高一新教材培优讲义(高一数学)

目录

第一章集合与常用逻辑用语（................................................................................................................1

第一章集合与常用逻辑用语（）........................................................................................................................3

第二章一元二次函数、方程和不等式（....................................................................................................7

第二章一元二次函数、方程和不等式（）......................................................................................................9

提分小卷）

选拔卷

提分小卷）

选拔卷

第三章函数概念与性质（..........................................................................................................................12

提分小卷）

第三章函数概念与性质（）..............................................................................................................................14

选拔卷

第四章指数函数与对数函数（..................................................................................................................17

提分小卷）

第四章指数函数与对数函数（）......................................................................................................................19

选拔卷

第五章三角函数（......................................................................................................................................22

提分小卷）

第五章三角函数（）..........................................................................................................................................24

选拔卷

第一章集合与常用逻辑用语（提分小卷）

（考试时间：40分钟试卷满分：65分）

一、单选题(共25分)

（阜阳市颍东区衡水实验中学高一月考）命题为真命题的一个充分不必要条．

2021·“”1

1x2

，

xa0

2

件是（）

A．B．

a4a5

C．D．

a4a5

）（，集合，则



k11

MN

2．已知集合

MxxkkZNxxkZ





,,

244



A．B．C．D．

M

N



R

3．（2021·安徽高一期末）对于非空数集M，定义表示该集合中所有元素的和.给定集合

fM



S{2,3,4,5}

，

定义集合，则集合的元素的个数为（）

TfAAS,A





T

A．11B．12C．13D．14

（河北艺术职业中学高一月考）高二一班共有学生人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、．

2021·504

地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习已知选择物理、化学、生物的学生各有至少人，这三门

.20

课程都不选的有人，这三门课程都选的有人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有人，

101013

物理、化学只选一科的学生都至少人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（）

6

A16B17C18D19

．．．．

5．（2021·首都师范大学附属中学高一期中）已知集合,则下列四个元素中属于

Mmmab2,a,bQ

M

的元素的个数是（）



①

12



;②;③;④

1162

A4C2D1B3

．．．．

二、多选题(共10分)

1

2323

22

（广东高一期末）设非空集合⊆若，∈，都有，，∈，则称是封闭集下列结论．

2021·SR.xySx+yx-yxySS.6

正确的是（）

AQ

．有理数集是封闭集

BSS

．若是封闭集，则一定是无限集

C．一定是封闭集

S{x|xa2b,a,bZ}

D．若

S,S

12

是封闭集，则一定是封闭集

SS

12

（深圳第二外国语学校高一开学考试）下列结论不正确的是（．）

2021·7

A“”“”

．是的充分不必要条件

xN

xQ

B“”

．是假命题

xN

*

，

x30

2

C

．内角，，的对边分别是

ABC

AB

C

a

，，，则是是直角三角形的充要条件

b

c

“”“”

abc

222

ABC

D“”“”

．命题，的否定是，

x0

x30x30

2

x0

2

三、填空题（共10分）

8

．已知，

p:2x10

q:1mx1m(m0)

，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是

p

q

m

____________

．

9.45“3·12”.“”

某班名学生参加植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动依据劳动表现，评定为优秀

､合格个等级，结果如下表：

“”2

等级项目优秀合格合计

除草301545

植树202545

若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为

四、解答题（共20分）



10．（2021·南京市第十三中学高一期末）已知集合

A{1,2,3,,2n}nN



，对于A的子集S若存在不大



于的正整数，使得对于S中的任意一对元素、

nm

a

1

a

2

，都有，则称具有性质.

aam

12

S

P



（1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由；

n10

B{xA|x9}

CxA|x3k1,kN





（2）若时，

n1000

①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；

D{(2001x)|xS}

②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.

22

11．（教材习题变式）已知集合

Ax|xmn,m,nZ



（1）判断8，9，10是否属于集合A；

（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必

Bx|x2k1,kZ



xAxBxBxA

要条件；

（3）写出所有满足集合A的偶数.

第一章集合与常用逻辑用语（选拔卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、单选题（共40分）

1．已知集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{y|y≤m}，且A∩B＝∅，则实数m应满足（）

Am1Bm1Cm3Dm3

．＜．≤．≥．＞

），使成立，若命题为真命题，则实数的取值范围为（

2.P

命题：存在实数

2x4

2x5m0

P

m

ABCD

．．．．

m9

m13m10m12

3.

设数集同时满足下列两个条件：

M

①中不含元素，②若，则

M

1,0,1

aM

则下列结论正确的是

A2B3

．集合中至多有个元素；．集合中至多有个元素；

MM

C4D.

．集合中至少有个元素；．集合中有无穷多个元素

MM

），且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（

1



a



M

.

1



a

4．已知条件p：，条件q：

x12

xa

p

q

A．B．C．D．

a1a3

a1a1

*

yzx

、恰有一个成立，，且、若且

zxyxyz

}

5.集合,

S{x,y,z|x、y、zN





x,y,zSz,w,xS

则下列选项正确的是

A．,B．,



y,z,wSx,y,wSy,z,wSx,y,wS

C．,D．,



y,z,wSx,y,wSy,z,wSx,y,wS

），若，则实数的值是（，

∣ax40}N{x

MNN

a

6

．已知集合

M{a}

A2BC2D02

．．．或．，或

7.设

Maa



12

222

a

3

，其中，，是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①；②；

aa

1

a

2

，

a

3

4

a1

1

a1

2

a

4

③；④有且只有一个是错误的，则满足条件的的最大值与最小值的差为

a3

3

a4

4

M

A．B．C．D．

23

3

32

3

3345

44

8．（2020·上海市洋泾中学高一期中）在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为

Z

k



k

，

2，3，4，5给出以下五个结论：①；②；即，，

55Z012345





k6nknZ



k1

③“整数、属于同一“类””的充要条件是“、满足，

aa

bb

ab0



”；④“整数”的充要条件是

a1



b2



“”，则上述结论中正确的个数是（）

ab3



A1B2C3D4

．．．．

二、多选题（共20分）

（浙江湖州中学高一月考）已知集合．

2021·9

P1,2,Qx|ax20



，若，则实数的值可以是（）

PUQP

a

ABCD

．．．．

2

1

1

），则下面选项中不成立的是（

DABC

．．．．

ABRABAABB

0

10．已知

ðAB

R



ABB

11

．给定非空数集，若对于任意

M

a

，，有，且，则称集合为闭集合，下列

bMabM

a+bÎM

M

说法正确的是（）

B．集合A．自然数集是闭集合

Mxxab2,a,bZ

为闭集合

D．存在两个闭集合C．

A

1

，，使得

AÜR

2

AAR

12

0M



aIIaa

：；②，对，若非空集合和上的二元运算满足：①，．

abG

IGaG

GG“”12



a,bG

③，使，，有；④，，则称构

IGaG

bG

abIba

a,b,cG

(ab)ca(bc)

(G,)

成一个群下列选项对应的构成一个群的是（）

.

(G,)

AG“”

．集合为自然数集，为整数的加法运算



BG“”

．集合为正有理数集，为有理数的乘法运算



C(i)“”

．集合为虚数单位，为复数的乘法运算

G{1,1,i,i}



D“”7

．集合，为求两整数之和被除的余数

G{0,1,2,3,4,5,6}



三、填空题（共20分）

∣1m1}p:m{m

，，若是假命题，则实数的取值范围是．已知命题

a5a3m2

2

pa13

________________.

11

1



14．若对任意的，则

xA



A

，就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合的所有非

M





1,0,,,1,2,3,4

32

x



空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为

___________.

15．设集合是实数集的子集，如果点

X

R

xR

0

满足：对任意，都存在，使得，

a0

xX

0xxa

0

称

x

0

为集合的聚点，则在下列集合中：

X





1

n



,

nxx

N





①；②；③；④



xZx0



xxR,x0xx,n





N

n

n



1





以为聚点的集合有．

0______

（），；（）对任意．设非空集合为实数集的子集，若满足下列两个条件：

1216

0A

1AAA

x

、，都

yÎA

x

有，，，，则称为一个数域，那么命题：①有理数集是一个数域；

xyAxyAxyA

0

Ay



A

Q

y

②若为一个数域，则；③若、都是数域，那么也是一个数域；④若、都是数域，那

AAA

QA

BB

AB

么也是一个数域，其中真命题的序号为

AB

______.

四、解答题（共70分）

17

．已知集合

A{x|m1xm1}，B{x|2x2}

2

．

（）当时，求；

1

m2

AB，AB

（）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

2m

''xA''''xB''

（福建省长乐华侨中学高一期末）设全集为，集合＝＜，非空集合＝＋＜．

2021·RP{x|3x≤13}Q{x|a1≤x2a18

－，

5}

（1）若a＝10，求P∩Q；；

()

ðPQ

R

（）若，求实数的取值范围

2a

Q(PQ)

（新定义题）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列．

“”19

AB

AB

问题：已知集合，．

A{x|2a3xa1}

B{x|0x1}

（）若，求；

1

a0

AB

（）若（在①，②这两个条件中任选一个），求实数的取值范围．

2________

a

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．

（上海市行知中学高一月考）设是集合，，的一个元子集（即由个元素组成的．

2020·AP={123…}20

n

kk

集合），且的任何两个子集的元素之和不相等；而集合的包含集合的任意元子集，则存在

APA+1BB

k

的两个子集，使这两个子集的元素之和相等．

（）当时，试写出一个三元子集

1n=6A

．

（）当时，求证：；

2n=16k≤5

（）在（）的前提下，求集合的元素之和的最大值．

32AS

21．（2020·上海市松江一中高一月考）对于四个正数

x

、、、，如果，那么称是的

y

z

w

xwyz



x,y



z,w

“”

下位序对

（1）对于、、、，试求的“下位序对”；

2

3

7

11



2,7

（2）设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断、、之间的大小关系；

a

b

c

d



a,b



c,d

a

cac



dbd



b

（3）设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在，使得是

n



t0t2014

mN



kN





m,2017



k,n

的“下位序对”，且是的“下位序对”.求正整数的最小值.



k,n



m1,2018

n

（北京高一期末）已知集合对于．

2021·.22

SXXxxLxxkiLnn

nni

{|(,,,),{,1},1,2,,}(2)

12

AaaLaBbbLbS

(,,,),(,,,)

1212

nnn

，定义：与的差为；与之间的距

AA

BB

ABababLab

(||,||,||)

1122

nn

离为

dABab

(,)||





ii

.

i



1

n

（）当时，设，求；

1

k2,n5

A(1,2,1,1,2),B(2,1,1,2,1)

AB,d(A,B)

（2）若对于任意的，有，求的值并证明：

ABCS

,,

n

ABS

n

k

d(AC,BC)d(A,B)

.

第二章一元二次函数、方程和不等式（

一、单选题（共30分）

提分小卷）

（考试时间：40分钟试卷满分：70分）

1．设，则下列不等式中，恒成立的是（）

ab0,c0

11

A..



abab

B.acbc

22

2

C.acbc

cc

D

）2．若实数，则（

x

，满足

y



xy64xy

A．B．

xyxy

的最大值是的最大值是

C．D．

xyxy

的最小值是的最小值是

39

28

2

）对任意的恒成立，则（

1

9

16

3．若不等式



ax2xb0



x0

A．，

a0

ab

1

2

B．，

a0ab2

D．，C．，

a0a0

b2aa2b

4．设，，则

a,bR

，且（）

ab1

22

ab

A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值

C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值

11



abab



22



5．已知ab，，若关于x不等式

，

cR

01



xb

ac

的解集为

xx

），则（



x|xxx或xx,xxx0

123321



A．不存在有序数组，使得

(a,b,c)

xx1

21

B．存在唯一有序数组，使得

(a,b,c)

xx1

21

C．有且只有两组有序数组，使得

(a,b,c)

xx1

21

D．存在无穷多组有序数组，使得

(a,b,c)

xx1

21

6．已知

a0,b0

，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（）．

ab1

A．B．C．D．

x2x4x8

11

m



4

m

22

abab



x6

二、多选题（共10分）

7．若

a,b

均为正数，且，则下列结论正确的是（）

a2b1

A．的最大值为

ab

B．

1

8

12



的最小值为9

ab

C．

ab

22

的最小值为



D．

ab

22

的最小值为

1

3

1

5

（南京航空航天大学苏州附属中学高一月考）已知关于解集为．

2021·8

x

的不等式

axbxc0

2



x2x3

，则（）

A

．

a0

B．不等式的解集为

axc0



xx6

C

．

abc0



11

D．不等式的解集为

cxbxa0

2



xx



32



三、填空题（共10分）

（实际运用题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第．

9

九勾股中记载：今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木

“?”

其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，

11



97





被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门

x

22



1200

x



15

步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）里

750

1

300

________.

2

bRx0

，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．

10．已知

a



ax2x2bx1≤0

ab



四、解答题（共20分）

2

11．（2021·四川高一期末）解关于.

x

的不等式

ax1ax10



12abc.

．已知，，均为正实数，且满足

abc3

32

；

2

abc

222

3

（2）



.

bccaab



2

证明：（1）

abbc

第二章一元二次函数、方程和不等式（选拔卷）

一、单选题（共40分）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

1．（2021·湖南长沙市·周南中学高一月考）设abcd为实数，且，则下列不等式正确的

，，，

ab0cd

是（）

B．

acbd

D．C．

cd



0

ab

A．

acd

2

acbd

2．（2021·安徽高一期末）下列命题中，正确的是（）．

A．若，则

ab

acbc

22

C．若，则

ab

ab

22

11



ab

B．若，则

ab0

D．若，，则

ab0

cd0

acbd

）3．（2021·广西高一期末）若，则（

D．A．B．C．

mnpnmpmpn

m2x1,nx2x,px3

22

nmp

4．（2021·四川高一期末（理））某药店有一架不准确的天平（其两臂不等）和一个10克的砝码．一名患者

想要20克中药，售货员将砝码放在左盘中，将药物放在右盘中，待平衡后交给患者；然后又将药物放在左

盘中，将砝码放在右盘中，待平衡后再交给患者．设两次称量后患者实际得到药物为克，则下列结论正

m

确的是（）．

AB

．．

m20

CD

．．以上都可能

m20

m20

5．（教材变式题）已知正数

a,b

满足，则的最大值是（）

ab2

A．D．B．C．1

ab

4



ab



11

711

34

9

2

22

6．（2021·上海市控江中学高一期末）设，则

abc0

2a10ac25c



11

取得最小值时，的

a

abaab





值为（）

A．B．2C．4D．

2

25

2a12b4

22



a,b

7．（2021·四川省武胜烈面中学校高一期中）已知正实数

满足，则的最小值为

ab1



ab

（）

A10B11C13D21

．．．．

（四川高一期末）道路通行能力表示道路的容量，指单位时间内通过道路上指定断面的最大车辆数，．

2021·8

是度量道路疏导交通能力的指标，通常由道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件决定．某条道路一

小时的通行能力满足，其中为安全距离，为车速（m/s）．若安全距离取40m，

N

N



1000

V

dd

00

V

0.4

VVd

2



0

则该道路一小时通行能力的最大值约为（）

A98B111C145D185

．．．．

）（浙江高一期末）已知实数，，满足，且，则下列式子一定成立的是（．

二、多选题（共20分）

2021·abca<b<cac<09

A

．

cbab

22

C．

B

．

c(ab)0

D．ac（a-c）>0

），则（

11



ab

10．（2021·浙江高一期末）已知不等式的解集是

axbxc0

2



x1x2

AB

．．

b0

CD

．．

c0

abc0

ab0

11．（2021·浙江湖州中学高一月考）对于给定实数

a

，关于的一元二次不等式的解集可能

x



ax1x10

是（）

1





a



A．B．C．D．

x|1x





x|x1



1



x|x1





a

）（浙江高一期中）下列说法正确的有（．

R

2021·12

x1

2



A．

y



的最小值为

2

x

B．已知，则

x1

yx



21

4

的最小值为

421

x



1

C

．若正数

x

、满足，则的最小值为

y

x2y3xy

2xy

3

D．设，则.

x

、为实数，若的最大值为

y

9xyxy1

22

3xy

三、填空题（共20分）

13

．若存在实数成立，则实数

xx

，使得关于的不等式的取值范围是

ax4xa30

2

a

______.

221

7

41

x

2



14．（2021·广西高一期末）函数

fxx

()(0)



取得最小值时的取值为__________．

x

x

2

15．若使集合

Ax(kxk8)(x1)0,xZ

中的元素个数最少，则实数的取值范围是________.

k



22

aab



22

a,b

16．（2021·上海交大附中高一期末）已知

为正实数，则的取值范围是_______.

5

ab



四、解答题（共70分）

（江西省兴国县第三中学高一月考）解下列关于．

2021·17

x

的不等式：

（1）；

x



1



3

x



2

（）

2

2xx60

2

.

（广西高一期末）某汽车公司购买了辆大客车用于长途客运，每辆万元，预计每辆客车每年．

2021·18

4

200

收入约万元，每辆客车第一年各种费用约为万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加万元

100

1616

.

（1）写出辆客车运营的总利润

4

y

(万元)与运营年数的函数关系式：

x(xN)

*

（）这辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？

2

4

3

2

19．（2021·四川高一期末）已知关于

x

的不等式

20

kxkx

，

k0

8

1

（1）若

k

，求不等式的解集；

8

（）若不等式的解集为，求的取值范围．

2

R

k

20．（2021·安徽高一月考）（1）设，，证明：

ba0

m0

（2）设，，，证明：

x0

y0

z

0

12



aam





；

bbm



xyz

.

xyyzzx



21．已知命题：“

xx1x1





，都有不等式

xxm

2

成立”是真命题.

（）求实数的取值集合；

1

m

B

（）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围

2.

(x3a)(xa2)0

A

xAxB

a

（江西高一期末）动物园要围成相同面积的矩形虎笼两间，一面利用原有的墙，其他各面用钢筋网．

2021·22

围成（如图）．若每间虎笼的面积为，墙长米，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成西间

24m

2

a

虚笼的钢筋网总长最小？并求出钢筋网的长度．

第三章函数概念与性质（

提分小卷）

（考试时间：40分钟试卷满分：65分）

一、单选题（共25分）

1．若函数在

f(x)xmx10

2

(2,1)

上是减函数，则实数m的取值范围是（）

A．B．

[2,)

C．D．

(,2](,4]

[4,)

2

．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的

RxRx0,1





定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无

x



1

q

pq

p

q

Rx





x0

x1

x



0,1

p

p

）注：，为互质的正整数，即为已约理数时，，，，则（

p

q



pqRx0ab0,1

q

p

.

已知

a

b



分的最简真分数.

AB

．的值域为．

Rx





0,



2

CD

．．以上选项都不对

RabRaRb





1

RabRaRb



3

．已知定义域为的函数

R

fx



在单调递减，且，则使得不等式



2,



f4xfx0



fxx



2

f2x0



成立的实数

x

的取值范围是（）

A．B．或

4x1x1

C．或D．或

x3x1x1

x3

x4

（安徽省亳州市第一中学高一月考）设函数．

2021·4

fx



的定义域为，为奇函数，为偶

R

fx1



fx2





9

函数，当时，（）

x1,2



f(x)axb

2

．若，则

f0f36



f







2

A．D．



9

4

B．C．

35

22

7

4

5．设函数，若存在实数

f(x)mx3

a,b(ab)

，使在上的值域为，则实数m的取值范

f(x)

[a,b][a,b]

围是（）

595





9

B．A．C．D．





2,,2,







444





4

二、多选题（共5分）

9







3,



4



6．定义在上的函数

R

fx



满足：为整数时，；不为整数时，，则（）

xx

fx2022fx0



A．

fx



是奇函数B．是偶函数

C．D．

xR,ffx2022





三、填空题（共15分）

fx



fx



的最小正周期为

1

7．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，那么不等式的解集

yfxfxx22fx10



x0



是．

________

（新定义题）定义在上的函数．

R8

f(x)f(x)

具有性质：（）（）当时，单调

12

f(xy)f(x)f(y)

x0

增，则不等式的解集为

f(x1)f(3x3)4x2

______.

xaxa

2



9．已知函数

fx

()=

在上单调递减，则实数a的取值范围为____________.



0,1



x

四、解答题（共20分）

10．已知函数

fx



对一切实数都有，且当时，，又.

x,yR

fxyfxfyfx0f32



x0



（）试判定该函数的奇偶性；

1

（）试判断该函数在上的单调性；