辽宁省大连市第七十九中学2022年高三数学文测试题含解析

2023年12月5日发(作者：开放性问题)

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辽宁省大连市第七十九中学2022年高三数学文测试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知定义在R上的可导函数f (x)的导函数为，满足，f (0) = 1，则不等式的解集为（ ）

A．(0,+∞) B．(1,+∞) C．(－2,+∞) D．(4,+∞)

参考答案：

A

令，则，故为上的减函数，有等价于，即，故不等式的解．

2. 下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是( )

A．y=2sin（+） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（2x+） D．y=2sin（﹣）

参考答案：

B

考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．

专题：三角函数的图像与性质．

分析：先求出函数的周期，再根据当x=时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．

解答： 解：A．函数y=2sin（+）的周期为=4π，不为π，故A不选；

B．函数y=2sin（2x﹣）的周期为=π，且当x=时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=对称，满足条件，故B选；

C．函数y=2sin（2x+）的周期为=π，且当x=时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=对称，故C不选；

D．函数y=2sin（﹣）的周期为=4π，不为π，故D不选，

故选：B．

点评：本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．

3.

设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，的最大值

为

（A）0 （B）1 （C） （D）3

参考答案：

B

由，得。所以，当且仅当，即时取等号此时，.

，故选B.

4. 已知集合，，则A∪B=（ ）

A. [0,+∞) B. [1,+∞) C. D.

参考答案：

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B

【分析】

一元不等式化简集合B，然后直接利用并集运算得答案．

【详解】=，则

故选：B

【点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．

5. 将直线沿轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为( )

A．－3或7 B．-2或8 C．0或10 D．1或11

参考答案：

6. 设定义在R上的偶函数满足，是的导函数，当时，；当且时，．则方程

根的个数为

A．12 B．1 6 C．18 D．20

参考答案：

C

7. 下列命题中，真命题是

A.

B.

C.a+b=0的充要条件是=-1

D.a>1,b>1是ab>1的充分条件

参考答案：

D.

此类题目多选用筛选法，因为对任意恒成立，所以A选项错误；因为当时且8<9,所以选项B错误；因为当时而无意义，所以选项C错误；故选D.

8. 函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）Ks5u

A．向右平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

参考答案：

D

略

9. 已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（ ）

A．[﹣，0） B．（﹣，0） C．（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）

参考答案：

D

【考点】直线的斜率．

【专题】作图题；对应思想；数形结合法；直线与圆．

【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．

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11. 从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则三种家庭应分别抽取的户数依次为 。

又y0＜x0+2，设=kOM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端参考答案：

25，60，15

点B）时，即可得出．

【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），

∴，化为x0+3y0+2=0．

又y0＜x0+2，

设=kOM，

当点位于线段AB（不包括端点）时，则kOM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，kOM＜﹣．

∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．

故选：D．

【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．

10. 命题“”的否定是

A.

B.

C.

D.

参考答案：

B

根据全称命题的否定是特称命题，只有B正确. 故选B.

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分

12. 设复数z =cosθ+isinθ, ω= -1+i, 则|z-ω|的最大值是 ．

参考答案：

13. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第

n行（n≥3）从左向右的第3个数为

参考答案：

14. ．已知是第二象限角，且______.

参考答案：

略

15.

己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为 ．

参考答案：

1

略

16. 若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是 ．

参考答案：

（0，1）∪（1，4]

【考点】对数函数的值域与最值．

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∴抛物线的方程为（2）

【分析】函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．

【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，

即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1

故可求的最小值，令其小于等于4

∵

∴4，解得a≤4，

故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]

故应填（0，1）∪（1，4]

17. 设函数的定义域为D，若存在非零实数m满足，均有，且，则称为上的m高调函数．如果定义域为R的函数是奇函数，当时，，且为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是 ．

参考答案：

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知圆和抛物线，圆心到抛物线焦点的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）不过原点的动直线交抛物线于两点，且满足.设点为圆上任意一动点，求当动点到直线的距离最大时的直线方程.

参考答案：

（1）可化为，则

,

，

当时，即动点M经过圆心C(-1,1)时到动直线的距离取得最大值.

19.

（12分） 已知函数的图像都过点P（2，0），且在点P处

有相同的切线。

（I）求实数a、b、c的值；

（II）设函数上的最小值。

参考答案：

解析：（I）的图像过P（2，0），

…………2分

…………4分

又

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…………6分

（II）,

同理，由…………8分

因此，当；……10分

当 …………12分

20. （10分）（2013?长春一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．

（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

参考答案：

【考点】： 直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

【专题】： 计算题；证明题．

【分析】： （1）由题意可知：平面AA1C1C⊥平面ABC，根据平面与平面垂直的性质定理可以得到，只要证明A1O⊥AC就行了．

（2）此小题由于直线A1C与平面A1AB所成角不易作出，再由第（1）问的结论可以联想到借助于空间直角坐标系，设定参数，转化成法向量n与所成的角去解决

（3）有了第（2）问的空间直角坐标系的建立，此题解决就方便多了，欲证OE∥平面A1AB，可以转化成证明OE与法向量n垂直

解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点，

所以A1O⊥AC．（1分）

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC，

交线为AC，且A1O?平面AA1C1C，

所以A1O⊥平面ABC．（4分）

（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴，

所以得：

则有：．（6分）

设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，

令y=1，得所以．（7分）

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．（9分）

因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．（10分）

（Ⅲ）设，（11分）

即，得

所以，得，（12分）

令OE∥平面A1AB，得，（13分）

即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，

即存在这样的点E，E为BC1的中点．（14分）

【点评】： 本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

21. （本小题满分16分）

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿矩形的对角线BD把折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上。

（I）求证：

（2）求证：平面平面

参考答案：

（I）略；（II）略.

试题分析：(1)由投影的定义可得，进而可得，结合得出进一步证明；（2）根据ABCD是矩形可得，由（1）可得从而可以证明平面平面

试题解析：证明：（I）由于A1在平面BCD上的射影O在CD上，

则

则…………4分

又

则

故…………8分

（II）因为ABCD为矩形，所以

由（I）知

又

从而有平面平面…………16分

考点：空间几何元素的位置关系.

22. （1 2分） 三棱锥P-A B C 中, 底面A B C 为边长为2的正三角形, 平

面P B C⊥平面A B C, P B=P C=2, D 为A P 上一点, AD=2 D P, O 为

底面三角形中心。

（Ⅰ） 求证: B D⊥A C;

（Ⅱ） 设 M 为P C 中点, 求二面角 M-B D-O 的余弦值。

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参考答案：

7 / 7

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