1）如图①所示，△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，

若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示）：不用说明理由，直接填空．

如图②所示，∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，

若∠A＝α，则∠BOC＝ （用α表示），不用说明理由，直接填空．

（2）如图③所示，∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB，若∠A＝α，则∠BOC＝

（用α表示），填空并说明理由．

8．如图，∠CAD与∠CBD的角平分线交于点P．

（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度数；

（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量关系．

第4页（共22页）

9．阅读下面的材料，并解决问题．

（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．

如图1，∠O＝ ；如图2，∠O＝ ；如图3，∠O＝ ；

如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝ ．

（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+∠A．

（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．

10．已知：△ABC中，AE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的BC边上的高，过点B做BF∥AE，交直线AD于点F．

（1）如图1，若∠ABC＝70°，∠C＝30°，则∠AFB＝ ；

（2）若（1）中的∠ABC＝α，∠ACB＝β，则∠AFB＝ ；（用α，β表示）

（3）如图2，（2）中的结论还成立吗？若成立，说明理由；若不成立，请求出∠AFB．（用α，β表示）

第5页（共22页）

11．阅读材料：

连接多边形的对角线或在多边形边上（非顶点）取一点或在多边形内部取一点与多边形各顶点的连线，能将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．

（1）请你按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法所得到的小三角形的个数为 个、 个、 个．

（2）当多边形为n边形时，按照上述方法进行分割，写出每种分法所得到的小三角形的个数为 个、 个、 个．

第6页（共22页）

12．在△ABC中，∠C＝80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC（不与A、B、C重合）上的点，（P与D、E不在同一条直线上），令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α，

（1）若点P在边AB上，如图（1）且∠α＝40°，则∠1+∠2＝ °；

（2）若点P在△ABC的外部，如图（2）则∠α，∠1，∠2之间有何关系？

（3）若点P在△ABC边BA的延长线上运动（CD＞CE），直接写出∠α，∠1，∠2之间的关系．

13．在活动课上我们曾经探究过三角形内角和等于180°，四边形内角和等于360°，五边形内角和等于540°

，…，请同学们仔细读题，看图，解决下面的问题：

（1）如图①，△OAB、△OCD的顶点O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，则∠AOB+∠COD＝ （直接写出结果）．

（2）连接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线．

①如图②，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度数为 （直接写出结果）．

②如图③，若∠AOD＝∠BOC，AB与CD平行吗？请写出理由．

第7页（共22页）

14．（1）如图1，在△ABC纸片中，点D在边AC上，点E在边AB上，沿DE折叠，当点A落在CD上时，∠DAE与∠1之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；

（2）若折成图2时，即点A落在△ABC内时，请找出∠DAE与∠1，∠2之间的关系式并说明理由．

15．如图，（1）求证：∠ABC＝∠A+∠C+∠ADC；

（2）若∠A＝52°，∠C＝20°，BE、DE分别平分∠ABC和∠ADC，交于点E，求∠E的度数．

第8页（共22页）

参考答案

1．证明：（1）∠BPC＞∠BAC．

连接AP并延长到M．

∵在△ABP中，∠BPM＞∠BAM，

在△ACP中，∠CPM＞∠CAM，

∴∠BPM+∠CPM＞∠BAM+∠CAM，

∴∠BPC＞∠BAC；

（2）解：①∵∠A＝40°，

∴∠ABC+∠ACB＝140°，

∴∠OBC+∠OCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（360°﹣140°）＝110°，

∴∠BOC＝180°﹣110°＝70°；

②由①可知∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣ [（360°﹣（180°﹣∠A）]

即∠BOC＝（90﹣）°

2．解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n﹣2）•180°÷n；

（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；

（3）如：正方形和正八边形（如图），设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八第9页（共22页）

边形的角，那么m，n应是方程m•90°+n•135°＝360°的正整数解．即2m+3n＝8的正整数解，只有m＝1，n＝2一组，∴符合条件的图形只有一种．

3．解：根据图形所示，一个四边形可以分成2个三角形；于是四边形的内角和为 360度：一个五边形可以分成 3个三角形，于是五边形的内角和为 540度，…，按此规律，n边形可以分成 （n﹣2）个三角形，于是n边形的内角和为 （n﹣2）•180度．

故答案为：2；360：3，540，（n﹣2），（n﹣2）•180．

4．解：（1）∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D，

故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，

∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，

由（1）可得：∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠DCP+∠D，

∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，

即2∠P＝∠B+∠D，

∵∠B＝36°，∠D＝14°，

∴∠P＝25°；

（3）2∠P＝∠B+∠D．

理由：∵CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，

∴∠ECP＝∠PCB，∠FAG＝∠GAD，

∵∠PAB＝∠FAG，

∴∠GAD＝∠PAB，

∵∠P+∠PAB＝∠B+∠PCB，

∴∠P+∠GAD＝∠B+∠PCB，

∵∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，

∴∠P+（180°﹣∠GAD）＝∠D+（180°﹣∠ECP），

∴2∠P＝∠B+∠D．

第10页（共22页）

5．（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，

∠AOD＝∠BOC，

∴∠A+∠D＝∠C+∠B；

（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，

∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，

由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，

∴∠A+∠C＝2∠E，

∵∠A＝28°，∠C＝32°，

∴∠E＝30°；

（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．

理由：∵∠CDE＝∠ADC，∠CBE＝∠ABC，

∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，

由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，

∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，

∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，

即∠A+2∠C＝3∠E．

6．解：（1）结论：BE⊥DF．

理由：如图1中，延长BE交FD的延长线于H．

∵∠A＝∠C＝90°，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∵∠ADC+∠CDN＝180°，

∴∠ABC＝∠CDN，

∵∠ABE＝∠ABC，∠FDN＝∠EDH＝∠CDN，

∴∠ABE＝∠EDH，

第11页（共22页）

∵∠ABE+∠AEB＝90°，∠AEB＝∠DEH，

∴∠DEH+∠EDH＝90°，

∴∠H＝90°，即BE⊥DF；

（2）结论：DE∥BF．

理由：如图2中，连接BD．

∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MBC+∠ABC＝180°，∠CDN+∠ADC＝180°，

∴∠MBC+∠CDN＝180°，

∵∠CBF＝∠MBC，∠CDN＝∠CDN，

∴∠CBF+∠CDE＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠CBD+∠CDB＝90°，

∴∠EDB+∠FBD＝∠CBF+∠CDE+∠CBD+∠CDB＝180°，

∴DE∥BF；

（3）如图3中，

∵∠MBC+∠CDN＝180°，

∴∠CDE+∠CBE＝（∠MBC+∠CDN）＝36°，

∵∠DCB＝∠E+∠CBE+∠CDE，

∴∠E＝90°﹣36°＝54°．

7．解：（1）在△ABC中，∠A＝α，

第12页（共22页）

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α．

如图①所示，∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB．

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣α）＝180°﹣90°+α＝90°+α；

如图②所示，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣α）＝180°﹣60°+α＝120°+α．

故答案为：90°+α；120°+α．

（2）∠BOC＝120°﹣α，理由如下：

∵∠OBC＝∠DBC，∠OCB＝∠ECB，∠A＝α，

∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB），

＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），

＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A），

＝180°﹣（180°+∠A），

＝180°﹣60°﹣α，

＝120°﹣α．

故答案为：120°﹣α．

8．解：（1）设∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，

根据∠CAD和∠CBD的角平分线相交于点P可知：

∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y，

∵三角形的内角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，

∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．

∵∠AEB是△APE与△DBE的外角，

第13页（共22页）

∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．

同理，∵∠AFB是△ACF与△BFP的外角，

∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，

①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，

①﹣③得，x＝y+29°﹣∠P⑤，

④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，

2∠P＝35°+29°，

解得∠P＝32°；

（2）∠P＝（∠C+∠D），理由如下：

由（1）同理可知：

2∠P＝∠C+∠D，

解得∠P＝（∠C+∠D）．

9．解；（1）如图1，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB

∴∠OBC+∠OCB

＝（∠ABC+∠ACB）

＝（180°﹣∠BAC）

＝（180°﹣60°）

＝60°

∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；

如图2，

第14页（共22页）

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACD

∵∠ACD＝∠ABC+∠A

∴∠OCD＝（∠ABC+∠A）

∵∠OCD＝∠OBC+∠O

∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC

＝∠ABC+∠A﹣∠ABC

＝∠A

＝30°

如图3，

∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD

∴∠OBC＝∠EBC，∠OCB＝∠BCD

∴∠OBC+∠OCB

＝（∠EBC+∠BCD）

＝（∠A+∠ACB+∠BCD）

＝（∠A+180°）

＝（60°+180°）

＝120°

第15页（共22页）

∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°

如图4，

∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2

∴∠O2BC＝∠ABC，∠O2CB＝∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C

∴∠O2BC+∠O2CB

＝（∠ABC+∠ACB）

＝（180°﹣∠BAC）

＝（180°﹣60°）

＝80°

∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°

∴∠BO2O1＝∠BO2C＝50°

故答案为：120°，30°，60°，50°；

（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，

∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（180°﹣∠A）

＝90°+∠A．

（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°

第16页（共22页）

∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°

∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°

∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°

或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，

∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°

∴α＝20°，β＝25°

∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，

∴∠A＝70°．

10．解：（1）∵∠ABC＝70°，∠C＝30°，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°，

∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠BAE＝∠BAC＝40°，

∵AD是△ABC的BC边上的高，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣70°＝20°，

∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°，

∵BF∥AE，

∴∠AFB＝∠EAD＝20°，

故答案为20°；

（2）∵∠ABC＝α，∠C＝β，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，

∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠BAE＝∠BAC＝∵AD是△ABC的BC边上的高，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣α，

第17页（共22页）

， ∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝∵BF∥AE，

∴∠AFB＝∠EAD＝故答案为（3）不成立，

；

，

﹣（90°﹣α）＝，

∵∠ABC＝α，∠C＝β，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∠ABD＝180°﹣α，

∵AE是△ABC的角平分线，

∴∠BAE＝∠BAC＝∵AD是△ABC的BC边上的高，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，

∴EAD＝∠BAE+∠BAD＝∵BF∥AE，

∴∠AFB+∠EAD＝180°，

∴∠AFB＝180°﹣11．解：（1）如图所示：

．

+（α﹣90°）＝，

，

可以发现所分割成的三角形的个数分别是4个，5个，6个；

（2）结合两个特殊图形，可以发现：

第一种分割法把n边形分割成了（n﹣2）个三角形；

第二种分割法把n边形分割成了（n﹣1）个三角形；

第三种分割法把n边形分割成了n个三角形．

故答案为：4，5，6；（n﹣2），（n﹣1），n．

第18页（共22页）

12．解：（1）∵∠CEP＝180°﹣∠2，∠CDP＝180°﹣∠1，

∴180°﹣∠2+180°﹣∠1+∠α+80°＝360°，

即∠1+∠2＝80°+∠α，

∵α＝40°，

∴∠1+∠2＝120°．

故答案为：120．

（2）根据三角形外角的性质可知，

∠2﹣∠α＝∠1﹣80°，

则∠2﹣∠1＝∠α﹣80°．

（3）如图3﹣1，

∠2＝80°+∠1+∠α，

则∠2﹣∠1＝∠α+80°；

如图3﹣2，

②∠2＝80°+∠1﹣∠α，

∠2﹣∠1＝80°﹣∠α．

13．解：（1）∵∠AOB+∠COD+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°×2＝360°，∠A+∠B+∠第19页（共22页）

C+∠D＝180°，

∴∠AOB+∠COD＝360°﹣180°＝180°．

故答案为180°；

（2）①∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，

∴∠OAB＝DAB， CBA，∠OCD＝BCD，∠ODC＝ADC，

∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，

在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，

在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，

∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，

∴∠AOB+∠COD＝180°；

∵∠AOB＝110°，

∴∠COD＝180°﹣110°＝70°．

故答案为：70°；

②AB∥CD，理由如下：

∵AO、BO、CO、DO分别是四边形ABCD的四个内角的平分线，

∴， CBA，，，

∴∠OAB+∠OBA+∠OCD+∠ODC＝×360°＝180°，

在△OAB中，∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB，

在△OCD中，∠OCD+∠ODC＝180°﹣∠COD，

∴180°﹣∠AOB+180°﹣∠COD＝180°，

∴∠AOB+∠COD＝180°；

∴∠ADO+∠BOD＝360°﹣（∠AOB+∠COD）＝360°﹣180°＝180°，

∵∠AOD＝∠BOC，

∴∠AOD＝∠BOC＝90°．

在∠AOD中，∠DAO＝∠ADO＝180°﹣∠AOD＝180°﹣90°＝90°，

∵，

第20页（共22页）

∴＝90°，

∴∠DAB+∠ADC＝180°，

∴AB∥CD．

14．解：（1）结论：∠1＝2∠DAE．

理由：如图1中，延长BE交CD于R．

由翻折可知，∠EAD＝∠R，

∵∠1＝∠EAD+∠R，

∴∠1＝2∠EAD．

（2）结论：∠1+∠2＝2∠EAD．

理由：如图2中，延长BE交CD的延长线于T，连接AT．

由翻折可知，∠EAD＝∠ETD，

∵∠1＝∠EAT+∠ETA，∠2＝∠DAT+∠DTA，

∴∠1+∠2＝∠EAT+∠ETA+∠DAT+∠DTA＝∠EAD+∠ETD＝2∠EAD．

15．（1）证明：连接DB，延长DB到T．

第21页（共22页）

∵∠ABT＝∠A+∠ADB，∠CBT＝∠C+∠CDB，

∴∠ABC＝∠ABT+∠CBT＝∠A+∠ADB+∠CDB+∠C＝∠A+∠ADC+∠C．

（2）解：设DE交AB于点O．

∵∠ABC＝∠A+∠ADC+∠C，BE平分∠ABC，

∴∠OBE＝∠ABC＝（∠A+∠ADC+∠C），

∵∠A+∠ADO＝∠E+∠OBE，

∴∠E＝∠A+∠ADO﹣∠OBE，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠ADC，

∴∠E＝∠A+∠ADC﹣（∠A+∠ADC+∠C）＝（∠A﹣∠C）＝16°．

第22页（共22页）

-