三角形中的重要线段

2023年12月10日发(作者：爆米花和野草莓)

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三角形中的重要线段

【知识要点梳理】

1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（三角形三条角平分线交于三角形内一点）

2．三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.（三角形的三条中线交于三角形内一点）

3．三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.（三角形的三条高所在的直线交于一点）

【典型例题探究】

例1. 在ABC中，A60,B70,ACB的平分线交AB于D，DE∥BC交AC于E，求BDC和EDC的度数．

例2．如图，在ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且BC=12，AC=8，AD=6，求BE的长？

例3.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,△ADC的周长比△ABD的周长多5cm,AB与AC的和为11cm,求AC的长.

C

D

B

A

C

D

B

E

A

C

E

A

D

B

例4.如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，且∠B=3∠BAD，求∠ADC的度数.

例5. 如图ABC的周长为18cm，BE、CF、AD分别为AC、AB、BC边上的中线，且AF=3cm，AE=2cm，求BD的长．

C

D

A

B

A

F

O

B

D

E

C

【基础达标演练】

一、选择题

1．三角形的三条高所在直线的交点有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．以上都不对

2．三角形的三条中线的交点在三角形的（ ）

A．内部 B．外部 C．一边上 D．以上情况都有可能

3．三角形的角平分线是（ ）

A．直线 B．射线 C．线段 D．射线或线段

4．三条高所在的直线的交点在三角形的外部，此三角形是（ ）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

5. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定

6．下面说法错误的是（ ）

A．三角形的三条角平分线交于一点 B．三角形的三条中线交于一点

C．三角形的三条高交于一点 D．三角形的三条高所在的直线交于一点

7．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（ ）

A．中线 B．角平分线 C．高线 D．三角形的角平分线

二、解答题

8．如图，已知AB=AC，中线BD把ABC周长分成12cm和15 cm，求腰和底的长.

B

C

D

A

【能力提升训练】

1．如图1，△ABC中，AD⊥BC，E、F是BC上的点，则以AD为高的三角形有______个.

2．如图2，在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是高，DE是△ABD的高，则与∠B互余的角有______________；与∠C相等的角有______________.

3. 如图3，AB=7，AC=5，AD是中线，那么△ABD和△ADC的周长差是_______

4.ABC中，B68,C32，AD和AE分别是ABC的角平分线和高，求DAE的度数．

B

E

D

C

A

B

E

F

D

C

图1

B

D

图2

C

B

D

图3

E

A

A

A

C

5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AB、DF∥AC，EF交AD于点O，试问：DO是不是△DEF的角平分线？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

A

E

O

F

D

C

B

【走近中考前沿】

1.（2008白银）如图，网格小正方形的边长都为1．在△ABC中，试画出三边的中线（顶点与对边中点连结的线段），然后探究三条中线位置及其有关线段之间的关系，你发现了什么有趣的结论？请说明理由．

A

C

B

【数学竞赛花园】

* 1. 如图，在ΔABC中，∠A=52，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依次类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是：（ ）

A 60

O

OB 56O

C 94O

D 68O

* 2.阅读下面问题及解答.

如图（1），△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC=90°+1∠A=

211×180°＋∠A；如图（2），△ABC中，∠ABC、∠ACB的三等分线交于O1、O2点，则22∠BO1C2112180A，BO2C180A.根据以上信息：

3333（1）你能猜想出它的规律吗？n等分时（内部有n1个点），BO1C__________，BOn1C=______________（用含n的代数式表示）；

（2）根据你的猜想，当n4时，说明BO3C的度数成立的理由.

* 3.在△ABC中，∠A=75°，AC、AB边上的高BE、CF所在直线交于H，

（1）若△ABC是锐角三角形，求∠BHC；

（2）若△ABC是直角三角形，求此两条高的夹角 ；

（3）若△ABC是钝角三角形，求此两条高所在直线的夹角.

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