高二上学期期中考试数学试卷(统编新教材)

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高二上学期期中考试数学试卷

（统编新教材）

考试范围：第九章 立体几何、第十章 第一节 分类计数原理与分步计数原理

时量：120分钟 权值：150分 考试时间：

一、选择题(把正确的答案填入答卷的表中，每小题5分，共计60分)

1．经过空间任意三点作平面（ ）

A．只有一个 B．可作二个 C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个

2．两条异面直线在同一平面中的射影是（ ）

A．两条相交直线 B．两平行直线

C．两相交直线或平行直线 D．两相交直线或平行直线或一点和一直线

3．经过正棱锥S-ABC的高SO的中点且平行于底面的截面面积为1，则底面△ABC的面积为( ).

A.1 B.2 C. D.4

2

4．若＝（2，1，1）， =(﹣１，x，1)且⊥ ，则x的值为( )

abab

A．1 B．-1 C．2 D．0

5．若a =(2,﹣3,)，b=(1，0，0)，则=( )

3

a,b

A． B． C． D．



6432

6．设三点A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则△ABC的形状为( )

A．Rt△ B．等边△ C．等腰△ D．等腰Rt△

7．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm，4cm，3cm，把它们重叠在一起组成一

个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是( )

A． B． C． D．

77cm

72cm102cm

55cm

8．已知A、B、C不共线，O为平面ABC外的一点，满足（ ）的点M、A、B、C共面．

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A． B．

OM2OAOBOCOMOA2OBOC

C． D．

OMOAOBOC

111

111

OMOAOBOC

333

234

9．如图,正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线

EF与SA所成的角等于( )

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°

10．已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是 （ ）

．

A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m∥α，α∩β=n，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m⊥α，，则α⊥β

m



11．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（ ）

2,3,6

A． B． C．6 D．

12．在正三棱柱（ ）

ABCABC中,若AB2BB,则AB与CB所成的角的大小为

111111

A．60° （B）．90° （C）．105° （D）．75°

O

二、填空题（把正确的答案填入答卷的表中，每小题4分，共计16分）

13．已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC,OB⊥AC，

则OC与AB的夹角为_______.

14．如右图所示，用五种不同的颜色，给标有A、B、C、D、E的各部

分涂色，每一部分只能涂一种颜色，且要求相邻部分所涂颜色不

同，则不同的涂色方法共有_________种.

A

C

B

A

C

B

D

E

15．已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为 .

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16．如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面

角, 则异面直线AD与BF所成角的余弦值是

郴州市三中高二期中考试数学试卷答卷

三 总分

题号 一 二

17 18 19 20 21 22

得分

第一、二大题答题表

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案

题号 13 14 15 16

答案

三、解答题(共计74分)

17．( 12分)如图，已知长方体的长宽都是4cm，高为2cm．

D

＇

B

＇

D

B

C

＇

C

＇

''

（1）求BC与，与，与所成角的余弦值；

AC

AAAD

''

BCBC

''

A

（2）求与BC，与CD，与所成角的大小．

AAAAAA

'''

CC

'

A

18．( 12分)若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20,平面α外一点O到A、B、C三点距离都是25,

求：点O到平面的距离．

O

A

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B

C

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19．（12分）如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于

D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求: 二面角E-BD-C的度数。

20．（12分）已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,

且GC＝2.求：（1）点B到平面EFG的距离.（2）二面角C-EF-G的度数．

G

C

B

E

F

A

D

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21．(13分)如图四面体S－ABC中，SA,SB,SC两两垂直, ∠SBA=45°, ∠SBC=60°，M为AB中

点， (1) 求:AC与面SAB所成的角，(2) 求:SC与平面ABC所成角的正弦值．

C

S

B

A

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22．(13分) 如图,在正方体ABCD-ABCD中,E、F分别是BB、CD的中点.

11111

(Ⅰ)证明AD⊥DF; (Ⅱ)求AE与DF所成的角;

11

(Ⅲ)证明面AED⊥面AFD;

11



IV设AA2，求三棱锥FAED的体积V

111FAED

11

郴州市三中高二2004年上学期期中考试数学试卷答案

一、选择题（每小题5分，共计60分)；二填空题（每小题4分，共计16分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 D DDA C B C C C B D B

题号 13 14 15 16

答案 90° 720 3

2

4

三、解答题(共计74分)

17．( 12分)

D

＇

C

＇

B

＇

C

B

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＇

A

D

A

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解析：（1）；；

25

3

5

25

（2）90°；90°；0°

18．（12分） 解：由斜线相等，射影相等知，O在底面的射影为△ABC的外心Q，

O

又△ABC为Rt△外心在斜边中点，故OQ===

2510

22

525

A

19．（12分）

B

C

解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角

形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E,

∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角.

∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC.

设SA＝a,

又因为AB⊥BC,

∴∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.

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解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,

所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的

逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上

的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线

定理又得BD⊥DE.

∵DE面BDE,DC面BDC, ∴∠EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.

解法三:利用用向量求解：略

20．（12分）

解法一:

如图,连结EG、FG、EF、BD、、BD分别交AC于H、O. 因为ABCD是正方形,E、

F分别为AB和AD的中点,故EF∥BD,H为AO的中点.

BD不在平面EFG上.否则,平面EFG和平面ABCD重合,从而点G在平面的ABCD上,与

题设矛盾.

G

由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG,

所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离.

D

F

C

E

A

B

∵BD⊥AC ∴EF⊥HC. ∵GC⊥平面ABCD, ∴EF⊥GC,

∴EF⊥平面HCG. ∴平面EFG⊥平面HCG,HG是这两个垂直平面的交线.

作OK⊥HG交HG于点K,由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG,所以线段OK的

长就是点B到平面EFG的距离.

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解法二:利用用向量求解：略

21．(13分)解：①

60°；

②连SM，CM， ∵∠SBA=45° ∴SM⊥AB, 又CS⊥AB, ∴AB⊥面CSM．

解法一:

过S作CM的垂线SN，垂足为N，则SN⊥CM，SN⊥AB，∴SN⊥面ABC．

∠SCN为所求的线面角，设SB=1 则不难计算 CS=，SM=，CM=

3

7

2

2

2

2

7

sin∠SCM==.

2

7

7

2

解法二:利用用向量求解：略

22．(13分)

解法一:

(Ⅰ)∵AC是正方体,∴AD⊥面DC. 又DF面DC, ∴AD⊥DF.

11111

(Ⅱ)取AB中点G,连结AG,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又AD、

111

AD平行且相等,所以GF、AD平行且相等,故GFDA是平行四边形,AG∥DF.

111111

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设AG与AE相交于点H,则∠AHA是AE与DF所成的角,因为E是BB的中点,所以

1111

Rt△AAG≌Rt△ABE,∠GAA=∠GAH，从而

11

∠AHA=90°,即直线AE与DF所成角为直角.

11

(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥DF,由(Ⅱ)知AE⊥DF,又AD∩AE=A,所以DF⊥面AED.又因为

111

DF面AFD,所以面AED⊥面AFD.

11111

(Ⅳ)连结GE,GD. ∵FG∥AD,∴FG∥面AED, ∵AA=2,

111111

面积SS-2S-S

△AGE=□ABBA△AAG-△GBE=

1111

又

VVVSFG

FAEDEAGFDFAGEAGE

111111

3

2

11

23

13

21V

32

FAED

11

解法二:利用用向量求解

解析：设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立空间

1

直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A（2，0，2），

1

D（0，0，2），

1

(I) ∵ ,，得，∴ AD⊥DF;

DA(2,0,0)DF(0,1,2)DF0

11

DA

1

(II)又，得

AE(0,2,1)

cos



AEDF

1

|AE||DF|

1

0

0

|AE||DF|

1

∴ AE与DF所成的角为90°

1

(III) 由题意：，

DA(2,0,0)

11

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设平面AED的法向量为，设平面AFD的法向量为，

n(x,y,1)n(x,y,1)

111222

11



x0

1



DAn0

1





1

由







1

n(0,,1)

1

2

y

1







AEn0

1

2



z

D

1

A

1

B

1

E

D

A

x

F

B

C

1





x0

2



DFn0

12

由







n(0,2,1)

2

y2



2





DAn0

112

得

|cos|



|nn|

12

|n||n|

12

0

|011|

|n||n|

12

E

C

y

∴ 面AED⊥面AFD.

11

（Ⅳ）∵AA=2，，平面AFD的法向量为

1

EF(2,1,1)n(0,2,1)

11

2

SADDF

AFD111

11

|EFn|

2

3

1

d

， ∴E到平面AFD的距离，

5

11



2

5

|n|

2

13

51V

3

5

FAED

11

沁园春·雪 <毛泽东>

北国风光，千里冰封，万里雪飘。

望长城内外，惟余莽莽；

大河上下，顿失滔滔。

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山舞银蛇，原驰蜡象，

欲与天公试比高。

须晴日，看红装素裹，分外妖娆。

江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武，略输文采；

唐宗宋祖，稍逊风骚。

一代天骄，成吉思汗，

只识弯弓射大雕。

俱往矣，数风流人物，还看今朝。