苏科版七年级下册第8章《幂的运算》解题策略

《幂的运算》解题策略

乘方运算是我们学习了加减乘除运算后的第五种运算，乘方运算的结果称为“幂”，.

因此，乘方运算也称为幂的运算。在初中数学教材《幂的运算》一章的学习过程中，学生感

觉困难重重，主要原因有两点:一是对幂的内涵理解不够，导致计算方法(公式)棍淆;二是思

路不明确，无从下手.本文将通过对运算法则的归类揭示乘方运算的内涵，从而得出解题的

策略

一、幂的运算公式及应用

幂的运算公式如下表:

运算先计算幂后计算幂

加法

一级运算

减法

底同指同

5a2abb23(ab)

aaa

mmm

底同指同

aaa

mmm

2(ab)a2abb

222

nmmn

222

底数相同

agaa

乘法

指数相同

agbagb

二级运算

底数相同

aaa

除法

指数相同

abab

三级运算乘方

mmm

mnmn

mmm

(agb)agb

mmm

()

(ab)ab

mmm

()

mnmnmnmn

()

aaa(a)

[反之]

(记住这三条规律，可以避免通过上表可以看出，两个幂的运算公式满足下列三条规律

公式混淆):

1.越低级的运算，对幂的要求越高

幕的加减运算(一级运算)，要求两个幂的底数和指数都相同;幂的乘除运算，要求两个幂

的底数和底数中有一项相同;幂的乘方运算则没有要求.

2.幂的运算过程中，两个幂的相同部分不变

幂的加减运算中，底数和指数都不变，系数相加减(即:合并同类项).幂的乘除运算中，

底数相同，则底数不变;指数相同，则指数不变- . 幂的乘方运算中，底数不变二

(各3.底数之间的运算，用原运算符号，指数之间的运算，用原运算符号的降级运算符号

运算之间的降级关系如下表)

幂的加法(或减法)运算中，系数处于低层，仍用原运算——加法(或减法)运算.幂的乘法

(或除法)运算中，若指数根同，则指数不变，底数仍用原运算——乘法(或除法)运算;若底数

相同，则底数不变，指数处于上层，则按下表中的降级规律，用对应的加法(或减法)运算.

幂的乘方运算，底数不变，指数降级为乘法运算.

? 疑问:在幂的运算过程中，两个幂不符合上述运算特征怎么办

这是学生在学习幂的运算过程中遇到的最常见的困难，解决的方法是“转化”。通过转

化两个幂的底数或指数，从而使两个幂达到符合相应运算的条件.具体转化方法如下:

1.化为底数相同

如果两个幂的底数可以化成同一个数的幂的形式，那么这两个幂就可以用幂的乘方公式

(a)a

mnmn

，把它们化作同底数幂.

a12a

例1 计算: .

927

分析故需要转化.注意到底数9和27分别是3的2和因这两个幂不满足相乘的条件，

3，3次幂，说明这两个幂可以把底数都化成

即:

927(3)(3)333

a12a2a132a2a26a8a2

.

2.化为指数相同

(1)当指数相近时，可以反用积的乘方公式，把含较大指数的幂写成两个

aaga

mnmn

. 幂的积，并使其中一个幂的指数和指数最小的幂的指数相同

例2 计算: .

1010

分析.注意到因幂的减法运算需要指数和底数皆相同，故需要把它们的指数化的相等

3836

36. 指数38和36很接近，说明可以把它们的指数都化成

36383623636237

即

1010101010(101)109.910

a(a)

mnmn

.

，把指数化成它们的最大公约(2)当指数不相近时，可以反用幂的乘方公式

数.

例3 计算: .

63

分析因这两个幂不符合相除的特征，故需要转化，注意到它们的底数不具备化成同

3624

. 底数幂的条件，指数又不相近，故可以考虑把指数化成它们的最大公约数

即

63(6)(3)2169(2169)27

362431221212121212

.

二、求有关幂的等式中未知数的方法

当两个相等的幂的底数相等时，它们的指数也相等，如已知，则;当两个

相等的幂的指数相等时，它们的底数也相等，如已知

底数和指数都不相同时，此时需要转化两个幂的则无法直接转化为整式方程求未知数的值，

底数或指数，使它们相同.当等式两边有多个幂时，需要依据运算符号进行运算，先转化成

aa

aa

2x

x2

3

x

，则.当两个相等的幂的

x3

. 只有两个幂的等式再进行求解

例4 若满足等式:

m

48()

m1124m

1

2

，求的值.

m

分析因等式两边有三个幂，且字母在指数上，故需要先计算出等号左边的积，使

m

. 等号两边各保留一个幂，然后再化底数相等，最后用指数相等列等式

2m2362m34m1122m1312

∵

48(2)(2)222

，

1

4m4m4m

()(2)2

，

2

∴，

2m344m

∴.

m17

三、比较幂的大小的方法.

. 当两个幂的底数相同时，通过比较他们的指数可以判断它们的大小

如：

33

2018201820182723

，，，.

()()()()()()

111111

333333

. 当两个幂的指数相同时，通过比较它们的底数可以判断它们的大小

如：

53

2020202020202727

111111

，，，.

()()()()()()

535353

. 数或指数化的相等，然后才能比较大小

335544

必须先要把它们的底当两个幂的指数和底数都不相同时，此时它们不能直接比较大小，

例5 比较大小: ，，.

35

4

分析因这三个幂底数和指数都不相等，故不能直接比较大小，需要转化.注意到它们

11. 化成它们的最大公约数

的底数3、4 、5不具备化成同底数幂的条件，指数有最大公约数11，故可以考虑把指数

即

3(3)2434(4)2565(5)125

555111144411113331111

；，.

∵，

125243256

∴

534

335544

.

熟练掌握转化底小结在学习《幂的运算》这一章节内容时，记住公式是解题的基础，

;观察数和指数的方法是解题的关键.分析题目中幂的运算所需要的条件，可以明确解题思路

. 幂的底数和指数的特点，可以明确解题的具体过程

北师版七下数学第一章《整式的乘除》幂的运算与乘法公式学习中的技巧性问题探究

学习幂的运算性质应注意的几个问题

幂的运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据．在学习中应注

意以下问题．

1．注意符号问题

例1 判断下列等式是否成立：

①(-x)＝-x，

②(-x，

)＝-(-x)

③(x-y)＝(y-x)，

22

33

22

④(x-y)＝(y-x)，

⑤x-a-b＝x-(a+b)，

⑥x+a-b＝x-(b-a)．

解：③⑤⑥成立．

以上六个等式，是否成立？为什么？这些都应分析清楚．所有这些问题的解

决，对今后的学习是否能够顺利进行，都有着重要的意义．

2．注意幂的性质的混淆

例如：(a＝a，a·a＝a．

)

产生这样错误的原因是对运算性质发生混淆．只一般地纠正错误是不能彻底

找出产生错误的解决问题的，有必要从乘方的意义以及性质是怎样归纳得出的，

5275210

33

根源．

3．注意幂的运算性质的逆用

四个运算性质反过来也是成立的．有创新精神的学生在解题时逆用性质，但

大部分学生不会逆用性质或想不到，能正反灵活地运用幂的运算性质会给解题带

来很大的帮助．

例2 已知10＝4，10＝5，求10的值．

解：10＝(10×(10＝4×5＝1600．

3m+2nm3n232

mn3m+2n

))

554433

例3 试比较3，4，5的大小．

解：∵3＝(3＝243，

)

4＝256，

4＝(4)

5＝125，

3＝(5)

而125＜243＜256，

∴5＜4

3＜34．

4．注意幂的意义与幂的运算性质的混淆

例如：比较2

4与23的大小．

错解：∵2，2，∴2

4＝23＝24＝23．

产生错误的原因是：对幂的意义与幂的乘方混淆不清，教师要弄清幂的意

义．并与幂的性质进行比较．

例4 已知a＝2

4，b＝23，c＝34，d＝42，e＝43，则a、b、c、d、e的

34232

31241234

34

3554

331111

441111

5551111

大小关系是( )

(A)a＝b＝d＝e＜c．

(B)a＝b＝d＝e＞c．

(C)e＜d＜c＜b＜a．

(D)e＜c＜d＜b＜a．

解：a＝2，b＝2，c＝3，d＝4＝2，e＝4

4＝23＝24＝32＝43＝4

＝2．

而2＜2＜3＜2＜2．

∴e＜d＜c＜b＜a．

故应选(C)．

1618166481

16

381464216391828

你会巧用幂的运算法则吗？

幂的运算法则是进行整式乘除的基础，在应用中，如能注意以下技巧，常可

获得妙解．

一、化成同底数幂进行计算

例1 若x＝2，则用x的代数式表示y为______．

+1，y＝3+4

解：∵2＝x-1，

∴y＝3+4

m

2m

m

mm

＝3+2．

＝3+(2

)

m2

2

＝3+(x-1)

2

＝x

-2x+4．

二、化成同指数幂进行计算

例2 比较3、4、5的大小；

解：∵3＝243，＝3×＝(3

411144111111

311133111111

55551111115111

555444333

，4×＝(4＝256

，5×＝(5＝125

)

44＝4)

33＝5)

又256＞243＞125，

∴5＜3＜4．

333555444

xyyx

例3 如果a≠0，b≠0且，(a+b)＝(a-b)，(a+b)＝(a-b)成立，那么x+y的

值是_____．

(A)0．(B)1．(C)2．(D)不能确定．

解：将已知两等式相乘有

(a+b)＝(a-b)．

x+yx+y

又a≠0，b≠0，

∴a+b≠a-b，

要使(a+b)＝(a-b)成立，只有x+y＝0，所以选(A)．

x+yx+y

三、化成已知幂的形式进行计算

∴5

3x+2y

3x2y

y2x3

＝5·5

＝(5·(5

))

比较大小

A＝1998+1997×1998+1997×1998+…+1997×1998+1997×1998

B＝1998

1998

219961997

试比较A与B的大小．

分析：

(1)把A化简成B．∵1998+1997×1998＝1998×(1+1997)＝1998，这样反用

乘法分配律，使1998的指数逐次增加1，和后面再反用乘法分配律，最后就化

简成B．

(2)把B化成A

2

∵1998＝1998×1998

19981997

1997

＝(1+1997)×1998

＝1998

19971997

+1997×1998

这是仅用同底数幂的性质，应用乘法分配律，把此过程继续下去就可由B

得到A．

解：方法一

A＝1998+1997×1998+1997×1998

+…+1998+1997×1998

219971996

219961997

＝1998(1+1997)+1997×1998

+ …+1997×1998+1997×1998

＝1998

+1997×1998+…+1997×1998+1997×1998

＝1998

(1+1997)+…+1997×1998+1997×1998

＝1998

+…+1997×1998+1997×1998

＝……

＝1998

＝1998

＝1998

＝1998

＝1998

199619961997

19961997

19971997

1997

1998

319961997

219961997

2219961997

+1997×1998+1997×1998

(1+1997)+1997×1998

+1997×1998

(1+1997)

∴A＝B

方法二

B＝1998

1998

1997

1997

19971997

19971996

19971996

199719961996

＝1998×1998

＝(1+1997)×1998

＝1998

+1997×1998

＝1998×1998

+1997×1998

＝(1+1997)×1998

＝1998

＝……

+1997×1998

+1997×1998+1997×1998

＝1998

+1997×1998+…+1997×1998+1997×1998

219961997

2219961997

＝1998×1998+1997×1998

+…+1997×1998+1997×1998

＝(1+1997)×1998+1997×1998

+…+1997×1998+1997×1998

219971996

219961997

＝1998+1997×1998+1997×1998

+…+1997×1998+1997×1998

∴A＝B

求值

abcd

已知：3·5·7·19

+1＝1996，其中a，b，c，d都是自然数，

计算：(a+b-c-d)之值．

abdc

abdc

1996

分析：∵3·5·7·19

+1＝1996

∴3·5·7·19＝1995．

因为3、5、7、19是互质数，所以a、b、c、d的值是唯一确定的，只须把

1995分解质因数．

1995＝3×5×7×19

∴a＝b＝c＝d＝1．此题可解

解：∵3·5·7·19

+1＝1996

∴3·5·7·19＝1995

∵1995＝3×5×7×19

∴a＝b＝c＝d＝1

∴(a+b-c-d)

1996

1996

abcd

abcd

＝(1+1-1-1)

＝0

1996

＝0

在“整式乘除”教学中培养学生逆向思维

义务教育数学教学大纲明确指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力

的核心”在初中数学教学中主要是发展学生的逻辑思维能力，包括培养学生会观

察、比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理，会准确

地阐述自己的思想和观点；形成良好的思维品质．本文仅就在“整式乘除”一章

的教学谈谈自己培养学生逆向思维的点滴做法，不妥之处请专家同行指正．

在整式乘除运算中，有的运用幂的运算性质运算，有的运用乘法公式运算，

大量习题都是直接套用公式计算，但有一部分如果直接运用公式不仅计算很繁，

而且很难计算正确．如果把公式反过来使用，就会化繁为简、化难为易．

一、在幂的运算性质教学中培养学生逆向思维

1．同底数幂乘法与同底数幂除法互为逆运算．

例1与a的积为3a的单项式是______．

bb

n22n+12n+1

．例2 如果M÷3xy＝－＋，则M＝

11

n+1

x

918

例1是已知积和其中一个因式，求另一个因式；例2是已知除式和商式求被

除式，这时可利用乘法与除法的互逆来解答．

例3已知2＝3，2＝5，求2．

aba+b

a+b

本题如果想先求出a、b的值，再代入2中求值，是很难办到的，初一学

2生无法进行，但若将同底数幂乘法的性质反过来用，就得到＝2·2，这样

a+bab

问题就迎刃而解了．

2．积的乘方与幂的乘方性质的逆用．

例4 计算（－3）×（）

19951997

1

3

1

观察两个幂的底数，－3和呈互为负倒数关系，积为－1，于是可联想到

3

将积的乘方的性质逆用，但两个幂指数又不一样，怎么办呢？再将同底数幂乘法

性质逆用一次，得到（－3）×（）×（），这样问题就解决了．

199519952

11

33

该题在学习整式除法这一内容后，还可将负指数幂的性质逆用，也可得解．

＝-3·(3

＝-3·3

＝-3

1995-11997

)

-19971995

-2

平方差公式与完全平方公式

一、公式透析

b)(ab)a(ab

22

平方差公式：

特点是相乘的两个二项式中，a表示的是完

全相同的项，+b和-b表示的是互为相反数的两项。所以说，两个二项式相乘能

不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。

完全平方公式：

(ab)a2abb

222

注意不要漏掉2ab项

二、典例解析

例1：下列各式可以用平方差公式的是（）

A.(a4c)(a4c)B.(x2y)(2xy)C.(3a1)(13a)

D.(xy)(xy)

11

22

例2:如何用公式计算

(1)(xy)

2

例3：已知

mn10,mn24，求（1）mn(2)(mn)

222

三、综合应用

1.按图中所示的方式分割正方形，你能得到什么结论

b a x y

2.观察下列各式,你会发现什么规律,用只含一个字母n的式子表示出来.

351541

2

573561

2

1113143121

2

3).

2(31)(31)(31)1

32432