2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题

第二章 一元二次函数、方程和不等式

2.1 等式性质与不等式性质

基础过关练

题组一 用不等式(组)表示不等关系

1.下列说法正确的是( )

A.某人的月收入x元不高于2 000元可表示为“x<2 000”

B.小明身高x cm,小华身高y cm,则小明比小华矮可表示为“x>y”

C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”

D.某变量y不超过a可表示为“y≥a”

2.(2020福建莆田二中期末)某同学参加期末模拟考试,考后对自己的

语文和数学成绩进行了估计:语文成绩x高于85分,数学成绩y不低于

80分,用不等式组可以表示为( )

𝑥>85𝑥<85𝑥≤85𝑥>85

A. B. C. D.

{{{{

𝑦≥80𝑦≥80𝑦>80𝑦<80

3.(2020山东威海期中)一辆汽车原来每天行驶x km,如果该汽车现在

每天行驶的路程比原来多19 km,那么现在在8天内它的行程将超过2

200 km,用不等式表示为 .

题组二 实数的大小比较

4.(2020河北正定一中期中)已知a,a∈{x|0记M=aa,N=a+a-1,

121212

则M与N的大小关系是( )

A.M B.M>N C.M=N D.不确定

5.(2020安徽六安中学月考)若x≠-2且y≠1,则M=x+y+4x-2y的值与

22

-5的大小关系是( )

A.M>-5 B.M<-5 C.M≥-5 D.M≤-5

6.若x∈R,则与的大小关系为 .

𝑥1

1+𝑥2

2

7.设P=2,Q=7-3,R=6-2,则将P,Q,R按从大到小的顺序排列

√√

√√√

为 .

8.某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠

方案.甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折

优惠.乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这

两家旅行社一张全票的票价相同,那么该家庭选择哪家旅行社外出旅

游合算?

题组三 不等式的性质及应用

9.(2020北京人大附中高二期中)已知a<0则下列不等式恒成立的是

( )

A.a+b<0 B.<1 C.>1 D.>

10.(2020天津南开高一期末)“<”是“b”的( )

A.充分不必要条件

11

𝑎𝑏

𝑎𝑏11

𝑏𝑎𝑎𝑏

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

11.(2020广东东莞高一期末)已知实数a,b,c满足0则下列

选项一定成立的是( )

A.a+c>b+>bc

12.若<<0,则下列结论不正确的是( )

A.a

222

C.a+b<0 D.|a|+|b|>|a+b|

13.若a<0,-1则下列各式中正确的是( )

A.a>ab>ab >a>ab

22

>ab>a >ab>a

22

题组四 求代数式的取值范围

14.(2020北京师大附中高二期中)设实数x,y满足3则

M=2x-y的取值范围是( )

A.4 B.4

C.5 D.5

15.已知12则的取值范围为 .

𝑎

𝑏

11

𝑎𝑏

16.已知2那么M=2a+b的取值范围是 .

17.已知-3求(a-b)c的取值范围.

2

能力提升练

题组一 实数的大小比较

1.(2020吉林长春榆树一中五校高二期末,)实数x,y,z满足

111

𝑥𝑦𝑧

x+y+z=0,xyz>0,若T=++,则( )

A.T>0 B.T<0

C.T=0 D.T≥0

2.()若p=𝑎+6-𝑎+4,q=𝑎+5-𝑎+3,其中a≥0,则p,q的大小

√√√

√

关系是( )

A.p B.p=q

C.p>q D.不确定

3.(2020吉林省实验中学高二期中,)已知a,b,x均为正数,且a>b,则

𝑏𝑏+𝑥

.(填“>”“<”或“=”)

𝑎𝑎+𝑥

4.(2020辽宁大连二十四中高三模拟,)已知a+b>0,则+与+的大

小关系是 .

5.(2019山东济宁一中高二阶段检测,)已知a,b都是正数,并且a≠b,

求证:a+b>ab+ab.

552332

2

2

𝑏

𝑎𝑏11

𝑎𝑎𝑏

题组二 不等式的性质及应用

6.(2020北京朝阳高一期末,)下列命题为真命题的是( )

A.若a>b>0,则ac>bc

22

B.若a>b,则a>b

22

C.若a则a

22

D.若a则>

7.(多选)(2020山东济南高一期末,)若a>b>0,d则下列不等式成

立的是( )

>bc B.a-d>b-c

11

C.< D.a>b

33

𝑑𝑐

11

𝑎𝑏

8.(多选)(2020福建三明一中高一期中,)已知实数a,b,c满足c

且ac<0,则下列不等式一定成立的是( )

>ac B.c(b-a)>0

(a-c)<0

22

9.(多选)()设a,b为正实数,则下列命题正确的是( )

A.若a-b=1,则a-b<1

22

11

B.若-=1,则a-b<1

𝑏𝑎

C.若|𝑎-𝑏|=1,则|a-b|<1

√

√

D.若|a|≤1,|b|≤1,则|a-b|≤|1-ab|

10.(2020陕西咸阳中学高一检测,)已知不等式:①ab;②>0>;③

23

11

𝑎𝑏

a.若a>0>b且a>b,则其中正确的不等式的个数是 .

3222

题组三 求代数式的取值范围

11.()已知2某同学得出了如下结论:①1②

15

22

1③;④-4⑤-3⑥1<2a-b<4.则以上结论中

正确的是( )

A.①③④ B.①②④

C.①②⑤ D.①③⑥

12.(2020浙江绍兴一中高一月考,)已知实数x,y满足

-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,则M=9x-y的取值范围是( )

A.-7≤M≤26 B.-1≤M≤20

C.4≤M≤15 D.1≤M≤15

13.()若实数m,n满足求3m+4n的取值范围.

-1≤2𝑚+3𝑛≤2,

{

-3<𝑚-𝑛≤1,

答案全解全析

基础过关练

1.C 对于A,x应满足x≤2 000,故A错误;对于B,x,y应满足x故B

错误;C正确;对于D,y与a的关系应满足y≤a,故D错误.

2.A ∵语文成绩x高于85分,∴x>85.

∵数学成绩y不低于80分,∴y≥80,

𝑥>85,

∴故选A.

{

𝑦≥80,

3.答案 8(x+19)>2 200

解析 ∵汽车原来每天行驶x km,现在每天行驶的路程比原来多19

km,

∴现在汽车每天行驶的路程为(x+19)km,则现在在8天内它的行程为

8(x+19)km,又8天内它的行程将超过2 200 km,则满足8(x+19)>2 200.

故答案为8(x+19)>2 200.

4.B 由题意得0<1,0<1,∴M-N=aa-a-a+1=(a-1)(a-1)>0,故

12121212

M>N.故选B.

5.A M-(-5)=x+y+4x-2y+5=(x+2)+(y-1).

2222

∵x≠-2,y≠1,∴(x+2)>0,(y-1)>0,因此(x+2)+(y-1)>0.故M>-5.

2222

6.答案 ≤

𝑥1

1+𝑥2

2

解析 ∵-==≤0,∴≤.

𝑥12𝑥-1-𝑥-(𝑥-1)𝑥1

1+𝑥22(1+𝑥)2(1+𝑥)1+𝑥2

2222

22

7.答案 P>R>Q

解析 ∵P-R=2-(6-2)=22-6>0,∴P>R.

√√√

√√

R-Q=6-2-(7-3)=(6+3)-(7+2),

√√√√√√

√√

∵(6+3)=9+218,(7+2)=9+214,

√√√√

22

√√

∴6+3>7+2,∴R>Q,

√√√

√

∴P>R>Q,故答案为P>R>Q.

8.解析 设该家庭除户主外,还有x(x∈N)人参加旅游,甲、乙两家旅

*

行社收费总金额分别为y元、y元,一张全票的票价为a元,则只需按

12

两家旅行社的优惠方案分别计算出y,y的值,再比较y,y的大小即

1212

可.

∵y=a+0.55ax,y=0.75(x+1)a,而

12

y-y=a+0.55ax-0.75(x+1)a=0.2a(1.25-x),

12

∴当x>1.25时,y;当x<1.25时,y>y.

1212

又x为正整数,所以当x=1时,y>y,即两口之家应选择乙旅行社;当

12

x>1(x∈N)时,y,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.

*

12

9.B 因为a<0所以<0,所以<1.故选B.

𝑏𝑏

𝑎𝑎

10.B 取a=2,b=1,<成立,但b不成立,则“<”⇒/ “b”.

𝑎𝑏𝑎𝑏

1111

若b则-b>-a>0,由不等式的性质得->-,∴<,即

𝑎𝑏𝑎𝑏

1111

“b”⇒“<”.因此,“<”是“b”的必要不充分条件.故

𝑎𝑏𝑎𝑏

1111

选B.

11.C 因为0所以ac又因为0所以bc所以ac

故选C.

12.D ∵<<0,∴b

𝑎𝑏

11

∴b>a,ab,a+b<0,∴A,B,C中的结论均正确.

222

∵b∴|a|+|b|=-a-b=-(a+b)=|a+b|,故D中的结论错误,故选D.

13.D ∵-1∴1>b>0>b>-1,即b<1.又∵a<0,∴ab>ab>a.

222

14.B 由已知得6<2x<8,-2<-y<-1,

故4<2x-y<7.故选B.

15.答案

{

|<<4}

𝑏3𝑏

解析 由0<15得0<<<,而0<12

36𝑏15

1111𝑎𝑎

111

𝑎1𝑎

根据不等式的性质可得12×·<×60,即<<4,所以的取值范围为

36𝑏153𝑏𝑏

{

𝑏3𝑏

|<<4}.

16.答案 {M|7

解析 ∵2∴4<2a<8,故7<2a+b<13,即7

17.解析 ∵-3

∴-3

∴1<-b<3,a-b>0,

∴-3+1即-2

𝑎1𝑎

∴0

∵-2∴1<4,∴0×1<(a-b)c<2×4,∴0<(a-b)c<8.

222

能力提升练

1.B 因为x+y+z=0且xyz>0,不妨设x>0,则y<0,z<0,则

T=++===.因为x>0,z<0,所以xz<0.又-y<0,所以

𝑥𝑦𝑧𝑥𝑦𝑧𝑥𝑦𝑧𝑥𝑦𝑧

111𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑥𝑧𝑦(𝑥+𝑧)+𝑥𝑧-𝑦+xz

2

2

-y+xz<0.又xyz>0,所以T<0.故选B.

2

2.A 由题意知p-q=𝑎+6+𝑎+3-(𝑎+4+𝑎+5).

√√√

√

∵(𝑎+6+𝑎+3)-(𝑎+4+𝑎+5)

√√√

22

√

=2(𝑎+3)(𝑎+6)-2(𝑎+4)(𝑎+5),

√√

且(a+3)(a+6)-(a+4)(a+5)=-2<0,a≥0,∴

2(𝑎+3)(𝑎+6)-2(𝑎+4)(𝑎+5)<0,即

√√

(𝑎+6+𝑎+3)-(𝑎+4+𝑎+5)<0,

√√√

22

√

∴p-q=𝑎+6+𝑎+3-(𝑎+4+𝑎+5)<0,故p

√√√

√

3.答案 <

解析 -==.

𝑏𝑏+𝑥𝑎𝑏+𝑏𝑥-𝑎𝑏-𝑎𝑥(𝑏-𝑎)𝑥

𝑎𝑎+𝑥𝑎(𝑎+𝑥)𝑎(𝑥+𝑎)

因为a>0,a>b,x>0,所以x+a>0,b-a<0,

所以<0,所以<.

(𝑏-𝑎)𝑥𝑏𝑏+𝑥

𝑎(𝑥+𝑎)𝑎𝑎+𝑥

𝑎𝑏11

𝑎𝑏𝑎𝑏

1𝑎𝑏1𝑎-𝑏𝑏-𝑎11(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)

4.答案 +≥+

解析 +-+=(a-b)·.

𝑏𝑎𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑎𝑏𝑎

2222

2

2

2

2222

((

+=-=

))

≥0,∴+≥+. ∴

22

22

𝑏𝑎𝑎𝑏𝑎𝑏

𝑎𝑏11(𝑎+𝑏)(𝑎-𝑏)

∵a+b>0,(a-b)≥0,ab>0,

222

2

5.证明 (a+b)-(ab+ab)

552332

=(a-ab)+(b-ab)

532523

=a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a-b)

3223223322

=(a+b)(a-b)(a+ab+b).

222

∵a,b都是正数,∴a+b>0,a+ab+b>0,

22

又∵a≠b,∴(a-b)>0,

2

∴(a+b)(a-b)(a+ab+b)>0,

222

即a+b>ab+ab.

552332

6.D 对于A,当c=0时,ac=bc,所以A不是真命题;对于B,当a=0,b=-2

22

时,a>b,但a,所以B不是真命题;对于C,当a=-4,b=-1

22

时,a>ab>b,所以C不是真命题;对于D,若a则>,所以D

22

𝑎𝑏

11

是真命题.故选D.

因为c<0,a>b,所以ac故A错误;由d得-d>-c>0,又a>b,

所以a-d>b-c,故B正确;由于d所以>,故C错误;因为a>b>0,所以

𝑑𝑐

11

a>b,故D正确.

33

因为c且ac<0,故c<0,a>0,所以ab>ac,故A一定成立;

又b-a<0,所以c(b-a)>0,故B一定成立;

又a-c>0,ac<0,所以ac(a-c)<0,故C一定成立;

当b=0时,cb=ab,当b≠0时,有cb,故D不一定成立.

2222

对于A,若a,b为正实数,则a-b=1⇒a-b=

22

a+b>a-b>0,假设a-b≥1,则≥1⇒a+b≤1,这与a+b>a-b>0相矛盾,故

1

𝑎+𝑏

1

𝑎+𝑏

⇒a-b>0⇒a>b>0,故

5115

66𝑏𝑎

a-b<1成立,所以A正确;对于B,取a=5,b=,则-=1,但a-b=5->1,所以B

不正确;对于C,取a=4,b=1,则|𝑎-𝑏|=1,但|a-b|=3>1,所以C不正确;对

√

√

于D,因为|a|≤1,|b|≤1,所以(a-b)-(1-ab)=a+b-1-ab=(a-1)(1-b)≤0,

22222222

即|a-b|≤|1-ab|,所以D正确.故选AD.

10.答案 2

解析 因为a>0>b且a>b,所以a>|b|>0.①化简ab得a>b,显然正

222322

确;②>0>显然正确;③化简a得a,显然不正确.故正确的不等

3222

𝑎𝑏

11

式是①②,共2个.故答案为2.

11.D a=(a+b)+(a-b).

22

11

∵2∴1<(a+b)<.

22

15

∵0∴0<(a-b)<,则1①正确;b=(a+b)-(a-b),而1<(a+b)<,

222222

111115

0<(a-b)<,即-<-(a-b)<0,则,②错误,③正确;a-2b=-(a+b)+(a-b),

22222222

11111513

而-<-(a+b)<-1,0<(a-b)<,则-,④⑤错误;2a-b=(a+b)+(a-b),而

22222222

51335113

1<(a+b)<,0<(a-b)<,则1<2a-b<4,⑥正确.故正确的结论是①③⑥,故

2222

1533

选D.

𝑥=,

3

12.B 令m=x-y,n=4x-y,则

{

𝑛-4𝑚

𝑦=,

3

𝑛-𝑚

则9x-y=n-m.

33

85

∵-4≤m≤-1,∴≤-m≤.

333

5520

∵-1≤n≤5,∴-≤n≤.

333

8840

因此-1≤n-m≤20,即-1≤9x-y≤20,故选B.

33

85

13.解析 令3m+4n=x(2m+3n)+y(m-n)=(2x+y)m+(3x-y)n,

𝑥=,

2𝑥+𝑦=3,

5

则解得

{{

1

3𝑥-𝑦=4,

𝑦=,

5

7

因此3m+4n=(2m+3n)+(m-n).

55

71

由-1≤2m+3n≤2得-≤(2m+3n)≤.

555

7714

由-3≤1得-<(m-n)≤,

555

311

所以--<3m+4n≤+,

5555

73141

即-2<3m+4n≤3.