初中数学_三角形中线等分面积的探究教学设计学情分析教材分析课后反思

2023年12月10日发(作者：中国象棋软件)

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中小学教师“优课”教学设计

三角形中线等分面积的探究

【设计说明】

该教学内容为新七年级下册第十章《三角形的有关证明》第一节前的补充内容，以七年级上册第一章《三角形》第一节第5课时的内容《三角形的中线》为基础，为后续学习四边形，解决相关面积问题做基础.从知识技能方面来讲，三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年来多以计算和证明题的形式出现.而对于三角形的中线来讲，与其作为条件之一隐藏在综合题目中的作用相比，其等分三角形面积的应用更容易作为探究类题目呈现.从数学思考及解决问题方面来看，本节内容以几何直观为依托，在演绎推理和合情推理的双重作用下，将图形的发生与发展规律用符号与模型刻画出来，继而运算解决问题,既注重知识的理解与深化应用，更注重借助于数学活动经验的积累渗透培养学生的数学核心素养，提高学生的数学学习能力以及数学应用意识.

因此，本节课以培养学生良好的数学思维、能力为基本目的，以发展学生良好的数学核心素养为终极目标.

【教学目标】

知识技能：理解三角形的中线等分三角形的面积；探究三角形的中线等分三角形的面积的实际应用.

数学思考：让学生经历画图实践、探究总结形成三角形中线等分面 积的基本模型.

解决问题：通过画图实践，培养学生数学建模、数形结合、几何问题代数化等良好数学思想方法.

情感态度：培养学生把握数学知识的来龙去脉及举一反三的能力，形成有论据、有条理、有逻辑的思维习惯，提高学生的表达能力.

【教学重点】

形成三角形中线等分面积应用的基本模型;

渗透整体与部分、数形结合及从一般到特殊等数学思想方法

【教学难点】

三角形中线等分面积基本模型的建立及应用；

整体与部分、数形结合及从一般到特殊等数学思想方法的渗透

【教学过程】

A引 例：如图，AD是△ABC的中线，AF⊥BC，垂足是点F，

（1）

AF是图中哪几个三角形的高？

（2）图中哪两个三角形的面积相等？请说明理由.

BDFC探究一：

根据引例，咱们能得到些什么启示呢？由此，已知三角形ABC，你能做出在△ABC基础上做出S△ABD2S△ABC吗？怎么画？有几种方法？请尝试作图.

【问题解决】

先由学生谈谈自己的想法，看是否有学生能够想出逆向扩展三角形面积的问题，根据学生的回答引导学生从正向应用到逆向思考，再 由学生动手作图，做出S△ABD2S△ABC.“怎么画？有几种方法？”的问题会引起学生的思考，在2种或3种或6种不同的作图中，让学生自己说明理由，根据S△ABD2S△ABC的一边AB可以有两种不同的分析，对于3种或6种的答案应该是只考虑到了2S△ABC，而忽略了AB这一公共边的条件，在此利用此机会教育学生发现问题要认真，分析问题要仔细.

【设计意图】

在学生前置作业的准备中，学生已经能够熟练的将三角形分为面积相等的两个三角形，这里“变分为补”，做S△ABD2S△ABC，将中线等分面积进行逆向应用，既能够让学生更为深入的理解“三角形中线等分面积”，更能够培养学生的逆向思维，提高学生数学思考能力，并为后面解决实际应用的探究二做好知识准备.

探究二：

如图，已知△ABC的面积为a.

如图（1）所示，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA，若△ACD的面积为S1，则S1=____________（用含有a的代数式表示）；

如图（2）所示，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE，若△DEC的面积为S2，则S2=____________（用含有a的代数式表示），并写出理由；

如图（3）所示，在如(2)的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF，若阴影部分的面积为S3，则S3=____________（用含有a的代数式表示）.

E

E1ADCD1AAABCBCDBCB

发现：如图4所示,像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得到端点，得到△D1E1F1，此时，我们称△ABC向外生长了一次，再次将△DEF按照上述同样的方法将各边顺次延长一倍，连接所得到端点，得到△D2E2F2称为△ABC向外生长了两次，以此类推……可以发现，扩展一次后得到的△D1E1F1的面积是与原△ABC面积之间满足的关系为_____，扩展两次后得到的△D2E2F2的面积是与原△ABC面积之间满足的关系为___________，扩展三次后得到△D3E3F3的面积是与原△ABC面积之间满足的关系为___________，扩展n次后得到的△DnEnFn的面积是与原△ABC面积之间满足的关系为___________.

【问题解决】

在前面问题的铺垫下，该问题放手让学生独立解决，“发现”的解决中，要注意引导学生思考该问题与前面3个问题的异同，只要分析出图中整体或是部分，从“异”入手，问题便可以解决.同时此处要注意由数到式，由特殊到一般，由部分到整体的数学思想方法的渗透.

【设计意图】

探究二在探究一逆向应用的基础上，继续拓展为3S△ABC,7S△ABC……，并由简单到复杂，由特殊到一般，通过数形结合，最终建立了外延三角形扩展面积与原三角形面积之间的数量关系模型，有效培养了学生的数形结合意识、建模意识以及由特殊到一般的数学思想方法.

应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4所示），求这两次扩展的区域（阴影部分）面积共为多少平方米？

FEABCDHM

【设计意图】

G图4

“应用”将探究一、二中建立的模型应用于实际问题，提高学生应用数学的意识和能力.

信心加油站：

同学们，本节课到现在，你做了设计师，还做了工程师，尽管个别地方有些崎岖，可这也正是数学之魅力所在.因为平坦的小路中我们无法收获知识，只有在九转十八弯的叠山翠绿中，我们才能够发现更美的风景.愿不愿意随老师继续登山寻景呢？

总结：经过以上问题，我们通过逆用中线等分三角形的面积更深入的理解了三角形中线等分三角形面积的应用.

三角形一边的中线能够将三角形的面积等分，如果在三角形中画出两条边的中线，又会存在怎样的数量关系呢？

探究三：

根据以上思考完成下列问题：

已知：△ABC的面积为1，

（1）如图（1）所示，若D，E分别是BC、AC的中点，AD与BE 交于点F，则四边形CDFE的面积为____________.

（2）如图（2）所示,D、E为AC的三等分点，F、G为BC的三等分点，AF与BE相交于点P，求四边形PECF的面积.

BDCBAENGPFADAFECNBPGFDEC图（1） 图（2） 图（3）

（3）如图（3）所示，E、F分别为边AC和边BC的距离C点最近的n等分点，且AF与BE相交于点P，则四边形PECF的面积为____________.

【问题解决】

该探究的解决关键在第一个问题上因此，我将问题全盘抛给学生，在两条中线分割△ABC形成4个图形后，它们各自的面积又有什么特殊的关系呢？由学生分小组认领不同的图形，进行分析讨论.

经过思考,学会不难发现S△AEF=S△BFD, S△ABF=S四边形DCEF,但是很难继续发现每个图形与S△ABC之间的等量关系.因此教师要根据学生分析引导学生思考E,D作为AC,BC的中点的其它作用，除了存在BE,AD两条中线以外,还有DF与EF两条中线存在.引导学生连接CF,并利用FE平分S△ACF,FD平分S△BCF,方法有二：一、得到S△CEF=S△AEF=

S△CDF= S△BFD，若设S△CEF=S△AEF= S△CDF= S△BFD=x，则S△ABF=2x,进而得到S四边形DCEF=

1.二、直接利用中线DF，EF的作用，也是为了更3容易解决后面的（2）与（3），我们可以在（1）中，分别设S△CEF=S△AEF=x ， 1x2y,2S△CDF= S△BFD=y，因此可以建立方程模型，再次分析（2）1y2x.211x3y,xny,3n（3）分别得到，得到在等分线段的作用下不规11y3x.ynx.n3则四边形的面积.

【设计意图】

探究三属于“三角形中线等分面积”的灵活应用，将问题的思考由外转内，由一边一条中线的图形变为两边上的两等分线、三等分线直到n等分线的图形，将几何问题代数化，发现并建立关于等分线段所形成的四边形面积的二元一次方程组的基本模型，并再次由简单到复杂，由特殊到一般，较高层次的培养了学生的图形分析能力，数形结合意识、建模意识以及由特殊到一般的数学思想方法，发展了学生的数学思维，提高了学生解决问题的数学能力.

该部分属于本课题学习的高潮部分，探究上出现了一定的难度.教学中，小组分工认领，组内合作讨论，自然的将整体问题局部化，有效的将问题化难为简，既激发了学生的好奇心、求知欲，又培养了学生勇于克服困难的自信心与意志力，更能够将独立思考与合作交流结合起来，培养学生形成团队合作意识，明白1+1>2的道理. 另外，伴随着一系列认知活动的进行，学生必然会有情感的激发、兴趣的培养、意志的锻炼、习惯的养成，进而得到个性与健全的人格.

总结:

通过本节课的学习，你学到了什么知识？领悟了哪些思想方法呢？

【问题解决】

学生畅谈，教师补充，重点将本节课由外及内、由特殊到一般的探究思路及数形结合、模型建立等数学思想方法进行总结.

本节课，我们通过对“三角形中线等分三角形面积”的深入探究，从外扩到内分，从整体到部分，用代数的方法解决了不规则图形的面积，既掌握了数学知识，又提高了解决问题的能力，更重要的是，通过这一节课的学习，我发现同学们的探索精神、合作意识更强了。相信由此学习能力相伴，同学们将来的路肯定越走越宽，越走越顺！

【板书设计】

三角形中线等分面积的探究应用

探

知识------思想方法

究

EA的

A外

A内

AE精整体 部分

F神

BC中小学教师“优课”几何B

C代数D

BBDDCC图1三角形中线等分面积的探究应用图F

图F1学情分析

本章是证明的起始阶段，学生先前已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结论，学生也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但毕竟不是证明。本章首先要让学生明确

合作的意识E1AC图

B 认识到，这些探究的结论需要加以证明；然后明确证明需要一个话语体系，为此就有了所谓的定义、命题等；其次，证明需要确定一些出发点，为此，需要梳理有关结论，选择某些结论作为证明的出发点（实际上这就是构建局部的公理体系）；有了这些证明的出发点，下面自然就应依次证明一些先前探究得到的定理，在证明过程中，初步掌握证明的要求和格式，再次认识到证明的严谨性，做到步步有据，发展学生的推理能力。

本节问题的提出，立足于课本，又超出课本的基本内容，注重知识的螺旋上升，突出建模、数形结合、从特殊到一般、由整体到部分等数学思想方法的培养与渗透.

中小学教师“优课”

三角形中线等分面积的探究应用

效果分析

对于本节课的学习效果，我分别以练习课和探究课两种不同的课型进行了对比，练习课班级只是就题讲题，以解决完学案上的问题为目的,探究课班级以题目为依托，注重渗透由外及内、由特殊到一般的探究思路及数形结合、模型建立等数学思想方法.下表是两种不同课型在练习题目中的对比分析.

问题

探究二 （1） S1 （2） S2

练习课班级完成率 探究课班级完成率

63.6% 95.7%

探究二 （3）S3

探究二 发现

应 用

探究三（1）

探究三（2）

探究三（3）

33.4%

53.2%

57.3%

10.7%

8.75%

5.48%

85.1%

92.7%

92.1%

34.1%

86.7%

83.6%

从以上的对比分析中可以发现，随着题目难度的增大，涉及到的数学思想方法的增多，探究课学生的完成率越来越大于练习课的完成率.尤其是探究三，如果只是沿用练习课中一般的图示分析法得到（1）的答案，学生不能建立解决问题的直观模型，就无法对复杂图形做出分析，相对于探究课来讲，图示分析法与方程组模型的建立，可以使学生得到两种不同的解决问题的思路，几何问题代数化的方法更为后面复杂图形的分析提供了基本模型，因此探究课中，多数学生能够快速地列出方程组，并解决问题.

因此，本节探究课基本实现了数形结合、建模由特殊到一般的构建等教学目标.

中小学教师“优课”

三角形中线等分面积的探究

教材分析

该教学内容为新七年级上册第一章《三角形》第一节第5课时的 深入探究内容，由于学生尚未学习二元一次方程组，因此，把该部分探究放置于七年级下册第十章《三角形的有关证明》第一节前，第七章《二元一次方程组》与第八章第6节《三角形的内角和定理》之后，比课本内容略有提高，探究性更强。该课题设计的主要目的是让学生对三角形的有关线段进行更为深入的理解和探究，既掌握三角形中线等分三角形面积的基本应用，又能够理解并掌握“几何问题代数化”的转化思想，以及渗透由“外”到“内”，由“整体”到“局部”的几何直观理念，为后续学习《三角形的有关证明》、《四边形》等几何知识提供良好的图形分析与计算方法，已将其作为课题学习进行多个级部与班级教学，教学效果优秀.

从数学能力的培养上来看，解决推理入门难是本章的难点，本章节开始将在关注培养学生合情推理的同时，着重提高学生的演绎推理能力。合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论．因此，本课题内容以这两种能力的发展为主要关注点,分别从逆向思考到正面探究、从特殊到一般、从整体面积到部分面积三个方面为突破点，注意作图、探究等数学活动经验的积累，以培养学生良好的数学思维、能力为基本目的，以发展学生良好的数学核心素养为终极目标.

中小学教师“优课”评测练习

三角形中线等分面积的探究应用

★

1．在△ABC中，已知点D,E,F分别是边BC,AD,CE上的中点，且S△ABC4cm2，则S△BEF的值为（ ）

A．2cm2 B．1cm2

★★

C．0.5cm2 D．0.25cm2

2．△ABC的两条中线AD、BE交于点F，连接CF，

若△ABC的面积为24，则△ABF的面积为（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

★★★

3．如图，△ABC中，点E是BC上一点，EC=2BE，点D是AC的中点，若△ABC的面积S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

★★★★

4．如上图，△ABC的面积为1．第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2017，最少经过_______________次操作.

5. ★★★★★

拓展练习：已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：

AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．

中小学教师“优课”

三角形中线等分面积的探究应用

课后反思

该教学内容为新七年级下册第十章《三角形的有关证明》第一节前的补充内容，以七年级上册第一章《三角形》第一节第5课时的内容《三角形的中线》为基础，以培养学生良好的数学思维、能力为基本目的，以发展学生良好的数学核心素养为终极目标. 重点实现了以下三方面：

一、 从逆向思考到正面探究

在引例的作用下，学生对“三角形一边的中线等分三角形的面积”已经有了基本认识，探究二要求学生在△ABC的基础上做出

S△ABD=2S△ABC，通过学生动手延长边AB，更加深入思考中点线段的两1种表示方式，BD=2BC，BDBC，变分为补，变正向思考为逆向2应用，变静态为动态，知识上能够更有效地帮助学生理解“等分三角形的面积”的条件，能力上能够更有助于学生逆向思维的培养.

二、从特殊到一般

探究二以及探究三两个题目设置都是通过图形的发生与发展，从S△D1E1F1=7S△ABC，S△D2E2F2=72S△ABC到S△DnEnFn=7nS△ABC；从111x3yx2yxny32n，到，从具体数的规律到一般y2x1y3x1ynx123n式子的刻画，结合图形的发生发展规律的分析，训练学生的数感及符号意识，培养学生从特殊到一般的数学思维方式方法.

三、从整体面积到部分面积

尽管探究二、三两个问题研究的都是图形变化后的结果与原图形之间的数量关系，但二者指向性各有不同，探究二的设计是由小到大，由部分到整体的研究，探究三的设计是由大到小，由整体到部分的研究.整体设计由规则图形到不规则图形，引导学生分析图形，积累图形分析活动经验，掌握数学中“以不变应万变”的方式方法，注重培养学生的严密的逻辑思维及较强的几何直观能力.

从教学过程来看，学生在学习过程中积累了一定的数学活动经验但数学核心素养的培养不是一朝一夕，一节课，几节课能够解决的问题，教学中，我会注重各种核心素养潜移默化的渗透，注意数学能力与数学品质的培养，力争实现变“数学教育”为“教育数学”.

中小学教师“优课”

三角形中线等分面积的探究应用

课标分析

学科素养：从知识技能方面来讲，三角形各边的中点、中线及中 位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年来多以计算和证明题的形式出现.而对于三角形的中线来讲，与其作为条件之一隐藏在综合题目中的作用相比，其等分三角形面积的应用更容易作为探究类题目呈现.从数学思考及解决问题方面来看，本节内容以几何直观为依托，在演绎推理和合情推理的双重作用下，将图形的发生与发展规律用符号与模型刻画出来，继而运算解决问题,既注重知识的理解与深化应用，更注重借助于数学活动经验的积累渗透培养学生的数学核心素养，提高学生的数学学习能力以及数学应用意识.

德育渗透：通过命题验证、逻辑推理等活动使学生掌握逻辑归纳与演绎、命题求证与论证、思维严谨与流畅的思维品质.培养学生把握数学知识的来龙去脉及举一反三的能力，形成有论据、有条理、有逻辑的思维习惯与表达能力，自觉学会并运用知识解决问题的意识与习惯，养成做事条理分明、严谨细致、一丝不苟、严肃认真的个性品质.培养用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界的良好习惯及意识.

因此，本节课以培养学生良好的数学思维、能力为基本目的，以发展学生良好的数学核心素养为终极目标.

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