2021届高二数学新教材人教B版选择性必修第三册专题6.1导数(B卷提升篇

专题6.1导敬B卷提升篇）

（

参考答案与试题解析

第卷（选择题）

I

一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

8540

求的。

2

A.——

71

2

B.—

71

3

C.—

CCS JC

71

3

D.——

71

1. （2019

•广东湛江•期末（文））已知函数/（》） = -- ,则广

【答案】

A

【解析】

f（A

》）=./小

X

-xsinx-cosx — ,,

x

2

,因此，

f

sin

2

兀

故选：

A.

已知

/()=

X X

+3/'(1)

J

,则广(

2)=(

2

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8

【答案】【解析】 函数

A /(x) = x

2

+3(1)231),

矿，则广3) = 奸广(

令 代入上式可得 _/■' 广则/•'

X = 1 (1) = 2+3(1),(1) = —1,

所以

/■'(x) = 2x+3x(-1) = 2x-3 ,

则

/(2)= 2x2-3 = l,

故选：

A.

3. （2020-y^ae + xnx（1,y = 2x + b,

江苏南通•高三月考）己知曲线在点欢）处的切线方程为则（）

x

A. a = e.b = -l B. a = e.b = l

C. ci — e ,/? = 1 D. a = e b = —1

1

【答案】

D

2 （2020-

霍邱县第二中学开学考试（理））

【解析】 详解：

y' = ae

x

+ In % +1,

k = y L=i = ae+ 1 = 2 ,a = /

将代入 得故选

(1,1)y = 2x + b 2 + b = 1，= -1,D.

2 2

4. (2020-Py = x-x + -±Pa ,

陕西省丹凤中学一模(理))点在曲线移动，设点处切线的倾斜角则

3

为

角的范围是()

a

c ,71 3

兀、 兀、

A. [0,—] B.(—,—]

2 2 4

3„ 713

兀、 兀

、 、

c. [-—,7V D. [0, —) O

)

4 2 4

【答案】

D

【解析】

r

2

由

y = /(%) = x - x + —,

3

则

/(x) = 3x

2

则

tana > 1,

一

又

a e [0, ),

TT

——,

r

3^7"

所以

a e [0,—

)[一,〃)，

D

2 4

故选：

D.

TT

5. (2020-/(x)=xsinxax+2y + l = Q

霍邱县第二中学开学考试)若曲线在”与处的切线与直线互相垂

直，则实数。等于()

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

【答案】

D

【解析】

由题可得：

fx) = sinx + xcosx,1,

广弓)=

TT

曲线在* =方处的切线的斜率为

f(x)^xsinx1,

TT

曲线在处的切线与直线互相垂直，且直线。的斜率为

/(x) = xsinxx = sax + 2y + l = Qax+2y + =

a

2

，

项乂解得：

1=-1,a— 2

；

故答案选

D.

6. (2019-Py=x

江西修水•期末(理))已知过点作曲线

3

的切线有且仅有两条，则点的坐标可能是()

P

A. (0, 1) B. (0, 0)

C. (1, 1) D. (-2, -1)

【答案】

C

【解析】

y = xy = 3/,

3

的导数为

设切点为

(m,m

3

),32,

可得切线的斜率为机

切线的方程为

y-m = - tri),

3

若则—榆，解得只有一解；

P(0,0),7"3=3〃22(0_ = Q,

m

若 贝可得 只有一解；

P(O,1),iJl-m=3m(0-/7z),m =-|,

323

若则 可得

P(l,l),l-m = 3ma-m)> 2/w-3m+1 = 0 -

3232

即为解得或一有两解；

(m —l)2(2m + l) = 0,m = lJ，

若则

P(-2,-1),-l-m = 3m(~2 — m),

3

2

可得

2m + 6m -1 = 0,

32

由

/(m) = 2m + 6m — 1, /(m) = 6m + 12m,

3f

22

当时，/*(”)递减；当所或时，递增.

—2 0>0m<-2f(m)

可得为极小值，八一为极大值，

/(0) = -12) = 7

则有个不等实数解.

2m+6m-l = 03

32

故选：

C.

7. (2020-M

河北衡水•月考(理))已知为抛物线。：必=舒上一点，。在点必处的切线= +。

交 。的准线于点过点向。再作另一条切线匕，则的方程为()

P,P4

A. y = --X-— B. y = - — x + 2 C. y = -2x + 4 D. y = -2x-4 -2 4-2

【答案】

D

【解析】

设 由题意知，则

M（%,y）,y = *,y' = ^x,

00

CMI, ;y = ^x + a=|x =|

在点处的切线 ,所以：/"=勺

0

所以则

x°=l ,

将 |代入'：的方程可得« = ，即':

M y = -x + ay =

1，

Y

I 1 - 2 4 2 4

们

抛物线的准线方程为：

C:x=4yy = —1

2

则一设与曲线。的切点为

45'—1J ,ANx

(

。, %),

1

x %-(-1) 4* 1

0

则十 一 ，解得玉)=一或毛(舍去)，

(2

、=

4=1

或

"2

则所以的方程为

N(-4,4),Ay = —2x—4.

故选：

D

8. (2020l:y = kx+bf(x) = ln(x+l)g(x) = ln(ex)

•江苏省江浦高级中学月考)直线是曲线和曲线的

2

公切线，则力=()

A. 2 B. y C. ln| D. ln(2e)

【答案】

C

【解析】

设直线/与曲线相切于点而,叫),直线/与曲线相切于点

/(x) = ln(x+l)4(g(x) = ln(e2_x)B(x,y),

22

/(x) = ln(x + l),f) = -^— = k,

则 /，(》) =二，由 可得而=彳，

Xx

x +1 k

工］+

1

则 ，即点

Ji =/(%!)= ^1(%! +1) = —In*—In*),

1 _

将点的坐标代入直线/的方程可得—可得》

Alnk = k —— + b,=k—Ink —1,① k

g(x) = ln(ex) = 2 + lnx,g(x) = -,gx^ = — = k ,x =y

2f

则 由 可得

2

X ^2 k

y =g(x) = 2-ln^—Ink

22

，即点

将点的坐标代入直线/的方程可得.・，=

B2 — lnk = ^L + b = b + l, 1—In*,②

k

联立①②可得

k = 2, 8 = 1 —ln2 = ln'.

故选：

c.

2

二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对

4520

的得分，有选错的得分，部分选对的得分。

503

9. (2020-/(x) = x-x + 3Fy = 2x-l,F

山东奎文•潍坊中学高二月考)曲线在点处的切线平行于则点的坐标为()

3

A. (1,3) B. (-1,3) C. (-1,-3) D. (1,-3)

【答案】

AB

【解析】

因 /'(%) 令 故 或一所以 或

=3x -1,f,(x) = 2 ,3x -1^2=> x = l1，P(L3)(-1,3),

2

2

经检验，点均不在直线上，

(1,3), (-1,3)y = 2x-1

故选：

AB

10. (2020-y = ^x + b

江苏通州•期中)直线能作为下列()函数的图像的切线.

A. /(%) = — B. f(x) = x C. /(x) = sinx D. f(x) = ex

4x

【答案】

BCD

【解析】

/(%) = -,故二=」，无解，故排除；

f'3) = —Ax x 2

3

3f(x) 4,x y =

正确； =》故故=」，即曲线在点|的切线为

2 16 2 2 2 loy

生+也，为

C/(x) = sinx,fx^OS x y =

正确; 故取了 =生，故曲线在点［，直 的切线

/()=4=-,

X X

)

f(x) = e =e=-,x = —Jn2 ,|-ln2,|| Lx + Lin2 + L ,

故/'⑴故 曲线在点 的切线为 > = 。正确;

x

2 k 2 J 2 2 2

故选：

BCD.

11. (2020-y = f(x)

辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末)若函数的图象上存在两点，使得函数的图 象在这

两点处的切线互相垂直，则称具有性质，下列函数中具有性质的是()

y = f(x)r

T

A. V = COSX B. y = lnx C. y = e D. y = x

【答案】

AD

【解析】

v

2

由题意具有性质，则存在使得/

y = /(%)TM，x,''(xj f'(x2)= -1.

2

对于选项因为存在工易=—三，使得/一

A,f(x)'=—sinx ,1=；，''(M)/''(*2)= 1；

对于选项因为/〉不存在邑，易，使得

B,•(x)'=L0,f'(xi) f'(x2)= —1；

X

对于选项因为/•(》)'= 〉不存在机，使得

C,e'0,X],f'(X2)= —1：

对于选项因为/'⑴匚？》，存在也=工一「，使得/'(易)工逮=一故选

D,1,2=f'3)=42 1・ AD.

2

12. (2020--X +OX-11.3

山东青岛・)已知曲线存在两条斜率为的不同切线，且切点的横

2

坐标都大于零，则实数。可能的取值()

19 10 9

A. — B. 3 C. — D.—

6 3 2

【答案】

AC

【解析】

2

'•* f (%) ——%

3 —2

% + ax — 1 ,

「•

f'(x) = 2x -2x +a ,

2

可令切点的横坐标为秫，且

m>0 ,

可得切线斜率 即 +。-

k = 2m — 2m + = 3 2m — 2m3 = 0，

22

Q

由题意，可得关于的方程

m2

m

2

-2m + tz-3 = 02 = 1 > °，

有两个不等的正根, 且可知+秫

-2 -4x2x(tz-3) >0

2

则< 、即’

m-m>0 ------ > 0

l2

n'tz-3 ,

7

解得：

3 < a < —,

2

所以。的取值可能为—

，

—. 6 3

故选：

AC.

第卷(非选择题)

II

三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。

4520

5-3%,%>0

13. (2020-/(x)= 4 l) = f(l)，y = f(x)2,f(—2))

湖南月考)已知函数八且/'(—则曲线在点(一

处的切线方程为.

【答案】

32%+y+ 47 = 0

【解析】

因为/'(—=。+ 所以

1) 1 = /(1) = 2,0 = 1.

因为当时，所以

x<0f^x) = 4x,f'(—2) = —32.

3

又所以所求切线方程为

/(-2)=17 ,y —17 = —32(x+2),

即 即

y = -32x-47,32* + y + 47 = 0.

故答案为：

32x+y + 47 = 0

x +a,x<0

14. (2020-y = /(%)

全国月考)已知函数则在曲线的所有切线中，斜率的最

/()=-|--3+1,

X XXX

大值为.

【答案】

-2

【解析】

因为/所以

"(X)= —--X —3x + l,f(x) = -x -2x—3 =-(x + l)2 -2 ,

2

r2

因为当时/(%)取得最大值为/■'(—

x = — 11) = -2,

所以根据导数的几何意义可知，曲线的切线中斜率的最大值为

y = f(x)-2.

故答案为：

-2.

32

15. (2020-ax,y = f(x)(l,f(l))

•岳麓•湖南师大附中月考)已知函数/(%) = —若曲线在处的切线

2

X

与直线平行，则。=.

2x-y + l = 0

【答案】-上

2

【解析】

因为函数/■(%)=虫三一

OX

2

,

所以

/(x) = ^-2ax,

,1X

又因为曲线在处的切线与直线。平行，

y = f(x)(l,f(l))2x-y + l =

所以广

(1)=1-2=2,

Q

解得

。=—,

2

故答案为：-二

2

16. (2020-G： /(x) = -e - 2xG： g(x) = ox + cosx,

湖南天心•长郡中学月考(文))已知曲线 ,曲线

x

(1) qx=oG

若曲线在处的切线与在》=号处的切线平行，则实数。=；

(2) G«，GA，I2,

若曲线上任意一点处的切线为总存在上一点处的切线使得则实数。的取值范围 为.

】顼

【答案】一

2 -pl

【解析】

⑴= —e，— 2Gx = 0(0) = -3,

，则曲线在处的切线的斜率=广

皓

g'(x) = «-sinx,Ck = ga1,

22

在* =号处的切线的斜率(号)=一

依题意有即

Q-1 = -3 ,Q = —2 ;

(2)Gk]W -2,

曲线上任意一点处的切线的斜率=广3) = -

则与«垂直的直线的斜率为―二

c| 0,^|,

e +2 { 2)

而过上一点处的切线的斜率灼

G=g(x) = a-sinxe[a-l,a + l],

,

(2-1 < 0

依题意必有」 解得一

1,-

a + l>- 2

I 2

故答案为：一

2； -|,1 .

四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

670

17. (2020-x + .Ylnx

吉林蛟河一中月考(文))已知函数/(%) =

2

(I )f'(x)；

求这个函数的导数

(II)x = l

求这个函数在处的切线方程.

【答案】(

I ) f'(x) = 2x+lwc+l: (II) 3x-y-2 = Q.

【解析】

(I )/(%) = x +xnx,/(x) = 2x+Znx+l:

因所以

2,

(II)1,

由题意可知，切点的横坐标为

所以切线的斜率是

Zr = y‘(l) = 2+1 = 3,

乂/所以切线方程为整理得

'(1) = 1,y—l = 3(x—1),3x —y —2 = 0.

18. (2020-y = m?+2x + i(l,m+3)

广西钦州•高二期末(文))函数在点处的切线为/.

(1) Zy = 3x

若与直线平行，求实数队的值；

(2) y = -^x

若/与直线垂直，求实数和的值.

【答案】

(1) m = | (2) m = 0

【解析】

(1) y' - 3mx + 2

由题意得：

2

在处切线斜率

(l,m + 3)k = 3m + 2

.••切线与平行

y = 3x

3m + 2 = 3 > m

解得

(2) (1)k = 3m + 2,

由知，切线斜率

.••切线与垂直

j =

解得

m = 0.

19. (2020-y = x + x-2Po

白山市第一中学高二开学考试(理))已知曲线在点处的切线«平行于直线

3

4x—y—1=0,Po

且点在第三象限，

⑴求的坐标；

Po

⑵若直线,且也过切点求直线的方程.

/口

1 1Po,1

1 17

【答案】

(1) p(-l-4) (2) y = .±x~

0:

【解析】

(1) y=x+x-2,y-3x+l,

由 得

32

由己知得解之得

3x2+1 ,=± 1.

=4x

当 时，

x=l y=0；

当 时，

x=-l y=-4.

又..•点在第三象限，

Po

切点的坐标为

Po(-1,-4)；

(2) IUh, h4,

.直线的斜率为

...直线的斜率为

1-1/4 ,

•..1Po,Po(-1, -4)

过切点点的坐标为

直线的方程为上即

1y+4=—(x+1)x+4y+17=0.

4

20. (2020/(x) = 2"g(x)=?x —1a-,a (a<0)

•全国高一课时练习)比较函数与在区间上的平均变化 率的大小.

［

【答案】在区间［«-!,«］

/'(x)

【解析】

(a < 0)g(x)

上的平均变化率比的平均变化率小.

/(%) = 2'［a -1, a(a <0)=2-2~= 2“ ixx a-(a-l)

在区间上的平均变化率为；

］

当=

aa1

g(x) = 1(a<0)

!》一在区间上的平均变化率为：

— a~ - —(<7-1)-1

△g = g(a)-g(aT) =(2 J |2 j_.

Ax a — (a — l) 1 2

Q V 0, Q — 1 V —1

」=

2〃<2 =上，

TT

2

/. /(x) = 2,[a -1, a](a < 0)g(x) = jx -1[a-1, a](a < 0)

在区间上的平均变化率比在区间上的平均变化 率小.

21. (2020-a,b,c&R,/(x) = (x-a)(x-b){x-c)f'(x).

江苏张家港•高二期中)已知函数的导函数

为

(1)5 = c,y = f(x)(bM)

若求曲线在点处的切线方程；

，

1 1 1

(2)

求的值•

ff f (c)

(。)

(饥

【答案】

(1) y = 0； (2)o.

【解析】

(1)b = c ,/(x) = (x-a)(x-b),/x) = (x-Z>) +(x-a)-2(x-b),

若贝!] 所以

2

2

则尹+ ，即曲线在点(。,处的切线斜率为

f'b) = 0 -(x - a) • 20 2) = 0y = f(x)f(b))0 ,

(

又

f(b) = (b-a)(b-b)=0,

2

所以所求切线方程为：

y = o；

(2)f(x) = (x-a)(x-b)(x-c)

由 得

I，

fx) = (x-Z?)(x-c)-h(x-a)[(x-b)(x-c)J =(x-b)(x-c) + (x-a)(x-c) + (x-a)(x-b)，

所以

F(a) = (a-b)(a — c), f'(b) = (b — a)(b — c), f'(c) = (c — a)(c—Z?),

r

111 1 1 1

因此-: ---- 1 : -- 1 : — ------------- 1 ---------- 1 ----------

f («) f (b) /(c) («-Z?)(«-c) (b — a)(b — c) (c-«)(c-Z>)

1 _ 1 b _ a j 1 ](_L ________ *

a-b a-c b-c) (c-a)(c-b) a-b (a-c)(b-c) (a-c)(b-c)

(a - c)(Z? -c) (a- c)(b - c)

22. (2020-

吉林蛟河一中月考(理))已知函数

/()=+%-16.

X X

(1) fx)-

求

(2) y = y(x)(2,-14)

求曲线过点的切线的方程.

【答案】或

(1) (2) y = x—16y = 28x—70.

/()=3+1；

X X

【解析】

,2

3

(1) /(x) = x +X-16 ,

3

则 /'(%) =

3+1；

X

2

(2) (x,%o +x-16),

设切点为

o0

/()=3+1,

X X

2

所以，切线的斜率为* = 所求切线方程为入入。).

3"+1, y—(X： +x()—16)=(35 +l)(x—

将代入切线方程，得—+吒—第入。).

x = 2, y — —1414—(X；16)=(3+1)(2 —

整理得解得气=或

3) = 0,03.

当天)时，切线方程为化简得

=0k = 1,y—(—14)= x—2 ,y = %—16 :

当气时，切线方程为，化简得

=3k = 28 ,y—(―14)= 28(x—2)y = 28%—70.

综上所述，曲线过点的切线的方程为或

y = f(x)(2,-14)y = X-16y = 28%-70.