2021新教材人教版高中数学A版必修第一册模块练习题

2.2 基本不等式

基础过关练

题组一 对基本不等式的理解

1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是( )

A.a+b>2ab B.a+b≥2𝑎𝑏

22

√

C.+> D.+≥2

112𝑏𝑎

𝑎𝑏𝑎𝑏

√

𝑎𝑏

2.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为( )

1

𝑥-2𝑦

A.x≥2y B.x>2y

C.x≤2y D.x<2y

3.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是( )

A.x+1≥2𝑥 B.x+1>2x

√

2

C.≤1 D.x+≥2

11

𝑥+1𝑥

2

4.(2020北京东城高一期末)“a,b为正数”是“a+b>2𝑎𝑏”的( )

√

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

题组二 利用基本不等式比较大小

5.已知a,b∈R,则a+b与2|ab|的大小关系是( )

22

A.a+b≥2|ab| B.a+b=2|ab|

2222

C.a+b≤2|ab| D.a+b>2|ab|

2222

6.设0且a+b=1,则下列四个数中最大的是( )

A. B.a+b

1

2

22

C.2ab D.a

7.若0则下列不等式一定成立的是( )

A.b>>a>𝑎𝑏 B.b>𝑎𝑏>>a

C.b>>𝑎𝑏>a D.b>a>>𝑎𝑏

𝑎+𝑏𝑎+𝑏

√√

22

𝑎+𝑏𝑎+𝑏

√√

22

𝑎-𝑐

8.若a>b>c,则与(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐)的大小关系是 .

√

2

题组三 利用基本不等式求最值

9.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y=x+(x>1),则函数的最小值等

于( )

A.42 B.42+1

√√

C.5 D.9

10.若正数x,y满足x+4y-xy=0,则当x+y取得最小值时,x的值为( )

A.9 B.8 C.6 D.3

11.对任意正数x,不等式ax≤x+1恒成立,则实数a的最大值为( )

2

A.1 B.2 C.2 D.

√

2

√

2

4

𝑥-1

12.(2020福建南平高一期末)若a,b都是正数,则+

(1

)(1)

+的最小

𝑎𝑏

值为( )

A.5 B.7 C.9 D.13

𝑏4𝑎

13.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末)若正数x,y满足x+y=1,

则+的最小值为( )

41

𝑥+1𝑦

2714944

5327

A. B. C. D.

14.设0则函数y=3𝑥(8-3𝑥)的最大值为 .

√

题组四 利用基本不等式证明不等式

15.设x>0,求证:x+≥.

23

2𝑥+12

16.(2020山东烟台高二期末)已知a,b,c均为正数,a,b,c不全相等.

求证:++>a+b+c.

17.已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,求

证:

(

-1)-1)-1)>8.

((

18.已知a,b,c为不全相等的正数,且abc=1.

求证:𝑎+𝑏+𝑐<++.

√√

√

111

𝑎𝑏𝑐

111

𝑥𝑦𝑧

𝑏𝑐𝑎𝑐𝑎𝑏

𝑎𝑏𝑐

题组五 利用基本不等式解决实际问题

19.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m的铁架框(铁

2

管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最

少)的是( )

A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m

20.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需

要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化

生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新

建一个矩形音乐喷泉综合体ABCD,该项目由矩形核心喷泉区

1111

ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面

积为1 000 m,绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示).当整个项目

2

ABCD占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为( )

1111

A.20 m B.50 m

C.1010 m D.100 m

√

21.某公司租地建仓库,每月租地费用与仓库到车站的距离成反比,而

每月货物的运输费用与仓库到车站的距离成正比.若在距离车站10

km处建仓库,则每月的租地费用和运输费用将分别为2万元和8万元.

那么要使每月的两项费用之和最小,仓库应建在离车站 处.

22.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋

至少12层,每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知,若

将楼房建为x(x≥12,x∈N)层,则每平方米的平均建筑费用s=3

*

000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房

应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?

注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用

=

能力提升练

题组一 利用基本不等式求最值

1.(2020广东惠州高二期末,)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值

购地总费用

建筑总面积

是( )

A. B.4 C. D.8

2.(2020山东昌乐一中高二月考,)设a,b满足2a+3b=6(a>0,b>0),则

23

+的最小值为( )

𝑎𝑏

25811

A. B. C. D.4

633

11

48

)若正数a,b满足a+b=1,则下列说3.(多选)(2020广东东莞高二期末,

法正确的是( )

有最大值

B.𝑎+𝑏有最小值2

√

√√

C.+有最小值4

D.a+b有最小值

22

2

√

2

1

4

11

𝑎𝑏

4.(2020浙江丽水高一期末,)设正数a,b满足a+4b+=4,则

a= ,b= .

22

1

𝑎𝑏

5.(2020辽宁辽南协作校联考高二期末,)设正数a,b,c满足a+b≥c,

则+的最小值为 .

𝑏𝑎

𝑎𝑏+𝑐

)已知a>0,b>0,且a+b=8,则的最大值6.(2020天津南开高一期末,

3𝑎𝑏

𝑎+4𝑏

是 .

7.(2020山东菏泽高二期末,)已知x>y>0,求x+的最小值.

2

4

𝑦(𝑥-𝑦)

题组二 利用基本不等式证明不等式

8.()已知a,b为正数,求证:+≥.

9.()若a>b,且ab=2,求证:≥4.

10.(2020河北沧州高二期中,)已知a,b,c均为正数,求

2𝑏+3𝑐-𝑎𝑎+3𝑐-2𝑏𝑎+2𝑏-3𝑐

证:++≥3.

𝑎2𝑏3𝑐

142(2+1)

√

2

𝑎𝑏2𝑎+𝑏

𝑎+𝑏

2

2

𝑎-𝑏

11.()(1)已知a,b,c∈R,求

证:++≥2(a+b+c);

√𝑎√𝑏√𝑐

222222

+𝑏+𝑐+𝑎

√

(2)若00,b>0,求证:+≥(a+b).

题组三 基本不等式在实际问题中的应用

12.()《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了

𝑎𝑏

2

2

2

𝑥1-𝑥

后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、

定理都能够通过图形实现证明,因此这种方法也被称之为“无字证

明”.如图所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),

点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于点E,设AC=a,BC=b,则该图

形可以完成的“无字证明”为( )

𝑎+𝑏

(a>0,b>0) A.𝑎𝑏≤

2

𝑎+𝑏2𝑎𝑏

B.<(a>0,b>0,a≠b)

2𝑎+𝑏

2𝑎𝑏

C.≤𝑎𝑏(a>0,b>0)

√

𝑎+𝑏

2𝑎𝑏𝑎+𝑏

D.<𝑎𝑏<(a>0,b>0,a≠b)

√

𝑎+𝑏2

√

13.()一批货物随17列火车从A市均以v千米/时的速度匀速直达B

市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,每两列火车的间距不得小于

𝑣

2

()

20

千米(火车的长度忽略不计),那么这批货物全部运到B市,最快需

要 小时.

14.(2020山东滨州高一上期末,)物联网(Internet of Things,缩写:IOT)

是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的

普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工

业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的

市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调

查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y(单位:万元),仓库到车站

1

的距离为x(单位:千米),x>0,其中y与x+1成反比,每月库存货物费

1

y(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y和y分

212

别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,

才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?

深度解析

15.()2020年1月,在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情中,武汉市为

了落实“四类人员”分类集中管理措施,迅速启动“方舱医院”建设.

某单位决定用募捐的18.8万元把一会展中心(长方体状,高度恒定)改

造成方舱医院,假设方舱医院的后墙利用原墙不花钱,正面用一种复合

板隔离,每米造价40元,两侧用砖砌墙,每米造价45元,顶部每平方米造

价20元.问:

(1)改造后方舱医院的面积S的最大值是多少?

(2)为使S达到最大,且实际造价又不超过预算,那么正面复合板应设计

为多长?

答案全解全析

基础过关练

1.D ∵a+b-2ab=(a-b)≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C

222

不符合题意;∵ab>0,∴>0,>0,∴+≥2·=2,当且仅当a=b时等号

√

𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏

成立,∴D符合题意.

2.B 因为不等式成立的前提条件是x-2y和均为正数,所以x-2y>0,

即x>2y,故选B.

3.C 对于A,当x≤0时,无意义,故A不成立;对于B,当x=1时,x+1=2x,

2

故B不成立;对于C,x+1≥1,所以≤1成立;对于D,当x<0时,不成立.

2

2

𝑥+1

1

1

𝑥-2𝑦

𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎

故选C.

4.D 若a,b为正数,取a=1,b=1,则a+b=2𝑎𝑏,则“a,b为正数”不是

√

“a+b>2𝑎𝑏”的充分条件;若a+b>2𝑎𝑏,取a=1,b=0,则b不是正数,则

√√

“a,b为正数”不是“a+b>2𝑎𝑏”的必要条件.故“a,b为正数”是

√

“a+b>2𝑎𝑏”的既不充分也不必要条件,故选D.

√

5.A ∵a+b-2|ab|=(|a|-|b|)≥0,∴a+b≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时,等号

22222

成立).

6.B 解法一:因为0所以1=a+b>2a,所以a<.又因为a+b≥2ab,

22

2

1

所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>2𝑎𝑏,所以

√

ab<,所以a+b=(a+b)-2ab=1-2ab>1-=,

222

422

111

即a+b>,故选B.

22

2

1

解法二:特值检验法:取a=,b=,则2ab=,a+b=.因为>>>,所以a+b

2222

33999293

12455141

最大,故选B.

7.C ∵0∴2b>a+b,∴b>>𝑎𝑏.

𝑎+𝑏

2

√

∵b>a>0,∴ab>a,∴𝑎𝑏>a.

2

√

故b>>𝑎𝑏>a.

𝑎+𝑏

2

√

𝑎-𝑐

2

8.答案 ≥(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐)

√

𝑎-𝑐(𝑎-𝑏)+(𝑏-𝑐)

22

解析 因为a>b>c,所以=≥(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐),当且仅当a-b=b-c,即

2b=a+c时,等号成立.

√

9.C 因为x>1,所以y=x+=(x-1)++1≥2(𝑥-1)·+1=5.

√

𝑥-1𝑥-1𝑥-1

444

当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立.故选C.

𝑥-1

4

10.C ∵x>0,y>0,x+4y=xy,∴+=1,

𝑥𝑦

41

∴x+y=(x+y)+≥5+2·=9,当且仅当x=2y时,等号成

(

+=5+

)

√

𝑥𝑦𝑦𝑥𝑦𝑥

𝑥=2𝑦,

𝑥=6,

立,此时解得故选C.

{{

𝑦=3.

𝑥+4𝑦=𝑥𝑦,

11.C ∵x>0,ax≤x+1,

2

∴a≤=x+.

𝑥+11

2

𝑥𝑥

111

𝑥𝑥𝑥

41𝑥4𝑦𝑥4𝑦

又∵x+≥2𝑥·=2当且仅当x=,即x=1时取得等号,∴a≤2,故a

√

的最大值为2.

12.C 因为a,b都是正数,所以+

(1

)(1

+

𝑎

4𝑎𝑏4𝑎𝑏4𝑎

𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏

𝑏

)

=5+

+≥5+2·=9(当且仅当b=2a时等号成立),故选C.

√

13.D ∵x>0,y>0,x+y=1,∴x+1+y=2,

∴+=··+4+(5+24)=当且仅当

41𝑥+1+𝑦4114𝑦𝑥+119

𝑥+1𝑦2𝑥+1𝑦2𝑥+1𝑦22

12

33

((1

+=+≥

))

√

x=,y=时,等号成立,故选D.

14.答案 4

解析 ∵0∴0<3x<6,8-3x>2>0,∴y=3𝑥(8-3𝑥)≤==4,

√

当且仅当3x=8-3x,即x=时等号成立.

3

4

3𝑥+(8-3𝑥)8

22

∴当x=时,y=3𝑥(8-3𝑥)有最大值4.

√

3

4

15.证明 因为x>0,所以x+>0,

2

1

所以x+=x+=x++-≥2-=.

211111113

2𝑥+122222

11123

𝑥+𝑥+𝑥+

111

222

√

(𝑥)

+·

当且仅当x+=,即x=时,等号成立.故x>0时,x+≥.

222𝑥+12

𝑥+

1

2

16.证明 ∵a>0,b>0,c>0,

∴+≥2=2c,

√

𝑎𝑏𝑎𝑏

𝑎𝑐𝑎𝑏𝑎bc

𝑏𝑐𝑏𝑐

𝑏𝑐𝑎𝑐𝑎𝑏𝑐

2

+≥2=2a,

√

2

=2b. +≥2

𝑏𝑐𝑎𝑏𝑎𝑐𝑏

𝑎𝑐𝑎𝑐

√

2

当且仅当a=b=c时上式等号均成立,

又a,b,c不全相等,

故上述等号至少有一个不成立.

∴++>a+b+c.

𝑎𝑏𝑐

𝑏𝑐𝑎𝑐𝑎𝑏

17.证明 因为x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,

所以-1==>,①

𝑥𝑥𝑥𝑥

11-𝑦𝑥+𝑧2𝑥𝑧

𝑦𝑦𝑦𝑦

11-𝑧𝑥+𝑦2𝑥𝑦

𝑧𝑧𝑧𝑧

11-𝑥𝑦+𝑧2𝑦𝑧

√

-1==>,②

√

>,③ -1==

111

√

由①×②×③,

得

(

-1)-1)-1)>8.

((

𝑥𝑦𝑧

18.证明 因为a,b,c都是正数,且abc=1,所以+≥2=2𝑐,

√

√

𝑎𝑏𝑎𝑏

111

111

+≥2=2𝑎,

√

√

𝑏𝑐𝑏𝑐

111

+≥2=2𝑏,

√

√

𝑎𝑐𝑎𝑐

三个不等式左、右两边分别相加,得

2

(

++≥2(𝑎+𝑏+𝑐),

)

√√

√

𝑎𝑏𝑐

当且仅当a=b=c时,等号成立.

又因为a,b,c不全相等,

所以𝑎+𝑏+𝑐<++.

√√

√

𝑎𝑏𝑐

19.C 设直角三角形两直角边长分别为x m,y m,则xy=1,即xy=2.

2

1

111

111

周长l=x+y+≥2𝑥𝑦+2𝑥𝑦=22+2≈4.83(m),

√𝑥

22

+𝑦

√

√

√

当且仅当x=y时等号成立.结合实际问题,可知选C.

20.B 设BC=x m,则CD= m,

所以𝑆=(x+10)

矩形𝐴

1111

𝐵𝐶𝐷

(

=1 040+4x+

10 000

𝑥

1 000

𝑥

1 000

𝑥

+4)

10 000

𝑥

≥1 040+24𝑥·=1 440,

√

当且仅当4x=,即x=50时,等号成立,

10 000

𝑥

所以当x=50时,整个项目占地面积最小.故选B.

21.答案 5 km

解析 设仓库建在离车站x km处,每月租地费用y=(k≠0),每月运

11

1

𝑥

𝑘

输费用y=kx(k≠0).把x=10,y=2代入y=,得k=20;把x=10,y=8代

2221112

1

𝑥

𝑘

入y=kx,得k=,

222

5

4

故每月两项费用之和y=+x≥2·=x,即x=5时

√

x=8,当且仅当

𝑥5𝑥5𝑥5

204204204

等号成立.

22.解析 设楼房每平方米的平均综合费用为y元.

依题意得y=s+=50x++3 000(x≥12,x∈N).

因为50x++3 000

20 000

𝑥

8 000×10 00020 000

4 000𝑥𝑥

*

+3 000=5 000, ≥2×50𝑥·

,即x=20时,等号成立, 当且仅当50x=

√

20 000

𝑥

20 000

𝑥

所以当x=20时,y取得最小值5 000.

所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,

每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.

能力提升练

1.C 由题意得,xy=×2xy≤×=×=,

((

222228

111

428

112𝑥+𝑦111

))

22

当且仅当x=,y=时等号成立,所以xy的最大值是.故选C.

2.A ∵2a+3b=6,∴+=1,

32

𝑎𝑏

∴+=++≥+2·=+2=,

(

++=

)()

√

𝑎𝑏𝑎𝑏326𝑎𝑏6𝑎𝑏66

当且仅当=,即a=b=时,等号成立,所以+的最小值为.

𝑎𝑏5𝑎𝑏6

𝑏𝑎62325

2323𝑎𝑏13𝑏𝑎13𝑏𝑎1325

∵a>0,b>0,且a+b=1,

∴1=a+b≥2𝑎𝑏,∴ab≤当且仅当a=b=时,等号成立,

√

42

11

∴ab有最大值,∴A正确;

4

1

∵(𝑎+𝑏)=a+b+2𝑎𝑏≤a+b+2·=2当且仅当a=b=时,等号成立,

√

√√

2

𝑎+𝑏1

22

∴𝑎+𝑏≤2,即𝑎+𝑏有最大值2,∴B错误;

√√

√√√√

∵+==≥=4当且仅当a=b=时,等号成立,∴+有最小值4,

𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏2𝑎𝑏

11𝑎+𝑏11111

()

𝑎+𝑏

2

2

∴C正确;

∵a+b≥2ab当且仅当a=b=时,等号成立,2ab≤,∴a+b的最小值

2222

22

11

不是,∴D错误.故选AC.

2

√

2

4.答案 1;

2

1

解析 a+4b+=(a-2b)+4ab+≥(a-2b)+24𝑎𝑏·=(a-2b)+4,当且

22222

√

𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏

111

仅当a-2b=0且4ab=,即a=1,b=时,等号成立,

𝑎𝑏2

11

所以a=1,b=.

2

1

5.答案 2-

√

2

解析 ∵a,b,c是正数,且满足a+b≥c,

∴a+2b≥b+c,

𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏1

∴+≥+=+

2𝑏

𝑎𝑏+𝑐𝑎𝑎+2𝑏𝑎

2𝑏1111

1+

1+

𝑎

1

=-≥2-,

(

+1)+

2𝑎22

2𝑏

√

𝑎

当且仅当a+b=c且b=a时等号成立.

故答案为2-.

√

2

6.答案

3

8

1

√

2-1

2

解析 ∵a>0,b>0,且a+b=8,(a+b)·+≥5+2·=9,

(

+=5+

)

√

𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏

当且仅当=,即a=2b时,等号成立,所以+的最小值为,所以

𝑎𝑏𝑎𝑏8

83𝑎𝑏33388

3𝑎+4𝑏93

4𝑏𝑎419

414𝑏𝑎4𝑏𝑎

==的最大值为=3×=.故答案为.

𝑎+4𝑏

419

𝑎𝑏

𝑎𝑏8

+

7.解析 因为x>y>0,所以x-y>0,

所以0≤[=,

所以x+ ≥x+ ≥2𝑥·=8,

22

41616

𝑦+(𝑥-𝑦)𝑥

24

]

𝑥𝑦(𝑥-𝑦)𝑥

2

2

22

√

2

𝑦=𝑥-𝑦,

16

𝑥=2,

当且仅当即时,等号成立,

{{

𝑥=,

2

𝑥

2

𝑦=1

𝑥>𝑦>0,

故x+的最小值为8.

2

4

𝑦(𝑥-𝑦)

8.证明 因为a>0,b>0,

所以(2a+b)+≥6+2·=6+42=2(2+1)(当且仅当

(

+=6+

)

√

√√

2

𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏

b=22a时,等号成立).

√

因为2a+b>0,

所以+≥.

𝑎𝑏2𝑎+𝑏

142(2+1)

√

2

14𝑏8𝑎𝑏8𝑎

𝑎-𝑏𝑎-𝑏𝑎-𝑏𝑎-𝑏𝑎-𝑏

9.证明 ===(a-b)+≥2(𝑎-𝑏)·=4,当且仅当

𝑎+𝑏(𝑎-𝑏)+2ab(𝑎-𝑏)+444

2222

√

a=1+3,b=-1+3或a=1-3,b=-1-3时等号成立.

√√√√

所以≥4.

2𝑏𝑎

𝑎2𝑏

𝑎+𝑏

22

𝑎-𝑏

10.证明 ∵a,b,c均为正数,

∴+≥2(当且仅当a=2b时等号成立),

3𝑐𝑎

𝑎3𝑐

+≥2(当且仅当a=3c时等号成立),

3𝑐2𝑏

2𝑏3𝑐

+≥2(当且仅当2b=3c时等号成立),

2𝑏𝑎3𝑐𝑎3𝑐2𝑏

2𝑏𝑎2𝑏𝑎3𝑐3𝑐

以上三式相加,得+≥6(当且仅当a=2b=3c时等

(

++++

)()

号成立),

∴+-1≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成

(

+-1)++-1)+

(

𝑎2𝑏𝑎3𝑐2𝑏3𝑐

立),

即++≥3(当且仅当a=2b=3c时等号成立).

2𝑏+3𝑐-𝑎𝑎+3𝑐-2𝑏𝑎+2𝑏-3𝑐

𝑎2𝑏3𝑐

2𝑏𝑎3𝑐𝑎3𝑐2𝑏

𝑎+𝑏𝑎+𝑏𝑎+𝑏2

2222

2

2

11.证明 (1)∵≤,∴≥=(a+b)(当且仅当a=b时,

等号成立).

√

√𝑎

22

+𝑏

√

√

同理,≥(b+c)(当且仅当b=c时,等号成

√𝑏

22

+𝑐

2

√

2

立),≥(a+c)(当且仅当a=c时,等号成立).

√𝑎

22

+𝑐

2

√

2

三式相加得++≥(a+b)+(b+c)+(a+c)

√𝑎√𝑏√𝑎

222222

+𝑏+𝑐+𝑐

222

=2(a+b+c)(当且仅当a=b=c时,等号成立).

√

(2)∵0∴1-x>0.

又∵a>0,b>0,

∴左边=(x+1-x)

(

+

𝑥

𝑎

2

√√√

222

=a

22222222

+b+·b+·a≥a+b+2·𝑏··𝑎=a+b+2ab=(a+b

√

22

)

1-𝑥1-𝑥𝑥1-𝑥𝑥

)=右边当且仅当·b=·a,即x=时,等号成立.

222

1-𝑥𝑥𝑎+𝑏

𝑥1-𝑥𝑎

𝑏𝑥1-𝑥𝑥1-𝑥

2

故+≥(a+b).

2

𝑥1-𝑥

𝑎𝑏

22

12.D 由AC=a,BC=b,可得半圆O的半径DO=,

易得DC=𝐴𝐶·𝐵𝐶=𝑎𝑏, DE==.

√

√

∵DE

∴<𝑎𝑏<(a>0,b>0,a≠b).

√

𝑎+𝑏2

2𝑎𝑏𝑎+𝑏

𝐷𝐶2𝑎𝑏

2

𝐷𝑂𝑎+𝑏

𝑎+𝑏

2

故选D.

13.答案 8

解析 设这批货物从A市全部运到B市需要的时间为t小时,则

t==+

𝑣

2

400+16

()

20

𝑣𝑣400

40016𝑣

𝑣400

40016𝑣

≥2=8(小时),

√

×

400𝑣

当且仅当=,即v=100时,等号成立,所以这批货物全部运到B市,最

40016𝑣

快需要8小时.

14.解析 设y=(k≠0),y=mx(m≠0),其中x>0.

12

𝑘

𝑥+1

当x=9时,y==2,y=9m=7.2,

12

20

𝑘

9+1

解得k=20,m=0.8,

所以y=,y=0.8x,

12

𝑥+1

20

设两项费用之和为z(单位:万元),

则z=y+y=+0.8x

12

=+0.8(x+1)-0.8

20

𝑥+1

𝑥+1

20

𝑥+1

≥2·0.8(x+1)-0.8

√

=7.2.

当且仅当=0.8(x+1),即x=4时,等号成立,

20

𝑥+1

所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之

和最少,最少费用是7.2万元.

解题模板 已知函数类型的应用问题,可以用待定系数法求出解析式;

含分式的函数求最大(小)值,往往利用基本不等式求解,解题时要注意

验证基本不等式成立的三个条件.

15.解析 (1)设正面复合板长为x m,侧面长为y m,总造价为z元,则

方舱医院的面积

S=xy,总造价z=40x+2×45y+20xy=40x+90y+20xy.

由条件知z≤188 000,即4x+9y+2xy≤18 800.

∵x>0,y>0,

∴y≤.

18 800-4𝑥

9+2𝑥

𝑡-9

2

令t=9+2x,则x=(t>9),

∴S=xy≤·

2𝑡

𝑡-918 800-(2𝑡-18)

=

-𝑡+9 418t-9×9 409

2

𝑡

9×9 409

𝑡

=-+

(𝑡

)

+9 418

+9 418 ≤-2𝑡·

√

9×9 409

𝑡

=-2×3×97+9 418

=8 836,

当且仅当t=,即t=291时等号成立.

9×9 409

𝑡

8 836188

1413

故S的最大值为8 836 m.

2

(2)由(1)知,当S=8 836 m时,t=291,t=9+2x,∴x=141,则y==.

2

∴方舱医院的面积S达到最大值8 836 m,实际造价又不超过预算时,

2

正面复合板的长应设计为141 m.