太和县十中九年级数学上册第三章概率的进一步认识1用树状图或表格求概率

2023年12月2日发(作者：山拼音)

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3.1.3用树状图或表格求概率(3)

【教学目标】

知识与技能

进一步经历用树状图、列表法计算两步随机实验的概率．

过程与方法

经历计算理论概率的过程，在活动中进一步发展合作交流意识及反思的习惯．

情感、态度与价值观

培养合作交流的意识和能力，提高所研究问题的反思和拓广的能力，逐步形成良好的反思意识．

【教学重难点】

教学重点：进一步经历用树状图、列表法计算随机事件发生的概率．

教学难点：正确地利用列表法计算随机事件发生的概率．

【导学过程】

【创设情景，引入新课】

【回顾思考】

1.当试验次数很大时,一个事件发生 也稳定在相应的 附近.因此,我们可以通过多次试验,用一个事件发生的 来估计这一事件发生的 .

2.利用 或 可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率.

【自主探究】

做一做：

小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏:下面是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成相等的几个扇形.游戏者同时转动两个转盘,如果转盘A转出了红色,转盘B转出了蓝色,那么他就赢了,因为红色和蓝色在一起配成了紫色.

(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果.

(2)游戏者获胜的概率是多少?

【课堂探究】

用如图所示的转盘进行“配紫色”游戏.

1

小颖制作了下图,并据此求出游戏者获胜的概率是1/2.

小亮则先把左边转盘的红色区域等分成2份,分别记作“红色1”,“红色2”,然后制作了下表,据此求出游戏者获胜的概率也是1/2.

你认为谁做的对?说说你的理由.

【课堂探究案】

【当堂训练】

1.如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).

如果所摸球上的数字与转盘转出的数字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者获胜的概率.

2.设计两个转盘做“配紫色”游戏,使游戏者获胜的概率为1/3.

2 第23章 解直角三角形

第2课时 互余两锐角的三角函数关系

【知识与技能】

使学生理解正、余弦相互关系式及推导过程，并能利用其解答一些基本问题.

【过程与方法】

通过关系的推导过程，培养学生从特殊到一般地提出猜想和发现问题的能力.

【情感态度】

培养学生运用知识总结问题的能力.

【教学重点】

关系的推导和应用.

【教学难点】

关系的推导和应用.

一、情景导入，初步认知

复习特殊角三角函数值.

sin30°=______；cos60°=______；

sin60°=______；cos30°=______；

sin45°=______；cos45°=______.

【教学说明】复习特殊角三角函数值，为本节课的教学作准备.

二、思考探究，获取新知

1.通过观察上面的特殊角三角函数值，你能发现什么规律？

答：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°，sin45°=cos45°.

2.在直角三角形ABC中，你能猜想sinA与cosB有什么关系？

3.证明猜想，形成公式______.

【教学说明】采取学生口述，教师板演，在此基础上归纳出互为余角的正、余弦相互关系式.

【归纳结论】任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值.

三、运用新知，深化理解

3 1.教材P119例5.

2.计算：

sin37°=cos______；

cos62°=sin______；

sin47°-cos43°= ______；

cos18°/sin72° =______.

答案：53°28°0 1

3.填空：

（1）已知：sin67°18′=0.9225，则cos22°42′=______.

（2）已知：cos4°24′=0.9971，则sin85°36′=______.

答案：（1）0.9225 （2）0.9971

4.已知sinA=1/2，且∠B=90°-∠A，求cosB.

解：∵∠B=90°-∠A

∴∠A+∠B=90°

∴cosB=cos（90°-∠A）

=sinA

=1/2.

5.把下列各角的正弦（余弦）改写成它的余角的余弦（正弦）：

（1）sin32°；（2）cos75°；

（3）sin54°19′；（4）sin41°53′.

解：（1）cos58°；（2）sin15°；

（3）cos35°41′；（4）cos48°7′.

6.在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，先根据下列条件求出∠A的正弦值和余弦值，然后说出∠B的正弦值和余弦值：

（1）a=2，b=1；（2）a=3，c=4；

（3）b=2,c=29； （4）a=45，b=8.

解：略.

7.已知：△ABC中，∠C=90°，AC=25，BC=4.求sinA，cosA，sinB，cosB.

解：∵AB=所以sinA=BC/AB=2/3，

cosA=ACAB=5/3，

sinB=sin（90°-A）=cosA=5/3，

cosB=cos（90°-A）=sinA=2/3.

4

=6， 【教学说明】以练习的形式，加强学生对正、余弦相互关系式的运用能力.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业:教材P119“练习”

在课堂上要多给学生发言机会、板演机会，创造条件，使得学生有机会在老师和同学面前表现自我，让学生在思维运动中训练思维，让学生到前面来讲，促进学生之间聪明才智的相互交流.

5 一元二次方程及其一般式

知识点1：一元二次方程定义及一般形式

概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

一般形式：

ax2bxc0(a0)。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

【注意】

1）只含有一个未知数；

2）所含未知数的最高次数是2；

3）整式方程。

典例1 下列属于一元二次方程的是（ ）.

A．y22x13 B．x2x C．11x2x20 D．3x＋1＝0

【答案】B

A. 不是一元二次方程，有两个未知数，故此选项错误；

B. 是一元二次方程，故此选项正确；

C. 不是一元二次方程，是分式方程，故此选项错误；

D. 不是一元二次方程，是一元一次方程，故此选项错误；

故选：B.

典例2

px23xp2q0是关于x的一元二次方程，则（ ）

A．p1 B．p0 C．

p0 D．

p为任意实数

【答案】C

【详解】∵方程px23xp2q0是关于x的一元二次方程，

∴二次项系数p≠0，

故选C.

典例3 若ax2xx2是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（ ）

A．a0 B．a1 C．a1 D．a0

【答案】B

【详解】由题意得：a-1≠0

6 解得a≠1

故选B．

知识点二 一元二次方程的解

概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

典例1关于x的方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0有一个根是x＝3，则m的值是（ ）

A.0 B.2 C.2或﹣2 D.﹣2

【答案】C

【详解】把x＝3代入方程x2+（m2﹣2）x﹣15＝0得9+3m2﹣6﹣15＝0，

解得m＝±2．

故选C．

典例2 已知 1 是关于

x

的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0 的一个根，则

m

的值是（A.1 B.0 C.﹣1 D.无法确定

【答案】C

【详解】解：∵1是关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一个根，

∴（m-1）×12+1+1=0，且m-1≠0，

解得：．

故选择：C.

典例3 已知a是方程的一个根，则代数式的值是（ ）A.6 B.5 C. D.

【答案】B

【详解】解：∵a是方程x2-3x-1=0的一个根，

∴a2-3a-1=0，

整理得，a2-3a=1，

∴2a2-6a+3=2（a2-3a）+3

=2×1+3

=5，

7

）

故选：B．

巩固训练

一、选择题（共10题）

1． 若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（ ）

A．1

2019B．2020 C．2019 D．2018

【答案】B

【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，

设t=x-1，

所以at+bt-1=0，

而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，

所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，

则x-1=2019，

解得x=2020，

所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．

故选：B．

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

2．观察下列表格，一元二次方程x2-x=1.2的一个近似解是（ ）

2

A．0.11

【答案】C

B．1.69 C．1.79 D．1.19

8 【详解】∵x=1.7时，x2-x=1.19；x=1.8时，x2-x=1.44，

∴一元二次方程x

故选C．

【名师点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．

3．已知m是方程好x2－2x－1＝0的一个根，则代数式2m2－4m＋2019的值为( )

A．2022

【答案】B

【详解】∵m是方程x−2x−1=0的一个根，

22B．2021 C．2020 D．2019

∴m2−2m−1=0，

∴m2−2m=1，

∴2m−4m+2017=2(m−2m)+2017=2×1+2019=2021.

22故选B

【名师点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则

4．方程x+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )

A．1，2，3

【答案】B

【详解】方程x+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，﹣3，

故选：B．

【名师点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax+bx+c＝0(其中a，b，c为常数，且a≠0)．解题关键在于找出系数及常熟项

5．关于x的方程(m3)xmA．－1

【答案】B

【详解】解：由题意得：m-2m-1=2，m-3≠0，

解得m=-1或m=3．

m=3不符合题意，舍去，

所以它的一次项系数-m=1．

故选：B．

9

222B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．﹣1，﹣2，3

222m1mx60是一元二次方程，则它的一次项系数是( )

C．3 D．3或－1 B．1 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．

6．一元二次方程(a-3)x-2x+a-9=0 的一个根是 0, 则

a

的值是( )

A．2

【答案】D

【详解】把x=0代入方程（a-3）x-2x+a-9=0，得：a﹣9=0，解得：a=±3．

∵a－3≠0，∴a=－3．

故选D．

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大．

7．若关于x的方程（a+1）x-3x-2=0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）

A．a0

【答案】B

【详解】解：根据题意，得

a+1≠0，

解得，a≠-1．

故选：B．

【名师点睛】本题考查一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．

8．将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（ ）

A．﹣4，2

【答案】B

【详解】解：把一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0得：

-3x2+4x-2=0，

∵a＞0，

∴3x2-4x+2=0，

∴一次项和常数项分别是：-4x，2，

故选：B．

10

2222222B．3 C．3 或-3 D．-3

B．a1 C．a1 D．a1

B．﹣4x，2 C．4x，﹣2 D．3x，2

2 【名师点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

29．若a1xx10是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是(

)

2A．a0

【答案】C

B．a0 C．a1 D．a1

【详解】根据题意得：

a10，

解得：a1，

故选C．

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

10．已知2是关于x的方程3x2﹣2a＝0的一个解，则a的值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【详解】解：把x＝2代入方程3x2﹣2a＝0得3×4﹣2a＝0，解得a＝6．

故选：D．

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

二、填空题（共5题）

11．如果a是一元二次方程x23x50的一个根，那么代数式8a23a=__________.

【答案】3

【详解】解：把x=a代入x2-3x-5=0得a2-3a-5=0，

所以a2-3a=5，

所以8-a2+3a=8-（a2-3a）=8-5=3．

故答案为：3．

【名师点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

11 12．方程(3x1)(2x3)1中，二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.

【答案】6 -7 -4

【详解】方程整理得：6x2 −7x−4=0，其中二次项系数是6，一次项系数为−7，常数项为−4，

故答案为： 6，−7，−4

【名师点睛】此题考查一元二次方程的性质，解题关键在于将方程整理为一般形式

13．已知关于x的一元二次方程m2x3xm40的一根为0，则m的值为__________．

22【答案】2

【详解】把x=0代入方程得

m-4=0

∴m1=2，m2=-2，

∵一元二次方程的二次项系数不为0，

∴m+2≠0，即m≠-2，

∴m=2．

故答案为：2．

【名师点睛】本题考查的是一元二次方程的根，把方程的根代入方程求出字母系数的值，对不合题意的值要舍去．

14．如果x5是一元二次方程x23xn0的一个根,则常数n的值为______.

【答案】-10.

【详解】把x5代入x23xn0可得

25235n0

解得：x=-10

故答案为：-10

【名师点睛】考核知识点：一元二次方程的根.理解方程的根的意义.

15．若x3是一元二次方程x2ax3b0的解，则代数式ab的值是_______

【答案】-3

【详解】解：x3是一元二次方程x2ax3b0的一个根，

323a3b0，

ab3．

故答案为：3．

12 【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的解（根)的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

三、解答题（共2题）

16．关于x的方程x+mx﹣1＝0的一个根是x＝2，求m的值．

【答案】m＝﹣23．

2【详解】解：把x＝2代入方程x2+mx﹣1＝0得4+2m﹣1＝0，

解得m＝﹣．

【名师点睛】本题考核一元二次方程的根的意义.

17．（2018春 北京市期末）已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．

【答案】1

【详解】依题意，得mn24n50．

∴mn24n5．

∵mn24nm6，

∴5m6．∴m1．

【名师点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

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