22人教版高中数学新教材选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程

章末总结

体系构建

题型整合

题型1 直线的倾斜角与斜率

例1已知直线𝑙 过𝑃(−2,−1) ，且与以𝐴(−4,2) ，𝐵(1,3) 为端点的线段𝐴𝐵 相交，则

直线𝑙 的斜率的取值范围为 .

答案： (−∞,−

]∪[,+∞)

23

34

解析：根据题中的条件可画出图形，如图所示，

由已知得直线𝑃𝐴 的斜率𝑘 ，直线𝑃𝐵 的斜率𝑘 ，由图可知，当直线𝑙 由𝑃𝐵 变

𝑃𝐴𝑃𝐵

=−=

23

化到与𝑦 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90 ，故斜率的取值范围是[

∘

3

,+∞) ；当

直线𝑙 由与𝑦 轴平行的位置变化到𝑃𝐴 时，它的倾斜角由90 增大到𝑃𝐴 的倾斜角，故斜率

∘

的变化范围是(−∞,−

2

] .

综上可知，直线𝑙 的斜率的取值范围是(−∞,−

23

]∪[,+∞) .

方法归纳

34

3

4

34

求直线的倾斜角与斜率的注意点：（1）求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识

判断倾斜角的取值范围.（2）当直线的倾斜角𝛼∈[0,

) 时，随着𝛼 的增大，直线的斜率𝑘 为

2

π

非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角𝛼∈(

,π) 时，随着𝛼 的增大，直线的斜率𝑘 为负值且

2

π

逐渐变大.

迁移应用

1.（2021四川绵阳南山中学高二期中）经过点𝑃(0,−1) 作直线𝑙 ，若直线𝑙 与以𝐴(1,−2) ，

𝐵(2,1) 为端点的线段𝐴𝐵 相交，则𝑙 的倾斜角的取值范围是( )

A.[0,

] B.[,]

444

3 π3 ππ

ππ3 π

C.[

444

,π) D.[0,]∪[,π)

答案：𝐷

解析：设直线𝑙 的斜率为𝑘 ，倾斜角为𝛼 ，

由题意知𝑘

𝑃𝐴𝑃𝐵

==−1 ，𝑘==1 ，

−1−(−2)−1−1

0−10−2

π3 π

44

由图可知，−1≤𝑘≤1 ，所以0≤𝛼≤ 或

≤𝛼π .

＜

题型2 直线的方程及其应用

例2（2021重庆十八中高二期中）已知点𝐴(−1,0) 和点𝐵 关于直线𝑙 ：𝑥+𝑦−1=0 对

称.

（1）若直线𝑙 过点𝐵 ，且使得点𝐴 到直线𝑙 的距离最大，求直线𝑙 的方程；

111

（2）若直线𝑙 过点𝐴 ，且与直线𝑙 交于点𝐶 ，△𝐴𝐵𝐶 的面积为2，求直线𝑙 的方程.

22

答案：（1）

设点𝐵(𝑚,𝑛) ，

+−1=0,

22

𝑚=1,

则{ 解得{

𝑛

𝑛=2,

=1,

𝑚+1

所以点𝐴(−1,0) 关于直线𝑙 ：𝑥+𝑦−1=0 对称的点𝐵 的坐标为(1,2).

若直线𝑙 过点𝐵 ，且使得点𝐴 到直线𝑙 的距离最大，则直线𝑙 与过点𝐴 ，𝐵 的直线垂直，

111

所以直线𝑙 的斜率𝑘= 的方程为𝑦−2=−(𝑥−1) ，即𝑥+𝑦−3=0 .

11

𝑘

−1

𝐴𝐵

−1+𝑚𝑛

=−1 ，故直线𝑙

（2）|𝐴𝐵|=−0)

√(2

22

+(1+1)=22 ，因为△𝐴𝐵𝐶 的面积为2，

√

所以△𝐴𝐵𝐶 的𝐴𝐵 边上的高ℎ=

22

2×2

√

=2 ，又点𝐶 在直线𝑙 上，直线𝑙 与直线𝐴𝐵 垂直，

√

所以点𝐶 到直线𝐴𝐵 的距离为2 .

√

易知直线𝐴𝐵 的方程为𝑦=𝑥+1 ，

设𝐶(𝑎,𝑏) ，则 或

𝑎=−1,

{

𝑏=2,

则直线𝑙 的方程为𝑦=0 或𝑥=−1 .

2

方法归纳

求直线方程的两种方法：（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直

接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.（2）待

定系数法：设出含有参数的直线方程，由已知条件求出参数的值，即可得到所求直线方程.

迁移应用

2.（2021安徽宿州十三所重点中学高二期中）已知直线𝑙 ：2𝑥+3𝑦+6=0 .

（1）求经过点𝑃(2,−1) 且与直线𝑙 平行的直线的方程；

（2）求与直线𝑙 垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3的直线方程.

答案： （1）由题意可设所求直线的方程为2𝑥+3𝑦+𝜆=0(𝜆≠6) .

把点𝑃(2,−1) 代入得4−3+𝜆=0 ，即𝜆=−1 ，故所求直线的方程为2𝑥+3𝑦−1=0 .

（2）由题意可设所求直线的方程为3𝑥−2𝑦+𝑚=0 .

令𝑦=0 ，则𝑥=− ；

3

𝑚

|𝑎−𝑏+1|

√

2

𝑎=1,

=2 ，即𝑏=𝑎−1 或𝑏=𝑎+3 ，又𝑏=1−𝑎 ，解得{

√

𝑏=0

令𝑥=0 ，则𝑦= .

2

由题意知，

223

⋅|−|⋅||=3 ，

1𝑚𝑚

𝑚

解得𝑚=±6 ，故所求直线的方程为3𝑥−2𝑦−6=0 或3𝑥−2𝑦+6=0 .

题型3 与圆有关的最值问题

例3已知𝑀(𝑚,𝑛) 为圆𝐶 ：𝑥

22

+𝑦−4𝑥−14𝑦+45=0 上任意一点.

（1）求 的最大值和最小值；

𝑛−3

𝑚+2

（2）求m 的最大值和最小值.

22

+𝑛

答案：（1）由题意知圆C的圆心为𝐶(2,7) ，半径𝑟=22 .记点𝑄(−2,3) ，

√

∵

𝑛−3

𝑚+2

表示直线𝑀𝑄 的斜率，设直线𝑀𝑄 的方程为𝑦−3=𝑘(𝑥+2) ，即𝑘𝑥−𝑦+2𝑘+3=

0 ，

∵ 直线𝑀𝑄 与圆𝐶 有公共点，

∴≤22 ，

|2𝑘−7+2𝑘+3|

√𝑘+1

2

√

解得2−3≤𝑘≤2+3 ，

√√

∴

𝑛−3

𝑚+2

的最大值为2+3 ，最小值为2−3 .

√√

（2）设𝜇=(𝑚−0) ，

22

+(𝑛−0)

则该式等价于点𝑀(𝑚,𝑛) 与原点的距离的平方，

∴𝜇=(√(2−0)+(7−0)+𝑟)

max

22

2

，

=(53+22)

√√

2

=61+4106

√

𝜇=(√(2−0)+(7−0)−𝑟)

min

22

2

，

=(53−22)

√√

2

=61−4106

√

∴m+𝑛

22

的最大值为61+4106 ，最小值为61−4106 .

√√

方法归纳

（1）求 型的最大值和最小值可转化为求过点(𝑥,𝑦) 和(𝑎,𝑏) 的直线斜率的最大值

𝑦−𝑏

和最小值；（2）求(𝑥−𝑎) 型的最大值和最小值可转化为求(𝑥,𝑦) 与(𝑎,𝑏) 的

22

+(𝑦−𝑏)

距离的最大值和最小值的平方.

迁移应用

3.（2021四川宜宾叙州二中高二月考）已知点(𝑥,𝑦) 满足𝑥

22

+𝑦=1 ，则𝑥+𝑦 的取值范

围是( )

A.[−2,2] B.[−1,1]

√√

C.[1,2] D.(1,2]

√√

答案：𝐴

解析：设𝑥+𝑦=𝑏 ，则圆心(0,0)到直线𝑥+𝑦=𝑏 的距离小于或等于半径，

即

|𝑏|

√1+1

22

𝑥−𝑎

≤1 ，

解得−2≤𝑏≤2 ，

√√

故−2≤𝑥+𝑦≤2 .

√√

题型4 直线与圆的综合问题

例4（2021浙江湖州高二期中）如图，已知圆𝑂:𝑥

22

+𝑦=1 ，点𝑃(𝑡,4) 为直线𝑦=4

上一点，过点𝑃 作圆𝑂 的切线，切点分别为𝑀 ，𝑁 .

（1）已知𝑡=1 ，求切线方程；

（2）直线𝑀𝑁 是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；

（3）当𝑡1 时，两条切线分别交𝑦 轴于点𝐴 ，𝐵 ，连接𝑂𝑀 ，𝑂𝑁 ，记四边形𝑃𝑀𝑂𝑁 的

＞

面积为𝑆 ，三角形𝑃𝐴𝐵 的面积为𝑆 ，求𝑆 的最小值.

1212

⋅𝑆

答案：（1）当切线的斜率不存在时，切线方程为𝑥=1 ，符合题意；

当切线的斜率存在时，设切线方程为𝑦−4=𝑘(𝑥−1) ，即𝑘𝑥−𝑦−𝑘+4=0 .

由𝑑=𝑟 得 ，所以切线方程为𝑦= .

|4−𝑘|151517

√𝑘+1

2

=1 ，解得𝑘=𝑥+

888

1715

88

综上，切线方程为𝑥=1 或𝑦= .

𝑥+

（2）由题意得𝑀 ，𝑁 在以点𝑃 为圆心，切线长𝑃𝑀 为半径的圆上，

则圆𝑃 ：(𝑥−𝑡)

222

+(𝑦−4)=𝑡+15 ，

(𝑥−𝑡)+(𝑦−4)=𝑡+15,

222

𝑥=0,

联立得{ 化简得𝑡𝑥+4𝑦−1=0 ，则{ 解得

22

4𝑦−1=0,

𝑥+𝑦=1,

𝑥=0,

1

{

𝑦=,

4

所以直线𝑀𝑁 过定点(0,

4

) .

（3）连接𝑃𝑂 ，易知𝑆

1△𝑃𝑀𝑂

=2𝑆=2×|𝑃𝑀|⋅|𝑂𝑀|=+15 ，

√𝑡

2

2

1

1

设𝑙

𝑃𝑀1𝑃𝑁2

:𝑦−4=𝑘(𝑥−𝑡) ，𝑙:𝑦−4=𝑘(𝑥−𝑡) ，

则𝐴(0,4−𝑘 .

1212△𝑃𝐴𝐵12

𝑡) ，𝐵(0,4−𝑘𝑡) ，∴|𝐴𝐵|=|𝑘−𝑘|𝑡 ，∴𝑆=|𝐴𝐵|⋅𝑡=|𝑘−𝑘|⋅𝑡

22

2

过点𝑃 作圆𝑂 的切线方程记为𝑦−4=𝑘(𝑥−𝑡) ，

即𝑘𝑥−𝑦−𝑘𝑡+4=0 ，

由𝑑=𝑟 得 ，𝑘 ，

|4−𝑘𝑡|

√𝑘+1

2

11

=1 ，整理得(𝑡−1)k−8𝑡𝑘+15=0, 则该方程的两根为𝑘

22

12

158𝑡

所以𝑘 ，𝑘 ，

1212

+𝑘=⋅𝑘=

𝑡−1𝑡−1

22

则|𝑘 ，

121212

−𝑘|=+𝑘)−4𝑘𝑘=

√(𝑘

2

所以𝑆 ，则𝑆

212

=⋅𝑆=(𝑡>1) ，

√𝑡+15⋅𝑡𝑡(𝑡+15)

2

222

𝑡−1𝑡−1

22

2√𝑡+15

2

𝑡−1

2

16(𝑚+1)(𝑚+16)16

𝑚𝑚𝑚

令𝑚=𝑡

2

−1 ，则𝑆⋅𝑆==𝑚++17≥2√𝑚⋅+17=25 ，

12

当且仅当𝑚=4 ，即𝑡=5 时，等号成立，

√

所以(𝑆

12min

⋅𝑆)=25 .

方法归纳

解决平面几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，用曲线的定义和平面几

何的有关结论来解决；二是将曲线中的最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用

配方法、判别式法、函数单调性法以及基本不等式法求解.

迁移应用

4.已知圆𝑂:𝑥

22

+𝑦=2 ，直线𝑙:𝑦=𝑘𝑥−2 .

（1）若直线𝑙 与圆𝑂 交于不同的两点𝐴 ，𝐵 ，且∠𝐴𝑂𝐵= ，求𝑘 的值；

2

π

（2）若𝑘= ，𝑃 是直线𝑙 上的动点，过𝑃 作圆𝑂 的两条切线𝑃𝐶𝑃𝐷 ，切点为𝐶𝐷 ，

、、

2

1

试问：直线𝐶𝐷 是否过定点？请说明理由.

答案：（1）根据题意，圆𝑂 的圆心为𝑂(0,0) ，半径𝑟=2 ，

√

若直线𝑙 与圆𝑂 交于不同的两点𝐴 ，𝐵 ，且∠𝐴𝑂𝐵= ，则点𝑂 到𝑙 的距离𝑑=

22

所以

2

√𝑘+1

2

π2

√

𝑟=1 ，

=1 ，解得𝑘=±3 .

√

（2）由题意可知𝑂𝑃𝐶𝐷 四点在以𝑂𝑃 为直径的圆上，

、、、

设𝑃(𝑡,

𝑡−2) ，则以𝑂𝑃 为直径的圆的方程为𝑥(𝑥−𝑡)+𝑦(𝑦−𝑡+2)=0 ，

22

11

即𝑥

2222

+𝑦−𝑡𝑥−(𝑡−2)𝑦=0 ，又𝐶𝐷 在圆𝑂 ：𝑥+𝑦=2 上，即直线𝐶𝐷 为两个圆

、

2

1

的公共弦所在的直线，则直线𝐶𝐷 的方程为𝑡𝑥+(

𝑡−2)𝑦−2=0 ，即(𝑥+)t−2(𝑦+1)=

22

1𝑦

0 ，

𝑥+=0,

𝑥=,

2

1

2

令{ 可得{ 即直线𝐶𝐷 过定点(

2

,−1) .

𝑦+1=0,

𝑦=−1,

题型5 直线与圆的方程的应用

𝑦

1

例5 （2021江苏南京田家炳高级中学高二检测）如图，某海面上有𝑂𝐴𝐵 三个小

、、

岛（面积大小忽略不计），𝐴 岛在𝑂 岛的北偏东45 方向且距𝑂 岛402 千米处，𝐵 岛在𝑂

∘

√

岛的正东方向且距𝑂 岛20千米处.以𝑂 为坐标原点，𝑂 的正东方向为𝑥 轴的正方向，建立

如图所示的平面直角坐标系.圆𝐶 经过𝑂𝐴𝐵 三点.

、、

（1）求圆𝐶 的方程；

（2）若圆𝐶 区域内有未知暗礁，现有一船在𝑂 岛的南偏西30 方向且距𝑂 岛40千米的𝐷 处，

∘

正沿着北偏东45 方向行驶，若不改变方向，试问：该船有没有触礁的危险？请说明理由.

∘

答案：（1）由题意得𝐴(40,40) 、𝐵(20,0) ，

设过𝑂𝐴𝐵 三点的圆𝐶 的方程为𝑥

、、

2222

+𝑦+𝐷𝑥+𝐸𝑦+𝐹=0(𝐷+𝐸−4𝐹>0) ，

𝐹=0,

则{

40+40+40𝐷+40𝐸+𝐹=0,

22

20+20𝐷+𝐹=0,

2

解得𝐷=−20 ，𝐸=−60 ，𝐹=0 ，所以圆𝐶 的方程为𝑥

22

+𝑦−20𝑥−60𝑦=0 .

（2）由题意得𝐷(−20,−203) ，且该船的航线所在的直线𝑙 的斜率为1，

√

故该船的航线为直线l：𝑥−𝑦+20−203=0 ，

√

由（1）知圆心为𝐶(10,30) ，半径𝑟=1010 ，

√

因为圆心𝐶 到直线𝑙 的距离𝑑=

方法归纳

直线与圆的方程的应用，一般先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示点，把直线

和圆看成满足某种条件的点的集合或轨迹，再用直线和圆上的点的坐标(𝑥,𝑦) 满足的方程表

示直线和圆，通过研究方程，解决实际问题.

迁移应用

5.树林的边界是直线𝑙 （如图𝐶𝐷 所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔

子和狼分别位于𝑙 的垂线𝐴𝐶 上的点𝐴 和点𝐵 处，|𝐴𝐵|=|𝐵𝐶|=𝑎 （𝑎 为正常数），若兔

子沿𝐴𝐷 方向以速度2𝜇 向树林逃跑，同时狼沿𝐵𝑀(𝑀∈𝐴𝐷) 方向以速度𝜇 进行追击（𝜇 为

正常数），如果狼到达𝑀 处的时间不多于兔子到达𝑀 处的时间，那么狼就会吃掉兔子.

|10−30+20−203|

√

√1+1

22

=106<1010 ，所以该船有触礁的危险.

√√

（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积𝑆(𝑎) ；

（2）若兔子要想不被狼吃掉，求𝜃(𝜃=∠𝐷𝐴𝐶) 的取值范围.

答案：（1）如图，建立平面直角坐标系，

则𝐴(0,2𝑎) ，𝐵(0,𝑎) ，设𝑀(𝑥,𝑦) ，

由 得𝑥 ，

|𝐵𝑀|4𝑎|𝐴𝑀|2𝑎

𝜇92𝜇3

2

≤+(𝑦−)≤

22

2𝑎2𝑎

∴𝑀 在以(0,) 为圆心，

∴𝑆(𝑎)=π .

4𝑎

2

9

33

为半径的圆上及其内部，

（2）设𝑙

𝐴𝐷

:𝑦=𝑘𝑥+2𝑎(𝑘≠0) ，

由兔子要想不被狼吃掉得 ，

|2𝑎−|

2𝑎

3

√1+𝑘

2

＞

3

2𝑎

解得𝑘∈(−3,0)∪(0,3) ，

√√

∴0<∠𝐴𝐷𝐶<,) .

362

，∴𝜃∈(

πππ

高考链接

1.（2020课标Ⅰ文，6，5分）已知圆𝑥

22

+𝑦−6𝑥=0 ，过点(1,2)的直线被该圆所截得的

弦的长度的最小值为( )

A.1B.2C.3D.4

答案：𝐵

解析：根据题意，将圆的方程化为(𝑥−3)

22

+𝑦=9 ，所以圆心为𝐶(3,0) ，半径为3，设

𝑃(1,2) ，当过点𝑃 的直线和直线𝐶𝑃 垂直时，圆心到过点𝑃 的直线的距离最大，弦长最短，

此时|𝐶𝑃|=−1)

√(3

222

+(0−2)=22 ，所以弦长的最小值为2√9−|𝐶𝑃|=2 .

√

2.（2020北京，5，4分）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值

为( )

A.4B.5

C.6D.7

答案：𝐴

解析：设圆心为𝐶(𝑥,𝑦) ，则−3)

√(𝑥

22

+(𝑦−4)=1 ，化简得(𝑥−3)+(𝑦−4)=1 ，

22

所以圆心𝐶 的轨迹是以𝑀(3,4) 为圆心，1为半径的圆，所以|𝑂𝐶|≥|𝑂𝑀|−1=

√3

22

+4−

1=4 ，所以|𝑂𝐶|≥4 ，当且仅当𝐶 是线段𝑂𝑀 与圆𝑀 的交点时取等号，故选A.

3.（2020课标Ⅱ理，5，5分）若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2𝑥−𝑦−3=0

的距离为( )

A. B. C. D.

5555

√√√√

5253545

答案：𝐵

解析：由题意可知该圆的圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为(𝑎,𝑎) ，则圆的半径为𝑎 ，

所以圆的标准方程为(𝑥−𝑎) .

222

+(𝑦−𝑎)=𝑎

由题意可得(2−𝑎) ，

222

+(1−𝑎)=𝑎

整理得𝑎

2

−6𝑎+5=0 ，

解得𝑎=1 或𝑎=5 ，

所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，

则圆心(1,1)到直线2𝑥−𝑦−3=0 的距离𝑑 ，圆心(5,5)到直线2𝑥−𝑦−

1

==

3=0 的距离𝑑==

2

|2×5−5−3|25

√

55

|2×1−1−3|25

√

55

√

√

，

所以圆心到直线2𝑥−𝑦−3=0 的距离为 .

25

√

5

4.（2020天津，12，5分）已知直线𝑥−3𝑦+8=0 和圆𝑥

√

222

+𝑦=𝑟(𝑟0) 相交于𝐴 ，𝐵

＞

两点.若|𝐴𝐵|=6 ，则𝑟 的值为 .

答案： 5

解析：圆心(0,0)到直线𝑥−3𝑦+8=0 的距离𝑑=

√

8

√

1+3

=4 ，

由|𝐴𝐵|=2√𝑟 可得6=2√𝑟 ，解得𝑟=5 .

2222

−𝑑−4

5.（2018江苏，12，5分）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦 中，𝐴 为直线𝑙 ：𝑦=2𝑥 上在第一象限

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⋅𝐶𝐷=0 ，则点𝐴 的

内的点，𝐵(5,0) ，以𝐴𝐵 为直径的圆𝐶 与直线𝑙 交于另一点𝐷 .若𝐴𝐵

横坐标为 .

答案：3

解析：设𝐴(𝑎,2𝑎)(𝑎0) ，则由圆心𝐶 为𝐴𝐵 的中点得𝐶(

＞

易得圆𝐶 ：(𝑥−5)(𝑥−𝑎)+𝑦(𝑦−2𝑎)=0 ，

与𝑦=2𝑥 联立解得点𝐷 的横坐标为𝑥

𝐷

=1 ，

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(5−𝑎,−2𝑎) ，𝐶𝐷=(1−,2−𝑎) ，

𝑎+5

所以𝐷(1,2) .所以𝐴𝐵

2

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⋅𝐶𝐷=0 得(5−𝑎)(1−)+(−2𝑎)⋅(2−𝑎)=0 ，整理得𝑎−2𝑎−3=0 ，解得

𝑎+5

2

由𝐴𝐵

2

𝑎+5

2

,𝑎) ，

𝑎=3 或𝑎=−1 （舍去）.

6.（2019浙江，12，6分）已知圆𝐶 的圆心坐标是(0,𝑚) ，半径长是𝑟 .若直线2𝑥−𝑦+3=0

与圆𝐶 相切于点𝐴(−2,−1) ，则𝑚= ，𝑟= .

答案：-2; 5

√

解析：由题意可知𝑘

𝐴𝐶

=−⇒ 直线𝐴𝐶 的方程为𝑦+1=−(𝑥+2) ，

22

把(0,𝑚) 代入得𝑚=−2 .此时𝑟=|𝐴𝐶|=4+1=5 .

√

√

11