高中数学_1.1基本计数原理教学设计学情分析教材分析课后反思

§1.1基本计数原理教学设计

一、 教学内容分析

《基本计数原理》是人教B版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一章第一节

的内容；本节课的核心是两个计数原理,理解它关键就是要体会两个计数原理的基本思想及

其应用方法。学生已经学过加法、乘法，本节课的内容要与之建立相关联系。教学的重点是

两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐述两个计数原理的基本内容，分析原理的条件

和结论，特别是要注意使用对比的方法，引导学生认识它们的异同。由于它们不仅是推导排

列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法贯穿本章内容的始终,所以在本章有重

要的地位，是本学科的重要内容。另外本节课涉及的分步、分类的思想是解决实际问题的最

有效武器，是人们思考问题的最根本方法.

二、学情分析

高二学生已具备一定的数学知识和方法，能很容易的接受两个原理的内容，并应用原

理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽然学生已经具备了

一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面尚需进一步培养．另外，学生

的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，对能够引起认知冲突，表现自身价值的学

习素材特别感兴趣。但在合作交流意识欠缺，有待加强.

三、 设计思想

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这

一问题的原因是学生无法把具体的问题特征与两个计数的基本思想联系起来。要解决这一问

题，在本节教学时先采取通过典型的、学生熟悉的实例，经过抽象概括而得出两个计数原理，

然后按照从单一至综合的方式，安排比较多的例题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本

思想及其应用方法。

四、教学目标

1、知识与技能

①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容

②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单实际问题．

2、过程与方法

①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原理的应用

并最终学会应用

②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分步计数原

理，并应用它们解决实际问题

3、情感、态度、价值观

树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和兴趣.

五、教学重难点

重点：分类计数原理与分步计数原理的掌握

难点：根据具体问题特征选择分类计数原理与分步计数原理解决实际问题．

六、 教学过程设计

(一)创设情景——引入原理

引例1：灰太狼从狼堡去羊村抓羊，他走水路有2艘船，走陆路有3辆汽车．请问灰太狼去

羊村一共有几种不同的方法？

在解决问题时首先让学生尝试分析,然后由学生代表分析解答，教师及时给出评价，让

学生清楚的认识到总方法数是各类方法数之和.为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.

设计意图:该情境是从学生们喜欢的动画片经过加工设计的，贴近学生生活，能够增强

学生的有意注意，激发学生的兴趣，调动学生的主动性和积极性,从而进入思维情境。

引例2：灰太狼从狼堡去羊村抓羊，必须经过一个小岛，从狼堡到小岛走水路有2艘船，从

小岛到羊村走陆路有3辆汽车．请问灰太狼去羊村一共有几种不同的方法？

学情预设：

第一步：由学生自主尝试分析解答，但该问题并没有引例1般简单所以就有了第二步：

教师电脑屏幕显示分析及解题过程，利用多媒体显示动画，辅助分析，展示不同的走法,帮

助学生更直观的解决问题，然后由感性进入理性，这也符合一般的认知规律.

第三步：将问题引申为若从狼堡到羊村新增1艘船，则有多少种不同走法？

设计意图：通过引申让学生更加清楚的认识到总方法数是各步方法数相乘.

问题1：以上两个问题都是从狼堡到羊村的不同走法问题，他们有什么区别呢？

此处设计小组活动1：学生分组讨论，由小组代表汇报展示探究成果。

【学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。】

设计意图:1、通过对两个问题的对比，让学生体会什么时候用加法，什么时候用乘法，

为学生顺利总结概括出原理做好铺垫.

2、合作交流可以提高学生的数学表达意识，激发合作意识和竞争意识，体验获得成功

的喜悦，也就完成了情感目标.

教师指出：引例1和引例2的分析过程，分别蕴含了分类加法计数原理和分步乘法计

数原理，两个原理统称基本计数原理，从而引出课题。（教师板书课题）

问题2：你能否尽可能简练的总结出问题1中的计数规律？

设计意图:启发学生由特殊情形归纳出一般原理,遵循由简单到复杂的认知规律。

(二)观察归纳——形成原理

如果完成一件事，有 n 类方法，第1类m

12

种不同方法，第2类有 m 种不同方法,……，

第 n 类有 m

n

种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

N＝m＋m＋m＋m＋…＋m

1234n

学情预设：

学生尝试归纳总结，学生总结时可能做得不是十分完美，所以在此发挥教师主导性，用

比较精炼的语言对原理进行描述。从特殊到一般的思想，在此反映出来，体现出由具体到抽

象的数学思维方式。）

问题3：你能举出生活中可以用分类加法计数原理解决的实例吗？

问题4：你能否类比分类加法计数原理，归纳概括出引例2蕴含的计数规律,并尝试命名？

设计意图:1、可指导学生通过类比给出分步乘法计数原理，渗透类比思想。

2、可在自主探究中掌握本节重点，也为难点突破打下了知识基础

（三）观察归纳类比——形成原理

完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步办法中有m

12

种不同的方法,……，做第n步有m

n

种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

N＝m×m×m×m×…×m

1234n

问题5：你能举出生活中可以用分步乘法计数原理解决的实例吗？

问题6：两个计数原理有什么联系与区别？

（学生回答）

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类

的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独

完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为

若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完

成后，才算完成这件事，是合作完成.

教师总结：本节课主要介绍了两个基本原理，解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，

分清是分类还是分步，或分类中含分步、分步中含分类 ，无论是分类、分步，关键是做到

不重不漏.

（四）典型例题

例1、羊村内的小羊们正热火朝天地举行运动会。绵羊族有8名运动员，盘羊族有7名

运动员，羚羊族有6名运动员。问：

（1）要从三个族中任选一名代表作羊族运动会圣火手，有多少种不同选法？

（2）要从三个族中各选出一名代表作为火炬手。有多少种不同选法？

分析：（2）1、完成的这件事是什么？

2、如何完成这件事？

3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成）

4、运用哪个计数原理？

5、进行计算。

解：属于分步：

第一步：从绵羊族中选一代表，有8种选择

第二步：从盘羊族中选一代表，有7种选择

第三步：从羚羊族中选一代表，有6种选择

共有N=8×7×6=336种选择

巩固提升

实力雄厚的沸羊羊得了一个冠军，高兴地一口气写了四封信，来到邮局看到邮局有三个

信箱。要把4封信任意投入3个信箱中,那么不同投法种数是多少？

此处设计小组活动2：学生分组讨论，由小组代表汇报展示探究成果。

重点讨论内容：

（1）要完成什么事？

（2）如何完成这件事？

（3）分类还是分步？

分析：分4步完成：

第一步：投第1封信，有3种选择

第二步：投第2封信，有3种选择

第三步：投第3封信，有3种选择

第四步：投第4封信，有3种选择

共有N=3×3×3×3=81种选择

变式：要把3封信任意投入4个信箱中,那么不同投法种数是多少？

设计意图:通过例题及变式，使学生用这个原理解决问题时，能够用原理表达，要清楚完成

一件什么事？怎么完成？分哪几类？哪几步？

教师点拨提升

应用两个基本计数原理解题时的一般步骤：

（1）弄清怎样就能“完成这件事”？

（2）合理分类，准确分步： 按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；

注意：分类时不重不漏，分步时不缺步

例2、五一节到了，羊村里的某商场举行抽奖活动，中奖号码有5位数码，每位数若是0~9

这十个数字中任一个，则可产生多少种可能的中奖号码？

变式１：0~9这十个数一共可以组成多少5位数？（自主完成）

变式２： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的5位数（自主完成）

变式3： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的5位偶数呢？（师生共同完成）

变式4： 0~9这十个数字可组成多少数字不重复的5位奇数呢？（学生黑板板演，学生点评）

设计意图:通过一组变式让学生感受复杂问题可以两个原理混合用：先分类，后分步；或先

分步，后分类。

教师点拨提升

利用两个计数原理解题时需注意的问题：

1.是否重复

2.特殊元素或特殊位置，可优先安排。

3. 同一事件可以采用不同的解法，但结果一定相同（可用此法检验）。

（五）、能力建构：

通过本节课的学习，你有哪些收获？

（六）、作业布置

1、课本第7页1-1A第1、2、3、4、5题；

2、(选作)课本第9页第9题

3、

思考题：如图，花坛内有5个花池，有5种不同

颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方

案最多有 ( )

A．180种 B．240种

C．360种 D．420种

设计意图:分层次布置作业，体现因材施教。

七、板书设计：

两个基本计数原理

1、分类计数原理：

例1．

例2．

小结：

N=m +m +……+m

12n

2、分类计数原理：

N=m×m ×……×m

12n

《基本计数原理》学情分析

高二学生的知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具

备了一定的抽象思维能力和演绎推理能力，能很容易的接受两个原理的内容，并

应用原理解决一些简单的实际问题，这些形成了学生思维的“最近发展区”．虽

然学生已经具备了一定的归纳、类比能力，但在数学的应用意识与应用能力方面

尚需进一步培养．另外，学生的求知欲强，参与意识，自主探索意识明显增强，

对能够引起认知冲突，表现自身价值的学习素材特别感兴趣。但在合作交流意识

欠缺，有待加强.

在目前学生如果遇到与计数有关问题，基本采用列举法，在初中概率学中

也学过树状图，也可解决这种问题。但当这个数很大时，列举法就很难实施。在

本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产

生这一问题的原因是学生无法把具体的问题特征与两个计数的基本思想联系起

来。要解决这一问题，在本节教学时先采取通过典型的、学生熟悉的实例，经过

抽象概括而得出两个计数原理，然后按照从单一至综合的方式，安排比较多的例

题，引导学生逐步体会两个计数原理的基本思想及其应用方法。

针对学生的思维特点和知识结构，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结

合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独

立思考和相互交流的形式，在教师的指导下学生运用观察分析讨论总结的学习方

法。

《基本计数原理》效果分析

A组 （面向全体学生）

1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法

完成．从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( )

A．8 B．15 C．16 D．30

分析：通过率：100% 学生已掌握简单的分类加法问题。

2．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有 ( )

A．3种 B．6种 C．7种 D．9种

分析：通过率：90.4% 个别同学没有正确分类。

3．手表厂为了生产更多款式新颖的手表，给统一的机芯设计了4种形状的外壳、2种颜色

的表面及3种形式的数字.共有 ________种不同的款式。

分析：通过率：95.2% 极个别同学没有理解好题意，没能准确分步。

B组（面向基础较好的学生）

1.把4名实习老师分配到5个班级实习，每个班人数不限的分配方案有 种；每个

班最多1名老师的分配方案有 种.

分析：通过率：71.4% 问题错在：没能合理设计程序 ，准确分步。

2、从1,2,3,5,7,9六个数中任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为

________．

分析：通过率：61.9% 问题错在：考虑不全，没有将真数为1的重复的部分减掉。

《基本计数原理》教材分析

《基本计数原理》是人教B版普通高中课程标准试验教科书（选修2-3)第一

章第一节的内容。本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原

理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，

实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通

过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法

原理。分步、分类的思想是解决实际问题的最有效武器，是人们思考问题的最根

本方法.所以计数原理是数学的重要研究对象

本节课的核心是两个计数原理,理解它关键就是要体会两个计数原理的基本

思想及其应用方法。学生已经学过加法、乘法，本节课的内容要与之建立相关联

系。教学的重点是两个计数原理，解决重点的关键是结合实例阐述两个计数原理

的基本内容，分析原理的条件和结论，特别是要注意使用对比的方法，引导学生

认识它们的异同。教学的难点是正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析

和解决问题． 由于计数问题与学生熟悉的代数问题有些不同，常常涉及一些复

杂的关系，很容易造成分析过程中的逻辑混乱，而且在解决问题时还常常发生分

不清排列还是组合、重复或遗漏计算等情况．为了突破难点，教科书始终把两个

计数原理的理解放在突出位置，并给学生提供辨别容易混淆的概念、用不同思路

分析和解决问题的机会．

A、B版教材的比较：

教材为了体现课标“了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题”

的要求，教科书特别注意选材的时代性和现实性问题：A版教材举出9个例题，

其中5个例题背景复杂，涉及物理、生物、计算机的专业知识，而B版教材只

举了3个例题，且偏重“数学化”。 B版教材这样的安排并不是说明两个原理不

重要，而是它们将渗透在后面的排列组合问题当中。我们在处理这部分知识时，

不要被教材中繁难的应用背景困住了手脚，重在让学生能够分析问题，利用分类

和分步将问题简单化而得以解决。

课时安排

本节课可分为2课时：

第1课时 新授课；第2课时 习题课

《基本计数原理》评测练习

A组

1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法

完成．从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是( )

A．8 B．15 C．16 D．30

2．某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有 ( )

A．3种 B．6种 C．7种 D．9种

3．手表厂为了生产更多款式新颖的手表，给统一的机芯设计了4种形状的外壳、2种颜色

的表面及3种形式的数字.共有 ________种不同的款式。

B组

1.把4名实习老师分配到5个班级实习，每个班人数不限的分配方案有 种；每个

班最多1名老师的分配方案有 种.

2、从1,2,3,5,7,9六个数中任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数值的个数为

________．

《基本计数原理》课后反思

本节课紧紧围绕“学生为主体，教师为主导”的教育理念来设计。

课堂教学过程是在教学目标的指引下，由师生共同动态“生成”的．其中，

学生的反馈是重要的，它决定了教学的进程．聆听学生是教师的必备技能，不要

将学生作为“答案发生器”，不要沉浸在“我的学生都会做了”这种虚假的成功

喜悦中，而应该让学生关注解决问题的过程、策略及思想方法，让他们充分地展

示思想，完整地、数学地表达自己的想法，甚至于应该给予他们犯错的机会，也

帮助他们提高分析错误、更正错误的能力．

分类加法计数原理比较好掌握，分步乘法计数原理不太好理解. 学生在解题

时，往往对答案很在意，也很在行．例如在引例2的解决中，学生极快地报出了

答案“6”，但在叙述他的解题过程时，却说不太清楚．当然，他一定觉得用“数”

数的方法可以解决，但难以表述．这种“两难”处境需要教师的协助来化解，在

教师的鼓励下，他用“数”数的方法完成了问题，并对计数的对象进行了分步，

利用分步乘法计数原理重新阐述了做法，得到了师生的共同认可．在这一过程中，

不仅是这名学生，而是全体，都体验了不要“轻易言败”的心理历程，这也在一

定程度上实现了新课程所倡导的“情感、态度、价值观”的目标．

理解分类加法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分

类解决， 各个击破； 理解分步乘法计数原理就是指将一个复杂问题分解为若干

“步骤”，先对每一个步 骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。

《基本计数原理》课标分析

《课程标准》对本章的教学侧重点做了界定：“计数问题是数学中的重要研究

对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最

重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．”

这说明，本章的教学重点是两个基本计数原理，而排列、组合、二项式定理则是

两个基本计数原理的应用实例．

根据上述分析，结合《课程标准》对本章的目标定位，我认为，《计数原理》

这一章研究的对象是计数问题，研究的方法是“问题解决”，研究的过程是“建

构方法”，在本课的学习过程中，师生将面对实际计数问题（可能是已加工过的）

并加以解决，这一“问题解决”过程的目标是建构方法——两个基本计数原理．

因此，将本节课的教学目标拟定为：

1、知识与技能

①掌握分类计数原理与分步计数原理的内容

②能根据具体问题的特征选择分类计数原理与分步计数原理解决一些简单

实际问题．

2、过程与方法

①通过具体问题情境总结出两个计数原理，并通过实际事例学生感悟两个原

理的应用并最终学会应用

②通过“学生自主探究、合作探究，师生共究”更深刻的理解分类计数与分

步计数原理，并应用它们解决实际问题

3、情感、态度、价值观

树立学生积极合作的意识，增强数学应用意识,激发学生学习数学的热情和

兴趣.