新教材2021_2022学年高二数学下学期暑假巩固练习6随机变量及其分布一

2021-2022学年高二数学下学期暑假巩固练习6 随机变量及其分布（一）

一、单选题．

1．已知离散型随机变量的分布列如表所示，则表中值等于（ ）



p



012

P

0．40．3

p

20．50．30．．01

C．A．B．D．

C

kk



1

Pk







2．设随机变量的分布列为，、、，其中为常数，则



（ ）

51



P







22



k13C

2

2238

A．B．C．D．

9349

3．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（ ）

A．至少取到1个白球B．至多取到1个白球

C．取到白球的个数D．取到球的个数

4．济南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美名．现有甲、乙两位游客慕名来到济南旅游，分别准

备从大明湖、千佛山、趵突泉和五龙潭4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩．记事件：甲和乙至

A

少一人选择千佛山，事件：甲和乙选择的景点不同，则条件概率（ ）

B

PBA



6773

D．A．B．C．

71687

5．某区有A､B两所学校，其中A校有男教师10人，女教师5人，B校有男教师3人，女教师6人．为

了响应国家号召，实现教育资源的优化和均衡，决定从A校随机抽一名教师调到B校，然后在B校的10

名教师中随机抽一名教师去培训学习，在从B校抽出来的参与培训学习的为男教师的条件下，从A校调到

1

B校的教师为女教师的概率是（ ）

3121

A．B．C．D．

11352

6．市场上某种商品由三个厂家同时供应，甲厂家的供应量是乙厂家的2倍，乙、丙两个厂家的供应量相

等，且甲、乙、丙三个厂家的产品的次品率分别为2％，2％，4％，则市场上该商品的次品率为（ ）

0350．050．0250．0750．

A．B．C．D．

EX1D2X12



，则（ ）7．已知随机变量的分布列如下表，若，

p

X

X

P

02

a

11

22

1111

B．A．C．D．

4356

p

p

8．设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，…，10，且，

x,x,...,xymx3yy

1210ii12

i1,2

，．．．，的均值为5，则方差为（ ）

A．5B．8C．11D．16

y

10

二、多选题．

9．下列说法正确的是（ ）

A．，，则

PA0



PA0



PBPAPBAPAPBA









i1



3

B．，，互斥且，，，则

AAA

123

PA0PA0PA0



123

PBPAPBA





ii



C．若，且，，，则

AUAUA

123

AAAAUAUA

123123

PA0PA0PA0



123

PBPAPBA





ii



3

i1



D．设，，是一组两两互斥的事件，，且，，2，3，则

PA0



i

2

i1

PBPAPBA





ii



3

i1



10．在2021年的高考中，数学出现了多项选择题．假设某一道多项选择题有四个选项1､2､3､4，其中

1

正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项

3

是正确选项的概率相同．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）

1

A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于

10

1

B．1选项是正确选项的概率高于

2

1

C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为

3

1

D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为

2

11．已知随机变量的分布列如下表：

X

X1

P

01

a

fxx



3sinR

1

3

b

记“函数是偶函数”为事件，则（ ）

xX





2

A

EXEX2aEXPA



2222

3333



2

A．B．C．D．



三、填空题．

12．若，，其中，则______．

Px1Px1Pxx





2112





xx

12

3

60．301．0．30．

，，，对应迟到的概率分别为，13．有朋自远方来，选乘火车、汽车、飞机来的概率分别为

0．401．

，，则他会迟到的概率为______．

14．随机变量X的分布列为

X

xxx

123

ppp

123

ppp

231

P

若，，成等差数列，则公差的取值范围是______．

d

15．对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直

20．

，设检测次数为，则的数学期望为_____检测到3次为止，若该仪器一次检测出现问题的概率为

XX

_．

四、解答题．

16．6名同学和1名老师去参观“伟大征程——庆祝中国共产党成立100周年特展”，参观结束后他们排成

一排照相留念．(结果用数值表示)

（1）若老师站在正中间，同学甲要与老师相邻，则不同的排法共有多少种；

（2）同学甲、同学乙、老师三人互不相邻的排法有多少种？

（3）在同学甲与老师相邻的前提下，同学乙也与老师相邻的概率是多少？

4

17．某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单

位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚

餐）

甲员工30天20天40天10天

乙员工20天25天15天40天



A,AA,BB,AB,B

假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

（1）分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐

的概率；

（2）记X为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；

EX



（3）试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说

明理由．

18．甲、乙两选手比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采用了“3局2胜制”（这

p

1p

13

里指最多比赛3局，先胜2局者为胜，比赛结束）．若仅比赛2局就结束的概率为．

25

（1）求的值；

p

（2）若采用“5局3胜制”（这里指最多比赛5局，先胜3局者为胜，比赛结束），求比赛局数的分布

X

列和数学期望．

5

参考答案

一、单选题．

1．【答案】B

【解析】由离散型随机变量的分布列得，解得，



0.4p0.31p0.3

故选B．

2．【答案】D

1131



4

P1P2P3CC1









C

4122334





3

，【解析】由已知可得，则

541181



PP1P2









23122392





，故选D．因此，

3．【答案】C

【解析】选项A，B是随机事件；

选项D是定值2；

选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示，

故选C．

4．【答案】D

【解析】根据题意，甲和乙至少一人选择千佛山的情况有种，

44337

11

CC6

23

甲和乙选择的景点不同，且至少一人选择千佛山的情况有种，

所以，故选D．

PBA



6

7

5．【答案】A

【解析】记“从A校调到B校的教师为女教师”为事件M，

记“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”为事件N，

131

P(MN)

31010

，则

又“从B校抽出来的参与培训学习的为男教师”包含两种情况：

6

241311

P(N)

31031030

，从A校抽取到B校的教师为男教师；从A校抽取到B校的教师为女教师，



P(MN)=

P(MN)3

P(N)11

，故选A．

6．【答案】C

【解析】设，，分别表示取到甲、乙、丙厂家的产品，B表示取到次品，

AAA

123

由题意得，，

PA0.5PAPA0.25



123



PBA0.02PBA0.02PBA0.04



123

，，，



由全概率公式得

PBPAPBAPAPBAPAPBA



112233



0.50.020.250.020.250.040.025

，

故选C．

7．【答案】B

11



a

EX0pa2p1







2p1

22



【解析】由题意得，，∴，①

2

由方差的性质知，，

D2X14DX



DX



1

2

，又，∴

D2X12



222



111

DX01pa121p









222

∴，

即，所以，

a2a10

a1

2

将代入①式，得．

a1

故选B．

p

1

4

7

8．【答案】D

【解析】因为样本数据的均值和方差分别为和，且，

x,x,xymx3

1210ii

14

所以的均值为，即，

y,y,y

1210

2

m135m2

所以方差为，故选D．

2416

二、多选题．

9．【答案】AD

【解析】应用全概率公式要求满足3个条件：

①，，…，是一组两两互斥的事件；

②；

PBPAPBA







ii



i1



n

AAA

12n

AUAULUA

12n

③．

B

只有选项AD满足，故选AD．

10．【答案】BC

【解析】若正确选项的个数为2个，则有共6种组合，每种组合为正

(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)

111



3618

，确答案的概率为

若正确选项的个数为3个，则有共4种组合，每种组合为正确答案的概率

(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4)

111



3412

，为

8

1

若正确选项的个数为4个，则有共1种组合，这种组合为正确答案的概率为，

(1,2,3,4)

3

11



对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；

1210

33



对于B，1选项是正确选项的概率为，正确；

11131

1812342

P(A)

3

4

，正确选项有3个为事件B，则对于C，1选项为正确选项为事件A，由B选项知，

P(BA)



P(AB)1

P(A)3

3



1

12

3

4

，正确；

1

4

，正确选项有2个为事件D，对于D，1选项为错误选项为事件C，

P(C)

P(DC)



则，错误，

故选BC．

P(CD)2

P(C)3

3



1

18

1

4

11．【答案】ACD

【解析】因为函数是偶函数，

fxx



3sinR

xX





2

X







k

22

所以，，所以，，

kZX2k1kZ

又因为，所以事件表示，

X1,0,1

AX1

1212

PAab1EX1a01bba2a





9

3333

所以，，

随机变量的可能取值为0，1，

X

2

PX0PX1ab



22

12



33

，，

122

EX01



2

333

，所以

故选ACD．

三、填空题．

1





12．【答案】（或）

1



【解析】由概率的基本性质得：

PxxPxPx1



1221



1111





故答案为．

1



，

310．

13．【答案】

60．30．30．401．01．0．310．

，【解析】根据题意，他会迟到的概率为

310．

．故答案为



11



,



14．【答案】



33

【解析】由题意知，，

ppdpp2d

2131

1

pd

1

ppp3p3d1

1231

3

∴，∴．

121

0d1d

0p1

1

333

．又，∴，∴

10

同理，由，，∴，∴，

0p1

3

pddd

3

11211

33333



11



,



即公差的取值范围是，

d



33



11



,



故答案为．



33

15．【答案】

2.44

【解析】由题意，检测次数可取，

X

1,2,3

则，，

PX10.2PX20.80.20.16



PX30.80.80.80.80.80.20.64



EX10.220.1630.642.44



，

所以，

故答案为．

2.44

四、解答题．

1

16．【答案】（1）；（2）；（3）．

2401440

6

【解析】（1）如图：，有7个位置，老师只能排在4号位置，同学甲可排在3或5号

1234567

位置，其余5位同学可排剩下的5个位置，

故共有种排法．

12A240

5

5

（2）可以采用插空法，现将除同学甲、同学乙、老师3人的其余4人进行排列，

再将同学甲、同学乙、老师三人插空到5个空隙即可，故共有中排法﹒

26

AA

62

34

AA1440

45

11

（3）同学甲与老师相邻时有＝1440种排法，

若同学乙也与老师相邻，则有种排法，

25

AA240

52

2401



故在同学甲与老师相邻的前提下，同学乙也与老师相邻的概率是．

14406

．0.30.419

；（3）在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，17．【答案】（1），；（2）分布列见解析，

甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐，理由见解析．

【解析】（1）解：设事件“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，

C

事件“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．

D

由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅

就餐的天数为40，

所以，．

PC0.3PD0.4



3040



100100

（2）解：甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，甲员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概

AB

0.3

率为；

0.1

乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，乙员工午餐、晚餐都选择餐厅就餐的概率为，

AB

0.20.4

依题意的所有可能取值为1，2，

X

所以，．

PX10.30.20.10.40.1PX21PX10.9



所以的分布列为

X

X

P

所以．

12

01．0．9

EX10.120.91.9



（3）解：设“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，“甲员工在午

NNM

121

12

餐时选择A餐厅就餐”，“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，

M

2

PMN



11

202

303

PMN



22

255

6513

．

因为，

PMNPMN



1122

所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．

322541

EX



62555

．

18．【答案】（1）或；（2）分布列见解析，

【解析】（1）由题意知，若仅“比赛2局就结束”记事件A，

P(A)p(1p)pp

22

则，解得或．

1332

2555

（2）随机变量的取值为3，4，5，

X

733



PX31









5525

，则

33



33333316272234

PX4C1C11







33

22



555555625625625

，

22

21633



PX5C1







62555

，



2

4

22

所以随机变量的分布列为

X

X

P

345

7234216

25625625

13

72342162541

EX345



25625625625

．所以

14