2023年广东财经大学《808高等代数 (数学)》考研真题

2023年12月2日发(作者：一切都值得)

-

广东财经大学硕士研究生入学考试试卷

考试年度 2023 考试科目代码及名称 808-高等代数(自命题)

适用专业 070100 数学

[友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！]

--------------------------------------------------------------------

一、计算题（6题，每题5分，共30分）

1、试求7次多项式𝑓(𝑥)使得𝑓(𝑥)+1被 (𝑥−1)4整除，而𝑓(𝑥)−1被(𝑥+1)4整除.

210001210122、计算行列式

Dn000000

3、设𝑓(𝑥)=𝑥1000000.

2112nn0001), 求𝑓(𝐴)和𝑓(𝐴)−1.

00+𝑥991+⋯+𝑥+1, 𝐴=(00

4、二次型 𝑓(𝑥1,𝑥2)=𝒙𝑻𝑨𝒙 经正交变换 𝒙=𝑸𝒚 化为标准形 𝑦12+3𝑦22. 若𝑸的第一列是[

1112101205、解矩阵方程

102X011112.

2111011101√2√2,1𝑇],求𝑸.

2x1x2x3x416、求方程组

x12x2x3x42的一般解.

xx2xx32341

二、解答题（3题，每题15分，共45分）

1221、 设向量空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵为A212，问能221否对角化? 如果可以，求出可逆矩阵X，使X1AX为对角矩阵.

2、 设A,B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则

121(1)A-E与B-E均可逆；(2)AB=BA；(3)当A342时，求B.

122

3、设𝑨为数域K上n维线性空间V的线性变换，满足𝑨𝟐=𝑨. 求𝑨的特征值，并说明𝑨可对角化.

三、证明题（5题，每题15分，共75分）

1、设A,B分别是nm和mn矩阵. 证明：

2、设A, B为n阶方阵，则 (1)

(AB)∗=B∗A∗; (2) 若n≥2，(𝐴𝑇)∗=(𝐴∗)𝑇.

3、设A是n阶方阵，若存在n维列向量和正整数k，使得Ak0,Ak10，证明：向量组,A,A2,,Ak1线性无关.

4、设f(x1,...,xn)XTAX是一个实二次型，若有实n维向量X1,X2使

EmABEnEnABEmBA.

X1AX10,X2AX20.

证明：必存在实n维向量X00使X0AX00.

5、 设V是数域F上的向量空间，U{(1，2，，m)iV,i1,2,,m)}也是F上的向量空间.证明：(1)V是无限维时，U也是无限维的；(2)当V为n维时，求U的维数和一组基.

TTT 【广东财经大学简介】

广东财经大学（Guangdong University of Finance & Economics）坐落于广州，入选卓越法律人才教育培养计划、教育部“1+2+1中美人才培养计划”、国家级大学生创新创业训练计划、国家大学生文化素质教育基地、教育部“中美青年创客交流中心”单位、教育部首批研究生课程建设试点单位，是教育部新商科智慧学习工场（2020）（A）项目试点院校（2021年）、广东省“冲一流、补短板、强特色”特色高校提升计划建设学校，为“一带一路”高校联盟、中国—俄罗斯经济类大学联盟、全国财经院校“一带一路”教育国际化产学研合作联盟等成员单位。

-