中职数学拓展模块
《数学学习指导与练习（拓展模块一）》
参考答案
第6章 三角计算
6.1和角公式
【要点梳理】
1.
cos(+)=coscos−sinsin
αβ
αβαβ
cos(-)=coscos+sinsin
αβ
αβαβ
2.
sin(+)=sincos+cossin
αβ
αβαβ
sin(-)=sincos-cossin
αβ
αβαβ
3.
tan(+)=
αβ
tan+tan
αβ
1−tantan
αβ
tan(α−β)=
tantan
α−β
1+tanαtanβ
【闯关训练】
6.1.1 两角和与差的余弦公式
一、选择题
1.B 2.C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.C 8.A
二、填空题
1. 2. 3 .
−
6−2
4
cos
α
−
172
26
4.
1
2
【提示】诱导公式化为两角和的余弦公式逆用
cos78sin12
oo
，
三、解答题
1.解 原式
=
cos165=cos(180−15)−cos15−cos（45−30)
ooo
==
ooo
oooo
==
−(cos45cos30+sin45sin30)
−
6+2
4
33
π
2.解
因为
cos,(,)
ααπ
=−∈
42
−1−cosα=−1−(−)=−sinα=
所以
πππ
cos(α−=)cosαcos+sinαsin
666
22
37
44
3
371
=
(−×+−×
)()
4
242
=
−33−7
8
3.解 原式
=
2cos(α−β)cosα−cos(2α−β)
=
2cos(α−β)cosα−cos[(α−β)+α]
=
2cos(α−β)cosα−[cos(α−β)cosα−sin(α−β)sinα]
=
cos(α−β)cosα+sin(α−β)sinα
=
cos
β
【学海探津】
62.905
o
6.1.2 两角和与差的正弦公式
一、选择题
1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A
8.C
二、填空题
6+22
1. 2. 3.
sinx
−
4
10
4. 【提示】用诱导公式将化为两角和的正弦公式逆用.
3
sin50cos40
oo
，
2
三、解答题
1.解 原式=
sin195=sin(180+15)−sin（45−30)
ooo
==
−sin15
o
oo
oooo
=
−(sin45cos30−cos45sin30)
2−6
=
4
π
2
2.解 因为
sin=,∈(,)
ααπ
32
25
−1−sinα=−1−()=−cosα=
22
所以
33
5321
2+15
πππ
）（−×=×−
=
sin(α−=)sinαcos−cosαsin
3232
6
.
333
π
3
3.解 因为
cos(),0
αββα
+=<<<
52
34
所以
0<+<
αβπ
，
sin()1()
αβ
+=−=
2
55
.
0<<<，
βα
0
<α−β<
π
2
，
cos(−)=
αβ
8
17
π
sin(α−β=)1−()=
2
815
2
1717
=
sin(+)cos(−)+cos(+)sin(−)
αβαβαβαβ
77
=
85
sin2=sin[(+)+(−)]
ααβαβ
【学海探津】
7
π
120
6.1.3 两角和与差的正切公式
一、选择题
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A
二、填空题
1. 2 . 3. 4. 2
1
3−2−3
−
7
三、解答题
1.解 原式=3−2
tan165=tan(180−15)−tan（60−45)
ooo
===
−tan15
o
oo
2.
解因为是方程的两个实根
tanα,tanβ
x−4x−7=0
2
所以，，，
tan+tan=4tanαtanβ=−7
αβ
tan(+)===
αβ
3.解 因为
sinα=,α∈(,π)
tan+tan41
αβ
1−tantan1−(−7)2
αβ
34
π3
所以=−−=−
cos1()
α
2
55
.
52
，
3
31
−−
tanα−tanβ
3
sin
α
42
=−2=tan(α−β)=
,
tan===−
α
5
31
1+tanαtanβ
1+（−）×
4
cos
α
−
4
42
5
【学海探津】
莱诺三角形
6.2 二倍角公式
【要点梳理】
1. 二倍角的正弦公式
sin2=2sincos
α
αα
2.二倍角的余弦公式
cos2=
α
cosα−sinα
22
cos2=
α
2cosα−1
2
cos2=
α
1−2sinα
2
3.二倍角的正切公式
tan2=
α
2tanα
1−tanα
2
【闯关训练】
一、选择题
1.B 2.D 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C
二、填空题
1.（1） ;（2） 2. 3. 4. 1
3
2
11203π
4169
{x|x≠kπ+,k∈Z}
4
三、解答题
1.解 因为
sin=−,∈(,)
ααπ
43
π
52
所以
cosα=−1−sinα=−1−(−)=−
22
43
55
4
tan=α==
sinα4
−
5
cosα3
−
3
5
sin2=2sincos=2×(−)×(−)=
ααα
4324
5525
cos2α=1−2sinα=1−2×(−)=−
22
47
525
2×
4
tan2===-
α
2tan
α
3
1−tan7
2
α
1−（）
4
24
2
.
3
2.解 原式=
sin2−sin2sincos−sin
ααααα
cos2+1−cos2coscos
αααα
=
2
−
=
2sincos−sin
ααα
2coscos
2
αα
−
==tan
sin（2cos−1）
αα
cos（2cos−1）
αα
α
3.证明 左边=
1+sin2+cos21+2sincos+(2cos−1
ααααα
cos+sincos+sin
αααα
=
2
)
=右边
=
2sinαcosα+2cosα
2
2cosα（sinα+cosα）
cosα+sinα
cosα+sinα
=2cosα
原等式成立
【学海探津】
令，得
x=π
e+1=0
i
π
6.3 正弦型函数的图像与性质
【要点梳理】
1.（1）R，
[−A,A]
（2）
2
π
ϖ
（3）；
AA
−
（4）
yxsin()sin(+)
=siny=x+
ϖϖϕ
；；
ϖϕ
y=Ax
2.；a+b；−a+b.
y=a+bsin(x+)
22
ϖϕ
；
2π
22
22
ϖ
【闯关训练】
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A
二、填空题
π3π
π
1. 2. 3. 4.
[−3,3]
；
3ππ
{x|x[,]=2kπ+,k∈Z}
3
22
三、解答题
1.解
因为，所以函数的最小正周期为
A=5,ϖ=3,φ=
π2π
3
.
6
1
首先，将函数图像上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得
y=sinx
3
到的图像.
y=sin3x
其次，把的图像向左平移个单位，得到的图像.
y=sin3x
最后，将的图像上各点的纵坐标变为原来的5倍（横坐标不变），
ysin（3x+）
ππ
ysin（3x+）
186
π
6
得到的图像.
y=5sin(3x+
)
6
2π
T4πππ
，所以
T=
2.解 由题意得
−
3
2993
又 解得又时，取得最大值4，
T=
2π
π
ϖ
=3
；
A=
4
,
当
x=
9
ϖ
π
所以，
ϖϕϕπ
x=3×+=2k+k∈Z
+,
又，所以.故函数的解析式为.
|ϕ|<=f(x)4sin(3x+)
ππ
92
π
π
π
ϕ=
6
62
π
3.解 （1）函数的最小正周期为
f(x)=sin(ϖx−)
π
6
2π
, 所以 =2
ϖ
T=
ϖ
π
所以 函数
=f(x)sin(2x−)
，的最小值为1.
f
(x)
−
6
3π
（2）因为，且
<x<πsinx=
25
34
所以
cos1sin1()
x=−−x=−−=−
22
55
3424
sin2x=2sinxcosx=2××(−)=−
5525
73
cos212sin1−2×()=
x=−x=
22
255
π
由（1）
=f(x)sin(2x−)
6
ππ
=
sin2xcos−cos2xsin
66
=
（−）×−×
24371
252252
2437
+
=
50
−
【学海探津】
我们运用现在所学的“周期”知识，就可以知道这所谓的“神奇”其实是再正常
不过的事情.
4月4日，6月6日，8月8日，10月10日，12月12日这几个日期之间正
好把7月、8月两个拥有31天的月份分开了.使得4月4日和6月6日，6月6
日和8月8日，8月8日和10月10日，10月10日和12月12日之间都相隔一
个31天，一个30天，共61天.
由于，加上这两天，共63天，一个星期有七
6−4=8−6=10−8=12−10=2
天.63是7的整数倍，或者说以7天一个周期，63天以后，当然星期几是一样的
了.
6.4 解三角形面积
【要点梳理】
111
=S=bcA=acBabC
sinsinsin
222
1.
∆ABC
abc
==
2.
sinAsinBsinC
3.
a=b+c−2bccosAb=a+c−2accosBc=a+b−2abcosC
;;
222222222
a+c−babc
+−
b+c−a
cosA=cosB=
cosC=
2bc
2ac
2ab
222222222
;;.
6.4.1 三角形面积公式
【闯关训练】
一、选择题
1.B 2.C 3.B 4.A
二、填空题
1. = 2. 3. 18
93
三、解答题
1.解 设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为θ.
AOB
11
根据扇形面积公式S=,有
lr62
π=×π×r
，得r=6
22
2l
ππ
又弧度制的定义,有
θ=θ=
=
.
63r
1
π
根据三角形的面积公式得：.
S=×6×6×sin=93
23
∆ΑΟΒ
6
1sinC+cosC=
，
sinC=1−cosC=
2.解 由.
22
3
2
由三角形的面积公式得：.
S232
∆ΑΒC
=×××=
16
23
3.解 设AB边上的高为h,根据三角形的面积公式有
11
×AB×AC×sinA=×AB×h
22
代人已知得
h=
1
3
.
【学海探津】
如图6-1所示，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，
333
1
所以正六边形的面积S＝6××1×＝.
6
222
图6-1
6.4.2 正弦定理
一、选择题
1.C 2.A 3.C 4.D
二、填空题
1. 23 2. 25
2
3×
2
π2π
asin B3
3. 或【提示】由正弦定理，得sin A＝
33b2
＝＝，又A∈(0，π)，
2
π2π
a>b，∴A>B，∴A＝或.
33
三、解答题
AB×sinC23×sin303
ACAB
sinC===
=
AC22
sinsinBC
1.解 由正弦定理得
，
ο
得C=60或120
οο
οο
验证可得∠∠均成立
B+C<180
ο
所以=或
C60120
ACBCBC·sin B6×sin 120°
2.解 由正弦定理得
sin Bsin Asin Asin 30°
＝，∴ AC＝＝＝63.
又∵C＝180°－120°－30°＝30°，
111
∴S＝AC·BC·sin C＝×63×6×
△ABC
222
＝93.
B3
3.解 因为cos B＝2cos
2
25
－1＝，
4
故B为锐角，所以sin B＝
5
，
3
π
sin−B
＝sin
3π3π
cos B－cos sin B＝.
72
所以sin A＝sin(π－B－C)＝
4
4410
asin C
10
由正弦定理，得c＝
sin A
＝，
7
111048
所以S＝acsin B＝×2××.
△
ABC
22757
＝
【学海探津】
ABBDABsin∠BDA
=⇒=
sin∠BDAsin∠BADBDsin∠BAD
ACDCACsin∠ADC
在中，由正弦定理可知
∆ADC
=⇒=
sin∠ADCsin∠DACDCsin∠DAC
在中，由正弦定理可知
∆ABD
又
∠BDA+∠ADC=∠BAD=∠DAC
180,
,则
sin∠BDA=sin∠ADC
，
ο
则
ABBD
=
ACDC
6.4.3 余弦定理
一、选择题
1.C 2.B 3.D
4.B【提示】根据b＝ac且c＝2a得到：b＝2a .
222
，
二、填空题
1. 30－46 2. 1 3. 锐角三角形
三、解答题
1.解 依题意设a＝4k，b＝3k，c＝2k(k>0)，
a＋c－b16k＋4k－9k
222222
11
则cos B＝＝＝.
2ac2×4k×2k16
113
2.解 由S＝2203，得bcsin A＝2203，即×16×c×＝2203，∴c＝55.
222
1
由余弦定理，得a＝b＋c－2bccos 60°＝16＋55－2×16×55×＝2 401，
22222
2
∴ a＝49.
3.解∵c＝(a－b)＋6，∴c＝a＋b－2ab＋6. ①
22222
π
π
∵C＝
3
，∴c＝a＋b－2abcos＝a＋b－ab.②
22222
3
由①②，得－ab＋6＝0，即ab＝6.
33311
∴S＝absin C＝×6×＝.
△ABC
2222
【学海探津】
a+c−ba+b−c
222222
=,cosC,cosB=
由余弦定理,得
22
a+b−ca+b−c
222222
+c⋅bcosC+ccosB=b⋅
∴
2ab2ac
∴
abcosC+ccosB
a+b−ca+b−c
2222222
2a
=a
+c⋅
=
2a2a2a
ccosA+acosCcacosB+bcosAb
;(3) . 同理可证(2)
6.5 三角计算的应用
一、选择题
1.A 2.A 3.B 4.B
二、填空题
1. 4 2. 6.
3. 60 【提示】河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等
三、解答题
1
1.解 由题意知，AB＝24×
4
＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.
由正弦定理，得BS＝
ABsin∠BAS
6sin 30°
＝＝32(km).
sin 45°
sin∠ASB
2.
sin=Csin(θ+45=°)
172
26
ABACBC
==
由正弦定理,
sinCsin45sinθ
ο
AB
=×sin45AC
sin
C
得
, ,
BC=2002
ο
新的飞行路程比原路程多
ACBCABkm
+−=520+2002−680=122.8()
第6章自我检测
一、选择题
1.D 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D
7 B【提示】
2α=（α+β）（α−β）+
8 D【提示】A.根据公式； B.2x=时，有最大值2；
T==π
2π
π
2
ω
0f(x)f(x)+f(−x)=
D. C.
；，函数的值域为奇函数满足
sin2∈−1,1
x
[]
[]
0,2
二、填空题
3
2
π
2
−
1. 2. 3.
4
1
4. 【提示】先用和差公式分解，然后用商式求解.
2
三、解答题
1.解 由题意知tanα+tanβ=3,tanαtanβ=4, ①
−
3
∴ =
tan(+)
αβ
tan+tan
αβ
=
3
1−tantan
αβ
ππ
ππ
又∵α,β且由①知α(,0)，β(,0),
∈(−,)
∈∈
−−
22
22
(π,0)∴.
αβ
+=−
∴
αβ
+∈
−
2.解 f(x)=2sinxcosx=4(sinxcosx)
−−
23
2
π
3
1
3
2
2
=4(sinxcoscosxsin)=
π
33
−
π
π
4sinx−
3
∴函数f(x)的最大值是4，最小值是
−
4.
3.解 如图，过A作AE⊥BD于点E，
图6-2
由已知可知AB＝107，BC＝30，AC＝20，
20+30−(107)1
222
. ∴
cos∠ACB==
2×20×302
∵0°<∠ACB<180°，∴∠ACB＝60°，∴AE＝103.
∵∠DAE＝60°，∴DE＝103×3＝30.
20
100
∵∠CAE＝30°，∴CE＝10，DC＝20，∴t＝
90
×60+20＝
3
.
第七章 数列
7.1
数列的概念
【要点梳理】
1.数列
2.项 首项
3.有穷数列 无穷数列 常数列
4.通项公式
【闯关训练】
一、选择题
1.C 2.C 3.D 4.B 5.B 6.A
二、填空题
1. 2. 3. 27 4. 5.
−7
三、解答题
1.解（1），，， ，
a
12
=
11
a=2×+1=2
a=2×2+1=5a=2×5+1=11
34
2
2
113
；
3
n−1
1542n
a=2×11+1=23
5
（2）
a=−a=1−=
13
112
111
−a=1−=1−3a==
42
21
233
，，， ，
2
−
3
2
a=1−=3
5
1
1
−
2
2.
解：由题意得，，解得或（不合题意，舍去）
n+2n=10
2
n=2n=−5
故是数列的第项
102.
{a}
n
3.1.1,2,3,4,5
解：（）由题意得，，解得因此数列第项为负
n−5n−6<0
2
−1<n<6
数
.
549
（），当时，为最小值
2.
n−5n−6n−−
n=2或3
a=−12
n
24
2
2
【学海探津】
a=2n+1
n
由题图，易得a=3,a=3+2=5,a=3+2+2=7,a=3+2+2+2=9,…,所以a=2n+1.
1234n
7.2等差数列
【要点梳理】
1.等差数列 公差 d
2.
a=a+(n−1)d
n1
3.等差中项
A
=
4.
S=
n
【闯关训练】
7.2.1 等差数列的概念
一、选择题
1.B 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C
二、填空题
1. 2. 5 3. 29 4. 5. 10 6.
−32n−12
−2
三、解答题
10a+a+4d=
11
a=1
1
，解得
d2
=
1. 解（法一）由题意可得
a3d7
+=
1
5d=a−a=2a+a2a10∴a=
， ，
431533
（法二）由等差数列性质可知，
a+b
2
n(a+a)
1n
n(n−1)
S=na+d
n1
2
2
2.解 由题意得，.数列是首项为19，公差为的等差数列.
a−a=−3{a}
n+1nn
−3
，解得.
a=19+(n−1)×(−3)=−2021
m
m=681
3.解 由等差数列性质可知，.
a+a=a+a=−4
4637
−4a=−2a=6a+a=
3337
，解得或
a=6a=−2
a⋅a=−12
37
77
a=−2
3
a=−6
1
..
等差数列的公差为正数，解得，
{a}∴a=2n−8
nn
∴
=a6
d=2
7
【学海探津】
设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列为，则立春当日的日影
{a}
n
长为，立夏当日的日影长为，因此春分当日的日影长为
a=9.5
410
a=2.5
a(a+a)6
7410
1
.
2
7.2.2
等差数列的前n项和公式
一、选择题
1.B 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.B
8.A
二、填空题
1. 48 2. 12 3. 10 4. 8
三、解答题
1.解（1）由题意知，解得，
ad5
1
+=
a4d11
a=3
1
a=3+(n−1)×2=2n+1
n
1
+=
d=2
（2），解得（不合题意，舍去）
S3n+×2120
1)n(n−
n
2
n=10n=−12
2.解 设数列的公差为d则
{a}
22
n
，
a+a=+a(a+d)=−3
1211
，
S=5a+10d=10
51
，
解得，，则.
a=−4a=a+8d=20
191
d=3
3.解
S=22=
(a+a)×11
111
11
2
，解得.
a+a=4
111
由等差数列的性质可知，
a+a=a+a=2a∴a=2
1114866
，.
因此有
a+a+a=a+a+a=3a=6
3784686
【学海探津】
设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，
{}
a
n
d
n
S
n
a=a+d=
51
428
则由题可得，解得，
S=a+d=
54
×
a12
1
=
51
5100
2
d4
=
所以“不更”出的钱数为
a=12+4=16
2
.
7.3 等比数列
【要点梳理】
1.等比数列 公比 q
2.
a=a⋅q
n
1
n−
1
3.等比中项 或
G=ab
2
G=±ab
a−aq
a(1−q)
1
n
4.
S=na
n1
或
S=
n
S=
n
1n
1−q
1q
−
【闯关训练】
7.3.1 等比数列的概念
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B 8.A
二、填空题
1. 2. 2 3. 5 4. 32
−4
三、解答题
a
4
11
2
q=±
=q=
1.解 由等比数列的性质可知，
，解得.由于数列的各项均为正
3
a9
2
1
11
n−
1
a=27
q=
27aaq
=⋅=×=
数，故，
1
1n
，
3
33
n1n4
−−
2.解 根据等比数列的性质可知，
a⋅a=a⋅a
1423
，
243a⋅a=
23
a=9a=27
22
，解得或（舍去） 则有
a9
=
a27
=
a+a=36
3
3
23
a=9
2
a=3
由可得.
1
q3
=
a=27
3
【学海探津】
1
由表格知，第一行构成以1为首项，为公差的等差数列，所以第一行第四
2
51
个数为，第五个数为3.第三列构成以2为首项，为公比的等比数列，所以a
22
1
53
＝.同理，b＝，c＝，所以a＋b＋c＝1.
21616
7.3.2
等比数列前n项和公式
一、选择题
1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.A
二、填空题
31
1. 62 2. 127 3.
4.
−11
4
三、解答题
1.解 （1）由题意可知，
a
4
=q=−64
3
，；
q=−4
a
1
−×−−
1[1(4)]
4
=S=51
（2）.
4
1−(−4)
2.解 由题意可知，数列是首项，公比的等比数列，则有
{}
a
n
a=4
1
q=2
4×(1−2)
n
=
124
，解得.
n=5
1−2
3.解 由
S=
n
a−aq
1n
396
−q
=
189
，则. ，得
q=2
1−q1
−q
963×2=
，解得. ，则 又
n=6
=a⋅qa
1n
n−1−
n1
4.解 设等比数列的公比为q，则
{}
a
n
a(1−2)
1
n
S
n
1
−
n
∴==−
12
−
22
aa×
n
1
2
n
−
1
a−aa⋅q−a⋅q
6453
==q=2
a−aa−a
5353
7.4 等差数列与等比数列的应用
一、选择题
1.A 2.B 3.A
4.D
（提示：依题意，以标准对数视力
5.0
为左边数据组的等差数列的首
项，其公差为，标准对数视力为该数列第项，标准对数视力对应的
-0.13
4.85.0
1
国际标准视力值为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，因此，
1.0
10
10
标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第项，其大小为
4.8
3
1()0.63
×=≈
105
11
2
.
）
1010
二、填空题
1. 820
2. 1600
3. 6 （提示：设每天植树的棵数组成的数列为，由题意可知它是等比数列，
{}
a
n
2(1－2)
n
且首项为2，公比为2，所以由题意可得≥100，即2≥51，而2
n5
＝32，
1－2
2
6*
＝64，n∈N，所以n≥6.
1
4. 24 （提示：由题意，每天所走的路程构成公比为的等比数列，设第一天走
2
1
x[1−()]
6
2
=378
1
1
192×()=24
3
1−
x=192
x
2
2
，解得，所以第四天走的路程为． 里，则
了
5. 50
三、解答题
1. 2017
解：根据题意，从年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，
=q
1.5150%
，所以，则，则，公比
=aa=q5000×1.5
n1
n−1n−1
2025
设为
{}
a
n
a=5000
1
年全年约生产新能源汽车为
a=5000×1.5≈128145
9
8
（辆），
故年全年约生产新能源汽车辆
2025128145.
2.19
解：（）第一环的扇面形石有块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前
一环多块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以为首项，为公
999
243a=9+(n−1)×9=9n∴a=
差的等差数列，则，
n27
===
S3402
27
（）前项和为：127
227
27()
×a+a
27(9243)
×+
.
22
3.解：当n≤6时，数列{a}是首项为120，公差为的等差数列，
n
−10
a＝120－10(n－1)＝130－10n；
n
3
当n≥7时，数列{a}是以a为首项，为公比的等比数列，
n6
4
3
又a＝70，.
6
∴a=70×
n
4
n−6
13010,6,
−nn≤
n
−
6
综上可知，
a
n
=
3
70,n7
×≥
4
4.1aa
解：（）由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项
1
＝，
公比＝－＝，．
q110%0.9∴
a=a⋅0.9
n
n−1
a(1−0.9)
10
=S=10a(1−0.9)
10
10
．（）年的出口总量
210
1−0.9
8
8
≈≈12.3
，
∵S
10
≤80∴10a(10.9)≤80a≤
，－，即
10
1−0.9
10
1−0.35
∴a≤12.3201812.3
．故年最多出口吨．
第7章自我检测
一、选择题
1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.B
二、填空题
1. 2. 2500
±8
3. 549（提示：由题意可得该数阵中第m行有2m﹣1个数，前m行共有2m﹣
1个数，所以前8行共255个数.由于该数阵中的数依次相连成等差数列，所以
该数阵中第9行从左往右数的第20个数是1+（275-1）*2=549）
三、解答题
11.解 (1)设等差数列{a}的公差为d，则a＝a＋(n－1)d.
nn1
由a＝1，a＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2.
13
从而a＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
n
(2)由(1)可知a＝3－2n，
n
n[1＋(3－2n)]
2
所以S＝.
n
＝2n－n
2
由S＝－35，可得2k－k
k
22
＝－35，即k－2k－35＝0，
解得k＝7或k＝－5.又k∈N
*
，故k＝7.
12.解 由题意可知，，
S=a=1S=a+a=2a+d=2+d
212111
4a+S=4+6dd=
14
43
×
.
2
2
由于
S,S,S
124
成等比数列，则，即
S=S⋅S
214
(2+d)=1×(4+6d)
2
解得d＝2(d＝0不合题意舍去）
13.解 ∵loga＋1＝loga，∴a＝3a.∴数列{a}是以3为公比的等比数列．
3n3n1n1nn
＋＋
∴a＋q
2462
＋a＋a＝a(1＋q)＝9.
24
∴a＋q＋q＝－5.
57952
＋a＋a＝a(1＋q)＝aq(1＋q)＝3. ∴log3
2432455
1
3
14.解（1）由题意可知，这13个单音构成了一个以为首项为公比的等
f
1
，
12
2
比数列，所以
a=a⋅q=f⋅(2)
n11
n−n−
11
12
f
9
66
（2）由等比数列的性质可知：
=q=(2)=2
12
f
3
第8章 排列组合
8.1 计数原理
【要点梳理】
1.
n
个，，加法.
N=k+k++k
12n
2.个，，乘法.
n
N=kkk
12n
3.分类，互相独立；分步，相互依存.
【闯关训练】
8.1.1
分类计数原理
一、选择题
1.A 2.C 3.B 4.D
二、填空题
1. 11 2. 13 3. 5
三、解答题
1.解：给教室的座位编号分为两类方法：
第1类，用一个大写的英文字母进行编号，有26种方法；
第2类，用一个阿拉伯数字进行编号，有10种方法．
总共能编出不同的号码有种．
N=26+10=36
2.
解：根据分类计数原理，分四类：
第1类，选型血，有16种选法；
O
第2类，选
A
型血，有10种选法；
第3类，选
B
型血，有8种选法；
第4类，选型血，有4种选法．
AB
不同的选法共有种．
N16+10+8+438
*3.“”“
解：要完成至少买一盒水彩笔这件事，可分三类，而每一类都能独立完成至
少买一盒水彩笔这件事．
”
第一类，买盒水彩笔，可以买元的也可以买元的，有种方法；
120302
第二类，买盒水彩笔，可以买元的盒，也可以买元的盒，还可以买
2202302
203013
元和元的各盒，有种方法；
第三类，买3盒水彩笔，可以买20元的3盒，也可以买20元的2盒和30元的
1盒，有2种方法．不同的买法共有2＋3＋2＝7(种).
【学海探津】
根据分类计数原理，按由小三角形个数构成三角形的情况进行分类，可得：
（1）；；；
S=1S=2+1=3S=3+2+1=6
123
（2）第个图形中的三角形构成分类：
nn
第1类，由1个小三角形构成的三角形，有个三角形；
n
第2类，由2个小三角形构成的三角形，有个三角形；
n−1
第3类，由3个小三角形构成的三角形，有个三角形；
n−2
……
第
n−1n−1
类，由个小三角形构成的三角形，有2个三角形；
第类，由个小三角形构成的三角形，有1个三角形．
nn
因此，第个图形中三角形的个数．
n
S=n+n−+n−++++=
n
(1)(2)321
8.1.2 分步计数原理
一、选择题
1.B 2.D 3.C
*4.D 413
（提示：共分步：对于第位同学来说，有种报名方法，同理每位
同学都有种报名方法，根据分类计数原理，位同学共有种
34
N33333
=×××=
4
报名方法）
二、填空题
1. 6 2. 8
*3. 5 （提示：有3种选法，有2种选法，但与为同
AB
x+3y=02x+6y=0
一条直线，故形如这样的直线共有条）
Ax+By=0
N=3×2−1=5
三、解答题
1.解：根据分步计数原理，分三步：不同的选法共有种.
N=5×6×3=90
2.解：根据分类计数原理，分三步：
第1步，排个位上的数字，有4种排法；
n(n+1)
2
第2步，排十位上的数字，有3种排法
第3步，排百位上的数字，有2种排法.
故没有重复数字的三位数共有个.
N=4×3×2=24
*3.
解：解决本题分四步：
第步，词语好好有种涂色；
1“”4
第步，词语学习有种涂色；
2“”3
第步，词语天天有种涂色；
3“”3
第步，词语向上有种涂色．
4“”3
百十个
根据分步计数原理，共有种不同的涂色方法．
N=4×3×3×3=72
【学海探津】
对于甲来说，有4种借阅可能，同理每人都有4种借阅可能，根据分类计数
原理，故五个人共有种借阅方案.
N=4×4×4×4×4=4
5
8.1.3 计数原理的应用（1）
一、选择题
1.C 2.D 3.B 4.C
二、填空题
1. 14 2. 23
三、解答题
1.解：根据分类计数原理，分三类：
第1类，选一本语文书和一本数学书，有种；
N=5×6=30
1
第2类，选一本语文书和一本英语书，有种；
N=5×3=15
2
第3类，选一本数学书和一本英语书，有种.
N=6×3=18
3
故共有种不同的选法.
N=30+15+18=63
*2.解：能被5整除的数分两类：
第1类，个位数是0，任选1、3、5中的两个数排在十位和百位，则三位数有
N=3×2=6
1
个；
第2类，个位数是5，此时又分两类：
（1）含有数字0，则0只能排在十位，任选1、3中的一个数排在百位，三位数
有个；
N=2
2
（2）不含数字0时，则2排在十位或百位，有2种排法，另一数位上排1、3中
的任意一个数字，也有2种排法，三位数有
N=2×2=4
3
个．
故共有个能被5整除的数．
N=N+(N+N)=6+2+4=12
123
8.1.3
计数原理的应用（2）
一、选择题
1.C 2.C 3.A
*4.A. 解析：依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组
成3个数分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数分别为310,301,130,103,013,031；
由2,2,0组成3个数分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数分别为211,121,112.
共计3＋6＋3＋3＝15个．
二、填空题
1. 92 *2. 37
第2题提示：法一：(直接法)
以甲工厂分配班级情况进行分类，共分为三类：
第一类，三个班级都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；
第二类，有两个班级去甲工厂，剩下的一个班级去另外三个工厂，其分配方案共
93×3=
种； 有
第三类，有一个班级去甲工厂，另外两个班级去其他三个工厂，其分配方案共有
3×3×3=27
种．
综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37种．
法二：(间接法)
先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：
4×4×4−3×3×3=37
种方案．
三、解答题
1.解：既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，仅会英语的有6人，仅会日语
的有2人．所以“完成从9人中选出会英语与日语的各1人”这件事，需分三
类，先分类后分步：
（1）既会英语又会日语的不当选，即从仅会英、日语的人中各选1人有6×2
种选法；
（2）既会英语又会日语的按“会英语”当选，即从仅会英语与英、日语都会的
人中各选1人有6×1种选法；
（3）既会英语又会日语的按“会日语”当选，即从仅会日语与英、日语都会的
人中各选1人有2×1种选法．
根据分类加法计数原理，共有6×2＋6×1＋2×1＝20种不同选法．
*2.:
解分两类：
第类，五位数的个位数字为，则有个；
10
N=4×3×2×1=24
1
第类，五位数的个位数字不为，则个位上的数字必为，百位不能排
204
0043
，从除和外的三个数字中选一个排在百位有种排法，中间的数字任意
排，共有个
N=3×3×2×1=18
2
.
所以无重复数字的五位偶数共有个.
N=N+N=24+18=42
12
【学海探津】
要使所拨数字大于200，分两类考虑：
第1类，上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200,有
N=2×3×2=12
1
种；
第2类，上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从其余的档位
中选一个下珠，有种.故所拨数字大于200的共有
N=2×2=4
2
N=N+N=12+4=16
1
2
个.
8.2 排列与组合
【要点梳理】
1.不同；一定的顺序；从个不同元素中取出个元素；选排列；全排列.
nm
2.排列数；.
P
n
m
3.；；；；1.
n(n−1)(n−2)(n−m+1))321
n(n−1)(n−2××
4.组成一组.
m
5.组合数；
C
n
.
n
!
n!
(n−m)!
m
n!
p
n
n(n1)(n2)(nm1)
−−−+
6.；1；.
m
=
m!(n−m)!
pm!
m
mn−mmmm−1
7.，.
C=C
nn
C=+CC
n+1nn
【闯关训练】
8.2.1 排列
一、选择题
1.C 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A 7.B 8.B
二、填空题
1. 15；1 2. 6 3. 60 4. 48
三、解答题
1.解：从名运动员中选人参加接力赛相当于从个不同的元素中
64,6
4×100m
4
取出个元素的排列数，共有(种）．
4
P=6×5××=
6
43360
2.解：（1）根据分步计数原理，分两步：
第一步，选千位上的数字，有种选法；
P=6
6
1
第二步，选其它数位上的数字，有
P=120
6
3
种选法．
因此，这样的四位数共有(种）．
P⋅P=6×120=720
66
13
（2）根据分步计数原理，分三步：
第一步，选个位上的数字，有种选法；
P=
3
1
3
第二步，选千位上的数字，有
P=5
5
1
种选法；
2
第三步，选其它数位上的数字，有
P=20
5
种选法．
112
因此，这样的四位奇数共有(种）
P⋅P⋅P=3×5×20=300
355
根据分类计数原理，分两类：
3
第一类，0在个位，有
P=
6
6×5×4=120
种选法；
112
第二类，0不在个位，根据分步计数原理，有种选法．
P⋅P⋅P=××=
355
3520300
2
123
因此，这样的四位偶数共有(种）
P+P⋅P⋅P=+=
6355
120300420
3.解：（1）优先考虑特殊元素甲，根据分步计数原理，分两步：
第一步，先排甲，有种选法；
P=4
4
1
第二步，排其他同学，有种选法．
P=
5
5
120
因此，甲不站两端的站法共有(种）．
P⋅P=4×120=480
45
15
*
（2）根据分类计数原理，分两类：
5
第一类，甲站在右端，有种站法；
P=120
5
第二类，甲不站在右端，根据分步计数原理，有种站
P⋅P⋅P=4×4×24=384
444
114
5114
法．不同的站法共有(种).
P+P⋅P⋅P=120+384=504
5444
【学海探津】
总共有6位，全排列有(种)，
P=720
6
6
三个6和二个8的排法有(种)，
P⋅P=6×2=12
32
32
P
6
6
排除三个6和二个8的排法有(种)，
32
=60
P⋅P
32
P
6
6
再减去一种正确的，输错密码的总数为
32
−1=59
(种).
P⋅P
32
8.2.2 组合
一、选择题
1.C 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A 8.D
二、填空题
1.（1）20 （2）1 （3）1 2. 10
3. 10 *4. 165
三、解答题
1.182,8
解：（）从平面内个点，任选其中个点为端点的线段相当于从个不同
2
的元素中取出个元素的组合数，共有条）．
2(
C==28
8
87
×
21
×
（）从平面内个点，任选其中个点为端点的有向线段相当于从个不同
282,8
2
．条）
2(
的元素中取出个元素的排列数，共有
P=8×7=56
8
2.112512
解（）从件作品中挑选件参加市级展示活动的选法，相当于从个不
5
同的元素中取出个元素的组合数，不同的选法
5
C==
12
12111098
××××
792
54321
××××
(
种）．
（）从件作品中挑选件参加市级展示活动，作品甲必选，相当于从除了
2125
作品甲以外的件作品中再选件的组合数，不同的选法
114
4
=C
11
111098
×××
=
330
(
种）．
432
×××
1
*3.42
解：小组赛采用单循环赛，相当于从个不同的元素中取出个元素的组合
2
3
个小组共进行数，
3C=3×6=18
4
（场），剩下支球队采用淘汰赛，决出强，
84
决出强，再决出冠军进行（场），总共进行（场）．
24+2+1=718+7=25
8.2.3 排列组合的应用
一、选择题
1.C 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.D
二、填空题
9. 720 10.
三、解答题
13.(1)
解：根据分步计数原理，分两步：
第一步，将甲、乙视为一个整体，将其与另5个人进行排列，有种方法；
P
6
6
第二步，对甲、乙进行排列，有种方法．
P
2
2
26
因此，甲、乙相邻的不同排法有种）．
P⋅P=1440
26
(
15
11. 140 *12. 240
28
（）根据分步计数原理，分两步：
2
第一步，将甲、乙以外的5人进行排列，有
P
5
5
种方法；
第二步，对甲、乙进行排列，有
P
4
2
种方法．
52
．种）
(
因此，不同排法有
P⋅P=
54
1440
14.解：（1）从5名男医生和4名女医生中选出3人，相当于从9个不同的元素
3
中取出3个元素的组合数，不同的选法有． (种）
C=84
9
（2）至多有2名女医生，根据分类计数原理，可以分三类：
3
第一类，0名女医生，有种选法；
C=10
5
12
第二类，1名女医生，有种选法；
C⋅C=40
54
12
第三类，名女医生，有种选法．
2
C⋅C=30
54
23112
至多有名女医生共有种选法，因此，选出人中，至
2
C+C⋅C+CC
55454
⋅=80
3
多有名女医生的概率为．
2
8020
=
8421
281
=
．选法总数有（种），因此，选出人中，甲必须入选的概率为
3
84
3
（）男医生甲必须入选，相当于从除甲以外的位医生中选出位的组合数，
382
2
C=
8
28
*15.
解：根据分类计数原理，分三类：
第一类，甲、丙同去，乙不去，有种选法；
C⋅P=240
54
24
34
第二类，甲、丙同不去，乙去，有
C⋅P=240
5
4
种选法；
第三类，甲、乙、丙都不去，有种选法．
P=120
5
4
32444
因此，共有种不同的选派方案．
C⋅P+C⋅P+P=600
5
4545
【学海探津】
如图8-1，根据题意，把五个区域分别记为①②③④⑤，
根据分类计数原理，分三类：
第一类，涂五种不同的颜色，有种不同的涂色方法；
P=120
5
5
第二类，涂四种不同的颜色，则有种选颜色的方法，此时只能②与④同色
C=5
5
4
或者是③与⑤同色，因此有（种）不同的涂色方法；
52240
×P=
4
4
3
第三类，涂三种不同的颜色，则有
C=10
5
种选颜色的方法，此时只能是有②④
3
一种颜色，③⑤一种颜色，因此有种不同的涂色方法．
10P=60
3
543
综上共有种不同的涂色方法．
P+5×2P+10P=120+240+60=420
5
53
图8-1
8.3 二项式定理
【要点梳理】
0n1n−1kn−kknn
1.（1）；二项式定理；二项展开式；
Ca+Cab+Cab++Cb
nnnn
n+1
；
二项式系数.
kn−kk
（2）；.
Cab
n
k+1
2.（1）等距离；相等
（）一；
2
C
；两；最大；相等
C和C
nn
22
024135
（）
3
22
nn−1
；；；
C+CCC+C+C
nnnnnn
+
n
2
n
n−1n+1
【闯关训练】
8.3.1 二项式定理
一、选择题
1.C 2.D 3.C 4.B 5.B
3
−
2
333
n=6
，）
TC==(x)()160x
46
6.B （提示：由题可知
2
x
kkk2kk
7.A （提示：） ，令得含的系数为
T=C(−2x)=(−2)Cx4C
knn
+1n
k=2
x
2
9−3k
1
kkkk9−k
=0得k=39−3k
,常数为 ,令8.C （提示：
()(1)()
−=−CxT=Cx
9k+19
2
x
33
(−1)CT==−84
94
）
二、填空题
1. 15；4860 2. 3. 160
−9x
−7
1
33n−33n−6
4. 9 （提示：） ，令
=63得=n9n−
()
C=TC=xx
n4n
x
三、解答题
1.
解：
051432555232344
(a+2(2b)b)Ca+Ca(2b)+Ca(2b)+Ca(2b)+Ca(2b)+C=
555555
=a+10ab+40ab+80ab+80ab+32b
54322345
2.
解：展开式中的倒数第三项为顺数第五项
3
422444
∴T=C()(−x)=15×9x=135x
56
2
x
因此，展开式中倒数第三项为该项的二项式系数为，系数为
135x
4
，
15135.
nn−
(1)
2
=C=即
n
36,36
3.
解：由题可知，解得
2
k9−kkkk
99k+1
n=9
3k18−
1
2
)(1)(
=−CxCx−T=
展开式的通项为
x
==解得
3k4
令
18−3k
2
(−1)Cx=126xT=
95
所以含有的项为
x
3
4433
【学海探津】
T=Ca+abT=Ca+ab
k+15
k2k222
T=Caa=Ca
r+
133
r2rr6−r
()()
5−k
，令，则，对于，令
k=2
35
a+a
2
3
()
3
()
3−r
12
，则，所以的系数
6−=5,r=1
r
a
52
b
CC=30
53
.
8.3.2 二项式系数的性质
一、选择题
1.B 2.B 3.C
4.A （提示：系数之和用赋值法，令）
x=1,得(1−3x)=(1−3)=64
66
5.A 6.B 7.D
8.C（提示：展开式中含的奇次项系数之和，
x
135799
+C)=−(C+C+C+C−2=−512
1010101010
）
二、填空题
2
1. 5 2. 3.
−1512x
20x
4. 2
−
（提示：令得令，所求式子为
x=1
a+a+a+a++a=−1
01237
；
x0,=得a1
2）
四、解答题
26
=C=解得n8C
1.解：由题意可知
nn
−
5
2
0
−
所以展开式中系数最大的项为第五项
4244−4
1
TC(x)()70x
58
3
==
x
k29−kkkk18−5k
2.解：（1）展开式的通项为
T(x)(C)(a)Cx
k+169
=−=−
a
3
x
=−5k318解得=k3
令
33
=84，得a=1(−a)C
所以
9
（2）展开式的中间项为第5项和第6项
5−744−2−25−7
T=(−1)Cx=126x
5969
T=(−1)Cx=−126x
3.:(1)
解由题意可知得
2=256
n−1
n=9
9−5k
2
kkkk9−k
(2)展开式的通项为
=TC=(x)()2Cx
k+199
2
2
x
令
9−5k9
=0解得k=∉N
*
，所以该二项展开式不存在常数项
.
25
【学海探津】
010192891101020101029
3=9==(7+2)C7+C7×2+C7×2++C7×2+C2
1010101010
1020
而前面项都能被整除，被整除余，因此再过天是星期三
10772.
2=10243
第8章自我检测
一、选择题
1.A 2.D 3.C 4.D 5.B 6. C 7. C
8. C
（1+)(1+x)
（提示：由的二项式展开式的通项公式可得，在展开
(1+x)
Cx
6
（1+
式中，若
1
)
提供常数项，则提供含有的项，可得展开式中的
x
2
6
rr
1
6
2
x
1
(1x)
+
6
x
2
x
2
项，则提供含有的项，展开式中的系数为；若提供
(1x)
+
x
4
x
4
6
2
（1+
C=15
6
11
)
xx
22
4
系数为；所以的系数为：）
C=15
6
x
2
15+15=30
二、填空题
1. 5 2. 56 3. 192
−
34C−C=
种不同的选法）
4. 34 :
种（提示采取间接法，共有
74
44
三、解答题
1324
1. 解：(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有
CC+CC
5353
155324
)P=5400P(CC+CC
555353
种． 种，共有
种，后排有
(2)除去该女生后，先取后排，有种．
CP=840
74
44
144
P=3360CC
474
种 (3)先选后排，但先安排该男生，有
2. 解：由题意可知
a=1a+a+a+a=a+a+a+a+a−a
01234012340
且
=
(3−1)−1=15
4
3.解：（1）
2=256∴n=8
n
2
r
（2）
T=Cx−
r+18
rr
8−
=-2Cx
()
8
r8−2r
x
r
由8−2r=2
得
r=3
∴T=−448x
4
2
第九章
9.1离散型随机变量及其分布
【要点梳理】
1.
随机变量；离散型随机变量．
2．（1）分布列．
（2） ①pi0i＝1，2，…，n；
≥，
②p
12in
＋p＋…＋p＋…＋p＝1.
3. E(ξ)xp＋xp＋…＋xp；期望值；方差．
＝
1122nn
4. 平均取值水平；方差；离散程度.
kknk
−
5．q1p；；二项分布；ξ～B(np)；．
＝－，
Cpq
n
n,p
【闯关训练】
9.1.1 离散型随机变量
一、选择题
1. C 2. B 3. D 4．C 5．D
二、填空题
1. 0，1，2
2. 2，3，4，5，6，7，8
3．0，1，2，3
三、解答题
1. 解：挑到的题目应判为错误的个数可能有0个，1个，2个，3个，4个。
2. 解：ξ＝－1，甲抢到一题但答错了，或抢到三题只答对一题；ξ＝0，甲没抢到
题，或甲抢到2题，但答时一对一错；ξ＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3
题，且一错两对；ξ＝2时，甲抢到2题均答对；ξ＝3时，甲抢到3题均答对．答
案为－1,0,1,2,3.
【学海探津】
因为大于的数是，一共有个，从中取出不同的三个数进行排
5
6,7,8,9
4
3
列，方法总数有
P=24
4
种.所以随机变量的可能取值有、、、、
X123……24
共个.
24
9.1.2
离散型随机变量的分布列及其数字特征
一、选择题
1. B 2. A 3. C 4. D 5. C
21
CC
24
4
6. D （提示：随机变量ξ的所有取值为0，1，，
）
P(≤1)=1−P(=2)=1−=
ξξ
3
C5
6
7. B
311
8. A （提示：由题意知P(X＝0)＝，∴p＝）
(1−)(1−p)
2
=
42
16
二、填空题
1
131
1. 2. 3.
3
E=；D=
()()
ξξ
4162
4. 0.4 （提示：x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6①；又7x＋0.8＋2.7＋10y＝
8.9，化简得7x＋10y＝5.4②，由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4）
三、 解答题
1. 1ξ012
解：（）取得的红球数的可能取值记为：，，，则分布列为：
ξ 0 1 2
P 0.1 0.3 0.6
（）取得的黄球数的可能取值记为：，，，则分布列为：
2X012
X 0 1 2
P 0.3 0.1 0.6
2×24
2. 解析：（1）∵X的可能取值为0，1，2；∴P(X＝0)＝＝，
3×39
1
2
C×2
2
41
C
2
P(X＝1)＝
＝，P(X＝2)＝＝；
99
3×3
3×3
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
441
999
4412
（2）E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
9993
2424214
D(X)=(0−)×+(1−)×+(2−)×=
222
3939399
3.(1)X01234
解：的取值为，，，，，其分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
11131
22010205
111313
（）；
2
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=
220102052
313131333111
D(X)=(0−)×+(1−)×+(2−)×+(3−)×+(4−)×=
22222
22220210220254
【学海探津】
双色球每期开奖号码都是随机开出的，即每个号码出现的概率是相等的.数字
出现的次数和它会不会是下期中奖号码无关，也就是说每个数字在中奖号码中出
现的次数不尽相同是正常的，不会影响到下一次摇奖.这也就是说用热号和冷号
来预测下期开奖号码是没有任何意义的.
9.1.3 二项分布
一、选择题
1. A 2. B 3. D 4. C 5. A D B
6.7.8.
D（提示：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率
33603
33
D(X)=5××1−=XB5,
∼
=
7749
），为，因为是有放回的取球，所以所以
7
3+47
二、填空题
1
2561545
1. p＝3.
2
；n＝12 2.
；
625
416
4. 0.2048
（提示：用X表示这名运动员在5次罚球中罚失的次数，则X～B（5，0.2），他
223
在5次罚球中罚失2球的概率为）
P =C0.20.8=0.2048
5
三、 解答题
1
1.解：由题意可知，这4人中，每人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的
3
2
128
222
概率为，所以这4人中恰有2人去参加甲游戏的概率.
3
P=C×()×()=
4
3327
2.解：设出现发热的人数记为ξ，则ξ服从二项分布，于是
005
（1）；
P（=0）=C0.010.99=0.9510
ξ
5
141
（2）
P（=1）=C0.010.99=0.0480
ξ
5
3.解：（1）ξ所有可能取值为3400，2400，1400，400.
==C=P
3
03
(3400)0.90.729;
ξ
112
===
CP
3
(2400)0.10.90.243;
ξ
（2）
221
===
C0.1P(1400)0.90.027;
3
ξ
33
===
CP(1400)0.10.001
3
ξ
ξ 3400 2400 1400 400
P 0.729 0.243 0.027 0.001
【学海探津】
（1）因为重复抓娃娃次（重伯努利分布试验），符合二项分布.
100n
00100
=Cp(1−p)P(=0）
100
;
在这100次游戏中，一次都没有抓到的概率为：
ξ
kk100−k
=Cp(1p)P(=k
100
−）
. k
抓到次的概率表示为：
ξ
（2）次抓娃娃试验中,最大可能成功次数：
100
m[(n+1)p][(100+1)×0.1]10.1≈10
次.
如果重复抓次娃娃，那么抓到娃娃的最大成功次数是：
10000
m[(n+1)p][(10000+1)×0.0001]1.0001≈1
次.
9.2正态分布
【要点梳理】
1．均值与标准差；．
ξµσ
N(,)
2
2．（1）上方；xμ．
＝
（2）“中间高，两边低”.
（3）σ越小；集中；σ越大；分散．
3．；1－（x）.
ξ
N(0,1)
Φ
【闯关训练】
9.2 正态分布
一、选择题
1.D 2.C 3.D 4.A 5.B 6. A 7. C 8. D
二、填空题
1. 3；1. 2.
µ
=
σ
=
σσσ
213
<<
3. 0.0919 （提示：
P(3≤<4)=()−(=)()−(1)
ξφφφφ
4−13−13
=0.9332-
222
0.8413=0.0919 ）
4. 2 （提示：由正态曲线的定义知图像关于
c+1+c−1
x=2对称，于是=2,∴c=2
）
2
三、解答题
1. 解：因为ξ服从正态分布，且
ξσ
N(2,)
2
P(<4)=0.8,
ξ
∴P(>4)=−1P(<4)=−10.8=0.2,
ξξ
P(2<<4)=0.5−0.2=0.3,
ξ
∴P(0<<2)=0.3
ξ
2. 解：因为ξ服从正态分布N(1，9)，由正态分布的3原则可知
σ
(1)在区间（2，4）的概率为P(1－3＜ξ＜1＋3)＝0.682 6;
−
(2)在区间（5，7）的概率为P(1－23＜ξ＜1＋23)＝0.9544.
−
××
3.解：由30，10得此人在20分钟到40分钟到达目的地的概率为
µ
=
σ
=
P(30－10＜ξ＜30＋10)＝0.6826
此人在10分钟到50分钟到达目的地的概率为
P(30－2
××
10＜ξ＜30＋210)＝0.9544
根据正态曲线关于对称，可得此人在分钟到分钟到达目的地的概率
x=304050
为：
0.9544−0.6826
=0.1359
.
2
【学海探津】
12+18+34+17+2
P（－<<+）=P（51.85<<56.15）==0.83≥0.6826
µσξµσξ
100
满足不等式①；
=P=P（2<<+2）（49.7<<58.3=0.94<0.9544
µσξµσξ
－）
2+2+12+18+34+17+2+5+2
100
不满足不等式②；
（47.55<<60.45）P（－3<<+3）=P=0.98<0.9974
ξµσξµσ
，
不满足不等式③.
综上可知新设备的数据不满足至少两个不等式成立，所以新设备需要进行检修.
第9章自我检测
一、选择题
1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 8.C
二、填空题
3
9. 10. 2 11. 0.2 12. 0.6826
5
三、解答题
13. 解：假设抽到的次品数为变量，则的取值有0，1，2
ξξ
3
C
48
1081
概率分别为
P(0)
ξ
===
3
C1225
50
21
CC
482
141
P(=1)==
ξ
3
C1225
50
12
CC
482
3
P(2)
ξ
===
3
C1225
50
所以抽到次品数的分布列为
ξ
P
0 1 2
10811413
122512251225
4
14. 解：可知玉米种子的发芽符合二项分布则
ξ
B(5,),
5
44256
P(4)C()(1)
ξ
==−=
5
44
55625
15. 解：分析可知服从二项分布则
ξ
B(5,0.2),
1144
（1）
P(=1)=C(0.2)(1−0.2)=0.8=0.4096
ξ
5
（2）
1−P(==0)1−C(0.2)(1−0.2)=1−0.8=0.67232
ξ
5
0055
第10章 统计
10.1 样本的集中趋势与离散程度
【要点梳理】
1.某一中心值；中心点
2.所用数据之和；个数
x=
xfxf
1122nn
+++xf
；权重
f+f++f
12n
3.
4.大小顺序；数；算术平均数
5.次数最多
6.中心值；离中趋势
7.最大值；最小值；全距.越小；集中；越好；越大；分散；越差
()()()
x−x+x−x++x−x
12n
222
；；越大；
()()()
x−x+xxxx
12
222
−++−
n
8.
越小
9.标准差；算术平均数；标准差系数；；大；小
V=
s
【闯关训练】
10.1 样本的集中趋势和离散程度
一、选择题
1.C 2.D 3.D 4.B
二、填空题
1. 15；14.5；14 2. 4 3. 甲；乙 4. 1
三、解答题
1.解：（万
x===
元）；
s
x
n−1
n−1
x+x++x
12
n
20023003400×4+500×2+600
×+×+
375
12
n
中位数：由于数据是偶数个，因此中位数是中间两个数值的算术平均数即第6
和第7个数据之和的平均数为400万元;众数为：400万元
标准差：
s=
()()
xxxxxx
12
−+−++−
2
22
()
n
n−1
=≈121.54
()()()
200−375+200−375++600−375
222
12−1
离散系数：
V=
s
s121.
54
=≈32.4%
375x
2.解：（1）采用离散系数比较；因为当两组数据的算术平均数或计量单位不同
时，常用离散系数比较他们的离散程度。
（2）由已知得：
x=172.1，x=71.3
成人幼儿
则由标准差公式计算得出：
s≈3.87，s≈2.50
成人幼儿
∴V=≈2.2%，V=≈3.5%
ss
成人幼儿
2.503.87
172.171.3
所以幼儿身高的差异大
【学海探津】
（1）
x==73,x==72，x==74
甲乙
85+70+6473+71+7273+65+84
丙
333
∴丙应该被录取
（2）由已知得：
23
5
+70×+64×=76.85
3
甲的成绩为：
101010
2
35
乙的成绩为：
737172×=72.
×+×+
2
101010
23
5
丙的成绩为：
73×+65×+84×=72
.8
10
1010
×
∴甲应被录取
10.2 一元线性回归
【要点梳理】
1.一定的随机性；相关关系
2.一条直线
3.统计、分析
4.一条直线； ；
∑
xynxy
ii
i
=
1
n
n
−
−
nxx
2
ˆ
xy−b
∑
i
=
1
2
i
【闯关训练】
10.2. 一元线性回归
一、选择题
=x++++=
1.D 2.C 3.D
（【提示】由题意，，
y=++++=
1
()
2527.52932.53630
，
5
1
()
203040506040
5
则，故正确；
k=y−0.25x=30−0.25×40=20
A
0.25>0=b
，变量，呈正相关关系，故正确；由线性回归方程可知，
x
y
B
若的值增加，则的值约增加，故正确；
x
10.25C
y
当时，，故错误）
x=52
y=0.25×52+20=33
D. 4.B
二、填空题
1. 60.316 2. 0.15 3. 58.5 4. 8
三、解答题
1.解：(1)以x对应的数据为横坐标，以y对应的数据为纵坐标，所作的散点图
如下图所示：
(2)从图中可以发现广告费支出与销售金额之间具有相关关系，并且当广告
费支出由小变大时，销售金额也大多由小变大，图中的数据大致分布在某条直线
的附近，即x与y成正相关关系．
2.解：(1)设所求的线性回归方程为y ＝b x＋a ，则b ＝
^^^^
∑
xy−nxy
ii
i=1
n
n
−nxx
2
∑
i=1
2
10
＝＝
20
i
0.5，
a ＝y－b x＝0.4.
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y ＝0.5x＋0.4.
(2)当x＝11时，y ＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．
所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
【学海探津】
25＋29＋26＋168
11＋13＋12＋
(1)由数据得x
＝＝11，y＝＝24，
44
^^
^
^
^
＝， 由公式得b
18
7
^^^
x得a＝－， ＝y－b再由a
30
7
1830
所以y关于x的线性回归方程为y＝
^
7
x－.
7
150
150
(2)当x＝10时，y＝，|－22|<2，
^
77
7878
同理，当x＝6时，y＝，|－12|<2，
^
77
所以该小组所得线性回归方程是理想的．
第10章自我检测
一、选择题
1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C
7.A
二、填空题
1.（1）86；83 （2）（3）50%；40%
x<x
甲乙
2. 3 3.
()
x,y
三、解答题
1.解：（1）
班 级 平均数 中位数 众数
初三（1）
85 85 85
班
初三（2）
班
85 80 100
（2）通过比较平均数和中位数，初三（1）班成绩较好；
（3）如果每班各选2名同学参赛，初三（2）班的实力更强，因为初三（2）班
有两名100分的同学，而初三（1）班只有一名同学是100分.
2.解：（1）
x==x==
甲乙
25+41++42+++
271640
30,31
1010
所以乙种树苗长得高.
（2）
s
甲
=≈10.76
()()()
25−30+41−30++42−30
222
101
−
s=
乙
()()()
273116314031
−
222
+−++−
101
−
≈
11.96
所以甲种树苗长得齐.
3.解：（1）根据散点图，建立𝑦𝑦关于𝑡𝑡的回归方程𝑦𝑦；
=𝑏𝑏𝑡𝑡+𝑎𝑎
其中
t=
1+2++6
65+71++84
=3.575
，
y==
66
∧
∧
∧
所以b ＝
^
∑
tynty
ii
i=
1
6
2
i=
1
6
−
=3.6
2
tnt
−
∑
i
ˆ
t=75−3.6×3.5=62.4=y−ba
ˆ
ˆ
=62.4+3.6ty
所以回归方程为
（2）该市2022年“运动参与”评分值为（分）
62.4+3.6×7=87.6
该市2023年“运动参与”评分值为（分）
62.4+3.6×8=91.2
4.解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求
回归直线方程，先将数据预处理如下：
年份－2018 －4 －2
－11 需求量－257 －21
0 2 4
0 19 29
对预处理的数据，容易算得，
x=0,y=3.2
^
=＝＝6.5， b
−4×−21+−2×−11+2×19+4×29
()()()
260
40
4+2+2+4
2222
ˆ
xyba
＝3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为
ˆ
=−
^^^
－257＝b(x－2018)＋a＝6.5(x－2018)＋3.2. y
^
＝6.5×(x－2018)＋260.2. 即y
(2)利用所求得的回归方程，可预测2024年的粮食需求量为
6.5×(2024－2018)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
本文发布于:2023-11-26 09:29:39，感谢您对本站的认可！
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