小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

2023年12月9日发(作者：罗颖珊)

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小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

名校真题测试卷数论篇一**;

时间：15分钟 总分值5分 姓名_________ 测试成绩_________

〔13年人大附中考题〕

有____个四位数满足以下条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身.

〔13年101中学考题〕

如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零,那么所得的三位数是原

2

来的数的9倍,问这个两位数是＿＿.

〔13年首师附中考题〕

51+202+

05

13131313＿＿

=

2212121

21

121

21212121

〔04年人大附中考题〕

甲、乙、丙代表互不相同的 3个正整数,并且满足：甲×甲 =乙+乙=丙

×135．那么甲最小是____.

(02年人大附中考题)

以下数不是八进制数的是 ( )

A、125B、126C、127D、1281 / 191 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

【附答案】

【解】：6

【解】：设原来数为ab,这样后来的数为a0b,把数字展开我们可得：

100a+b=9×(10a+b),所以我们可以知道 5a=4b,所以a=4,b=5,所以原

3

来的两位数为45.

12513【解】：周期性数字,每个数约分后为+++=1

21 21 21 21

【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数,而且是个偶数〔乙

+乙〕,这样我们分解135=5×3×3×3,所以丙最小应该是2×2×5×3,所以甲最小是：2×3×3×5=90.

【解】：八进制数是由除以8的余数得来的,不可能出现8,所以答

案是D.

小升初专项训练 数论篇〔一〕希望考入重点中学？

奥数网是我们成就梦

想的地方！2 / 192 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

一、小升初考试热点及命题方向

数论是历年小升初的考试难点,各学校都把数论当压轴题处理.由于行程题的类型较多,题型多样,变化众多,所以对学生来说处理起来很头

疼.数论内容包括：整数的整除性,同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等.作为一个理论性比拟强的专题,数论在各种杯赛中都会占不小的比重,而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的.

二、2021年考点预测

2021年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论,命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点,大题那么需综合运用数的整除,质数与合

数,约数倍数以及整数的分拆等方法,希望同学们全面掌握数论的几大知识点,能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题是关键.

三、根本公式1〕b|c,a|c, 那么[a,b]|c, 特别地,假设(a,b)=1, 那么有ab|c.3 / 193 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

[解]：假设3a75b能被72整除,

2〕c|ab,(b,c)=1, c|a.

3〕唯一分解定理：任何一个大于

a=＿＿,b=＿＿.〔迎春杯〕

1的自然数n都可以写成数的乘 ,

即

n=p1×p2×...×pk〔#)

a1a2ak其中p1

自然数,并且种表示是唯

一的.

式称n的因子分解式.

[解]：3的自然的210,求三个数＿＿.

4〕数个数定理：自然数

n的因子分解式如〔#〕

那么n的数个数d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

所有数和：〔1+P1+P1+⋯p1〕〔1+P2+P2+⋯p2〕⋯

2a1a21+Pk+Pk+⋯pk〕

2ak[解]：1996不同的因数有＿＿个

,它的和是＿＿.〔1996年

小学数学奥林匹克初〕

用[a,b]表示a和b的最小公倍数,(a,b)表示a和b的最大公数,那么有ab=[a,b]×(a,b).

[解]：两个数的2646,最小公倍数126,两个数的和4 / 194 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

为＿＿.〔迎春杯刊赛第10题〕

6〕自然数是否能被3,4,25,8,125,5,7,9,11,13等数整除的判别方法.[讲解练习]：3aa1能被9整除,问a=＿＿.〔美国长岛数学竞赛第三试

第3题〕

7〕平方数的总结：

小生初四个考点：1：平方差A2-B2=〔A+B〕〔A-B〕,其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性.

[讲解练习]：82-72+62-52+42-32+22-12=＿＿.

2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数 .

约数个数为3的是质数的平方.

[讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿

.

3：质因数分解：把数字分解,使他满足积是平方数.

[讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数,问a最小是＿＿.

平方和.

8〕十进制自然数表示法,十进制和二进制,八进制,五进制等的相互转化.

公式需牢记

做题有信心！

9〕周期性数字：abab=ab×101

[讲解练习]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿.5 / 195 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

四、典型例题解析

数的整除

【例1】〔★★★〕将4个不同的数字排在一起,可以组成24个不同的四位数〔4×3×2×1=24〕.将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话,第二个是5的倍数；按从大到小排列的话,第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间.请求出这24个四位数中最大的一个.

【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d

那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数,因此b=0或5,注意到b>c>d,所以b=5;

从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数,c

b=5,c=4或2

从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间,所以a=d+4；

因为a>b,所以a至少是6,那么d最小是2,所以c就只能是4.而如果d=2,那么abdc的末2位是24,它是4的倍数,和条件矛盾.因此d=3,从而

a=d+4=3+4=7.

这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3

所以这24个四位数中最大的一个是 7543.6 / 196 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

【例2】〔★★★〕一个5位数,它的各个位数字和为43,且能被11整除,

求所有满足条件的5位数？

[思路]：现在我们有两个入手的选择,可以选择数字和,也可以选择被11整除,但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字,而现在没有,所以我们选择先从数字和入手

【解】：5位数数字和最大的为9×5=45,这样43的可能性只有9,9,9,9,7或9,9,9,8,8.这样我们接着用11的整除特征,发现符合条件的有99979,97999,98989符合条件.

【例3】〔★★★〕由1,3,4,5,7,8这六个数字所组成的六位数中,能被11整除的最大的数是多少？

【解】：各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28

所以偶数位和奇数位上数字和均为

14

为了使得该数最大,首位必须是8,第

2位7,14-8=6那么第3位一定是5,第5位为1 是

且它能被

该数最大为875413.

[拓展]：一个三位数,它由0,1,2,7,8

组成,

的总共有几个？除,

9整问满足条件

7 / 197 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

【例4】〔★★〕一个学校参加兴趣活动的学生不到

人数超过总数的4/7,女同学的人数超过总数的

人？

【来源】：12年理工附入学测试题

100人,其中男同学

2/5.问男女生各多少

【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7,这样女生的范围在2/5～3/7之间,同理可得男生在4/7～3/5之间,这样把分数扩大,我们可得女生人数在28/70～30/70之间,所以只能是29人,这样男生为

人.

质数与合数〔分解质因数〕

【例5】〔★★★〕2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是

几?【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0.由于分解出28 / 198 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

的个数比5多,我可以得出就看所有数字中能分解出多少

个5个因数.而能分解出5的一定是5的倍数.注意：5的倍数能分解一个5,25的倍数分解出2个5,125的倍数能分解出3个

5⋯⋯最化成数 ,如5的倍数有[10/5]=2个.

2005=5×401 684=2

×2×171

375=3

×5×5×5前三个数里有2个因子2,4个因子5,要使得

乘的最后4位都是0

有4个因子2和4个因子5,差2个因子.因此□里最小

是4.

[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0,且是7的倍数,□里最小是

_____

【例6】〔★★★〕03年101中学招生人数是一个平方数,04年由于信息布及,04年的招生人数比03年多了101人,也是一个平方数,04年的招生人数？

【解】：看两个平方数,跟平方差相关,我大胆的03年的A2,04年的B2,从中我04年的比03年多101人,我可以列式子B2-A2=101

此后思路要很,因看平方差只有一种方法那就是按公式展开

所以

,

, B2=〔A+B〕〔A-B〕=101,可右的数也要分成

2-A

得考同奇偶性

,但

101是个数

,所以

101只能分成

2个数的

101×1,

A+B=101,A-B=1,所以A=50,B=51,所以04年的招生人数 51×51=2601.9 / 199 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

[拓展]：一个数加上10,减去10都是平方数,个数多少？〔清附

中〕

数和倍数

【例7】〔★★★〕从一2002毫米,847毫米的方形片上,剪下一个尽可能大的正方形,如果剩下的局部不是正方形,那么在剩下的片上再剪下一个尽可能大的正方形.按照上面的程不断的重复,最后剪得的正方形的是多少毫米？

【解】：是2002和847的最大公数,可用相除法求得

2002,847〕=77

所以最后剪得的正方形的是

77毫米.

相除例如：

2002÷847=2⋯308求2个数的最大公数,就用大数除以小数

847÷308=2⋯231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽止

308÷231=1⋯77

用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽止

231÷77=3

最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公

数【例8】〔★★★〕一根木棍 100米,从左往右每6米画一根,10 / 1910 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

从右往左每5米作一根,所有的中有多少根距离相差

4

米？

【解】：100能被5整除,所以每5米作从左往右是从右往左都是一的.我都以从左往右作,可化成5,6的最小公倍数中的情况,画可得有2根距离4米,所以30,60,90里各有2条,但最后96和100也是距离4米,所以共2×3+1=7.

[拓展]：在一根木棍上,有三种刻度.第一种刻度将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度将木棍断,那么木棍共被成多少段？

【例9】〔★★★〕1、2、3、4⋯20212021个数的最小公倍数等与多少个2与一个奇数的？

【解】：最小公倍数就是分解因数中共有的最多因数 ,我除

2以外都是奇数因数 ,可我只要找需要多少个

2,所以只要看 1～

2021中2ˇn最大,可2ˇ10=1024,所以10个2.

【例10】〔★★★★〕有15位同学,每位同学都有号,它是1号到15

号.1号同学写了一个自然数,2号：“个数能被2整除〞,3号“个数能被3整除〞,⋯⋯,依次下去,每位同学都,个数能被他的号数整除,1号作了一一,只有号相的两位同学得不,其余同学都,

：〔1〕得不的两位同学 ,他的号是哪两个自然数？〔 2〕11 / 1911 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

如果告你,1号写的数是五位数,求出个数.〔写出解程〕

【解】：1〕首先可以断定号是2,3,4,5,6,7号的同学的一定都.不然,其中的不的号乘以2后所有号也将得不,就与“只有号相的两位同学的不〞不符合.因此,个数能被2,3,4,5,6,7都整除.

其次利用整除性可知,个数也能被2×5,3×4,2×7都整除,即号10,12,14的同学的也.从而可以断定的不的号只能是8和9.

2〕个数是

的公倍数

2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15

由于上述十二个数的最小公倍数是 60060

因60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数

1号同学写的数就是 60060.

数的合型

【例11】★★★★〕某住宅区有〔12家住,他的牌号分是 1,2,⋯,12.

,所以

他的号依次是

12个的六位自然数,并且每家的号都

6,并且牌能被家的牌号整除,些号的首位数字都小于

12 / 1912 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

号是9

的一家的号也能被

么数？

【解】：

13整除,：一家的号是什

第一号是

x+1,第二x+2,⋯.第12号x+12

根据条件得x+i是i的倍数(i=1,2,⋯,12)因此x是1,2,⋯.12的公倍数

[1,2,⋯..12]=27720

所以x=27720m

27720m+9是13的倍数,27720除以13余数4所以4m+9是13的倍数m=1,14,27⋯.

第一家号是 27720m+1

m取14适宜；

因此第一家号是 27720*14+1=388081

[拓展]：写出的11个自然数,要求第1个是2的倍数,第二个是3的

倍数⋯第11个是12的倍数？

【例12】〔★★★★〕有15位同学,每位同学都有号,它是1号到15

号.1号同学写了一个自然数,2号：“个数能被2整除〞,3号“个数能被3整除〞,⋯⋯,依次下去,每位同学都,个数能被他的号数整除,1号作了一一,只有号相的两位同学得不,其余同学都,

：〔1〕得不的两位同学

,他的号是哪两个自然数？〔 2〕

如果告你,1号写的数是五位数,求出个数.〔写出解程〕13 / 1913 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

【解】：1〕首先可以断定编号是2,3,4,5,6,7号的同学说的一定都对.不然,其中说的不对的编号乘以2后所有编号也将说得不对,这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对〞不符合.因此,这个数能被2,3,4,5,6,7

都整除.

其次利用整除性质可知 ,这个数也能被2×5,3×4,2×7都整除,即编号为

10,12,14的同学说的也对.从而可以断定说的不对的编号只能是

2〕这个数是2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15

的公倍数

由于上述十二个数的最小公倍数是60060

因为60060是一个五位数,而十二个数的其他公倍数均不是五位数 ,所以

1号同学写的数就是 60060.

小结

本讲主要接触到以下几种典型题型：

1〕数的整除. 参见例1,2,3,4

2〕质数与合数〔分解质因数〕 .参见例5,6

3〕约数和倍数.参见例7,8,9,10

4〕数论的综合题型.参见例11,1214 / 1914

8和9.

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【课外知识】

翻开另一扇心窗

很久以前,在意大利的庞贝古城里,一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩.莉蒂雅自小双目失明,但她并不怨天怨地,也没有垂头丧气,反而热爱生活,对生活充满信心和希望.稍稍长大后,她像常人一样劳动,靠卖花自食其力.不久,维苏威火山爆发,庞贝城面临一次大的灾难,整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中.浓密的火山灰,遮掩了太阳、月亮和星星,大地一片漆黑.黑暗中,惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路,人们好似生活在人间的地狱中.莉蒂雅虽然看不见,但这些年来,她走街串巷在城里卖

花,对城市的各条道路了如指掌.她就靠自己的触觉和听觉找到了生路,不但救了自己的家人,还救了许多市民.

后来,莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂,并出现在很多的文学作品中.启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸,她的残疾反而成了她的财富.不要总以为自己是最倒霉的.其实,上苍很公平.有时候,命运向你关闭这一心窗的同时,又为你开启了另一心窗,同样可以享受人生的快乐

作业题15 / 1915 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

〔注：作--例型照表,供参考〕

1,4—型1；2,6—型3；3,5,8—型2；7—型2

1．〔★★〕在1～100 100个自然数中,所有不能被9整除的数的和是

多少？

解：1+2+⋯⋯+100=5050

9+18+27+

⋯⋯+99=9×(1+2+⋯⋯+11)=495

随意1-100中所有不能被9整除的数的和是 5050-495=4555

2．〔★★〕某班学生不超 60人,在一次数学中,分数不低于90分的人数占1

7

,

得80～89分的人数占1

2

,

得70～79分得人数占1,那么得70

3

分以下的有________人.

解：有1、1、1,明人数一定 7的倍数、2的倍数、3的倍数,故

7 2 3

[7、2、3]＝42的倍数；

又由于人数不超 60人,故班的人数只能 42人.

＝1从而70分以下的有：42×1

1712人1.

3

3．〔★★〕自然数N是一个两位数,它是一个数,而且N的个位数字与十位数字都是数,的自然数有_______个.

解：枚法：23,37,53,73,,有4个16 / 1916 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

〔★★★〕三个自然数,其中每一个数都不能被另外两个数整除,而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除,那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？

解：这三个自然数最小是6,10,15〔分别是2×3,2×5,3×5〕和的最小值为31.

5、〔★★★〕五个连续偶数之和是完全平方数,中间三个偶数之和是立方数〔即一个整数的三次方〕,这样一组数中的最大数的最小值是多少？解：设中间一个数为2x

那么5个数的和为10x=m^2

中间3个数的和为6x=n^3

设x=2^p×3^q×5^r

再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数 ,一个

数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是 3的倍数可以求得

p=5,q=2,r=3

X=36000

因此所求为2x+4=72004

6、〔★★〕一个数减去 100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这

个是多少？17 / 1917 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

22解：A-B=〔A+B〕〔A-B〕=37=37×1,考虑同奇偶性,可知A=19,B=18,

这样这个数为461.

7、〔★★★〕从左向右编号为 1至1991号的1991名同学排成一行．从

左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的同学留下,其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数,报到11的同学留下,其余

同学出列．那么最后留下的同学中 ,从左边数第一个人的最初编号是

______．

4【来源】北京市第七届“迎春杯〞决赛第二题第

题

【解】第一次报数后留下的同学,他们最初编号都是11的倍数；第二次报数后留下的同学,他们最初编23号都是11=121的倍数；第三次报数后留下的同学,他们最初编号都是11=1331的倍数．因此,第三次报数后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是1331．

8、〔★★★〕有1997个奇数,它们的和等于它们的乘积．其中只有三个数不是l,而是三个不同的质数．那么,这样的三个质数可以

是 、 、 ．

【解】设a、b、c为三个不同的质数,根据题意

1994+a+b+C=a·b·c．

取a=3,b=5,得1994+3+5+c=15c,解出c=143不是质数；取a=3,b=7,得1994+3+7+c=21c,解出c=5015不是整数；18 / 1918 小升初数学专项训练典型例题分析数论篇(教师版)9页

取a=5,b=7,得1994+5+7+c=35C,解出c=59．

故5、7、59是满足题意的三个质数．

19 / 1919

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