有关三角形边的n 等分线的两个发现

2023年12月10日发(作者：普通话测试报名)

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　　　　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ解题技巧与方法　１３７

有关三角形边的ｎ等分线的两个发现有关三角形边的等分线的两个发现◎王　平　曾雪东　尹红梅　（重庆市字水中学，重庆　４０００００）　　【摘要】三角形边的ｎ等分线作为三角形的特殊线段，对其性质的探究具有一定的意义．本文通过探究三角形边的ｎ等分线的交点，从中得到了交点三角形的几个结论．【关键词】三角形；交点；ｎ等分线；性质．又∵∠Ｄ１ＡＦ２＝∠ＢＡＣ，∴△Ｄ１ＡＦ２∽△ＢＡＣ．∴∠ＡＤ１Ｆ２＝∠ＡＢＣ．∴Ｄ１Ｆ２∥ＢＣ．∴Ｄ１Ａ１Ｄ１Ｆ２ＡＤ１１＝＝＝．Ａ１ＣＢＣＡＢｎＤ２Ｂ１Ｂ１Ｃ＝Ｄ２Ｂ１Ｄ１Ａ１１１＝＝．．∴ｎＢ１ＣＡ１Ｃｎ三角形中的每条边上都存在边的ｎ等分线，单从一条ｎ等分线考虑没有什么特别的性质，如果合理地选择一些ｎ等分线，它们交点的相对位置具有了共性的特征．本文从靠近三角形的顶点的六条ｎ（ｎ＞２）等分线出发，通过研究这些ｎ等分线的交点所构成的三角形的特征，从中得到了两个交点三角形的性质．经过推理论证，笔者得到了以下几个结论：性质１　如图１，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，ＢＦ２分别为ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的ｎ等分线（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝ＢＥ１＝ＣＥ２＝１ＡＢ，ｎ同理可得图２１１ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ１，Ｂ１，Ｃ１分别为ＣＤ１ｎｎ∴与ＢＦ２，ＡＥ１与ＣＤ２，ＢＦ１与ＡＥ２的交点．则△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△ＡＢＣ位似，位似比为ｎ－２，且位似中心为△ＡＢＣ的重心．ｎ＋１Ａ１ＣＢ１Ｃｎ＝＝．Ｄ１ＣＤ２Ｃｎ＋１又∵∠Ａ１ＣＢ１＝∠Ｄ１ＣＤ２，∴△Ａ１ＣＢ１∽△Ｄ１ＣＤ２．∴∠ＣＡ１Ｂ１＝∠ＣＤ１Ｄ２．∴Ａ１Ｂ１∥Ｄ１Ｄ２，且又∵∴Ａ１Ｂ１Ａ１ＣＡ１ＣＤ１Ｄ２Ｄ１ＣＡ１Ｃ＋Ａ１Ｄ１＝＝＝ｎ．ｎ＋１Ｄ１Ｄ２ＡＢ－ＡＤ１－ＢＤ２ｎ－２＝＝，ＡＢＡＢｎ＝Ｄ１Ｄ２Ａ１Ｂ１·Ｄ１Ｄ２ＡＢ＝ｎｎ－２ｎ－２＝·．ｎ＋１ｎｎ＋１Ｂ１Ｃ１ｎ－２Ａ１Ｃ１ｎ－２＝＝，．ＢＣｎ＋１ＡＣｎ＋１Ａ１Ｂ１ＡＢ图１同理，Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ，Ａ１Ｃ１∥ＡＣ，且∴Ａ１Ｂ１Ｂ１Ｃ１Ａ１Ｃ１ｎ－２＝＝＝．ＡＢＢＣＡＣｎ＋１证明　如图２，连接Ｄ１Ｆ２，ＡＡ１交于Ｈ点，延长ＡＡ１交ＢＣ于点Ｇ．∵ＣＤ１，ＢＦ２分别为ＡＢ，ＡＣ的ｎ等分线，ＡＤ１ＡＦ２１＝＝．∴ＡＢＡＣｎ数学学习与研究　２０２２􀆰３６∴△Ａ１Ｂ１Ｃ１∽△ＡＢＣ，且相似比为ｎ－２．ｎ＋１下面证明△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△ＡＢＣ的位似中心为△ＡＢＣ的重心．Copyright©博看网. All Rights Rerved. 　　　解题技巧与方法　１３８　　　　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ

∵Ｄ１Ｆ２∥ＢＣ，∴∴Ｄ１ＨＤ１Ａ１１Ｄ１ＨＡＤ１１＝＝，＝＝．ＧＣＡ１ＣｎＢＧＡＢｎＤ１ＨＤ１Ｈ＝．∴ＢＧ＝ＧＣ．ＧＣＢＧ∴直线ＡＡ１经过△ＡＢＣ的重心．同理，直线ＢＢ１，ＣＣ１也经过△ＡＢＣ的重心．∴直线ＡＡ１，ＢＢ１，ＣＣ１相交于△ＡＢＣ的重心，即图４△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△ＡＢＣ位似，且位似中心为△ＡＢＣ的重心．推论１　三角形边的六条三等分线中，靠近三角形同一顶点的（不在这个顶点上）的两条三等分线的交点构成的三角形与原三角形相似，且边的相似比为１∶４．在性质１的条件下，当ｎ＝５时，有如下结论：推论２　如图３，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，ＢＦ２分别为ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的５等分线（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝ＢＥ１＝ＣＥ２＝１ＡＢ，５证明　如图５，连接Ｅ１Ｆ２．∵ＡＥ１，ＢＦ２分别为ＢＣ，ＡＣ的ｎ等分线，∴ＢＥ１ＡＦ２１ＣＥ１ＣＦ２ｎ－１＝＝．∴＝＝．ＢＣＡＣｎＢＣＡＣｎ又∵∠Ｅ１ＣＦ２＝∠ＢＣＡ，∴△Ｅ１ＣＦ２∽△ＢＣＡ．∴∠ＣＥ１Ｆ２＝∠ＣＢＡ．∴Ｅ１Ｆ２∥ＡＢ．∴Ｅ１Ａ２Ｅ１Ｆ２ＣＦ２ｎ－１ＡＡ２ＡＡ２ｎ＝＝＝＝＝．∴．Ａ２ＡＡＢＣＡｎＡＥ１ＡＡ２＋Ａ２Ｅ１２ｎ－１ＡＣ２ＡＥ２＝ＡＡ２ＡＣ２ｎｎ＝＝．∴．２ｎ－１ＡＥ１ＡＥ２２ｎ－１Ａ２Ｃ２ＡＡ２ｎ＝＝．Ｅ１Ｅ２ＡＥ１２ｎ－１与ＢＦ２，ＡＥ１与ＣＤ２，ＢＦ１与ＡＥ２的交点．则△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△ＡＢＣ位似，位似比为１，且位似中心为△ＡＢＣ的重心．２１１ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ１，Ｂ１，Ｃ１分别为ＣＤ１５５同理，有∴Ａ２Ｃ２∥Ｅ１Ｅ２，且图３图５笔者通过考虑三角形的其他ｎ等分线的交点，得到了下面的性质：性质２　如图４，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，ＢＦ２分别为ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的ｎ等分线（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝ＢＥ１＝ＣＥ２＝１ＡＢ，ｎ又∵∴Ｅ１Ｅ２ＢＣ－ＢＥ１－ＣＥ２ｎ－２＝＝，ＢＣＢＣｎＡ２Ｃ２Ａ２Ｃ２Ｅ１Ｅ２ｎｎ－２ｎ－２＝＝＝··．ＢＣＥ１Ｅ２ＢＣ２ｎ－１ｎ２ｎ－１Ｂ２Ｃ２ＡＢ＝ｎ－２Ａ２Ｂ２ｎ－２＝，．２ｎ－１ＡＣ２ｎ－１１１ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ２，Ｂ２，Ｃ２分别为ＡＥ１ｎｎ同理可得∴与ＢＦ２，ＢＦ１与ＣＤ２，ＣＤ１与ＡＥ２的交点．则△Ａ２Ｂ２Ｃ２与△ＡＢＣ位似，位似比为ｎ－２，且位似中心为△ＡＢＣ的重心．２ｎ－１Ａ２Ｃ２Ｂ２Ｃ２Ａ２Ｂ２ｎ－２＝＝＝．ＢＣＡＢＡＣ２ｎ－１ｎ－２．２ｎ－１数学学习与研究　２０２２􀆰３６∴△Ａ２Ｂ２Ｃ２∽△ＡＢＣ，且相似比为Copyright©博看网. All Rights Rerved. 　　　下面证明△Ａ２Ｂ２Ｃ２与△ＡＢＣ的位似中心为△ＡＢＣ的重心．如图６，连接ＡＢ２，Ｄ２Ｆ１相交于点Ｎ，延长ＡＢ２交ＢＣ于Ｍ点．　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ解题技巧与方法　１３９

图７在同时满足性质１和性质２的条件下，有：△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△ＡＢＣ位似，位似比为图６ｎ－２；△Ａ２Ｂ２Ｃ２与△ＡＢＣ位似，位似ｎ＋１比为∵ＢＦ１，ＣＤ２分别为ＡＣ，ＡＢ的ｎ等分线，∴ＣＦ１ＢＤ２１ＡＦ１ＡＤ２ｎ－１＝＝．∴＝＝．ＡＣＡＢｎＡＣＡＢｎｎ－２ｎ－２２ｎ－１÷＝．ｎ＋１２ｎ－１ｎ＋１ｎ－２．因此，△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△Ａ２Ｂ２Ｃ２位似，且位似比为２ｎ－１推论５　如图８，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，１ＡＢ，ｎ又∵∠Ｆ１ＡＤ２＝∠ＢＡＣ，∴△Ｆ１ＡＤ２∽△ＣＡＢ．∴∠ＡＦ１Ｄ２＝∠ＡＣＢ．∴Ｄ２Ｆ１∥ＢＣ．∴ＮＤ２Ｄ２Ｂ２Ｄ２Ｆ１ＡＤ２ＮＤ２＝＝＝＝．ＭＣＢ２ＣＢＣＡＢＭＢＢＦ２分别为ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的ｎ等分线（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝ＢＥ１＝ＣＥ２＝１１ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ１，Ｂ１，Ｃ１，Ａ２，Ｂ２，Ｃ２分ｎｎ∴ＭＣ＝ＭＢ．∴直线ＡＢ２经过△ＡＢＣ的重心．同理，直线ＢＣ２，ＣＡ２也经过△ＡＢＣ的重心．∴直线ＡＢ２，ＢＣ２，ＣＡ２相交于△ＡＢＣ的重心，即△Ａ２Ｂ２Ｃ２与△ＡＢＣ位似，且位似中心为△ＡＢＣ的重心．推论３　三角形边的六条三等分线中，相邻的（不在同一个角上）两条三等分线的交点构成的三角形与原三角形相似，且边的相似比为１∶５．在性质２的条件下，当ｎ＝５时，有：推论４　如图７，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，ＢＦ２分别为ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的５等分线（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝１ＡＢ，５别为ＣＤ１与ＢＦ２，ＡＥ１与ＣＤ２，ＢＦ１与ＡＥ２，ＡＥ１与ＢＦ２，ＢＦ１２ｎ－１．ｎ＋１与ＣＤ２，ＣＤ１与ＡＥ２的交点．则△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△Ａ２Ｂ２Ｃ２位似，且位似比为图８１１ＢＥ１＝ＣＥ２＝ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ２，Ｂ２，Ｃ２分别为ＡＥ１５５与ＢＦ２，ＢＦ１与ＣＤ２，ＣＤ１与ＡＥ２的交点．则△Ａ２Ｂ２Ｃ２与１△ＡＢＣ位似，位似比为．３数学学习与研究　２０２２􀆰３６【参考文献】［１］刘昱汐．三角形边的ｎ等分线的性质及推广［Ｊ］．中学生数学：高中版，２００８（１２）．［２］王平．三角形边的三等分线的探究［Ｊ］．数学学习与研究，２０１１（２３）．Copyright©博看网. All Rights Rerved.

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