(新人教A)高二数学同步辅导教材随机事件的概率

高 二 数 学

（第33周）

主讲教师：刘海滨

【教学内容】

1、随机事件的概率； 推导n次独立重复试验中事件A发生k次的概率计算公式，用到了概率加、乘运算及组合数知识。因此，

2、互斥事件有一发生的概率； 在求解n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率问题时，应注意知识的综合运用，理清事件间的“等可

3、相互独立事件同时发生的概率。 能”、“互斥”、“相互独立”等关系，并结合组合知识，正确求解。

【教学目标】

使学生了解随机事件的统计规律性和随机事件概率的意义；了解等可能性事件的概率、互斥事件、相互独例1、先后抛掷3枚均匀的一分、二分、五分硬币。

立事件的意义；会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；会用互斥事件的概率加法公式计算一（1）一共可能出现多少种不同的结果？

些事件的概率；会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；会计算事件在n次独立重复试验中恰（2）出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？

好发生k次的概率。 （3）出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？

【知识讲解】

一、随机事件的概率

1、随机事件及其概率 （2）出现“2枚正面，1枚反面”的情况可以从（1）中8种情况列出。

（1）随机事件A的频率指此事件发生的次数m与试验总次数n的比值，它是随着试验次数的改变而变化 （3）因为每枚硬币是均匀的，所以（1）中的每种结果的出现都是等可能性的。

的，它具有一定的稳定性，即总在某个常数p附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小，解：（1）∵抛掷一分硬币时，有出现正面和反面2种情况。

于是，我们给这个常数取个名字，叫随机事件的概率，记作P（A）。 抛掷二分硬币时，有出现正面和反面2种情况。

（2）弄清随机事件概率的取值范围 抛掷五分硬币时，有出现正面和反面2种情况。

由于频率总介于0、1之间，因此由概率的定义知：对任意随机事件A，有；对必然事件

m

n

0P(A)1

I，显然有P（I）=1，对不可能事件，显然有P（）=0。 （正、正、正），（正、正、反），（正、反、正）（正、反、反），（反、正、正），（反、反、正）（反、



2、等可能事件的概率 反、反）。

P(A)

m

n

既是等可能事件概率的定义，又是计算这种概率的基本公式，利用这个式子计算概率时关键是

求出m、n。N为一次试验中等可能出现的结果数，m为某个事件A所包含的结果数。求n时，应特别注意这 （3）∵每种结果出现的可能性都相等。

n种结果必须是等可能的，在这一点上是很容易出错的。

二、互斥事件有一发生的概率

1、关于“互斥事件” 例2、有5条线段，其长度分别为1、3、5、7、9。现从中任取3条线段，求3条线段能构成三角形的概

“互斥事件”就是“不可能同时发生的事件”。 率。

2、“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立分析：5条线段中任取3条线段的总结果数为C，设任取3条线段能构成一个三角形为事件A，则A发生

事件是其中发有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就的三个数应满足：其中任意两数之和大于第三数，即两小数之和大于第三数即可，逐一检验可知：A发生的情

是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件。

三、相互独立事件同时发生的概率

1、相互独立事件及其同时发生的概率

（1）理解“相互独立”的含义 例3、一表面为红色的正方体被分割成1000个同样大小的正方体，试求从中任取一个小正方体：（1）其一

相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一定的特殊性，即其中一个事件是面涂有红色的概率；（2）其两面涂有红色的概率；（3）各面没有红色的概率。

否发生对另一个事件发生的概率没有影响。若A、B两事件相互独立，则A与、与A、与也都是相

BAAB

互独立的。

（2）弄清“互斥”与“相互独立”的区别

“互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念，二者不能混淆。两事件互斥是指两个事件不可能同

时发生。两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

2、独立重复试验

（1）怎样理解“独立重复试验”？

“独立”是指每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，即前次试验发生与否，对后次试验中事件A发

生的概率没有影响，或者说事件A的概率在整个系列试验中保持不变。

（2）注意知识的综合运用

三、例题分析

分析：（1）由于对先后抛掷每枚硬币而言，都有出现正面和反面的两种情况，所以共可能出现的结果有

2228

（种）。

∴共可能出现的结果有（种）。

2228

一分、二分、五分的顺序可能出现的结果为：

（2）出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3个：

（正、正、反），（正、反、正），（反、正、正）

∴事件A“2枚正面，1枚反面”的概率。

P(A)

3

8

5

3

形只能是（3、5、7），（3、7、9），（5、7、9）三种。根据等可能事件概率可知：。

P(A)

33

C

3

5

10

解：显然基本事件总数为1000。由于将大正方体分割成1000个同样大小的小正方体，所以是将每一条棱

都10等分，因而其三面涂有红色的有8个，其二面涂有红色的有（个），其一面涂有红色

12896646384

（个），没有红色的正方体有（个），由等可能事件概率便可得到所求概率。

888512

（1）任取一个小正方体其一面涂有红色的概率为。

P(A)

64648

1000125

（2）任取一个小正方体其二面涂有红色的概率为。

P(B)

12812

1000125

（3）任取一个小正方体其三面涂有红色的概率为。

P(C)

51264

1000125

评注：等可能事件A的概率等于事件A包含基本事件的个数与基本事件总个数的比值，分析事件的等可能

性，利用排列组合知识准确计数是求解的关键所在。

例4、（1）一批产品共50件，其中5件是次品，45件合格品。从这批产品中任意抽出2件，求其中有次

品的概率。

（2）从1、2、3、…、100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的概率。

分析：（1）用A、A分别表示任意抽取的2件产品中有且仅有1件是次品，有2件是次品的事件，则A评注：对于带有词语“至多”、“至少”等类型的较复杂的概率计算问题，利用对立事件的概率公式，可转

121

和A是互斥事件，并且 化为求其对立事件的概率。

2

112

，。

P(A)P(A)

5455

CCC

92

12

CC

22

49245

5050

又“任意抽取2件，其中有次品”这一事件即A+ A ，因此

1 2

。

P(AA)P(A)P(A)

9247

1212

49245245

（2）基本事件数为C种，在1到100这100个自然数中，3的倍数的数组成的集合M中有33个

100

2

元素，不是3的倍数组成的集合N中有67个元素。事件A为任取两整数相乘积是3的倍数，这可分为两类情例8、一电路由电池A与两个并联的电池B及C串联而成，设A、B、C损坏的概率分别为0.3、0.2、0.2。

况：第一类，取M中2个元素相乘有C种；第二类，在M、N中各取一个元素相乘有C·C种，显然，求电路发生间断的概率。

333367

311

第一类与第二类互斥。 解：设电池A、B、C损坏的事件分别为A′、B′、C′，电路发生间断的事件为D。

211

∴。

P(A)

CCC

333367

C

2

83

100

150

例5、有三个人，每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间。

试求：（1）三个人都分配到同一房间的概率；

（2）至少有两个人分配到同一房间的概率。

解：∵三个人以同样的概率分配到每个房间，而三个人中每个人都可以分配到四个房间的每一间。

∴共有4种分法。

3

（1）三个人分配到同一房间有4种分法，故由等可能事件的概率可知，所求的概率为

。

P(A)

41

4

3

16

（2）设事件A = { 至少有两人分配到同一房间 }，则事件A的对立事件 = { 三个人分配到三个不同

A

的房间 }。 注意不重不漏，寻找相互独立事件时，应注意事件发生的同时性。

∵三个人分配到三个不同房间共有P种方法，

4

3

3

∴，∴P（A）= 1 - P（）=。

P(A)

P

4

3

5

4

3

8

A

8

评注：这是一个分房问题，一般地设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中任意一间去住

（），则指定的n个房间各有一人住的概率为。

nN

n!

N

n

例6、某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去开会，求其中至少有1名女生的概率。

分析：设事件A为“至少有1名女生”，则事件A可看做是事件“有一名女生”与事件“有两名女生”中

有一个发生，而事件“有一名女生”和“有两名女生”是互斥的，所以P（A）可利用互斥事件概率加法公式3、设A、B是两个互斥事件，且A与B中必有一个发生，则A与B叫做：（ ）

2

求，另外事件A与事件“没有女生”是对立事件，而事件“没有女生”的概率。

P(A)

C

6

C

2

1

3

10

解：。

P(A)1P(A)1

12

33

即至少有1名女生的概率为。

2

3

例7、4门大炮向同一目标射击，每门大炮各自击中目标的概率都是0.4，求摧毁目标的概率。

解：题中的4门大炮的射击可以看成是进行4次独立重复试验。目标被摧毁的概率是：

PP(1)P(2)P(3)P(4)

4444

1234

C0.40.6C0.40.6C0.40.6C0.4

4444

32234

0.34560.34560.15360.02560.8704

则。

P(D)P(ABCABCABC)



B

A

又，

P(A)0.3,P(B)P(C)0.2



C

。

P(A)0.7,P(B)P(C)0.8



P(D)P(ABCABCABC)



0.70.80.80.70.20.80.70.80.2

0.672

。

P(D)1P(D)10.6720.382

即电路发生间断的概率为0.382。

评注：问题中遇到互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率问题，寻找互斥事件时，应

【一周一练】

一、选择题：

1、从甲、乙、丙三人中任选2名代表，则甲被选取中的概率为：（ ）

A、 B、 C、 D、1

112

233

2、将一枚硬币先后抛两次，至少出现一次正面的概率是：（ ）

A、 B、 C、 D、1

113

244

A、发然事件 B、对立事件 C、等可能事件 D、随机事件 从它们生产的零件中各取1件，其中恰有两件废品的概率是多少？

4、某工厂的产品分一、二、三等品三种，在一般情况下，出现一等品的概率为95%，出现二等品的概率为

3%，其余均为三等品，那么这批产品中出现非三等品的概率是：（ ）

A、0.50 B、0.98 C、0.97 D、0.2

5、将一枚硬币连续投掷8次，恰有5次出现正面的概率是：（ ）

A、 B、 C、 D、

C0.5C0.5

55

58

88

85

0.50.5

6、将一枚均匀的硬币连掷两次，出现“两个正面”的概率为：（ ）

A、 B、 C、1 D、

111

423

7、一个口袋里有5个白球，4个黑球，2个红球，从中摸出一个，它是黑球或红球的概率为：（ ）

A、 B、 C、 D、

2846

11111111

8、已知一个事件发生的概率是，在连续两次的试验中，这个事件都发生的概率是：（ ）

1

4

A、 B、 C、 D、

17911

16161616

9、袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2个球，则至多有一个黑球的概率是：（ ）

A、 B、 C、 D、

141

553

1

2

10、一射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则此射手每次命中的概率是：

80

81

（ ）

A、 B、 C、 D、

1212

3345

11、从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，从两个口袋内各摸出一

13

45

个球，那么是两个球：（ ）

3

5

A、都是白球的概率 B、都不是白球的概率

C、不都是白球的概率 D、恰有一个时白球的概率

二、填空题： 4、分配甲、乙、丙、丁、戊5人担任5种不同的工作，求甲不担任第一种工作，且乙不担任第二种工作

1、甲、乙两人分别对同一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两个至多有一人的概率。

射中的概率为 。

2、有5本不同的语文书，4本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书都是数学书的概率

是 。

3、甲、乙二人进行击剑比赛，甲获胜的概率是0.41，战平的概率为0.27，那么甲不输的概率为 ，

甲不获胜的概率为 。

4、若以连续投掷两次骰子分别得到的数m、n作为一点P的坐标，则点P落在圆x+ y= 16内的概率

2 2

是 。

5、甲、乙两个独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率是P ，乙解决这个问题的概率是P ，则这

12

个问题解决的概率是 。

三、解答题：

1、制造一批零件，由甲、乙、丙三台车床完成，甲、乙、丙三台车床的废品率分别为0.04、0.05、0.03。5、袋中有相同的大小和质量的7个球，其中白球4个，红球3个，有放回地取4次，每次取一个球。

2、每次射击命中率为0.2，发须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9？

3、在12件产品中有2件是次品，从这12件产品中任意取出3件，求其中次品不多于1件的概率。

求：（1）恰好取到1个白球的概率；

（2）至少取到3个白球的概率。

【一周一练答案】

一、选择题：

1、C 2、C 3、B 4、B 5、A 6、A

7、D 8、A 9、B 10、B 11、B

二、填空题：

1、0.28 2、1/6 3、0.68 0.59

4、2/9 5、P+ P– PP

1 2 12

三、解答题：

1、P = 0.040.050.97+0.040.950.03+0.960.050.03



= 0.0452

2、



10.80.9

x11

3、

1

x

CC

210

C

12

543

3

21

21

22

4、

P

A2AA

543

A

5

13

20

1

5



5、（1）

PC()

4

34

43

3

77

C43C4

44

34

（2）

P

7

4