第一讲 三角形的边及线段

2023年12月10日发(作者：党的纪律学习心得)

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第一讲 三角形的边及线段

知识要点

1、三角形的概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

2、三角形的三边关系

三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b

两边之差小于第三边。

3. 三角形的三条重要线段

三角形的高

定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）

1.画出①、②、③三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.

AAA

B三角形的中线

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线

三角形的角平分线

定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

4． 三角形的稳定性

三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。

CBCBC经典例题

例1.一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）

A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm 例2.有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12

例3.从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是( )．

(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个

例4.若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )．

(A)6＜l＜15

(C)11＜l＜13

(B)6＜l＜16

(D)10＜l＜16

例5.(1)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．

(2)已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．

(3)一个等腰三角形的周长为30cm，一边长为6cm，求其它两边的长．

(4)有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

例6.如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=AB，AD=4厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。

45例是△ABC的中线，DE=2AE，若△ABC的面积是18cm2，则△ABE的面积=__________

例8.如图，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．

例9、如图，在ΔABC中，AD是ΔABC的高，AE是ΔABC的角平分线，已知∠BAC=82，∠C=400，求∠DAE的大小。

0 例10..如图，在△ABC中，BD是角平分线，BE是中线，若AC=24cm，则AE=

cm，若∠ABC=72°，则∠ABD=_____度．

例11、在建筑工地我们常可看见如右图所示，用木条EF

固定矩形门框ABCD的情形.这种做法根据( )

A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线

C.三角形的稳定性 D.垂线段最短

例12、我们学校的大门是电动推拉门，这种门工作的原理

是根据四边形的 。

同步练习

1、如果三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5，其中可构成三角形的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）

A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm

3、为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16

m，PB=12 m，那么AB间的距离不可能是（）

A．5 m B．15m C．20 m D．28m

4、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为（）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

5、三角形的角平分线、中线和高都是（） A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对

6、如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，那么折痕（线段AD）是△ABC的（）

A．中线

C．高

B．角平分线

D．既是中线，又是角平分线

7、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中，错误的是（ ）

A．△ABC中，AC是BC边上的高

B．△BCD中，DE是BC边上的高

C．△ABE中，DE是BE边上的高

D．△ACD中，AD是CD边上的高

8、若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.

9、三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________.

10．在△ABC中，AD是中线，则△ABD的面积______△ACD的面积．（填“>”，“<”或“=”）

11．在△ABC中，若∠A=30°， ∠B=60°，则这个三角形为 三角形；若∠A：∠B：∠C=1：3：5，这个三角形为 三角形．（按角的分类填写）

12．一木工师傅有两根长分别为5cm、8cm的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，现有3cm、10cm、20cm三根木条，他可以选择长为 cm的木条．

13．若一个等腰三角形的两边长分别是3 cm和5 cm，则它的周长是____ _ cm．

14 、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．

拓展提高

1、已知等腰三角形的一边长等于4，另一边长等于9，求这个三角形的周长。

2．(1)若三角形三条边的长分别是7，10，x，求x的范围．

(2)若三边分别为2，x－1，3，求x的范围．

(3)若三角形两边长为7和10，求最长边x的范围．

(4)等腰三角形腰长为2，求周长l的范围．

(5)等腰三角形的腰长是整数，周长是10，求它的各边长．

3．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分为9cm和15cm两部分，求这个等腰三角形的底边长和腰长．

4．如图，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O，且∠A=60°，求∠BOC的度数．

5．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，

（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；

（2）在△BED中作BD边上的高；

（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？

6．已知△ABC中，∠BAC=100°．

（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；

（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；

（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．

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