高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册第三章3.1.1椭圆及其标准方程

椭圆及其标准方程（第一课时）教学设计

一、教材分析：

本节课是《普通高中教科书数学·选择性必修第一册》（人教A版）第三章

第一节《椭圆及其标准方程》第一课时。

用一个平面去截一个对顶的圆锥，当平面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到

不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线、双曲线，我们将这些曲线统称

为圆锥曲线。圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们从纯粹几何学的观点

研究了这种与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。

17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法

研究圆锥曲线。在这一章中，我们将继续用坐标法探究圆锥曲线的几何特征，建

立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线

有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想。

解析几何是数学一个重要的分支,它沟通了数学中数与形、代数与几何等最

基本对象之间的联系。在第二章中学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方

法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形，在本章，教

材利用三种圆锥曲线进一步深化如何利用代数方法研究几何问题。由于教材以椭

圆为重点说明了求方程、利用方程讨论几何性质的一般方法,然后在双曲线、抛

物线的教学中应用和巩固，因此“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作

用。

本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。

因此，教学时应重视体现数学的思想方法及价值。

二、教学目标：

按照教学大纲的要求，根据教材分析和学情分析，确定如下教学目标：

1．知识与技能目标：

①理解椭圆的定义。

②掌握椭圆的标准方程，在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力。

2．过程与方法目标：

①经历椭圆概念的产生过程，学习从具体实例中提炼数学概念的方法，由形

象到抽象，从具体到一般，掌握数学概念的数学本质，提高学生的归纳概括能力。

②巩固用坐标化的方法求动点轨迹方程。

③对学生进行数学思想方法的渗透，培养学生具有利用数学思想方法分析和

解决问题的意识

3．情感态度价值观目标：

①充分发挥学生在学习中的主体地位，引导学生活动、观察、思考、合作、

探究、归纳、交流、反思，促进形成研究氛围和合作意识

②重视知识的形成过程教学，让学生知其然并知其所以然，通过学习新知识

体会到前人探索的艰辛过程与创新的乐趣

③通过对椭圆定义的严密化，培养学生形成扎实严谨的科学作风

④通过经历椭圆方程的化简,增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简

洁美、对称美

⑤利用椭圆知识解决实际问题，使学生感受到数学的广泛应用性和知识的力

量，增强学习数学的兴趣和信心

三、教学重难点：

1

重点：椭圆定义的形成过程、椭圆的标准方程、坐标化的基本思想

难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用

四、教法分析：

新课程倡导学生自主学习，要求教师成为学生学习的引导者、组织者、合作

者和促进者，使教学过程成为师生交流、积极互动、共同发展的过程。本节课采

用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法，并以多媒

体手段辅助教学，使学生经历实践、观察、猜想、论证、交流、反思等理性思维

的基本过程，切实改进学生的学习方式，使学生真正成为学习的主人．

五、教学过程设计：

（一）新课引入

师：请同学们回顾我们是如何来研究直线和圆的？

师：我们找到确定直线和圆的几何要素，得到他们的定义。然后通过定义建

立方程，再由方程探索性质，进而解决数学和实际问题。那么本章我们仍然用这

个思路来研究圆锥曲线。

师：用一个平面去截圆锥，当截面与轴所成角度不同时，得到的截口曲线也

不同。它们分别是椭圆，双曲线，抛物线。统称为圆锥曲线。圆锥曲线在生活中

应用广泛，例如行星运行的轨道是椭圆，化工烟囱是由双曲线旋转而成，雷达的

截面曲线是抛物线。

师：圆、椭圆、双曲线、抛物线一起构成了我们的圆锥曲线，这也是“圆锥

曲线”名称的由来，他们之间既有密切的联系，也有明显的区别.古希腊数学家

阿波罗尼在他的传世之作《圆锥曲线论》中就是以截线的定义用几何的方法创立

了相当完美的理论，但晦涩难懂，前面我们学习了笛卡尔创立的坐标法，我们能

否将椭圆的问题也用坐标法加以解决呢？答案是肯定的，但是我们需要找到将椭

圆问题问题转化为代数问题所需要的性质.(展示丹德林双球试验，归纳出椭圆的

代数定义)

椭圆的性质：椭圆上的任意一点到两个定点的距离之和为常数。即椭圆满足

||MF|l|MF

12

的代数条件为（为定值），回顾圆的定义及画法，开始下面的

l

实验及活动。

师：借鉴圆的画法，如果把绳子两端固定，用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在

图纸上慢慢移动，看看能画出什么图形？（请三名同学上黑板共同参与实验活动，

其他同学分组进行）

Fl||F

，3名学生顺利完成任务（也为推导椭圆标准方程画好图第一幕：

12

形）；

Fl||F

，学生A与学生B固定好绳子后，学生C用粉笔勾不动绳第二幕：

12

子，在其他同学提示性，画出线段；

Fl||F

，学生A与学生B拉着绳子在拔河似的争执不下，在学生第三幕：

12

笑声中“表演结束”

师：好，感谢3名同学的精彩表演，哪位同学说说你观察到了什么？

在图形定义和丹德林双球模型的铺垫下，椭圆的绘制方法和数量定义（即距

离定义）水到渠成。

2

总结归纳椭圆的定义：平面内与两个定点F、F 的距离的和等于常数（大

1 2

于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫

FF

12

做椭圆的焦距。

（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点

的距离之和等于常数、常数大于）

FF

12

(二) 总结归纳，形成定义

1.椭圆的定义：平面内到两个定点F、F的距离的和等于常数

12

（大于|FF|）的点的轨迹叫椭圆.

12

在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加

深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数的范围”等关键

词与相应的特征.

2.这两个定点F、F叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距.记为2c.

12

（设计意图：改变单一、被动的学习方式，让学生成为学习的主人，给他们

提供一个自主探索学习的机会，让他们通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，

这样既获得了知识，又培养了学生抽象思维、归纳概括的能力.)

3.教师引导.概念中应说明的几点

（1）.平面—大前提；

（2）.任意一点到两个定点的距离的和等于常数2a；

（3）.常数2a大于焦距2c.

4.师生共同完善椭圆定义的集合语言：

PMMFMF2a（2a2c)0

12

5.概念的深化

平面内点M与两个定点F、F的距离的和等于常数的点M的轨迹是：

12

当|MF|+|MF|>|FF|时点M的轨迹是为：椭圆

1212



思考：在定义中，如果没有的条件，动点的轨迹又

是什么？

MFMFFF

1212

当|MF|+|MF|=|FF|时点M的轨迹为:线段

1212

FF

12

当|MF|+|MF|<|FF|时点M的轨迹不存在

1212

M

M

FF

FF

（三）椭圆标准标准方程的推导

1.复习求动点轨迹方程的基本步骤（由学生回答，不正确的教师给予纠正）

2.椭圆标准方程的探求

( 1 ) 建系：（思考：如何建立适当的平面直角坐标

系？）

学生回答，引导学生总结建系的基本原则. (关注对

21

21

3

称性，方程的最简性)



x，yM

为椭圆上的任意一点； （2）设点：设

2222

(xc)y(xc)y2a

（3）列式：将条件式代数化，得

（4）化简：（通过设问、点拨“怎么化简带根式的式子”突破难点学生会提

出两种方案：一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时

教师让学生进行小组讨论，对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导，发现以

上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方，只是方法二计算较方法一较简

单.）

先让学生各自在练习本上自行化简，在此过程中，教师一边巡视，一边给予

指导和提示，然后选出1—2位学生的推导过程展示出来，并请学生本人作简要

陈述．



acxayaac

然后教师提出：①怎么能让方程 更简洁？

22222222

xy

22

1

222

②怎么能让方程更简洁？

aac

22222

acacb

b

的引入：你在哪见过？（勾股定理，不妨设,再化简方

22

xy

1(ab0)

22

程）得椭圆的方程为（注意引导总结的大小关系）该方

ab

a,b

程叫做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.

(设计意图：暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受

教材或老师强加给的方法，使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动

的获取。通过讨论，让学生互相交流，互相学习，培养他们的合作意识和谦虚好

学的品质。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、

运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图

形的对称美，简洁美，获得成功的喜悦！)

引入的几何意义：

a,c,b

让点运动到轴正半轴上，由学生观察图形自行获得

M

y

a,c,b

的几何意义，让学生在讲解的过程中体会数形结合思想，引出特征

三角形，也为后续学习做好准备.

（设计意图：对照图形加以引导，数形结合让学生明白方程中

字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用.）

思考：如果椭圆的焦点在轴上，那椭圆的方程又如何？让学

y

生猜想方程，并说明如何验证？

(0，c),F(0,c)F

12

方法1：焦点坐标变为，重复推导过程，布置为作业.

y

F

2

x

O

4

F

1

M

方法2：引导学生回答，如果椭圆的焦点在轴上（选取方式不同，调换

yx,y

2222

xyyx

11(ab0)

2222

x,y

baab

轴）,只要将方程中的调换，可得 ，这个

方程叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程.

（设计意图：利用类比对称，划归的思想让学生体会问题的本质所在，只是

位置不同，图形是一致的，得出焦点在轴上的椭圆的标准方程，避免繁杂计算.）

y

（四） 椭圆的标准方程及方程特点

xy

22

1

22

b0a

ab

焦点在x轴上的标准方程： （）

yx

22

1

22

b0a

ba

焦点在y轴上的标准方程： （）

学生思考：1.椭圆的标准方程中三个参数的关系怎样?

a,c,b

2.如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置？（小组讨论，教师引导:看

形式，看细节）

222

abc，ab0,ac0.

学生总结方程特征：1.

2．哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上.

（五）应用

xy

22

1

94

1．在椭圆中， 3 ， 2 ，其焦点位于轴

a

b

x

（5,0）

上， 焦点坐标是.

22

16x7y112

2．在椭圆 中 4 ，， 焦点位于轴上，焦

a

b

7

y

点坐标是.

(0,3)

222

xyyx

1或1

a5,c4

259259

3．的椭圆标准方程是 .

2

(待定系数法)

xy

22

1

25m16m

4．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范

xm

9

（-16，）

2

. 围是

教师总结求解椭圆标准方程的两个关键点：定位，定量.常用方法：待定系

5

数法

（设计意图1、让学生体会椭圆定义在解题中的重要作用; 2、学会用待定

系数法求椭圆的标准方程; 分析解答中注意发现学生思维的闪观点，注重不同思

维、方法的碰撞.） .

(六）回顾反思----归纳提炼

思考:1.本节课学习的主要知识是什么?

2.求椭圆标准方程常用方法是什么？

3.本节课涉及到了哪些数学思想方法？

4.提炼观点：

一动二定求和常：两个方程大对焦；三个字母勾股弦；

四个想法留心间：求美，求简，定义，待定系数法

活动过程:（师）提问 ----- （生）小结 ----- （师生）补充完善.

教师总结：今天我们类比研究圆的基本方法研究了椭圆的定义及标准方程，

接下来我们也将继续利用方程展开研究椭圆的几何性质.研究圆、椭圆的这一思

想将贯穿于整个圆锥曲线的教学中.

（设计意图：归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法,以

逐步提高学生自我获取知识的能力，他们及时发现并纠正自己学习中存在的问

题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯.）

(八)课外作业

课本109页第1,2题。

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