2020-2021
新高二高中数学衔接精品讲义
专题三三角函数（知识串讲）
★★★★必备知识★★★★
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图
形.
(2)分类
按旋转方向不同分为正角、负角、零角
.
按终边位置不同分为象限角和轴线角
.
(3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S＝{β|β
αα
＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式
角α的弧度数公式
角度与弧度的换算
弧长公式弧长l＝|α|r
扇形面积公式
3.任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝
x，tanα＝
y
(x≠0).
x
l
|α|＝
(弧长用l表示)
r
180
1°
＝
rad1rad°
；＝
180
S＝
11
lr＝
|α|r
2
22
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，
余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP，OM，AT分别
叫做角α的正弦线，余弦线和正切线.
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin
22
α＋cosα＝1.
1
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(2)
商数关系：
sin
＝
tan__α.
cos
一二三四五六公式
2kπ＋
π＋α－απ－α
－sin__α－sin__αsin__α正弦sinαcos__αcos__α
－cos__αcos__α－cos__α余弦cosαsin__α－sin__α
tan__α－tan__α－tan__α正切tanα
函数名改变，符号看象限口诀函数名不变，符号看象限
5.
三角函数的诱导公式
角
α(k∈Z)
－α＋α
22
6.
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)sin__αcos__β±cos__αsin__β.
＝
cos(α)cos__αcos__β±sin__αsin__β.
∓＝
β
tan(α±β)＝.
tantan
1tantan
7.
二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α2sin__αcos__α.
＝
cos2αcos
＝
2222
αsinα2cosα112sinα.
－＝－＝－
tan2α.
＝
2tan
1tan
2
22
8.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝
ab
sin(α＋φ)
其中
tan
a
或f(α)
b
＝.
ab
·cos(α－φ)
其中
tan
22
a
b
9.
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
3
(,1)(
，，，，
,1)
(1)ysinxx[02π](00)
正弦函数＝，∈，的图象中，，，五个关键点是：
(π0)
22
(2π0).
，
(2)ycosxx[02π](01)
余弦函数＝，∈，的图象中，五个关键点是：，，
(,0)
，，－，
(π1)
2
3
(,0)
，，
(2π1).
2
9.(kZ)
正弦、余弦、正切函数的图象与性质下表中∈
2
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函数＝＝＝
图象
定义域
值域[－1，1][－1，1]R
周期性
奇偶性奇函数偶函数奇函数
递增区间
ysinxycosxytanx
RR
2π2ππ
[2kπ－π，2kπ]
{xx≠kπ＋
|xR
}
2
2,2,
kkkk
2222
3
2,2
kk
22
(kπ0)
，对称中心
x＝kπ＋
无，＋
k
,0,0
22
递减区间
[2kπ2kππ]
对称轴方程
k
xkπ
＝无
2
+
22
22
Ay＝Asin(ωx＋φ)000－A
10.yAsin(ωxφ).
用五点法画＝＋一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示
x
ωx＋φ0
－
－－
3
π2π
3
2
11.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅周期频率相位初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
Aωx＋φφ
T＝
2
f＝
1
＝
T
2
12.ysinxyAsin(ωxφ)
函数＝的图象经变换得到＝＋的图象的两种途径
3
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★★★★常用结论★★★★
1..
三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦
2.α
若∈
(0,)
，则
tanα>α>sinα.
2
3.180°πrad
角度制与弧度制可利用＝进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须
一致，不可混用
.
4.
象限角的集合
5.
同角三角函数关系式的常用变形
(sinα±cosα)
2
＝；＝
1±2sinαcosαsintanα·cosα.
α
6.
诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函
数名称的变化
.
7..
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号
α±tanβtan(α±β)(1tantan).
＝∓
αβ
.
22
αα
＝＝
1cos21cos2
，
sin
22
2
10.1sin2α(sinαcosα)
＋＝＋
22
，－＝－，
1sin2α(sinαcosα)
sinα±cosαsin.
＝
2
4
11.
对称与周期
(1)
正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的
4
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对称中心与对称轴之间的距离是个周期
1
.
4
(2).
正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期
12.yAsin(ωxφ)Aωω0
要注意求函数＝＋的单调区间时和的符号，尽量化成＞时情况，
避免出现增减区间的混淆
.
13.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间
kk
,
22
(kZ).
∈内为增函数
14.ysinωxysin(ωxφ)(ω>0φ>0)
由＝到＝＋，的变换：向左平移
位长度
.
15.yAsin(xφ)ωxφkπ(kZ)ωxφ
函数＝＋的对称轴由＋＝＋∈确定；对称中心由＋＝
ω
kπ(kZ).
∈确定其横坐标
个单位长度而非个单
φ
2
★★★★典型例题★★★★
考点一角的概念及其集合表示
是（）已知与角的终边关于轴对称，则
2
【例1】(1)
120
x
A．第二或第四象限角
B．第一或第三象限角
C．第三或第四象限角
D．第一或第四象限角
【答案】A
【解析】
由与角的终边关于轴对称，可得，
120
x
k360120,kZ
=18060,
kkZ
，∴
2
取可确定终边在第二或第四象限．
k0,1
2
（2）集合
Mxxk9045,kZNxxk4590,kZ
，，则有（）
A．B．
MNN
C．D．
MÜN
【答案】C
【解析】
Mxx2k4545,kZNxx(k1)4545,kZ
，．
∵是偶数，为整数，
2kk1
5
M
MN
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∴，故选C．
MÜN
规律方法利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相
1.
同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角
k.
2.2kπα(0α<2π)(kZ)
若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为＋≤∈
的形式，然后再根据所在的象限予以判断
α.
【训练1】(1)
将化为的形式是（）
885k360
0360,kZ
A．
165(2)360
B．
195(3)360
C．
195(2)360
D．
195(3)360
【答案】B
【解析】
885195(1080)195(3)360
(2)
若角的终边在函数的图象上，试写出角的集合为．
yx
【答案】
{|k180135,kZ}
【解析】解法一：函数的图象是第二、四象限的平分线，
yx
可以先在～范围内找出满足条件的角，
0360
再进一步写出满足条件的所有角，并注意化简．
解法二：结合图形，与相差的整数倍，由此写出集合．
135180
考点二弧度制及其应用典例迁移
【例2】（1）(经典母题)
设扇形的周长为6，面积为2，则扇形的圆心角是（单位：弧度）（）
A．1B．4
C．D．1或4
π
【答案】D
【解析】设扇形的半径为，所以弧长为，扇形的圆心角为，
x
62x
62x
x
因为扇形的面积为2，
所以
1
2
(62)2
xx
，
解得或，
x1x2
所以扇形的圆心角为1或4．
（2）
在半径为10cm的圆中，的圆心角所对弧长为（）
4π
3
6
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A．cmB．cm
C．cmD．cm
4020
ππ
33
200400
ππ
33
【答案】A
【解析】根据弧长公式，得
l
4π40π
（cm）．
10
33
（3）圆的半径是6cm，则的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（）
15
A．cmB．cm
π3π
22
22
C．cmD．cm
π
22
【答案】B
3π
1π3π
（cm
2
）．【解析】根据扇形面积公式，得
S
6
2
2122
规律方法应用弧度制解决问题的方法：
1.
(1)
利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)
求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到
解决
.
2..
求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量
【训练2】
一圆内切于中心角为、半径为的扇形，则该圆的面积与该扇形的面积之比为（）
R
A．B．
3:42:3
C．D．
1:21:3
【答案】B
【解析】一圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切，如图：
π
3
由圆半径
rRrrR
()sin
π1
，得，
63
11π
∴
π():2:3
RR
22
．
323
考点三三角函数的概念
31
则的值为（，已知角的终边与单位圆交于点）
sin
,)(
22
【例】合肥质检
3(1)(2020·)
A．D．
33
22
B．C．
11
22
【答案】B
7
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1
1
【解析】．
sin
2
12
(2)
若三角形的两内角满足，则此三角形必为（）
,sincos0
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．以上三种情况都可能
【答案】B
【解析】∵，，
sincos0,(0,π)
∴，，
sin0
cos0
∴为钝角．
规律方法三角函数定义的应用
1.
(1)
直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，
确定这个角的三角函数值
.
(2)
已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的
值
.
2.
三角函数线的应用问题的求解思路
确定单位圆与角的终边的交点，作出所需要的三角函数线，然后求解
.
【训练】西安一中月考
3(1)(2020·)
已知角的终边在直线上，求的
3x4y0
2sincos
值．
【解析】在直线上任取一点，
3x4y0P(4a,3a)(a0)
则
rOP(4a)(3a)5a
22
．
（1）当时，，
a＞0r5a
故，，
sincos
3344
aa
5555
aa
342
所以；
2sincos2()
555
（2）当时，，
a＜0r5a
故，，
sincos
3344
aa
5555
aa
342
所以．
2sincos2()
555
故等于或．
2sincos
22
55
(2)
sin()
19π
的值等于（）
6
8
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A．B．D．
11
22
C．
33
22
【答案】A
【解析】．故选A．
sin()sin()sin(4π)sin
19π24π5π5π5π1
66662
【跟踪训练——任意角、弧度制及任意角的三角函数】
πsinθcosθtanθ
1．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝
＋＋的值为()
5|sinθ||cosθ||tanθ|
A．1B．－1
C．3D．－3
π
解析：选B.由α＝2kπ－
(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，
5
又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，
所以sinθ<0，cosθ>0，tanθ<0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
︵︵︵︵
AB
，，，是圆x＋y＝1上的四段弧(如图)，
CDEFGH
22
2．(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中，
点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα ︵︵ A.ABB.CD ︵︵ C.EFD.GH y 解析：选C.设点P的坐标为(x，y)，利用三角函数的定义可得 <x<y，所以x<0，y>0，所以P x ︵ 所在的圆弧是，故选C. EF 3．已知x∈R，则使sinx>cosx成立的x的取值范围是________． π5π ， 解析：在[0，2π]区间内，由三角函数线可知，当x∈ 44 时，sinx>cosx，所以在(－∞，＋ π5π 2kπ＋ ，2kπ＋ ∞)上使sinx>cosx成立的x的取值范围是 44 ，k∈Z. π5π 2kπ＋ ，2kπ＋ 答案： 44 ，k∈Z 4．(综合型)若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 9 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 1 2 αr 1 2 解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝， 所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2. 2r＋αr 2R＋αR 答案：1∶2 考点四同角三角函数基本关系式的应用 【例4】(1)(2020·兰州测试) 若，则（） cos2sin5 tan A．B．2 1 2 C． 1 2 D．－2 【答案】B 【解析】由， cos2sin5 得 cos545sin4sin 22 ， 又 cos1sin 22 ， 所以 445sin5sin0 2 ， 即 (5sin2)0 2 ， 从而， sin 25 5 此时． cos52sin 5 5 所以． tan2 (2)(2020·) 平顶山联考 如果，那么的值为（） tan21sincos A．B． 55 34 C．D． 77 53 【答案】C 【解析】， tan2 10 1 2 αR 2 4 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 ∴ 1sincos sincossincos 22 sincos 22 tantan1 2 tan1 2 221 2 21 2 7 ． 5 规律方法利用＝ 1.sintanα 22 αcosα1α ＋＝可以实现角的正弦、余弦的互化，利用 sinα cosα 可以实现角的弦切互化 α. 2.sinαcosαsinαcosαsinαcosα 应用公式时注意方程思想的应用：对于＋，，－这三个式 子，利用＝，可以知一求二 (sinα±cosα)1±2sinαcosα. 2 3.1sin 注意公式逆用及变形应用：＝ 222222 αcosαsinα1cosαcosα1sinα. ＋，＝－，＝－ 【训练4】(1) 若，则（） tan3 A．2D．6B．3C．4 【答案】D 【解析】∵，故选D． 2sincos 2tan6 cos 2 2sincos 2 cos 1 （2）已知是第二象限的角，，则（） tan cos 2 D．A． 45 54 255 52 B．C． 【答案】A 【解析】由得．故选A 1115 2 1tan1 coscos44 22 考点五诱导公式的应用 5π ，则的值为（已知） cos()sin 132 【例5】(1)(2020·衡水中学调研) A．B．C． 512512 13131313 D． 【答案】C π5 【解析】． cos()sin 213 (2) 若 A．B．C． 3333 4101010 sincos3 2sin(5π)sin(π) ，则的值为（） sincos2 11 D． 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 【答案】B 【解析】，解得， sincostan1 2 tan3 sincostan1 sincostan33 ．原式 sincostan13110 2222 (sin)(cos)sincos 规律方法诱导公式的两个应用 1. (1). 求值：负化正，大化小，化到锐角为终了 (2). 化简：统一角，统一名，同角名少为终了 2.2π 含整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有的整数倍的三角函数式中可直接将的整 2π2π 数倍去掉后再进行运算，如－＝－＝－ cos(5πα)cos(πα)cosα. 【训练5】(1)(2020·北京卷)在 已知，则的值为（） sin()cos() A．B．D． 22 3 π1π 434 211 2 333 C． 【答案】D 【解析】∵， πππ () 442 ππππ1 ∴． cos()cos[()]sin() 42443 cos(4π)cos(π)sin(3π) 22 （2）化简． sin(4π)sin(5π)cos(π) 2 【答案】 cos coscossin 22 【解析】原式＝． cos sinsincos 2 考点六同角三角函数基本关系式与诱导公式的活用 3 5 【例6】(1)(2020·菏泽联考) 已知，且是第四象限角，则 cos(π) sin(2π) ． 【答案】 4 5 3 【解析】∵， cos(π) 5 ∴， cos 3 5 又为第四象限角， 4 ∴， sin 5 12 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 ∴． sin(2π)sin 4 5 sin()3cos() 15π13π 8π 77 (2)(2020·福州调研) 若 tan() a ，求 的值． 20π22π 7 sin()cos() 77 【解析】 tan()tan(π)tan() 8πππ a ，设要求的式子为， S 777 ππ )3cos(2π)sin(2π 77 则 S 6π8π sin(2π)cos(2π) 77 ππ sin()3cos() 77 ππ sin[π()]cos[π()] 77 ππ sin()3cos() 77 ππ sin()cos() 77 π tan()3 7 π tan()1 7 a 3 ． a 1 规律方法利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结 1. 论间的联系，灵活使用公式进行变形 . 2.(1) 注意角的范围对三角函数值符号的影响，开方时先判断三角函数值的符号； ππ (2) 熟记一些常见互补的角、互余的角，如 －与＋互余等 αα. 36 【训练6】(1)(2020·湖北七州市联考) 已知是方程 sin 5x7x60 2 的根， 求的值． sin(π)sin(π)tan()tan(π)[cos()cos()] 33ππ 2 2222 【解析】∵是方程 sin 5x7x60 2 的根， 3 ∴或， sin2 sin 5 3 而，故， 1sin1 sin 5 ∴， cos1sin 2 3 故． tan 4 4 5 13 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 (cos)(cos)tan(tan) 2 ∴原式 sin(sin) tan 3 ． 4 π cos() sin(5π)cos(8π) 2 （2）化简． cos(3π)sin(3π)sin(4π) 【解析】原式 sin(5π)sincos cos(π)sin(3π)sin(4π) sinsincos cossinsin 1 ． 【跟踪训练——同角三角函数的基本公式与诱导公式】 π ＋α 1．已知sin(3π－α)＝－2sin 2 ，则sinαcosα＝() 22 A．－B． 55 221 C．D．－ 或－ 555 π ＋α 解析：选A.因为sin(3π－α)＝－2sin， 2 所以sinα＝－2cosα，所以tanα＝－2， 所以sinαcosα＝＝＝＝－ －2 sinαcosαtanα 2 .故选A. 5 sintan 222 α＋cosαα＋1 （－2）＋1 2 )＝2，则cosα－3sinα＝( 1＋cosα 2．(2019·辽宁沈阳模拟)若 sinα A．－3B．3C．－D． 99 55 解析：选C.因为＝2，所以cosα＝2sinα－1，又sin＋cos＝1，所以sin 1＋cosα 222 αα α＋(2sinα sinα 49 －1)＝1，5sin－4sinα＝0，解得sinα＝或sinα＝0(舍去)，所以cosα－3sinα＝－sinα－1＝－ 22 α . 55 故选C. 3．化简 ＝________． cos40°－1－sin50° 2 1－2sin40°cos40° 解析：原式＝ sin40°＋cos40°－2sin40°cos40°|sin40°－cos40°| 22 ＝ cos40°－cos50°sin50°－sin40° ＝＝ |sin40°－sin50°|sin50°－sin40° sin50°－sin40°sin50°－sin40° ＝1. 14 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 答案：1 sin[（k＋1）π＋α]·cos[（k＋1）π－α] 4．(综合型)若f(α)＝(k∈Z)，则f(2018)＝________． sin（kπ－α）·cos（kπ＋α） 解析：①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)， 原式＝ ＝＝－1； sin（2nπ＋π＋α）·cos（2nπ＋π－α） sin（－α）·cosα sin（π＋α）·cos（π－α） －sinα·cosα ②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)， 原式＝ ＝＝－1. sin[（2n＋2）π＋α]·cos[（2n＋2）π－α] sin[（2n＋1）π－α]·cos[（2n＋1）π＋α] sinα·cos（－α） sin（π－α）·cos（π＋α） 综上所述，当k∈Z时，f(α)＝－1，故f(2018)＝－1. 答案：－1 考点七三角函数式的化简 ）等于（ 【例】 7(1) cos(35)cos(25)sin(35)sin(25) A．B．D． 11 22 C． 33 22 1 ．【解析】原式 2 【答案】A cos[(35)(25)]cos(60)cos60 （2）的结果是（） cos70cos335sin110sin25 A．1B．C．D． 【答案】B 【解析】原式 cos70cos(36025)sin(18070)sin25 23 22 1 2 cos70cos25sin70sin25 cos(7025)cos45 2 ． 2 规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角 1. 进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的 有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到 15 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 根式一般要升幂”等 . 2.. 化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等 【训练】（） 71 cos75cos15sin75sin195 的值为（） A．B．C．D． 0 11 22 3 2 【答案】B 【解析】原式 cos75cos15sin75sin(18015) cos75cos15sin75sin15 cos(7515)cos60 1 2 ． （2）的值是（） sin14cos16sin76cos74 A．C．B． 33 11 22 22 【答案】B 【解析】 sin14cos16sin76cos74 cos76cos16sin76sin16 cos(7616)cos60 1 2 考点八三角函数式的求值多维探究 【例】 8(1) 2cos10sin20 sin70 的值是（） A．B．C．D． 1 3 2 2 3 【答案】C 【解析】 2cos10sin202cos(3020)sin20 sin70cos20 2(cos30cos20sin30sin20)sin20 cos20 3cos20sin20sin203cos20 cos20cos20 3 ． （2）计算的值等于（） sin137cos13cos103cos43 A．B．C．D． 1 323 2 322 【答案】A 【解析】 sin137cos13cos103cos43 cos103cos43sin(18043)sin(9013) 16 D． 2 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 cos103cos43sin43sin103 cos(10343)cos60 1 ． 2 规律方法“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同 1. 或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法 . 2. “给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围， 最后确定角遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值， .(1)(2) 选正弦或余弦函数；若角的范围是 ππ －， 余弦较好；若角的范围为 22 ，选正弦较好. 0， π 2 ，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选 【训练8】(1)(2020·合肥模拟) 已知，，求的值． sinsincoscos cos() 【解析】，① sinsin coscos 4 ．② 5 3 5 34 55 9 ，①式平方得 25 sin2sinsinsin 22 16 ．②式平方得 25 以上两式相加，有， 22(coscossinsin)1 即， 22cos()1 cos2coscoscos 22 得． cos() 1 2 44π3π ，，且，，求的值．（2）已知 cos()(,π)(,2π)cos() cos2 5522 33 ，，【解析】由题意易得 sin()sin() 55 ∴ cos2cos[()()] cos()cos()sin()sin() 4433 ()()1 ． 5555 考点九三角恒等变换的简单应用 【例9】(2020·郑州模拟) ．如图，点在以为直径的半圆上移动，且，过点作 PABAB1P 1 圆的切线，使．连接，当点在什么位置时，四边形的面积等于？ PCPC1BCABCP P 2 17 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 【解析】设，连接． PAB PB ∵是直径， AB ∴． APB90 又， AB1 ∴，． PAcosPBsin ∵是切线， PC ∴． BPC 又, PC1 ∴ SSS 四边形 ABCP △△ APBBPC PAPBPBPC 1111 sincossinsin 2 2222 2π1 1111 sin2 ． sin21cos2sin2cos2 444 4444 由已知，， 2π11 sin2 4442 π2 ． sin2 42 又， 0, π 2 ππ3π 2, ， 444 ππ ， 44 π ． 4 2 故当点位于的中垂线与半圆的交点时，四边形的面积等于． PAB ABCP 1 2 规律方法进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的 1. 关系；注意公式的逆用和变形使用 . 2.把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝asin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调 22 ＋b 性、最值与对称性 . 【训练9】(2020·北京卷) 求函数的单调区间． y2sinxsinxcosx 【解析】 π y2sinxsinxcosx 2sinx2sinxcosx 2 1cos2xsin2x 2sin21 x ． 4 18 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 πππ 当 2π22π kxk ，即 242 π3π kxkkZ ππ, ，函数单调递增． 88 ππ3π 当 2π22π kxk ，即 242 3π7π kxkxkZ π, ，函数单调递减． 88 因此原函数的单调递增区间是 kkk π,ππ π3 Z ， 88 单调递减区间为 kkk π,π 3π7π Z ． 88 )1．已知α，β均为锐角，(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，则α＋β的值为( 【跟踪训练——简单的三角恒等变换】 A．B． ππ 64 D．C． 3ππ 43 解析：选B.由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2得 tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ， 所以tan(α＋β)＝＝＝1. tanα＋tanβ1－tanαtanβ 1－tanαtanβ1－tanαtanβ πππ 因为0<α<，0<β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝ . 224 2．已知α，β均为锐角，且sin2α＝2sin2β，则() A．tan(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) 解析：选A.法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin2α＝2sin2β， 所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， 展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]， 整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)， 两边同时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A. 法二：因为sin2α＝2sin2β， 19 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 1 （sin2α＋sin2β） tan（α＋β）sin（α＋β）cos（α－β） 2 3sin2β 所以＝＝＝＝3，即tan(α＋β)＝ sin2β tan（α－β）cos（α＋β）sin（α－β） 1 （sin2α－sin2β） 2 3tan(α－β)，故选A. 1 3．化简：sincos2αcos2β＝________． 2222 αsinβ＋cosαcosβ－ 2 解析：原式＝＋－ 1－cos2α1－cos2β1＋cos2α1＋cos2β 1 ··cos2αcos2β＝ 2 2222 1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β1＋cos2β＋cos2α＋cos2αcos2β 111 ＋－＋ cos2αcos2β＝cos2αcos 222 44 11 2β－cos2αcos2β＝. 22 答案： 1 2 cosα－sinα ，则tan(α＋β)＝________． cosα＋sinα 4．已知α，β均为锐角，且tanβ＝ 解析：因为tanβ＝， cosα－sinα cosα＋sinα π －α 1－tanα 所以tanβ＝＝tan 4 . 1＋tanα 又α，β均为锐角， π 所以β＝－α， 4 π 即α＋β＝， 4 所以tan(α＋β)＝tan＝1. 答案：1 5．(应用型)如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长 为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ π 4 解：连接OB，设∠AOB＝θ， 则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈ 因为A，D关于原点对称， 0， π 2 . 20 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 所以AD＝2OA＝40cosθ. 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ ＝400sin2θ.因为θ∈ 所以当sin2θ＝1， π 即θ＝时，S max ＝400(m)． 2 4 此时AO＝DO＝102(m)． 故当点A，D到圆心O的距离为10m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m 2 2 . π x π 6．(综合型)已知函数f(x)＝Acos()，x∈R，且f＝2. ＋ 3 46 (1)求A的值； (2)设α，β∈，f＝－＝ 0，4α＋4β－ π4π2π 308 233 ，f，求cos(α＋β)的值． 175 0， π 2 ， πππ ＋ π2 解：(1)因为f＝ 3126 ＝Acos＝Acos A＝， 2 42 所以A＝2. 4ππ 4α＋ α＋ ππ30 (2)由f＝2cos(α＋)＝2cos＝－2sinα＝－ 32 ＋， 3617 π 0， 15 得sinα＝，又α∈ 2 ， 17 8 所以cosα＝ . 17 由f＋， 4β－ 2π ππ8 3 ＝2cos(β－)＝2cosβ＝ 665 π 0， 4 得cosβ＝，又β∈ 2 ， 5 3 所以sinβ＝， 5 所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ＝－＝－ 8415313 ××. 17517585 考点十三角函数的定义域、值域(最值) 【例10】1. （渭南市尚德中学高一月考）求下列函数的定义域 2020·. 21 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 （）； 1 fx32cosx （） 2 fx 1 1tan x π 11ππ π 2π,2π kk ，．（） kZ 2 xxk π ，且．【答案】（） xkkZ π, 4 2 66 π11π 3 kkx 2π2π ，所以【解析】（）， 66 2 1 1 32cosx0 cos x 11ππ fx 2π,2π kk ，． kZ 所以的定义域为 66 （），，，， 2 1tanx0 tanx1 xk π π kZ 4 所以的定义域为，且． fx xxk π π π xkkZ π, 4 2 2 2.（上海高一课时练习）函数的值域为． 2020·___________ yxxx tan2tan,, 64 123 ,3 【答案】 3 【解析】∵，∴， x , tan[,1] x 3 64 3 ytanx2tanx(tanx1)1 22 ， 123 3123 y3 ,3 ．∴时，，时， tan xy min tanx1 max ，∴所求值域为 33 3 故答案为：． 123 ,3 3 规律方法求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或 1. 三角函数的图象求解 . 2.() 求解三角函数的值域最值常见三种类型： (1)yasinxbcosxcyAsin(ωxφ)c( 形如＝＋＋的三角函数化为＝＋＋的形式，再求值域最 值； ) 22 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 (2)yasin 形如＝ 2 xbsinxcsinxtt ＋＋的三角函数，可先设＝，化为关于的二次函数求值 域最值； () (3)yasinxcosxb(sinx±cosx)ctsinx±cosxt 形如＝＋＋的三角函数，可先设＝，化为关于 的二次函数求值域最值 (). （上海高三专题练习）函数．的值域 2020·1 yxxx 2coscos3sin2 【训练10】 是__________，最小正周期是_________. 【答案】 [2,2] 【解析】依题意 44 T π yxxxxxx 2coscos3sin22cossin3sin2 44442 π 2cossin3sin2sin23sin2 xxxxx 442 πππ 3sin2cos22sin2sin21,12sin22,2 xxxxyx . 由于 ，故， 666 22, . 函数的最小正周期为即函数的值域为 T 故答案为：； [2,2] T （上海高三专题练习）函数．的值域是 2020·2_____________. y3sinxcosx(x[0,]) 【答案】 [1,2] 2π π . 2 31 yxxxxx 3sincos2sincos2sin 【解析】由函数 226 因为，所以 x[0,] 62 当，即时，函数有最小值 x 66 当，即时，函数有最大值 x 7 x 666 x 2. 3 7 x 1 . 所以函数的值域为 y3sinxcosx(x[0,]) [1,2] 故答案为： [1,2] 23 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 考点十一三角函数的单调性多维探究 角度求三角函数的单调性 1 【例11－1】 （2020·四川省泸县第四中学高一月考）已知函数 f(x)sinx3sinxcosx2cosx,xR. 22 （1）求函数的最小正周期和单调增区间； f(x) （）求函数在区间上的最大值． 2 f(x) , 312 【答案】（）（） 1,2 Tπ ,() kkkZ 33 63 2 【解析】（） 1 f(x)sinx3sinxcosx2cosx 22 1cos23 x sin2(1cos2) xx 22 313 sin2cos2 xx 222 3 sin2 x 62 ∴的最小周期 fx T 由题意得 2π π ； 2 22()2 xkkZk ，令 262 () kkZkx ，得： 36 fx ,() kkkZ ；∴函数的单调递增区间为 63 （）由（）知在区间上为增函数； 21 f(x) , kk 63 ∴在区间上为增函数； f(x) , 36 , 上为增函数；即在区间 312 f(x) 24 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 ∴在区间上的最大值 f(x) , 3 fxf ()()sin(2) max = 3+3 121262 312 2 xx sin()sin 在（辽河油田第二高级中学高一期中）函数 22 角度已知单调性求参数 2 2020· 0 fx 【例11－2】 [] , 上单调递增，则的范围是 43 2 BACD ．．．． 0, 2 0, 3 【答案】B 3 0,2 2, 111 wxwxwfx cossinx()=sin ， 222 2 所以函数的最小正周期为 T , w xx sin()sin 因为函数在上单调递增， fx [,] 43 22 【解析】由题得 2 4w3 所以，又w＞0， 2 44w 所以 0 w 故选B 3 . 2 规律方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成＝＋形式， 1.yAsin(ωxφ) 再求＝＋的单调区间，只需把＋看作一个整体代入＝的相应单调 yAsin(ωxφ)ωxφysinx 区间内即可，注意要先把化为正数 ω. 2.ω 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单 调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们 之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷 . 【训练】 111. 已知函数的最小正周期为. fxx 31 x sinsin(0) 2 222 （1）求的值及函数的单调增区间； fx （2）当时，求函数的取值范围. x 0, fx 2 25 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 【答案】 （1）（2） kkkZ ,, 1 ,1 362 31cos131 x sinsincossin xxxfxx 222226 【解析】（1）， 因为的最小正周期为，所以. fx 2 所以 fxx sin2 由， 222, kxkkZ 6 262 得 kxkkZ , 36 所以函数的单调增区间为 fx kkkZ ,, 36 （2）因为，所以， xx 0, 7 2, 6662 所以 1 sin21 x 26 1 上的取值范围是.所以函数在 0, ,1 22 fx 2.已知函数在上单调递减，在上单调递增，则 fxx 2sin f () 0,2 2,3 6 BCDA ．2．．．1 1 3 【答案】A 【解析】∵函数在上单调递减，在上单调递增， fx,22,3 ∴当时，函数取得最小值， x2 fx ∴， 22, ∴ kkZ 2 , ． 3 3 kkZ 62 26 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 又， T32,0 2 ∴， 01 ∴， 2 3 ∴， fxx 2sin 2 36 ∴．选A． f ()2sin2sin1 25 366 3 ．若函数在区间 fx=sinx>0 (( ))() ww 32 , 上单调递减，则的取值范围是() ABC ．0≤．0≤． ≤≤≤≤3．≤≤3 2323 3232 D 【答案】D 【解析】令（），则 2222 2 kk ωxk∈Zx 3232 kk 2 ∵函数（）＝（＞）在区间上单调递减， fxsinωxω0 32 ， ∴且 232 kk 2322 当满足题意，∴ k0 3 2 3 故选：D． 考点十二三角函数的周期性、奇偶性、对称性多维探究 【例12】 1.2020·. （上海高三专题练习）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（） (0,) ABCD ．．．． ytan|x|ycos(x) yxy sincot 22 x 【答案】C 【解析】对于函数，当时无意义，在上不单调，故不正确； ytan|x| x 2 0,π A 函数在上单调递减，故不正确； ycos(x)cosx (0,) B 函数是偶函数，在上单调递增，故正确； yxx sincos 2 (0,) C 27 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 当时，函数单调递减，故不正确故选： x(0,) y cot x 2 1 tan x D.C 2 2.2020· ．（四川省高一期末）函数是（） ysin2xcos2x2 A ．周期为 44 的奇函数．周期为的偶函数 B C ．周期为 22 的奇函数．周期为的偶函数 D 【答案】C 【解析】由题得 yxxxxx sin2cos22sin2cos2sin4 1 设 fxx ()sin4 1 2 ， 2 ，函数的定义域是 R , 所以函数的最小正周期为， 2 42 = 由于 fxxxfx ()sin(4)sin4() 11 22 ， 所以函数是奇函数.故选：C. 3.．（2020·大连市普兰店区第一中学高一月考）给出的下列命题中正确的是（） A ．若 ，是第一象限角，且，则 tantan B ．函数 y cos 3 x 22 是奇函数 C ． x 8 是函数的一条对称轴 yx cos2 5 4 D ． yx 2sin 3 2 在区间 32 , 上的最大值是，最小值为 2 2 . 【答案】B 【解析】对于，若，，满足，是第一象限角，且， A 4 13 6 但是不成立，故错误； tantan A 对于，， B y cossin 33 xx 222 28 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 令， fxfx sinsinsin 333 xxx 222 ，则 所以， fxfx 所以为奇函数，故正确； y cos 3 x 22 B 对于，， C yx cos2 5 4 2 xkx 55 482 kZkZ ，解得， k 所以不是函数的对称轴，故错误； x yx cos2 5 8 4 C 对于D， 32224 xx 33 ，， xx 1sin122sin2 33 22 ，， yx 2sin 3 2 在区间 32 , 上的最大值是，最小值为，故错误 2 2 D. 故选：B. 4.（2020·河北省故城县高级中学高一期中）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是（） AB ．． ysin2x y cos x 2 CD ．． sin2xcos2x y 1tan 2 x 1tan 2 x 【答案】D 【解析】为奇函数，排除； ysin2x y cos x 2 的周期为，排除； T4 sin2xcos2x 是非奇非偶函数，排除； yfx 1tan 2 x 1tan 2 x ，，为偶函数 yfxfx 1tan 2 x 1tan1tan 22 xx 1tan 2 x . yx 1tancossin 222 xxx 1tancossin 222 xxx cos2 ，，故满足故选： T D.D. 【训练12】 1．（2020·上海高一课时练习）下列函数中为奇函数的是（） ABCD ．．．． y|sinx| yxsinxysinxx yx sin 4 29 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 【答案】D 【解析】记每个函数为，中，是偶函数，错；中 yf(x) AB f(x)sin(x)sinxf(x) f(x)xsin(x)xsinxf(x) ，是偶函数，错； C中函数原点不是对称中心， y 轴不是对称轴，既不是奇函数也不是偶函数，错； D 中函数，是奇函数，正确． f(x)sin(x)(x)sinxxf(x) 故选：D． （上海高一课时练习）能使为奇函数，且在． 2020·2 ysin(2x)3cos(2x) 0, 函数的的一个值是（） ABCD ．．．． 上是减 4 5π 3 4 3 2 3 3 【答案】C 【解析】依题意，由于函数为奇函数，故 yx 2sin2 时，或，由此排除两个选项当时，在 π ππ kk π,π ，当 k1,2 3 33 2π5π2π B,D. y2sin2xπ2sin2x 333 5π 0, 0, 上是增函数，上是减函数，符合题意.当时，，在 y2sin2x2π2sin2x 3 44 不符合题意.故选C. 3．（2020·上海高一课时练习）下列函数中，最小正周期为 的偶函数是() ABD ．．． ysin2x 【答案】D 【解析】函数的最小正周期为，且为奇函数，所以不正确； ysin2x y cos x 2 C ． ysin2xcos2x y|sinx| 2 4 x 函数，所以不正确； y cos 的最小正周期为 1 B 2 2 2 A 2 2 yxxx sin2cos22sin2 ，非奇非偶函数，所以函数，所以最小正周期为 C 4 2 不正确； 函数的最小正周期为，且为偶函数，故正确故选： y|sinx| D.D 1 30 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 （上海高一课时练习）在下列函数中，既是． 2020·4 0, 偶函数的是（） Ay=sinxBy=cos2xCD ．．．． 【答案】C 【解析】逐一考查所给函数的性质： A.y=sinx ，函数在 0, 上的增函数，又是以为最小正周期的 2 y|sinx|y|sin2x| 上是增函数，函数的最小正周期为，函数为奇函数； 2 2 上是减函数，函数的最小正周期为，函数为偶函数； 2 B.y=cos2x ，函数在 0, C. y|sinx| ，函数在 0, 上是增函数，函数的最小正周期为，函数为偶函数； 2 y|sin2x| ，函数在 D. 0, 上是不具有单调性，函数的最小正周期为，函数为偶函数综上可 . 2 2 得，只有选项C中的函数符合题意.故选C. 【跟踪训练——三角函数的图象与性质1】 1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，且当x＝ 取得最小值，则() B．f(0)<f(1)<f(－1)A．f(1)<f(－1)<f(0) D．f(1)<f(0)<f(－1)C．f(－1)<f(0)<f(1) 2π ＝2，故f(x)＝Asin(2x＋φ)，解析：选C.因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为π，所以ω＝ π 2π 时，函数f(x) 3 2π2ππ11π 因为当x＝时，函数f(x)取得最小值，所以2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，解得φ＝2kπ－，k∈Z， 3326 πππ 2x＋2＋ －2＋ π 又φ>0，故可取k＝1，则φ＝，故f(x)＝Asin 所以f(－1)＝Asinf(1)＝Asin，<0，>0， 666 6 ππ5π 2＋π－2－ －2 π1π f(0)＝AsinA>0，故f(－1)最小．又sin ＝，故f(1)>f(0)，综 ＝sin＝sin>sin 666 626 上可得f(－1)<f(0)<f(1)，故选C. πππ ＋x， 2．(2019·武汉市武昌区调研考试)若f(x)＝cos2x＋acos上是增函数，则实数 262 在区间 a的取值范围为() 31 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 A．[－2，＋∞)B．(－2，＋∞) C．(－∞，－4)D．(－∞，－4] 11 ，1，1 解析：选D.f(x)＝1－2sin，则g(t)＝－2t－at＋1在上是 22 x－asinx，令sinx＝t，t∈ 22 a 增函数，所以－≥1，即a≤－4，故选D. 4 π 0， 3．已知f(x)＝sin2x－3cos2x，若对任意实数x∈，都有|f(x)|<m，则实数m的取值范围 4 是________． πππππ 2x－0，2x－ －， 解析：因为f(x)＝sin2x－2x＝2sin 3cos 34336 ，x∈，所以∈， π 2x－ 所以2sin 3 ∈(－3，1]， π 2x－ ） 所以|f(x)|＝|2sin <3，所以m≥3. 3 | 答案：[，＋∞) 3 πππ 0， ， 4．若函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于 332 ________． 解析：因为f(x)＝sinωx(ω>0)过原点， ππ 所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sinωx是增函数； 22ω π3ππ3π 当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sinωx是减函数． 222ω2ω π 0， 由f(x)＝sinωx(ω>0)在 3 上单调递增， ππ ， ππ3 在＝，所以ω＝ 32 上单调递减知，. 2ω32 答案： 3 2 5．(2019·武汉市部分学校调研)已知函数f(x)＝3sin2x＋cos2x＋a(a为常数)． (1)求f(x)的单调递增区间； π 0， (2)若f(x)在上有最小值1，求a的值． 2 31 sin2x＋cos2x 解：(1)f(x)＝2＋a 22 π 2x＋ ＝2sin 6 ＋a， πππ 令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z. 262 32 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 ππ 所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 36 ππ kπ－ ，kπ＋ 所以f(x)的单调递增区间为 36 (k∈Z)． πππ7π (2)当0≤x≤ 时，≤2x＋≤， 2666 π 2x＋ 1 所以－≤sin 6 ≤1， 2 所以a－1≤f(x)≤a＋2， π 0， 因为f(x)在 2 上有最小值1， 所以a－1＝1，所以a＝2. 6．已知a>0，函数f(x)＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f(x)≤1. (1)求常数a，b的值； (2)设g(x)＝f且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间． x＋ π 2 2x＋0， ππ 62 ππ7π 0， ， π 解：(1)因为x∈∈ 266 ，所以2x＋. 6 所以sin， 2x＋ π1 －，1 62 ∈ π 6 ∈[－2a，a]． 所以－2asin 2x＋ 所以f(x)∈[b，3a＋b]， 又因为－5≤f(x)≤1，所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得，f(x)＝－4sin－1， g(x)＝f x＋ 2x＋ π 6 π7ππ 2x＋2x＋ 266 ＝－4sin－1＝4sin－1， 又由lgg(x)>0，得g(x)>1， ππ 2x＋2x＋ 1 所以4sin， 66 －1>1，所以sin> 2 ππ5π 所以2kπ＋，k∈Z， <2x＋<2kπ＋ 666 ππππ 其中当2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z时，g(x)单调递增，即kπ<x≤kπ＋，k∈Z. <2x＋ 6626 ππ5π 当2kπ＋，k∈Z时， <2x＋<2kπ＋ 266 33 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 ππ g(x)单调递减，即kπ＋ <x<kπ＋ ，k∈Z. 63 π kπ，kπ＋ 综上，g(x)的单调增区间为 6 ，k∈Z； ππ kπ＋ ，kπ＋ 单调减区间为 63 ，k∈Z. 【跟踪训练——三角函数的图象与性质】 2 1．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)＝|sinx|·|cosx|，则下列说法不正确的是() A．f(x)的图象关于直线x＝ B．f(x)的最小正周期为 π 2 π 对称 2 C．(π，0)是f(x)图象的一个对称中心 ππ ， D．f(x)在区间上单调递减 42 1 解析：选C.f(x)＝|sinx|·|cosx|＝ |sin2x|，作出函数f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)的图 2 ππ ， ππ 象关于直线x＝对称，f(x)的最小正周期为，f(x)在区间 42 上单调递减，f(x)的图象无对称中 22 心，故选C. π ，0 2．(2019·石家庄质量检测(一))若函数f(x)＝x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于 3sin(2 2 对 ππ －， 称，则函数f(x)在 46 上的最小值是() A．－1B．－3 C．－D．－ 13 22 πππ π＋θ＋2x＋θ＋ 626 ，则由题意，知f＝2sin 解析：选B.f(x)＝3sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin ππππ －，－， 5π ＝0，又0<θ<π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin2x，f(x)在 4446 上是减函数，所以函数f(x)在 6 π π 上的最小值为f＝－，故选B. 6 ＝－2sin 3 3 π 3．已知函数f(x)＝sinωx＋3cosωx(x∈R)，又f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是 ，则正数 2 34 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 ω的值为() A．1B．2 C．3D．4 π ωx＋ 解析：选D.函数f(x)＝sinωx＋ωx＝2sin 3cos 3 . π 由f(α)＝2，f(β)＝2，且|α－β|的最小值是， 2 π 所以函数f(x)的最小正周期T＝， 2 2π 所以ω＝＝4. π 2 2π ，0 4．(2019·昆明高三摸底调研测试)已知函数f(x)＝sinωx的图象关于点 3 对称，且f(x)在 π 0， 4 上为增函数，则ω＝() A．B．3 3 2 D．6C． 9 2 2π ，0 2ω3 解析：选A.因为函数f(x)＝sinωx的图象关于对称，所以 3 π＝kπ(k∈Z)，即ω＝ k(k∈Z) 32 ①，又函数f(x)＝sinωx在区间≤且ω>0，所以0<ω≤2②，由①②得 3 ω＝ ，故选A. 2 ππ x＋ 5．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f(－x)恒成立，且f＝1，则实数 48 b的值为________． 解析：由f对称，又函数f(x)在对称 x＋ π π 4 ＝f(－x)可知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝ 8 0， π ππ 4 上是增函数，所以 42ω 轴处取得最值，故±2＋b＝1，所以b＝－1或b＝3. 答案：－1或3 π ωx－ 6．已知函数f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝3·cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈ 6 π 0， 2 ，则f(x)的取值范围是________． 解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f(x)＝ 35 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 3sin.，当x∈时，－≤1，故f(x)∈ 2x－0，2x－ πππ3 －，3 ππ5π1 6262 ≤2x－≤，所以－≤sin 6662 3 －，3 答案： 2 7．(2018·高考北京卷)已知函数f(x)＝sin 2 x＋xcosx. 3sin (1)求f(x)的最小正周期； π －，m 3 (2)若f(x)在区间 3 上的最大值为，求m的最小值． 2 113 解：(1)f(x)＝－ cos2x＋sin2x 222 π 2x－ 1 ＝sin 6 ＋. 2 2π 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. 2 π 2x－ 1 (2)由(1)知f(x)＝sin＋. 6 2 π 由题意知－≤x≤m. 3 所以－≤2x－≤2m－ 5πππ . 666 πππ －，m－，m 2x－ 3 要使得f(x)在上的最大值为，即sin上的最大值为1. 363 在 2 πππ 所以2m－≥，即m≥ . 623 π 所以m的最小值为 . 3 2π 0<φ< 8．(综合型)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π. 3 (1)求当f(x)为偶函数时φ的值； π3 ， (2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间． 62 2π 解：由f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2， ω 所以f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)． 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)， 展开整理得sin2xcosφ＝0， 已知上式对∀x∈R都成立， 36 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 所以cosφ＝0.因为0<φ<，所以φ＝ 2ππ . 32 ππ 2× ＋φ 33 (2)因为f＝ 66 ，所以sin＝， 22 πππ2π 即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z)， 3333 π 故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)， 3 2ππ 又因为0<φ<，所以φ＝， 33 即f(x)＝sin 2x＋ π 3 ， πππ 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得 232 kπ－ 5ππ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)， 1212 kπ－ 5ππ ，kπ＋ 1212 (k∈Z)． 故f(x)的单调递增区间为 考点十三函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ππ 23 【例13】 已知函数，其图象与轴 yAsin(x)y (0,0,||) A 的最小值为，周期为 4 的交点为．试说明这个函数的图象是由正弦曲线经过怎样的变换而得到的． (0,2) 【解析】由已知，， A4 ∴． 6 从而． y4sin(6x) ∵图象过点， (0,2) ∴， 4sin2 即． sin ∵， || 1 2 2ππ 3 π 2 π ．∴ 6 π ∴函数解析式为 yx 4sin(6) ． 6 将正弦曲线向右平移，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的， π1 66 然后将图象上各点的纵坐标伸长到原来的4倍， 37 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 π 即得函数 yx 4sin(6) 的图象． 6 规律方法作函数＝＋＞，＞的图象常用如下两种方法： yAsin(ωxφ)(A0ω0) (1)yAsin(ωxφ)z 五点法作图，用“五点法”作＝＋的简图，主要是通过变量代换，设＝ π3 ωxφz0 ＋，由取， ，， π π2πx ，来求出相应的，通过列表，计算得出五点坐标，描点 22 后得出图象； (2)ysinxyAsin(ωxφ) 图象的变换法，由函数＝的图象通过变换得到＝＋的图象有两种途 径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. 【训练13】(1) 为了得到函数 yxR 2sin(), 的图象，只需把函数，的图象 y2sinx xR 上所有的点（） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 【答案】C 【解析】根据两个函数关系式的变化特点，验证选项． π1 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 63 π1 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） 63 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 3 6 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变） 3 6 x 36 π (2)(2020·) 石家庄调研 已知函数为偶函数，其图象与直线的交 y2sin(x)(0π)y2 点的横坐标为 xx 1212 ，，若 |xx| 的最小值为，则（） π A．， 2 C． π1π 222 B．， π1π 424 ，D．， 2 【答案】A 【解析】为偶函数且， y2sin(x) 0π 则， y2cosx 所以， π 2 所以， y2cosx,y[2,2] 又 |xx|π 12min ， 38 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 故直线与的图象的交点为最高点， y2y2cosx 于是最小正周期为， π 即， 2π π 所以，故选A． 2 考点十四求函数＝＋的解析式 yAsin(ωxφ) 【例】长郡中学、衡阳八中联考 14(2020·) 下图是周期为的三角函数的部分图象， 2π yf(x) 那么的解析式可以是（） f(x) A．B． f(x)sin(1x)f(x)sin(1x) C．D． f(x)sin(x1)f(x)sin(1x) 【答案】D 【解析】由图象过点排除A、B， (1,0) 由时，，排除C， x0 y0 ∴选D． 函数的部分图象如图所示，则的值等 yAsin(x)(A0,0)f(1)f(2)f(2008) 于． 【答案】0 【解析】由图得周期，， T8 f(1)f(2)f(8)0 又， 20082518 ∴． f(1)f(2)f(2008)0 规律方法已知＝＋＞，＞的部分图象求其解析式时，比较容 1.f(x)Asin(ωxφ)(A0ω0)A 易看图得出，利用周期性求，难点是“”的确定 ωφ. 2.yAsin(ωxφ)φ ＝＋中的确定方法 39 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 (1)( 代入法：把图象上的一个已知点代入此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间 上或把图象的最高点或最低点代入 ). (2)φ. 五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 （四川省泸县第四中学高一月考）函数． 2020·1 fxx ()2sin(),(0,||) 【训练14】 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（） 2 π A ．函数在区间 fx (,0) 上单调递增 2 B ．函数的最小正周期为 fx 2 C ．函数的图象关于点 fx (,0) 对称 D ．函数的图象可以由的图象向右平移 fx y2sinx 【答案】D 【解析】如图所示，可得，∴ ∵图象过两点 (,0),(,2) π 6 5π 个单位得到 6 7 312 2 ∴，， 2sin(2)0,sin(2)0,2|| kk 3333 2 当时， k1 ∴函数 fxx ()2sin(2) A ： T 7 2 ,2T, 41234 3 5 222() kxkkz ，解得子，当时， kxk k0 232 1212 3 5 π x 为递增区间，中超出了范围，所以错 A ,0 A 1212 2 B：最小正周期（已求），所以B错 Tπ C ：对称中心为 2,()(,0) xkxkz 以C错 40 π k π ，当时，，所 k1 x ，所以对称中心为 3 326 3 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 D ： fxxx ()2sin(2)2sin(2()) 5 ，所以函数图象可以由向右平移 y2sinx 6 36 个单位得到． 故选：D． （宜丰县第二中学高一月考）函数（其中，）的部分图． 2020·2 f(x)Asin(x) A00 象如图所示、将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确 f(x) 的是（） yg(x) 3 A ．函数为奇函数 g(x) B ．函数的单调递增区间为 g(x) C ．函数为偶函数 g(x) D ．函数的图象的对称轴为直线 g(x) xkkZ 【答案】B 【解析】由函数的图像可知函数的周期为、过点、最大值 fxAsinxfx π 为3， 所以,，，，， A3ω2 T 2 5 kkkZ ,() 1212 () 6 5 ， 3 12 2 55 3sin32 kkZ f 1212 3 所以取时，函数的解析式为， k0 fx fxx 3sin2 3 将函数的图像向左平移个单位长度得， fx gxxx 3sin23sin2 333 3 当时，函数时，即 222 5 kkkZx , gx kxkkZ 1212 232 单调递增，故选B． 41 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 考点十五＝＋图象与性质的应用多维探究 yAsin(ωxφ) 【例15】1. （2020·全国高一课时练习）如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的 最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向 旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为（） AB ．5米．(4＋ C ．(4＋ 1719 )米．(4＋)米 【答案】D 7 )米 D 【解析】以圆心 O 1 为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向， 建立平面直角坐标系，如图所示． 设∠O O 1 P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)，又T＝12， ∴θ＝t，∴f(t)＝3－2cost，t≥0， 66 2 ，P(，1)，θ＝6π＋ 3 3 1 ＝4.∵A(0，－3)，∴AP＝＝，∴点P的高度为3－2× 31619 2 风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点， ∴点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米，故选D． 19 2618 ．如图，某港口一天时到时的水深变化曲线近似满足函数关系式，据此 y3sin(x)k 可知，这段时间水深(单位： m )的最大值为（） 42 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 A．5B．6C．8D．10 【答案】C 【解析】由题意可得当取得最小值时，函数取最小值 sin(x) -1 y3k2k5 min ， y3sin(x)+5 因此当取得最大值时，函数取最小值 sin(x) 1 y358 max . 故选：C 规律方法三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二 1. 是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问 题 . 2.. 方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 3.yAsin(ωxφ)ωxφ 研究＝＋的性质时可将＋视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进 行解题 . 【训练15】 1.如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈， 水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有() 2 ，＝，＝．＝ A3A3Bω 15 2 ，＝，＝．＝ A5A5Dω Cω ．＝ 15 Aω ．＝ 【答案】A 【解析】已知水轮每分钟旋转圈，，又半径，水轮中心距 4 T 15 2 15 2 6022 15, 3m O 415 水面最高点为，可得，故选A. 2m, 5 A3 2.（2020·湖北高一期末）如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀 速转动，每10min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处． 43 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 1tminftAsinωtφB 已知在时刻时点P距离地面的高度为，其中，， A0ω0 πφπ ，求的解析式； ft 2 在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？ 【答案】（1）．点P距离地面超过；（2）摩天轮转动的一圈内，有 ft40cost50min 70m. 【解析】（1）由题意可得，， A40B50 π10 53 2 T10 2 5 40sin5040cos50 fttt 255 1 ttft 507040cos 得（2）由 cos 552 24 22 ktk ， kZ 353 1020 tkk 1010 解得： 33 201010 1010 kk 333 故摩天轮转动的一圈内，有点距离地面超过 10 min P 70m 3 0<φ< π 2 个单位长度后，得到1．(2019·潍坊统一考试)函数y＝3sin2x－cos2x的图象向右平移φ 【跟踪训练函数＝＋的图象及三角函数模型的简单应用】 yAsin(ωxφ) 函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为() A.B. C.D. ππ 126 ππ 34 44 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 解析：选B.由题意知y＝3sin2x－cos2x＝2sin 函数g(x)＝2sin＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋， 2x－2φ－ 2x－ π 6 ，其图象向右平移φ个单位长度后，得到 π πππ kπ 6 的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋ 6262 π 0， π k∈Z，又φ∈ 2 ，所以φ＝. 6 π |θ|≤ ，A>0 2．(2019·惠州第二次调研)函数f(x)＝Asin(2x＋θ) 的部分图象如 2 图所示，且f(a)＝f(b)＝0，对不同的x 121212 ，x∈[a，b]，若f(x)＝f(x)，有f(x＋x) ＝，则() 3 A．f(x)在上是减函数 B．f(x)在上是增函数 －， －， 5ππ 1212 5ππ 1212 π5π ， C．f(x)在上是减函数 36 π5π ， D．f(x)在上是增函数 36 解析：选B.由题图知A＝2，设m∈[a，b]，且f(0)＝f(m)，则f(0＋m)＝f(m)＝f(0)＝3，所以2sin π 2x＋ 3πππππ θ＝3，sinθ＝ ，又|θ|≤，所以θ＝，所以f(x)＝2sin＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k 3 ，令－ 223232 5ππ ∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，此时f(x)单调递增，所以选项B正确． 1212 3．(创新型)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点， →→ O为坐标原点，且OM ·ON＝0，则函数f(x)的最小正周期是________． 1 ，1 解析：由题图可知，M，N(x 2 N ，－1)， 1 ，1 →→ 1 所以OM·ON＝·(x 2 NN ，－1)＝x－1＝0， 2 解得x N ＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2× 答案：3 π a≠0，ω>0，|φ|≤ 4．(2019·武汉部分学校调研)已知函数f(x)＝2asin(πωx＋φ)，直线y＝a与 2 2－ 1 2 ＝3. 45 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 f(x)的图象的相邻两个距离最近的交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题： ①该函数在[2，4]上的值域是[a，2a]； ②在[2，4]上，当且仅当x＝3时函数取得最大值； ③该函数的最小正周期可以是8. 其中是真命题的为________(写出序号即可)． 解析：对于①，因为直线y＝a与函数f(x)＝2asin(πωx＋φ)的图象的相邻两个距离最近的交点 的横坐标分别为2和4，所以结合图象可以看出，当a>0时，f(x)在[2，4]上的值域为[a，a]，当 2 a<0时，f(x)在[2，4]上的值域为[a，a]，①错误； 2 对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x＝2和x＝4的中点是x＝3，即当a>0时，f(x)在x ＝3处有最大值f(3)＝2a，当a<0时，f(x)在x＝3处有最小值f(3)＝2a，②错误； 对于③，因为函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的最小正周期T＝＝，当ω＝时，T＝8，此时f(x) 2 2π21 πω4 ω π f（2）＝a， x＋φ 22π ＝asin，由解得cosφ＝，sinφ＝－，满足|φ|≤，故f(x)的最小正周期 2 4 222 f（4）＝a， 可以是8，③正确． 答案：③ 5．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点 2ωx＋ ππ －，0 是函数f(x)图象的一个对称中心． 66 (1)试求ω的值，并求出函数的单调增区间； (2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象． π －，0 解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心， 6 所以－＋＝kπ，k∈Z， ωπ π 36 1 所以ω＝－3k＋，k∈Z，因为0<ω<1， 2 1 所以当k＝0时，可得：ω＝ . 2 π x＋ 所以f(x)＝2sin 6 ， πππ 令2kπ－，k∈Z， <x＋<2kπ＋ 262 46 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 2ππ 解得2kπ－，k∈Z， <x<2kπ＋ 33 2ππ 2kπ－ ，2kπ＋ 所以函数的单调增区间为 33 ，k∈Z. π x＋ (2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]， 6 列表如下： π5ππ x＋ 662 x y020 作图如图： －－ － 0π － π2π 63 π7π 26 π5π 36 π －1－1－2 －π 6．(应用型)如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0， 0<φ<π)． (1)求解析式； (2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－5，20＋5之间为最佳营业时间，那么该行业在 22] 6～14时，最佳营业时间为多少小时． 12π 解：(1)由图象知A＝10，·＝14－6， 2 ω π 所以ω＝， 8 πt ＋φ 所以y＝10sin＋b.① 8 y max ＝10＋b＝30，所以b＝20. 当t＝6时，y＝10代入①得φ＝， 3π 4 π3π t＋ 所以解析式为y＝10sin 84 ＋20，t∈[6，14]． (2)由题意得， 47 2020-2021 新高二高中数学衔接精品讲义 π3π t＋ 20－52≤10sin＋20≤20＋52， 84 π3π t＋ 22 即－≤sin， 84 ≤ 22 ππ3ππ 所以kπ－≤≤kπ＋，k∈Z. t＋ 4844 即8k－8≤t≤8k－4，k∈Z， 因为t∈[6，14]，所以k＝2，即8≤t≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时． 48
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