2020高一数学新教材必修1教案学案 2.3 二次函数与一元一次方程、不等式

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

运用一 解一元二次不等式（无参数）

【例】解下列不等式：

1

（）；（）；

1 2

3xx40 xx120

22

（）；（）．

3 4

x3x40

2

168xx0

2

（）＋－＞（）－＋－＜；

5x3x50 62x3x20



1

22

2

4

3

（）－＜－．

72x3x≤10

2

【答案】（）或；（）；（）或；

123

{x|x1{x|3x4}x1}

x}

{x|x4

（）－，∪，

4.(5)(6)R(7)[21)(25]

{x|x4}



2

【解析】（）由题意，不等式，则不等式的解集为或；

1

3xx4(x1)(3x4)0

{x|x1

x}

4

3

（）由题意，不等式，则不等式的解集为；

2

xx12(x4)(x3)0

{x|3x4}

2

1

（）由题意，不等式，则不等式的解集为或；

3

x3x4(x4)(x1)0

{x|x4

x1}

（）由题意，不等式，则不等式的解集为；

4

168xx(x4)0

{x|x4}

（）原不等式可化为－＋＜，＝－－＝－＜，所以方程－＋＝无实根，又二次函

5x6x100Δ(6)4040x6x100

222

数＝－＋的图象开口向上，所以原不等式的解集为

yx6x10

2



（）原不等式可化为－＋＞，因为＝－＝－＜，所以方程－＋＝无实根，又二

62x3x20Δ94×2×2702x3x20

22

次函数＝－＋的图象开口向上，所以原不等式的解集为

y2x3x2R

2

2





x3x2①

（）原不等式等价于，①可化为－＋＞，解得＞或＜

7x3x20x2x1



2

2





x3x10②

22

2

②可化为x－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5]

2

【思路总结】

解不含参数的一元二次不等式有以下种方法：

3

方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，

则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集．

方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大

于或等于零，不等式的解集易得．

方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法判别式法．

——

【触类旁通】

1.

解关于的不等式

x

2

2

(1)

x6x90

．(3)x－2x＋1<0(4)(4)4x－4x＋1≤6；

(2)3x8x40

22

1

2

【答案】∅＝

(1)(2)(3)(4){x|x

{x|x3}

{x|x2}

2

}

．

3

【解析】∵函数的图象开口向上，且与轴有唯一的公共点（，），∴原不等式的解集为

(1)30

yx6x9

2

x

{x|x3}

．

(3)

∵

3x8x40

2

，∴，∵函数的图象开口向下，且与轴的

(x2)(3x2)0

y3x8x4

2

x

交点为（，），（，），∴原不等式的解集为．

200

22

{x|x2}

33

(3)方程x＝x＝1.

2

－2x＋1＝0有两个不同的解x

12

根据y＝x－2x＋1的图象(如图(3)所示)，可得不等式x－2x＋1<0的解集为∅.

22

2

11

(4)4x≤0，∴x＝}．

222

－4x＋1≤0，即(2x－1)，∴4x－4x＋1≤0的解集为{x|x＝

22

运用二 解一元二次不等式（含参数）

【例2】(1)解关于x的不等式x＋(1－a)x－a＜0.

2

（）解关于的不等式：－＋；

2xxax1≤0(aR)

2



（3）解关于x的不等式：ax－(a－1)x－1＜0(a∈R)．

2

【答案】见解析

【解析】（1）方程x＋(1－a)x－a＝0的解为x＋(1－a)x－a的图象开口向上，则

22

12

＝－1，x＝a，函数y＝x

当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

当a＝－1时，原不等式解集为∅；

当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．

（2）对于方程x－ax＋1＝0，其判别式Δ＝a－4＝(a－2) (a＋2)

22

当－2＜a＜2时，Δ＜0，方程无实根，不等式的解集为



若a＝－2时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x

12

＝x＝－1，不等式的解集为{x|x＝－1}

若a＝2时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x

12

＝x＝1，不等式的解集为{x|x＝1}

aa4aa4

22

x

1，2

22

当a＜－2或a＞2时，Δ＞0，方程有两个不相等的实根，不等式的解集为{x|

aa4

2

2

≤x≤}

（3）原不等式可化为：(ax＋1)(x－1)＜0，

当a＝0时，x＜1，

1

1

x＋



(x－1)＜0∴－

＜x＜1. 当a＞0时



a

a

当a＝－1时，x≠1，

1

1

x＋



(x－1)＞0，∴x＞－

或x＜1. 当－1＜a＜0时，



a

a

11

当a＜－1时，－＜1，∴x＞1或x＜－，

aa

综上原不等式的解集是：当a＝0时，{x|x＜1}；

1



当a＞0时，；



x|－

a

＜x＜1



当a＝－1时，{x|x≠1}；

3

当－1＜a＜0时，







x|x＜1或x＞－

1

a

.

当a＜－1时，，







x|x＜－

1

a

或x＞1

【思路总结】

解含参数的一元二次不等式时

（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数＞0，＝0，＜0；

aaa

（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(＞0)，一根(＝0)，无根(＜0)；

ΔΔΔ

（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：＞，＝，＜．

xxxxxx

121212

【触类旁通】

1解关于x的不等式：ax

2

－(a＋1)x＋1＜0(a∈R)．

【答案】见解析

【解析】若a＝0，原不等式可化为－x＋1＜0，即x＞1.

若a＜0，原不等式可化为(x－或x＞1.

11

aa

)(x－1)＞0，即x＜

若a＞0，原不等式可化为(x－

1

a

)(x－1)＜0.(*)

其解的情况应由与1的大小关系决定，故

1

a

(1)当a＝1时，由(*)式可得x∈∅；

(2)当a＞1时，由(*)式可得

1

a

＜x＜1；

(3)当0＜a＜1时，由(*)式可得1＜x＜.

1

a

综上所述：当a＜0时，解集为{x|x＜或x＞1}；

1

a

当a＝0时，解集为{x|x＞1}；

当0＜a＜1时，解集为{x|1＜x＜

1

a

}；

当a＝1时，解集为∅；

当a＞1时，解集为{x|＜x＜1}．

1

a

2．当a为何值时，不等式(a

22

－1)x－(a－1)x－1<0的解集为R?

【答案】见解析

【解析】①当a－1＝0时，a＝1或－1.

2

若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．

4

1

若a＝－1，则原不等式为2x－1<0即x<，不合题意，舍去．

2

2





a

－1<0，

②当a－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是

2



22



Δ＝[－(a－1)]

＋4(a－1)<0.



3

31

－，1



.∴原不等式解集为(－∞，a]∪[，＋∞). 解得－

<a<1.综上，a的取值范围是



5

5a

运用三 三个二次之间的联系

【例3】（1）已知关于的不等式的解集是，的值是（ ）

x

xaxb0

2

(2,3)

ab

A B C

．．．

77

11

D

．

11

（）（陕西高二期末（文））不等式的解集为，则不等式

22019·

axbxc0

2



4,1

bx1ax3c0



2



的解集为（）

A

．





44



,11,

33

B

．

C

．





44



,1,

3



D

．



1,,



3

【答案】（）（）

1A2B

【解析】（）由题得，所以故选：

1a+b=7.A





23a

2)3b(

,a1,b6



（）由题意知：是方程的两个解，代入方程得到

2

4,1

axbxc0

2







41

b



a



c

b3a,c4a

，

a0





41

a

不等式可化为：

bx1ax3c03ax1ax34a0



22



即解得故答案选

3x1x340



2



x1,





4



3

B

5

【思路总结】

1．一元二次不等式ax

22

＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax＋bx＋c＝0的根，

也是函数y＝ax＋bx＋c与x轴交点的横坐标．

2

2．二次函数y＝ax

22

＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax＋bx＋c＞0的x的值构

成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依

2

存、相互转化．

【触类旁通】

12019·

．（北京丰台二中高二期末）已知关于

x

的不等式的解集为，则等于

axxc0

2



x|1x2

ac

（）

A

．

1

B1 C D3

【答案】

A

【解析】由题得、为方程的根，将代入，

11

2

axxc0axxc0

22

得，即，故选：

a1c0ac1

A.

22019·

．（藁城市第一中学高一月考）设，则关于

a1

x

的不等式（ ）的解集是

(1a)(xa)x0



．．．

3





1

a

A

．

(,a),



1



B



a

．



a,

C

．



a,,a,





11

D

aa

．



【答案】

D

【解析】＞时，﹣＜，且，

a11a0a

＞

1

a

1



1

＜01axax

xax0 x



可化为（﹣）（）＞，则关于的不等式



a



a



解得或＞，所以不等式的解集为（﹣，）∪（，）．故选：．

xxa∞a+∞D

＜

1

1

a

a

运用四 恒成立问题

6

【例】（）（江苏省天一中学高一期末）已知关于的不等式对任意恒成

412019·

x

kx6kxk80

2

xR

立，则的取值范围是（）

k

A B C D

．．．或．或

0k10k1

k0k0

k1

k1

x

2

＋2x＋a

(2)已知f(x)＝

，对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．

x

(3)当x∈(1,2)时，不等式x

2

＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．

1

【答案】(1)A(2){x|－3＜x＜

}.(3) (－∞，－5]

2

【解析】当时，不等式为恒成立，符合题意；

(1)

k0

80

当时，若不等式对任意恒成立，

k0

kx6kxk80

2

xR

则，解得；

36k4k(k8)0

0k1

当时，不等式不能对任意恒成立。

k0

kx6kxk80

2

xR

综上，的取值范围是

k

0k1

.

x

2

＋2x＋a

(2)∵x≥1，∴f(x)＝≥0恒成立等价于φ(x)＝x

2

＋2x＋a≥0(x≥1)恒成立．又等价于当x≥1时，φ(x)的最

x

小值大于等于0恒成立．∵φ(x)＝(x＋1)＋a－1在x≥1上是增函数，∴φ(x)

2

min

＝φ(1)＝a＋3，∴a＋3≥0，∴a≥

1

－3.所求不等式的解集为{x|－3＜x＜

}.

2

(3)构造函数f(x)＝x

2

＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．

由于当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4<0恒成立．

2



1＋m＋4≤0m≤－5



f(1)≤0



则有



⇔⇔⇔m≤－5.



f(2)≤0



4＋2m＋4≤0m≤－4



2

7

【思路总结】

一、求不等式恒成立问题中参数范围的常见方法：

1.

利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在上的恒成立问题，

R

设＝＋＋，则

f(x)axbxc(a≠0)

2

f(x)0a0Δ0 f(x)≥0a0Δ≤0

＞恒成立＞且＜；恒成立＞且；



f(x)0a0Δ0 f(x)≤0a0Δ≤0

＜恒成立＜且＜；恒成立＜且．



注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论＝的情况．

a0

2,f(x)af(x)≥a

。将参数分离出来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题（转化为＞或

或＜或恒成立的问题）即：

f(x)af(x)≤a

（）存在成立

1

若在定义域内存在最大值，则＜恒成立＞；

f(x)mf(x)aam



若在定义域内存在最大值，则恒成立；

f(x)mf(x)≤aa≥m



若在定义域内存在最小值，则＞恒成立＜；

f(x)mf(x)aam



若在定义域内存在最小值，则恒成立．

f(x)mf(x)≥aa≤m



（）恒成立

2

在定义域上，不等式恒成立，则，不等式能成立，则

D

f(x)mf(x)m

mf(x)

max

mf(x)mf(x)

minmin

，不等式恒成立，则，不等式能成立，则

f(x)mf(x)m

mf(x)

max

．转化时要注意是求最大值还是求最小值．

【触类旁通】

1.若(m＋1)x

2

－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，求实数m的取值范围．

13

【答案】(－∞，－

)

11

【解析】由题意可知当m＋1＝0，即m＝－1时，

原不等式可化为2x－6＜0，解得x＜3，不符合题意，应舍去；

当m＋1≠0时，由(m＋1)x－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，

2





m＋1＜0，

则有解得m＜－





Δ＝m－1



2

－12m＋1m－1＜0，

13

.

11

13

综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－

)．

11

22019·

．（奎屯市第一高级中学高一月考（文））当时，不等式

xmx40

2

恒成立，则的取

m

8

值范围是（）

A B C D

．．．．

(,4]

【答案】

A

【解析】∵时，不等式恒成立，

xmx40

2

(,5)(,5]

(5,4)

∴，解得．故选．





1m40

m4

A

42m40



32019·

．（浙江高一期末）设，若关于

aR

x

的不等式在区间上有解，则（）

xax10

2



1,2

A B C

．．．

a2

【答案】

D

【解析】由题意得：当

0a2

a2

aa

55

D

22

．



a2或a2



0

5



a2或2a



当

5

2



f10或f20





a2或a

2



当综上所述：选

02a2

a

5

,D.

2

42019·

．（河北高二月考）已知不等式的取值集合为，不

2axax30

2

对任意的恒成立的

a[1,3]

x

A

2

等式对任意的恒成立的取值集合为，则有（）

mx(m1)xm0

x[1,3]

m

B

A

．

ACBBCA

RR

B C D

【答案】

D

．．．

AB

BA

【解析】令，则关于的一次函数必单调，则或，

fa2xxa3



a



2





f30



3



，解得

a

a1

2





f10



即

A,1,







3



2

又

mxx1xm



2

x

对任意的恒成立

x[1,3]

2

xx1

又，故，即

y

x1

xx1

2

x1

1

单调递减，故

y1

max

m1

B1,



x

综上故选：．

BA

D

9

12019·

．（天津市

新华中学）已知命题，命题，，则成立是成立的（）

p:

A B

．充分不必要条件．必要不充分条件

C D

．充要条件．既不充分也不必要条件

【答案】

A

【解析】求解不等式可得，

11

q:xR

axax10

2

p

q

a4

11



0a4

a4

对于命题，当时，命题明显成立；

q

a0



a0

当时，有：，解得：，

a0



0a4

2

a4a0



即命题为真时，故成立是成立的充分不必要条件故选：

qq

0a4

p

.A.

22

22019·

．（江西高二期末（文））如果方程

x(m1)xm20

的两个实根一个小于，另一个大于，

11

那么实数的取值范围是（）

m

A B C D

．．．．

(2,2)

【答案】

C

【解析】

fxx(m1)xm2



22

22

因为方程的两个实根一个小于，另一个大于，

x(m1)xm20

11

(2,0)(2,1)

(0,1)

所以可作出函数的简图如下：

yfx



由图可得：，即：

f10



mm20

2

解得：故选：

2m1

C

32019·a

．（宁夏银川一中高一期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范

x(1,)(x1)(ax1)0

围为（）

10

A B C D

．．．．

1a1a1

【答案】

D

a1

a1

【解析】对任意，不等式恒成立

x1,





x1ax10

1

x10

即恒成立故答案为

ax10

ax10aa1

D

x

2

42019·

．（浙江高一期末）若不等式

mx(m1)xm0

对实数恒成立，则实数的取值范围（）

xR

m

A

．或

m<1

m

1

3

B

．

m1

C

．

m1m

11

D

．

33

【答案】

C

【解析】由题得时，＜，与已知不符，所以

m0

x0m≠0.

当时，，

m≠0

m0且(m1)4m0

22

所以综合得的取值范围为故选：

mm

11

33

.m.C

52019·

．（黑龙江牡丹江一中高二期中（文））不等式

axbxc0

2

的解集为（），则不等式

-4,1

b(x1)a(x3)c0

2

的解集为（）

A

．

(1,)

4

B

．

(,1)(,)

4

3

3

C

．

(,1)(,)(1,)

44

33

D

．

【答案】

A

【解析】不等式

ax

2

+bx+c041

＞的解集为（﹣，），

则不等式对应方程的实数根为﹣和，且＜；

41a0





41

b

由根与系数的关系知，，∴，





a



b3a



c



c4a





41



a

∴不等式（

bx

22

+1ax+3+c03ax+1ax+34a0

）﹣（）＞化为（）﹣（）﹣＞，

即（，

3x

2

+1x+3401x

）﹣（）﹣＜，解得﹣＜

＜

4

3

∴该不等式的解集为（﹣，）．故选：．

1A

4

3

11

62019·

．（湖北高一期中）已知不等式的解集为

(ab)x2a3b0



xx

，则关于的不等式

x





3

4

(a2b)x2(ab1)xa20

2

的解集为（ ）

22

或．

x1}

B

bb

22

C

．或

{x|x1

x3}{x|1x3}

D

bb

A

．

{x|x3x1}{x|3

【答案】

B

．

【解析】根据题意，，变形可得，



abx2a3b0abx3b2a

又由不等式的解集为，



abx2a3b0



xx

则有且，

ab0







3

4

2a3b3

ab4

2

解得，则不等式

a3b0



a2bx2ab1xa20

等价为．

bx4b2x3b20



2

2

x13

，解可得：

b

2

故不等式的解集为故选．

{x|3x1}

,B

b

72019·

．（北京大学附属中学新疆分校高二期中（文））不等式

x2ax2a

2

当时恒成立，的

x1,





a

范围是。

_____________

【答案】

3a1

【解析】构造函数，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线

fxx2ax2



xa

.

2

①当时，函数在区间上单调递增，，

a1

yfxfxf12a3a





1,





min

解得，此时；

a3

3a1

②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

a1

yfx1,aa,







所以，，即，解得，此时

fxfa2aa



min

aa20

2

2a1

1a1

.

2

综上所述，实数的取值范围是，故答案为：

a

3a13a1

.

82019·

．（北京大学附属中学新疆分校高一期中）如果方程

axbxc0

2

的两根为和且，那么

2

3

a0

12

不等式的解集为．

axbxc0

2

____________

【答案】或



x|2x3

(2,3)



b

231





ba



a

【解析】由韦达定理得，，代入不等式，







axbxc0

2



c6a



c

236





a

得，，消去得，解该不等式得，

axax6a0

2

a0

a

xx60

2

2x3

因此，不等式的解集为或，

axbxc0

2



x|2x3



2,3

故答案为：或



x|2x3



2,3

.

92019·

．（内蒙古高一期末（文））若存在实数，使不等式

x[2,5]

x2x5m0

2

成立，则的取值范

m

围是

_______________.

【答案】；



5,

【解析】由题意存在，使得不等式成立，

x[2,5]

mx2x5

2

2

当时，，其最小值为，

x[2,5]

x2x5(x1)4

(21)45

22

∴．故答案为．

m5

(5,)

102019·

．（安徽毛坦厂中学高一期末（理））已知不等式

xxa0

2

的解集为或，则实



x|x3x2