三等分角教案

2023年12月10日发(作者：小游击队员)

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数学活动—三等分角 教案

教学任务分析

科目

学校

教师

知识技能

数学

课题

班级

时间

三等分角

初二A2

2014.10.

利用全等三角形的相关知识解决三等分角问题，积累数学活动经验.

教学

目标

1． 体会转化的数学思想.

2． 能主动运用所学知识解决问题，培养应用意识.

数学思考

3． 运用工具解决实际问题，培养应用意识和创新意识.

4． 经历观察思考、动手操作、实践检验和推理证明的数学活动过程.

问题解决

1． 通过折纸三等分直角.

2． 利用全等及相关知识证明勾尺三等分任意锐角的原理.

1. 了解三等分角相关的数学史知识，对数学有好奇心和求知欲.

情感态度 2. 在数学活动的过程中，锻炼克服困难的意志.

3. 养成独立思考、动手操作的习惯.

重点 数学活动过程（包括观察思考、动手操作、实践检验和推理证明）.

难点 探究折纸方法和动手操作.

教学流程安排

教学流程

一、 课题引入

二、 问题探究

问题1：如何三等分直角？

问题2：利用手中的勾尺三等分任意锐角ABC,

并加以证明.

三、

四、

设计说明

了解三等分角的由来，激发好奇心.

经过独立思考寻找折叠方法，并加以证明，经历数学活动的过程，发展创新意识.

新课标中指出，鼓励学生能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略. 在问题1和2的证明过程中，都需要用到本章所学知识.问题2还用到了工具.

通过问题1和2的探究，以及作业的完成，体会问题解决的多样性，发展学生的创新意识.

小结帮助学生梳理本节活动课的收获.

小结提升

布置作业

教学过程设计

教学过程 设计说明 教学过程

一、 课题引入：

尺规作图三等分角是古希腊数学的三大难题之一，而如今数学设计说明

尺规作图三等分任意角是古希腊几何作图三大难题之一，通过史料介绍，可以上已证实了这个问题无解（借助坐标系可证明60°角不可以用尺规激发学生的好奇心和探究欲.

作图三等分）.

若将条件放宽，可以将一给定角三等分. 例如通过折纸的方法，或使用其它工具，或者可以配合其他曲线使用.

二、 课题探究

问题1：如何三等分直角？

1. 量角器

2. 含30°角的三角尺

3. 折纸

希望学生通过问题1的解决，了解用折纸的方法解决问题的原理，以及思路：折纸的原理就是全等变换，另外，折之前先通过草图分析点或线的性质，进而折出相应的点或线.

同时，经历观察思考、动手操作、实践检验和推理证明的数学活动过程，积累数学活动经验.

动手操作是难点，给学生留出足够的动手时间.

证明过程中用到本章所学全等的相关知识，增强应用意识.

操作步骤：

（1） 长方形纸片命名为ABCD；

（2） 将纸片对折，使得AD与BC重合，折痕为EF；

（3） 翻折左上角，使折痕通过点B，且点A落在EF上，折痕记为BN；

（4） △ABM为以长方形的宽为一边的等边三角形，射线BM，BN即为ABC的三等分线.

小结：你能概括一下数学活动的过程吗？

导入：其它行业用到的工具. 问题2的导入，让学生了解不同行业运问题2：勾尺三等分任意锐角 用工具解决问题，让学生有意识设计工具阅读材料：勾尺的直角顶点为P ，“宽臂”的宽度=PQ=QR=RS，解决问题，增强应用意识.

．．勾尺的一边为MN，且满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．

通过阅读材料，完成操作过程，培养学（1）请根据下面的操作步骤，利用手中的勾尺三等分任意锐角生的阅读理解能力.

动手操作依然是难点，通过操作勾尺，ABC.

第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于提高动手操作能力.

组内互助，完成操作过程. 在帮助同PQ；

第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾伴的同时，体验成功的乐趣，收获更加深刻的理解.

尺的MN边经过点B，同时让点R落在ABC的BA边上；

最后，运用本章所学的全等及相关知第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．

识给出证明，一方面，发展学生严谨的逻A辑思维；另一方面，增强学生的应用意识.

BC

（2）证明ABC的三等分线是射线BQ和射线BP． 教学过程

三、

1.

2.

3.

小结提升

活动过程

数学思想

应用意识

设计说明

通过小结，帮助学生提炼本节课的核心内容，发展应用意识.

四、 作业布置

必做部分：

1. 规范书写问题1和2的证明过程.

2. 阅读材料，了解阿基米德三等分角的原理，并给出证明.

设所要三等分的角为∠AOB, 如图，阿基米德取一直尺，令其一端点为点P，另在直尺边缘上取一点Q，以O为圆心，PQ长为半径作圆，交∠AOB两边于A、B. 让P点在OA的反向延长线上移动，Q点保持在圆上移动，当直尺刚好通过B点（即点B，Q，P在一条直线上）时，画出直线PQB，则1APBAOB.

3

规范书写几何推理的过程，

必做作业，通过自己查阅资料，了解阿基米德三等分角的方法，激发学习数学的兴趣，同时体会问题解决的多样性，发展创新意识；

选作题1，迁移所学知识，解决新的问题，增强应用意识.

选做题2，通过查阅资料，进一步了解三等分角的相关历史知识，增强数学兴趣.

BQP

选作部分：

根据操作步骤折出任意锐角的三等分线，并根据折叠过程，写出已

知，求证，加以证明. 本题推理论证的难度高于问题1和2，

让学有余力的学生课后充分探究，提高知（1）在一个正方形纸片上折出任意锐角PBC;（如图1）

（2）将正方形ABCD对折，使得AD与BC重合，记折痕为EF；识方法的迁移能力，并锻炼克服难题的毅再将长方形EBCF对折，使得EF与BC重合，记折痕为GH；（如力.

图2）

（3）翻折左下角使B落在GH上，记为B′，且使E落在BP上，记为E′，折痕记为XY，点G折后的点记为G′；（如图3）

（4）折BG′和BB′，则射线BG′，BB′为∠PBC的三等分线.（如图4）

图 1-2OA教学过程

APDAPD设计说明

EGFHBC

BC

图1 图2

AXE'EGG'B'FHENG'M2145Q6YC3B'PDAPDXE'FGH

BYC

B

图3 图4

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