高中数学新教材第六章不等式教学思考

高中数学新教材第六章不等式教学思考

新教材第六章《不等式》与数、式、方程、函数、三角等内容都有密切联系，讨论方程或方

的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值，讨论线性规划问题等，都要经常

不等式的知识，不等式在解决各类实际问题时也有广泛应用，可见，不等式在中学数学里占有重要地

是进一步学习数学的基础知识。

一、 把握教材层次，分层递进教学

分层递进教学是根据学生学习可能达到的水平及其客观差异性.把教育对象、课堂教学目标和

活动层次化，当然也包括对教学内容的层次化处理。

高中数学新教材第一章《集合与简易逻辑》中已经介绍了一元一次不等式(组)、一元二次不等

简单分式不等式和简单绝对值不等式的解法，而第六章《不等式》是在高一学习的基础之上进一步深

等式的性质、介绍不等式证明的常见方法和各种类型不等式的解法，在高三复习时，高二解析几何的学

数形结合思想的渗透又会进一步深化学生对不等式的理解,从而增加不等式问题的处理方法，教材对不

问题的处理方式体现了分层递进的教学策略,这样做有利于学生在学习过程中边学习、边巩固、再深入

巩固。那么在不等式这一章的教学中我们也应遵循这一原则，根据学生的能力水平提出适合学生实际

的教学目标，不必急于补充过多知识。

二、 渗透化归思想、强调等价变形

一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法是解各种不等式(组)的基础，学生应当熟练掌

解其他各种类型的不等式时，关键是善于根据有关的性质或定理，把它等价转化(即等价变形)为一元

不等式、一元二次不等式(组)。

一般来讲：

(1) 如果不等式是超越不等式或含绝对值的不等式，则可把它等价转化成代数不等式(组)

(2) 如果代数不等式是无理不等式，则可把他等价化归成有理不等式(组)

(3) 如果有理不等式是分式不等式，则可把他化归成整式不等式(组)

(4) 如果整式不等式是高次不等式，则可把他等价化归成一元一次不等式、一元二次不等式(组)或

用序轴标根法

解不等式时，尤其是解无理不等式和对数不等式时更要注意变形的等价性。

例如：解不等式

x5x6x2

2

变形一: 原不等式变形为

x5x6(x2)

22



x5x60

2

变形二: 原不等式变形为



22



x5x6(x2)



x5x60

2



x5x60

2



变形三：原不等式变形为(1)或(2)





x20

x20





x5x6(x2)

22





x5x60

2



x5x60

2



变形四：原不等式变形为(1)或(2)





x20



x20



x5x6(x2)

22





x5x60

2



x5x60

2



x20

变形五：原不等式变形为(1)或(2)





x20





x5x6(x2)

22



在以上五种变形中，变形一漏掉偶次根号下的式子必须取非负值，变形二没有考虑当且仅当不等

两边都非负时才可以将不等式两边平方，变形三漏掉了的情况，变形四的(2)式扩大了解的范围

x20

有变形五是原不等式等价变形。又如对数的真数应该大于零也是学生经常容易忽略的,应加以强调。

三、 注重基本方法，防止难度失控

不等式的证明有很多方法，在本章中并未全部涉及，防止难度失控的关键是因材施教。

比较法、综合法、分析法是证明不等式的基本方法，其中比较法是一种最基本、最重要的方法，它

利用不等式的两边的差是正数或负数来证明不等式，其应用非常广泛，属必须掌握并要求能够灵活运用

内容。

分析法是从要证明的不等式出发，寻找使这个不等式成立的某一，如此逐步向前追溯(执

充分条件

因)，一直追溯到已知条件或一些真命题为止，分析法的证明过程常常表现为“要证„„只要证„„”

后推至已知条件或真命题。

综合法是从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所要证的不等式，综合法的证

程常常表现为“因为„„所以„„”，应该说：分析法的过程是思考过程，综合法的过程是推理过程，

注意的是，当我们直接推证不等式有困难时往往会用分析法的思想寻求证明的出发点。实践表明，我们

明不等式时往往实现分析，后推理。

证明不等式还有反证法、换元法、放缩法、判别式法、利用函数单调性等方法，如学生能力较好

充几个例题介绍换元法、放缩法，但不必强调不等式证明方法的各种技巧，因为这不符合高中数学新

的要求，也背离了近几年来高考的改革方向。

四、 抓住关键词语，解决实际问题

理论与实际相结合是新教材的一大特色，本章教材在引言中安排了一个实际问题——求一个

体无盖贮水池的最低总造价。这个问题是一个求函数的最小值的问题，可以用函数的知识来解决，但

用算术平均数与几何平均数的定理，则很容易。除此之外，新教材还增加了—些实际应用题，如6．2

习第4题，求一个菜园的最大面积；6.3节例4，求解一个行程问题，例7，比较截面是圆的水管与截

正方形的水管的流量大小问题等。6.2节中的例1，6.2节习题中第6、7题。小节和复习中的参考例题

复习参考题六中的第5、10、14题等是利用不等式的知识解决函数问题、方程问题和几何问题等的例习

这说明新教材更加注重培养学生分析向题、解决实际问题的能力，提高学生用数学的意识，有利于提

生利用不等式的知识解决实际问题的能力。

解决实际问题的关键是读懂题意，抓住关键词语，从中抽象出数学模型。

例：某厂花费50万元买回一台机器,此机器投入生产后每天要付维修费,已知第x天应付的维修



1

(x1)500



4

元.机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天,叫做每天的平均损



当平均损耗达到最小时，机器应当报废。

(1) 将每天的平均损耗y(元)表示为投产天数x的函数；

(2) 求机器使用多少天应当报废？

关键词：

平均损耗——机器从投产到报废共付的维修费与购买机器费用的和均摊到每一天,叫做每天的平均损耗

．．．．

抓住关键词不难列出

12x1

500000500(500)(500)(500)



444

y

x

500000x7

499

x88

则问题迎刃而解。

从高中数学新教材看来,《不等式》是承上启下的一章，运用遍及整个高中教学，在教学中我

着重把握一个“度”字，以本为本、以纲为纲，从学生的实际情况出发，确实以学生为主体，因人而异

材施教，才能实现教材改革的真正目标——素质教育。

苏州市一中

2001/