直线与椭圆的位置关系及其应用 高二数学新教材配套学案(人教A_百

3.1.2 第2课时 直线与椭圆的位置关系及其应用

【学习目标】

课程标准 学科素养

1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．

2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．

1、直观想象

2、数学运算

3、逻辑推理

【自主学习】

1．点与椭圆的位置关系

xy

22

点P(x＋＝1(a>b>0)的位置关系：

00

，y)与椭圆

ab

22

点P在椭圆上⇔ ；点P在椭圆内部⇔ ；点P在椭圆外部⇔

2．直线与椭圆的位置关系

xy

22

直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系：

ab

22

y＝kx＋m，





联立消去y得一个关于x的一元二次方程．



xy

22

＋＝1，





ab

22

解的个数 Δ的取值 位置关系

解 相交

解 相切

解 相离

【小试牛刀】

xy

22

(1)点P(2,1)在椭圆

49

＋＝1的内部． ( )

(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切． ( )

y

2

(3)过点A(0,1)的直线一定与椭圆x

＋＝1相交． ( )

2

2

( ) (4)长轴是椭圆中最长的弦．

xy

22

(5)已知椭圆

ab

22

＋＝1(a>b>0)与点P(b,0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．( )

xy

22

(6)直线y＝k(x－a)与椭圆

ab

22

＋＝1的位置关系是相交． ( )

【经典例题】

题型一 点与椭圆位置关系的判断

xy

22

例1 已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为____________．

94

yx

22

[跟踪训练]1 已知点(1,2)在椭圆

nm

＋＝1(n>m>0)上，则m＋n的最小值为________．

题型二 直线与椭圆的位置关系

代数法判断直线与椭圆的位置关系

判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，

得到关于另一个变量的一元二次方程，则

Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．

xy

22

例2 已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

42

(1)有两个公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．

x

2

2

[跟踪训练]2 在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆

2

＋y＝1

有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围．

题型三 弦长和中点弦问题

1.解决椭圆中点弦问题的两种方法

(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根

与系数的关系以及中点坐标公式解决．

(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中

xy

22

点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x＋＝1(a>b>0)上的两个不同的点，

1122

，y)，B(x，y)是椭圆

ab

22

M(x，y)是线段AB的中点，则

00

22

xy

11

＋＝1， ⇔

ab

22

22

22

22





xy



ab

＋＝1， ⇔

y－yx＋x

1212

11bbxbx

2222

222

00

由⇔－⇔，得＝－＝－，即k

abaayay

22222

(x－x)＋(y－y)＝0，变形得··＝－.

1212AB

x－xy＋y

1212

00

2．求弦长的两种方法

(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．

(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|PP|＝

12

1＋k·x＋xx，x(y，y)是上述一元二

22

12121212

－4x，其中x



或|P－4y

121212

P|＝1＋y＋yy





1

2

k

2

次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．

提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．

x

2

2

例3 已知斜率为1的直线l过椭圆＋y＝1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．

4

xy

22

例4 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程．

164

xy

22

[跟踪训练]3 过椭圆

164

＋＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分．

(1)求此弦所在的直线方程；

(2)求此弦长．

题型四 与椭圆有关的综合问题

xy2

22

例5 椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(－2,0)，且离心率为

ab2

22

.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N.在x轴上是否存在点Q，使得⇔PQM

＋⇔PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【当堂达标】

xy

22

1．若点P(a,1)在椭圆

23

＋＝1的外部，则a的取值范围为( )

44





232323

23

，＋∞－∞，－



D． ⇔

33

B．A． C．

－，＋∞－∞，－，

3333





2．若直线l：2x＋by＋3＝0过椭圆C：10x

22

＋y＝10的一个焦点，则b等于( )

A．1 B．±1 C．－1 D．±2

xy

22

3．直线y＝x＋1被椭圆

42

＋＝1所截得的弦的中点坐标是( )

1725472113



A. B. C. D.



33333322

，，－，－，－



4．已知椭圆的方程是x

22

＋2y－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )

A．x＋2y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋3＝0

xy

22

5．已知椭圆C：，A，且以线段AA为直径的圆

ab

22

＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A

1212

与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )

6321

A． C．

3333

B． D．

1

6．椭圆xx＋1截得的弦长为________．

22

＋4y＝16被直线y＝

2

4xy

22

7．求过点(3,0)且斜率为

52516

的直线被椭圆＋＝1所截得的线段的长度．

xy3

22

8．设椭圆C：.

ab5

22

＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为

(1)求椭圆C的方程；

4

(2)求过点(3,0)且斜率为

5

的直线被C所截线段的中点的坐标．

【参考答案】

【自主学习】

xyxyxy

222222

000000

222222

＋＝1 ＋＋

<1 >1. 两 Δ>0 一 Δ＝0 无 Δ<0

ababab

【小试牛刀】

(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)× (6)√

【经典例题】

k13333

2



33

33



⇔>1，解得k<－.

解析 依题意得，＋例1 或k>

－∞，－，＋∞

9422

22



144mn



14

[跟踪训练]1 9 解析 依题意得，

mnnm

＋＝1，而m＋n＝(m＋n)＝1＋＋＋4



mn

＋



4mn4mn

＝5＋＋＝9，

nmnm

≥5＋2·

当且仅当n＝2m时等号成立，故m＋n的最小值为9.

y＝2x＋m，





例2 [解] 直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y，得9x＋8mx



xy

22

＋＝1，





42

＋2m－4＝0 ⇔.

2

方程⇔的判别式Δ＝(8m)－4×9×(2m－4)＝－8m＋144.

222

(1)当Δ＞0，即－32＜m＜32时，方程⇔有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的

实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点．

(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程⇔有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这

时直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

(3)当Δ＜0，即m＜－32或m＞32时，方程⇔没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时

直线l与椭圆C没有公共点．

x

2

[跟踪训练]2 解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得

2

＋(kx＋2)＝1，

2



1

整理得＋22kx＋1＝0，



2

＋k

2

x

2



2



1

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k－4＝4k－2＞0，解得k＜－或

22



2

＋k

2

2



2



2

2

k＞⇔

2

，所以k的取值范围为.



－∞，－，＋∞

22



2

例3 解 设A，B两点的坐标分别为(x

1122

，y)，(x，y)，

由椭圆方程知a＝4，b＝1，⇔c＝a－b＝3，

2222

⇔F(3，0)，⇔直线l的方程为y＝x－3，

838

将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x－83x＋8＝0，⇔x，x，

1212

＋x＝x＝

55

2

⇔|AB|＝1＋k|x－x|＝1＋k·x＋xx＝2·.

121212

222

－4x＝

83

55

2

－4×5×8

8

例4 解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法

由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y－1＝k(x－2)．将其代入椭圆方程并整理，

得(4k＋1)x－8(2k－k)x＋4(2k－1)－16＝0.

2222

设A(x

11221212

，y)，B(x，y)，则x，x是上述方程的两根，于是x＋x＝.

x＋x42k

12

2

－k

1

又M为线段AB的中点，⇔＝＝2，解得k＝－

22

.

4k

2

＋1

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

方法二 点差法

设A(x

1122121212

，y)，B(x，y)，x≠x.⇔M(2,1)为线段AB的中点，⇔x＋x＝4，y＋y＝2.

22222222

又A，B两点在椭圆上，则x

11221212

＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，

82k

2

－k

4k

2

＋1

于是(x

12121212

＋x)(x－x)＋4(y＋y)(y－y)＝0.

⇔＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

y－yx＋x

1212

＝－＝－＝－，即k

x－x4y＋y

1212

411

4×222

AB

方法三 对称点法(或共线法)

设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，

由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4－x,2－y)．

⇔A，B两点都在椭圆上，



x

22

＋4y＝16， ⇔

⇔





4－x

22

＋42－y＝16. ⇔

⇔－⇔，得x＋2y－4＝0.

即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直

线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

[跟踪训练]3 [解] (1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得

(4k

2222

＋1)x－8(2k－k)x＋4(2k－1)－16＝0.

又设直线与椭圆的交点为A(x

112212

，y)，B(x，y)，则x，x是方程的两个根，

82kx＋x42k

于是x＝＝2，解得k＝－

12

＋x＝.又M为AB的中点，⇔.

22

－k－k

12

1

22

4k4k

22

＋1＋1

故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

法二：设直线与椭圆的交点为A(x

1122

，y)，B(x，y)．

又M(2,1)为AB的中点，⇔x

1212

＋x＝4，y＋y＝2.又A，B两点在椭圆上，

22222222

则x

11221212

＋4y＝16，x＋4y＝16.两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.

于是(x

12121212

＋x)(x－x)＋4(y＋y)(y－y)＝0.

⇔＝－.

y－yx＋x

1212

＝－＝－，即k

x－x4y＋y

1212

11

22

AB

又直线AB过点M(2,1)，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.

x＋2y－4＝0，





(2)设弦的两端点分别为A(x，y)，B(x，y)，由

1122



xy

22

＋＝1，





164

⇔x＋x＝4，xx＝0，

1212

⇔|AB|＝1＋k·x＋xx＝1＋·4

222

得x－4x＝0，

2

1212

－4x－4×0＝25.



1

2



－

2



c2

例5 [解] (1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝2.

a2

xy

22

由a－b＝c得b＝a－c＝2.⇔所求椭圆的方程为＋＝1.

42

222222

(2)若存在点Q(m,0)，使得⇔PQM＋⇔PQN＝180°，

则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k

1212

，k.等价于k＋k＝0.

依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)．

y＝kx－4





由，得(2k＋1)x－16k－4＝0.



xy

22

＋＝1





42

2222

x＋32k

因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0.

1

即(16k－4(2k＋1)(32k－4)＞0，解得k＜

22222

).

6

32k

2

－4

16k

2

设M(x，x，y

112212121122

，y)，N(x，y)，则x＋x＝x＝＝k(x－4)，y＝k(x－4)，

22

2k2k

＋1＋1

yy

12

令k＋＝0，(x

121221

＋k＝－m)y＋(x－m)y＝0，

x－mx－m

12

当k≠0时，2x＝0，所以m＝1.

1212

x－(m＋4)(x＋x)＋8m＝0，化简得，

当k＝0时，也成立．

所以存在点Q(1,0)，使得⇔PQM＋⇔PQN＝180°.

【当堂达标】

a123234

2

2

1.B [由题意知>1，即a>.]

23333

＋，解得a>或a<－

2

y

2. B 解析 因为椭圆x(0，－3)，F(0,3)，所以b＝1或－1.

2

＋＝1的焦点F

10

12

8m－1

2k

2

＋1

y＝x＋1，





3. C解析 联立



xy

22

消去y，得3x＋4x－2＝0，

2

＋＝1，





42

x＋x

12

4

设直线与椭圆交于点A(x，故AB的中点横坐标x＝

1122120

，y)，B(x，y)，则x＋x＝－＝

32

221

－＋1＝

333

.纵坐标y＝x＋1＝－.

00

4. A解析 由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为y＝k(x－1)＋1，即



x

22

＋2y－4＝0，

y＝kx＋1－k.由)x)x＋2k



消去y，得(1＋2k＋(4k－4k－4k－2＝0，

2222



y＝kx＋1－k，

x＋x4k

12

1113

2

－4k

所以＝＝1，解得k＝－，所以所求直线方程为y＝－，即x＋2y－3＝0.

22222

×x＋

1＋2k

2

5.A [由题意知以AA为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，

12

⇔圆心到直线的距离d＝

a

22

－b

c6

⇔e＝.

aa3

＝＝1－＝1－＝

x

22

＋4y＝16，





6.35 [由



1

y＝x＋1，





2

2abb1

＝a，解得a＝3b，⇔＝，

a

3

a

22

＋b



1

22





3



b

a



消去y并化简得x＋2x－6＝0.

2

设直线与椭圆的交点为M(x

11221212

，y)，N(x，y)，则x＋x＝－2，xx＝－6.

⇔弦长|MN|＝1＋k|x－x|＝[x＋xx]＝4＋24＝35.]

22

121212

55

44

－4x

44

7.解 过点(3,0)且斜率为(x－3)，

55

的直线方程为y＝

x

2

设直线与椭圆的交点为A(x＋＝1，

1122

，y)，B(x，y)，将直线方程代入椭圆方程得

2525

即x－3x－8＝0.⇔x

2

1212

＋x＝3，xx＝－8.

⇔|AB|＝1＋k·x＋xx＝1＋·9＋32＝.

22

1212

x－3

2

－4x

1641

255

a

22

－b

916c3169

8. [解] (1)将(0,4)代入C的方程，得

ba5a25a25

222

＝1，⇔b＝4.由e＝＝，得＝，即1－＝，

xy

22

⇔a＝5，⇔椭圆C的方程为

2516

＋＝1.

44

(2)过点(3,0)且斜率为(x－3)．

55

的直线方程为y＝

设直线与C的交点为A(x

1122

，y)，B(x，y)，

4x

2

将直线AB的方程y＝＋＝1，即x－3x－8＝0，

52525

(x－3)代入C的方程，得

则x＋x＝3，∴＝，＝(x＋x－6)＝－，即中点的坐标为.

1212

x－3

2

2

x＋xy＋y

1212

326

63





25

，－

22255

高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术

原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。

4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答

时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高

后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计

两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准

确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取

得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一

般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.

缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行

一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，

可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探

索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一

开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自

明。理综求准求稳求规范

第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容

易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不

要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也

可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先

易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转

换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家

由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生

物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先

确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出

正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没

有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正

确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以

免留下后患。

第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物

都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织