【高中数学】3.3.2 抛物线的简单几何性质高二数学新教材配套学案(人教A

3.3.2 抛物线的简单几何性质

【学习目标】

课程标准 学科素养

1.掌握抛物线的几何性质．(重点)

2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)

3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)

1、直观想象

2、数学运算

3、逻辑推理

【自主学习】

1．抛物线的几何性质

标准方程 y＝2px(p＞0) y＝－2px(p＞0) x＝2py(p＞0)

222

x

2

＝－2py(p

＞0)

图形

焦点

准线

性

质

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

对称轴

顶点

离心率 e＝

2.焦点弦

直线过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x

2

1122

，y)、B(x，y)两点，由抛物线的定

pp

义知，|AF|＝x，|BF|＝x，故|AB|＝ .

12

＋＋

22

3．直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线有三种位置关系： 、 和 ．

设直线y＝kx＋m与抛物线y＝2px(p＞0)相交于A(x

2

1122

，y)，B(x，y)两点，将y＝kx＋m代入

yx

2222

＝2px，消去y并化简，得k＋2(mk－p)x＋m＝0.

∈k＝0时，直线与抛物线只有 交点；

∈k≠0时，Δ＞0∈直线与抛物线 ∈有 公共点．

Δ＝0∈直线与抛物线 ∈只有 公共点．



pppp



2222

，0－，0



0，0，－

Δ＜0∈直线与抛物线 ∈ 公共点．

【小试牛刀】

1．抛物线关于顶点对称．( )

2．抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．( )

3．抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．( )

4．抛物线y

2

＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．( )

11

5．抛物线y＝－x

832

2

的准线方程为x＝．( )

【经典例题】

题型一 抛物线性质的应用

把握三个要点确定抛物线的简单几何性质

(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．

(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．

(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.

例1 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x＋y＝4相交的公共弦长等于23，

22

则抛物线的方程为________．

(2)如图，过抛物线y

2

＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，

B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．

[跟踪训练]1 已知抛物线y

2

＝8x.

(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；

(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是∈OAB

的重心，求∈OAB的周长．

题型二 直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线交点问题的解题思路

(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方

程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．

(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线

相切．

例2 已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；

2

有两个公共点；没有公共点．

[跟踪训练]2若抛物线y

2

＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA∈OB.

题型三 中点弦及弦长公式

“中点弦”问题解题方法

例3 已知抛物线方程为y＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，

2

[跟踪训练]3 过点Q(4,1)作抛物线y

2

＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．

题型四 抛物线的综合应用

例4 求抛物线y＝－x上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．

2

[跟踪训练]4 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，

A(x，y)，B(x，y)均在抛物线上．

1122

(1)求抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．

【当堂达标】

1．在抛物线y

2

＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( )

A．(42，±2) B．(±42，2)

C．(±2,42) D．(2，±42)

2．以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐

标原点，则其方程为( )

A．y

22

＝8x B．y＝－8x

C．y

2222

＝8x或y＝－8x D．x＝8y或x＝－8y

3．若抛物线y

2

＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝22，则抛物线的焦点到直线

AB的距离为( )

1111

A． C．

2468

B． D．

→→

4．设O为坐标原点，F为抛物线y·AF

2

＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若OA＝－4，则点A

的坐标是( )

A．(2，±22) B．(1，±2)

C．(1,2) D．(2,22)

5．过点P(0,1)与抛物线y

2

＝x有且只有一个交点的直线有( )

A．4条 B．3条

C．2条 D．1条

6．过抛物线y，y)，B(x，y)两点，如果x＋x＝6，则|AB|

2

＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x

112212

＝________.

7．已知AB是过抛物线2x

2

＝y的焦点的弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是________．

8．已知抛物线x＝－y

2

与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当

∈AOB的面积等于10时，求k的值．

9.已知y＝x＋m与抛物线y

2

＝8x交于A，B两点．

(1)若|AB|＝10，求实数m的值；

(2)若OA∈OB，求实数m的值．

π

10.已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为

4

的直线l被抛物线所截得

的弦长为6，求抛物线的标准方程．

【参考答案】

【自主学习】

pppp

x＝－ x＝ y＝－ y＝ x轴 y轴 (0,0) 1 x＋x＋p 相离 相切 相交

2222

12

一个 相交 两个 相切 一个 相离 没有

【小试牛刀】

× √ √ √ ×

【经典例题】

例1 (1)y＝3x或y＝－3x [根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±3，交点横坐标

22

为±1，则抛物线过点(1，3)或(－1，3)，设抛物线方程为

y

2222

＝2px或y＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y＝3x或y＝

－3x.]

(2)[解] 如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，

设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，

由定义得：|BD|＝a，故∈BCD＝30°，在Rt∈ACE中，∈|AF|＝4，|AC|＝4＋3a，

4

3

24

∈2|AE|＝|AC|，∈4＋3a＝8，从而得a＝

3p3

，∈BD∈FG，∈＝，p＝2.因此抛物线的方程是y

2

＝4x.

[跟踪训练]1 解 (1)抛物线y

2

＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，

(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.

(2)如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB∈x轴，垂足为点M，

2

又焦点F是∈OAB的重心，则|OF|＝

3

|OM|.

3

因为F(2,0)，所以|OM|＝

2

|OF|＝3，所以M(3,0)．

故设A(3，m)，代入y＝8x得m＝24；所以m＝26或m＝－26，

22

所以A(3,26)，B(3，－26)，所以|OA|＝|OB|＝33，所以∈OAB的周长为233＋46.



y＝kx＋1，

例2 解 联立消去y，得k＋(2k－4)x＋1＝0.(*)当k＝0时，(*)式只有一个解x



2

22

x

y

＝4x，



1



1

＝，∈y＝1，∈直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．

4



4

，1



当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)－4k＝16(1－k)．

22

∈当Δ>0，即k<1，且k≠0时，

l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；

∈当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；

∈当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．

综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；

当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；

当k>1时，l与C没有公共点．



y

2

＝4x，

[跟踪训练]2 [证明] 由



消去y，得x－12x＋16＝0.

2



y＝x－4，

∈直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，

∈可设A(x，y)，B(x，y)，则有x＋x＝12，xx＝16.

11221212

→→

∈OA·OBx＋yy＝xx＋(x－4)(x－4)＝xx＋xx－4(x＋x)＋16＝16＋16－4×12＋16＝

＝x

12121212121212

→→

0，∈OA∈OB

，即OA∈OB.



p

例3 解 由题意知焦点F，设A(x



2

，0

1122

，y)，B(x，y)，



5

若AB∈x轴，则|AB|＝2p≠

p，不满足题意．

2



p





x－

2

，

y＝k

p





所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k，k≠0.由



x－

2









y

2

＝2px，

2p

消去x，整理得ky－2py－kp＝0.由根与系数的关系得y，y

1212

＋y＝y＝－p.

k

222

所以|AB|＝＝1＋－4y

解得k＝±2.

11





1＋1＋

kk

21212122

·y－y·y＋yy＝2p＝p，



22

15

k2

2

所以AB所在的直线方程为2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.

[跟踪训练]3 [解] 法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x，y)，B(x，y)，

1122

22

则有y

1122121212

＝8x，y＝8x，∈(y＋y)(y－y)＝8(x－x)．

又y＝4，∈k

121212AB

＋y＝2，∈y－y＝4(x－x)，即＝4.

y－y

12

x－x

12

∈AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.

法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x

1122

，y)，B(x，y)，弦AB所在直线的方程为y



y

2

＝8x，

＝k(x－4)＋1.联立消去x，得ky－8y－32k＋8＝0，





y＝kx－4＋1，

2

此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标．

8

由根与系数的关系得y

1212

＋y＝.又y＋y＝2，∈k＝4.∈AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.

k

例4 解 方法一 设A(t，－t

2

)为抛物线上的点，

|4t－3t|3t

22

－8|－4t＋8|

1



2

2

4

t－



－＋8

则点A到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝＝

555

3





3

3



134



2

2

20



2

2

t－



＋

＝＋＝

t－

.

553

3

3





3







3

24

所以当t＝时，d有最小值

33

.

方法二 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行的抛物线的切线方程为4x＋3y＋m＝0，



y＝－x

2

，

4

由消去y得3x－4x－m＝0，∈Δ＝16＋12m＝0，∈m＝－



2

3

.



4x＋3y＋m＝0，

420





－8＋

33



4

故最小距离为＝＝

553

.

[跟踪训练]4 [解] (1)由题意可设抛物线的方程为y

2

＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得

2

2

＝2p×1，解得p＝2，

故所求抛物线的方程是y＝4x，准线方程是x＝－1.

2

(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以k＝－k，即.

PAPB

y－2y－2

12

＝－

x－1x－1

12

y－2y－2

12

yy4

22

12

又A(x，x，从而有＝－，即＝

112212

，y)，B(x，y)均在抛物线上，所以x＝＝

44yy

22

y＋2

1

12

44

－1－1

－，得y＝＝－1.

y－y

12

44

12AB

＋y＝－4，故直线AB的斜率k＝

y＋2x－xy＋y

21212

【当堂达标】

1.D [抛物线y

2

＝16x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有



yy

22

＝16x，＝16x，



2222



xx＝2

＋y＝x－4＋y



x＝2，

∈∈

所以符合题意的点为(2，±42)．]



y＝±42.

2. C解析 设抛物线方程为y

22

＝2px或y＝－2px(p>0)，

p

依题意得x＝，代入y＝2px或y＝－2px得|y|＝p，∈2|y|＝2p＝8，p＝4.

2

22

∈抛物线方程为y

22

＝8x或y＝－8x.



1

3.A [线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为



2

，0

，则焦点到直线AB的距



11

离为1－＝

22

.]

222

yyy

→→→→



000

4.B [由题意知F(1,0)，设A，则OA，AF，由OA·AF



444

，y，y，－y

000

＝＝＝－4

1－



得y

0

＝±2，∈点A的坐标为(1，±2)，故选B.]

5. B解析 当直线垂直于x轴时，满足条件的直线有1条；

当直线不垂直于x轴时，满足条件的直线有2条，故选B.

6. 8解析 因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|＝x＋x＋p＝6＋2＝8.

12

151

7.，y)，B(x，y)，由抛物线2x.

84

[设A(x＝y，可得p＝

1122

2

y＋y

12

15115

∈|AB|＝y＋y＋p＝4，∈y＋y＝4－.]

1212

4428

＝，故AB的中点的纵坐标是＝

8.解 过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，



x＝－y

2

，

由方程组消去x整理得ky＋y－k＝0，Δ＝1＋4k





y＝kx＋1，

22

>0，

1

设A(x，y

11221212

，y)，B(x，y)，由根与系数之间的关系得y＋y＝－·y＝－1.

k

设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1,0)．

111

∈S＝S＋S＝|ON||y|＋|ON||y|＝|ON||y－y|，

∈OAB∈OAN∈OBN1212

222

111

∈S＝×1×y＋yy＝×

∈AOB1212

22k

1

解得k＝±

6

.



y＝x＋m，

9.解 由



2

得x＋(2m－8)x＋m＝0.

22



y

＝8x，

2

－4y＋4＝10，

2

由Δ＝(2m－8)－4m＝64－32m>0，得m<2.

22

设A(x，y＝8m.

11221212121212

，y)，B(x，y)，则x＋x＝8－2m，xx＝my＝m(x＋x)＋xx＋m

22

(1)因为|AB|＝1＋kx＋xx＝2·64－32m＝10，所以m＝

22

1212

7

－4x，经检验符合题意．

16

(2)因为OA∈OB，所以xx＋yy＝m

1212

2

＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)．

所以m＝－8，经检验符合题意．

10.[解] 当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y

2

＝2px(p＞0)，则焦点

p



p

F.设直线l与抛物线的交点为A(x，y)，B(x，y)，过点A，



2

，0

，直线l的方程为y＝x－

2

1122



p



B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A，点B，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA|＋|BB|＝

1111



x＋

1

2



p



＋＝x



x＋

2

2

12

＋x＋p＝6，



∈x＋x＝6－p.∈

12

p





y＝x－

，

2

由消去y，得＝2px，即x－3px＋＝0.∈x







y

2

＝2px

3

－p，∈p＝

2

.

∈所求抛物线的标准方程是y

2

＝3x.

当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y＝－3x.

2

2

p

2



p

2



x－

2

4

12

＋x＝3p，代入∈式得3p＝6



高考数学：试卷答题攻略

一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术

原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。

4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答

时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高

后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计

两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准

确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取

得分。

对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一

般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.

缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行

一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，

可以第一问为“已知”，完成第二问。

四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。

对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探

索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一

开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自

明。理综求准求稳求规范

第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容

易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不

要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也

可能只难在一点，“新题”只新在一处。

第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先

易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转

换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家

由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。

第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生

物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先

确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出

正确选择，也应猜测一个答案，不要空题。物理题为不定项选择，在没

有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正

确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以

免留下后患。

第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物

都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织