八年级数学上册三角形有关的角-燕尾模型专项练习(含解析)

2023年12月10日发(作者：田忌赛马教学反思)

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三角形有关的角-燕尾模型专项练习

如图：这样的图形称之为“燕尾模型”

结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C

一、单选题

，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠21．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°＝18°，则∠1的度数为（ ）

A．50° B．118° C．100° D．90°

，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交2．如图，在△ABC中，∠A=20°于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（ ）

A．24°

二、填空题

B．25° C．30° D．36°

3．如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__． 4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝__．

5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于__．

6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．

7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．

8．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是__． 9．如图，在ABC中，ABC80，ACB50，BP平分ABC，CP平分ACB，则BPC______.

三、解答题

10．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

．．．．．．①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；

，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）

②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠BG1C=77°，则③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°．

∠A的度数=__________°如图，ABC中，（1）若ABC、ACB的三等分线交于点O1、O2，请用A表示BO1C、BO2C；11．（2）若ABC、ACB的n等分线交于点O1、O2On1（O1、O2On1依次从下到上），请用A表示BO1C，BOn1C. 12．如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，A62，ACD35，ABE20，求BFD的度数.

13．如图，BG是ABD的平分线，CH是ACD的平分线，BG与CH交于点O，若BDC150，BOC110°，求A的度数.

14．如图，AM、CM分别平分BAD和BCD，若B42，D54，求M的度数.

15．如图，在ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点I，试说明BIC、A之间的数量关系. 如图，已知DE分别交ABC的边AB、交BC的延长线于F，16．AC于D、B62，ACB76，E，ADE93，求DEC的度数.

参考答案

1．B

【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．

解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，

﹣∠A﹣∠B＝50°．

∴∠C＝180°由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，

∴∠CED＝1802＝99°，

2﹣∠CED﹣∠C＝31°，

∴∠CDE＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．

∴∠1＝180°故选：B．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．

2．B

【详解】

，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，

∵∠A=20°11(∠ABC+∠ACB)= (180°-∠A)，

2211， - (180°-∠A)=

∠A+90°=100°∴∠D1=180°22∴∠D1BC+∠D1CB=同理：∠D2=60°，∠D3=40°，∠D4=30°，∠D5=25°.

故选B

3．360°

【分析】根据三角形的外角性质可得∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，再根据多边形的外角和定理即可求解．

解：由图形可知：∠BNP＝∠A＋∠B，∠DPQ＝∠C＋∠D，∠FQM＝∠E＋∠F，∠HMN＝∠G＋∠H，

，

∵∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN＝360°故答案为：360°．

【点拨】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于360度，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H的和转化为∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN的和是解题的关键．

4．180°

【分析】先根据三角形外角的性质得出∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，再由三角形内角和定理即可得出结论．

解：∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，

∴∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，

，

∵∠B＋∠CFB＋∠BGF＝180°．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°故答案为：180°．

【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．

5．180°

【分析】根据三角形外角的性质可知∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，再根据三角形内角和定理即可得出结论．

解：如图，

∵∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，

，

∵∠1＋∠2＋∠C＝180°．

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°故答案为：180°．

【点拨】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键． 6．360°

【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．

解：如图，连接FC，

由三角形外角的性质可得：

∠2＝∠G＋∠H，

∠3＝∠A＋∠B，

∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，

根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°

即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，

故答案为360°．

【点拨】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．

7．720°

【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．

解：如图：

由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得 ∠2＝∠H＋∠G，∠1＝∠2＋∠D，

∠1＝∠H＋∠G＋∠D，

∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H

＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＋∠H＋∠G＋∠D

＝180°（6－2） ×＝270°．

故答案为：720°．

【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，先求出∠1＝∠H＋∠G＋∠D，再求出多边形的内角和．

8．180°

【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A＋∠2，∠2＝∠D＋∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．

解：如图可知：

∵∠4是三角形的外角，

∴∠4＝∠A＋∠2，

同理∠2也是三角形的外角，

∴∠2＝∠D＋∠C，

在△BEG中，∵∠B＋∠E＋∠4＝180°，

．

∴∠B＋∠E＋∠A＋∠D＋∠C＝180°故答案为：180°．

【点拨】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．

9．115

【分析】先根据角平分线的性质求出PBCPCB的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.

解：∵BP平分ABC，CP平分ACB，

1∴PBCPCB(8050)65，

2∴BPC18065115. 【点拨】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.

；③70 10．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°【分析】

（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；

（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；

，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=③由②方法，进而可得答案．

解：（1）连接AD并延长至点F，

由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；

∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，

∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.

∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；

∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；

（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，

，∠BXC＝90°，

∵∠A＝50°﹣50°＝40°．

∴∠ABX+∠ACX＝90°故答案是：40；

②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A

，∠DBE=130°，

∵∠DAE=50°；

∴∠ADB+∠AEB＝80°∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,

1（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．

211∠ADB,∠AEC=∠AEB

221； +50°=90°∴∠DCE＝(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°2∴∠ADC=③由②知，∠BG1C＝，

∵∠BG1C＝77°1(∠ABD+∠ACD)+

∠A，

10，

∴设∠A为x°﹣x°，

∵∠ABD+∠ACD＝140°1(140﹣x)＋x＝77，

101∴14﹣x+x＝77，

10∴∴x＝70，

．

∴∠A为70°故答案是：70．

【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

11．（1）BO1C120A，BO2C60131n1BOn1C180A.

nn2n11A；（2）BO1C180A，3nn【分析】

（1）根据三角形内角和可得ABCACB180A，再根据ABC、ACB的三等分线交于点O1、12O2，可得O1BCO1CB(180A),O2BCO2CB(180A),然后根据三角形内角和33定理即可用含A表示BO1C、BO2C；

（2）根据（1）中所体现的规律解答即可.

解：（1）∵AABCACB180，

∴ABCACB180A，

∵ABC、ACB的三等分线交于点O1、O2，

12(180A),O2BCO2CB(180A),

3311∴BO1C180(O1BCO1CB)180(180A)120A，

33∴O1BCO1CB22BO2C180(O2BCO2CB)180(180A)60A；

331n11（2）由（1）可知BO1C180(180A)180A，

nnnn11n1BOn1C180(180A)180A.

nnn【点拨】本题考查了三角形内角和定理及角的n等分线的性质.熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键.

12．BFD63.

【分析】根据三角形的外角性质先求出BDF的度数，再利用三角形内角和定理即可注出BFD的度数.

解：在△ADC中，

BDFAACD97，

在在△BDF中，

BFD180ABEBDF180209763.

【点拨】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质.熟练找出三角形内角与外角的关系是解题的关键.

13．A70.

【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC、∠BOC，在根据角平分线的性质即可得出

解：由燕尾角的基本图形与结论可得，

BDCBOCOBDOCD①

BOCAABOACO②

BG是ABD的平分线，GH是ACD的平分线

ABOOBD，ACOOCD．

①-②得，A2BOCBDC70．

【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．

14．M48.

【分析】根据三角形内角和定理用∠B、再用∠B、∠M表示出∠BAM-∠BCM，∠M表示出∠MAD-∠MCD，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD，然后求出∠M与∠B、∠D关系，代入数据进行计算即可得解；

解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM， ∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B，

同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M，

∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD，

∴∠BAM=∠MAD，∠BCM=∠MCD，

∴∠M-∠B=∠D-∠M，

∴∠M=11（∠B+∠D）=（42°）=48°； +54°22【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．

15．BIC901A，见解析.

2121∠2【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出∠BIC=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-90°+A=90°+解：在1∠A，

2-∠A

ABC中，∠ABC+∠ACB=180°∵ABC与ACB的平分线相交于点I，

∴CBI在11ABC，BCIACB,

22BIC中

1BIC180(IBCICB)180(ABCACB)

211180-180A90A．

22【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，以及角平分线的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键

16．DEC135.

【分析】

根据三角形的内角和定理即可求解

解：在ABC中，A=180-B-ACB=180-62-7642，

∴∠DEC=AADE9342135

【点拨】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为180°及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．

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