新教材人教B版高中数学选择性必修第一册全册书各章节课时练习题及章末

更新时间:2023-11-16 23:58:15 阅读：评论：0

不哭妈妈-交通事故应急预案

2023年11月16日发(作者：旅行近义词)

人教B选择性必修第一册全册练习题

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第一章空间向量与立体几何 ...................................................................................................... - 2 -

1.1 空间向量及其运算 ......................................................................................................... - 2 -

1.1.1空间向量及其运算.............................................................................................. - 2 -

1.1.2空间向量基本定理.............................................................................................. - 9 -

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系 ................................................................ - 17 -

1.2 空间向量在立体几何中的应用 ................................................................................... - 25 -

1.2.1空间中的点、直线与空间向量 ........................................................................ - 25 -

1.2.2空间中的平面与空间向量 ................................................................................ - 32 -

1.2.3直线与平面的夹角............................................................................................ - 44 -

1.2.4二面角 ............................................................................................................... - 53 -

1.2.5空间中的距离 ................................................................................................... - 70 -

第一章综合测验 ................................................................................................................... - 81 -

第二章平面解析几何 ................................................................................................................... - 95 -

2.1 坐标法 .......................................................................................................................... - 95 -

2.2 直线及其方程............................................................................................................. - 102 -

2.2.1直线的倾斜角与斜率...................................................................................... - 102 -

2.2.2直线的方程 ..................................................................................................... - 108 -

2.2.3两条直线的位置关系...................................................................................... - 119 -

2.2.4点到直线的距离.............................................................................................. - 126 -

2.3 圆及其方程 ................................................................................................................ - 133 -

2.3.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 133 -

2.3.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 140 -

2.3.3直线与圆的位置关系...................................................................................... - 146 -

2.3.4圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 154 -

2.4 曲线与方程................................................................................................................. - 162 -

2.5 椭圆及其方程............................................................................................................. - 168 -

2.5.1椭圆的标准方程.............................................................................................. - 168 -

2.5.2椭圆的几何性质.............................................................................................. - 176 -

2.6 双曲线及其方程 ......................................................................................................... - 186 -

2.6.1双曲线的标准方程.......................................................................................... - 186 -

2.6.2双曲线的几何性质.......................................................................................... - 194 -

第一章空间向量与立体几何

1.1 空间向量及其运算

1.1.1空间向量及其运算

1.下列命题中为真命题的是()

A.向量𝐴𝐵与𝐵𝐴的长度相等

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆

C.空间向量就是空间中的一条有向线段

D.不相等的两个空间向量的模必不相等

答案A

2.下列向量的运算结果为零向量的是()

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴𝐵++𝑀𝑁𝑀𝑃

A.𝐵𝐶 B.𝑃𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

++𝐶𝐴𝐴𝐵+𝐶𝐷+𝐺𝑀+𝑃𝑄+𝑄𝐺

D.𝐵𝐶 C.𝑀𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

答案C

3.已知e,e为单位向量,且e⊥e,若a=2e+3e,b=ke-4e,a⊥b,则实数k的值为

12121212

()

A.-6 B.6

C.3 D.-3

答案B

解析由题意可得a·b=0,e·e=0,|e|=|e|=1,

1212

所以(2e+3e)·(ke-4e)=0,所以2k-12=0,

1212

所以k=6.故选B.

4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

·𝐴𝐹

的值为() 中点,则𝐴𝐸

A.a B.a

C.a D.a

答案C

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

·=(𝐴𝐵+𝐴𝐹𝐴𝐶𝐴𝐷

)·解析𝐴𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

··(𝐴𝐵𝐴𝐷+𝐴𝐶𝐴𝐷

=a×a×+a×a×=a.

4224

5.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列

各组向量中,数量积一定为零的是()

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

与𝐵𝐷 A.𝑃𝐶与𝑃𝐵 B.𝐷𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

C.𝑃𝐷与𝐴𝐵 与D.𝑃𝐴𝐶𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

答案BCD

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐵𝐷+𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐷

)·) =(𝑃𝐴解析𝑃𝐶(𝐵𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

····𝐵𝐴+𝐴𝐵·𝐵𝐴+𝐵𝐶𝐵𝐴+𝑃𝐴𝐴𝐷+𝐴𝐵·𝐴𝐷+𝐵𝐶

=𝑃𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

)=-(𝐴𝐵)+(𝐵𝐶

≠0.

𝐴𝐷

因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

·𝐶𝐷

即𝑃𝐴=0,

⃗⃗ ⃗⃗⃗

=0,同又因为AD⊥AB,AD⊥PA,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以𝐷𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑃𝐵

理𝑃𝐷=0,因此B,C,D中的数量积均为0.故选B,C,D.

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=e+3e,6.设e,e是平面内不共线的向量,已知𝐴𝐵=2e+ke,𝐶𝐵𝐶𝐷=2e-e,若A,B,D

12121212

三点共线,则k=.

答案-8

7.化简:(a+2b-3c)+5(

2323

𝑎-𝑏+𝑐)-3(a-2b+c)=.

答案a+b-c

626

8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠

DAA'=60°,则AC'的长为.

597

1212

1111

答案11

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

'|=||=+2+2𝐵𝐶+2 解析|𝐴𝐶𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵

+'+'·''+𝐵𝐶𝐶𝐶+𝐵𝐶𝐶𝐶·𝐵𝐶𝐶𝐶·𝐶𝐶

=1+1+2+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

'|=11. |𝐴𝐶

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

++𝐶𝐵𝐴𝐷+𝐶𝐷

⃗⃗⃗⃗ ⃗

. 9.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC,BD的中点,求证:𝐴𝐵=4𝐸𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

++𝐴𝐷𝐶𝐷

证明左边=(𝐴𝐵)+(𝐶𝐵)

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+2=2()=4=右边,得证. =2𝐴𝐹𝐶𝐹𝐴𝐹𝐸𝐹

+𝐶𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗

10.

如图,在正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是CD,DD的中点,正方体的棱长为1.

1111111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐹

>的余弦值; (1)求<𝐶𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

(2)求证:𝐵𝐷.

⊥𝐸𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=𝐴𝐷+𝐷𝐹+==𝐴𝐷𝐴𝐴,𝐶𝐸𝐶𝐶+𝐶𝐸=𝐴𝐴+𝐶𝐷=𝐴𝐴−𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

(1)解𝐴𝐹.

11111

222

因为𝐴𝐵=0,𝐴𝐵=0,𝐴𝐷=0,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐷·𝐴𝐴·𝐴𝐴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐹−𝐴𝐵+𝐴𝐴

=所以𝐶𝐸𝐴𝐴·𝐴𝐷

111

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|=||=,所以cos<>=. 又|𝐴𝐹𝐶𝐸𝐶𝐸

√

,𝐴𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+=𝐵𝐷+𝐷𝐷=𝐴𝐷−𝐴𝐵+𝐴𝐴,𝐸𝐹=𝐸𝐷+𝐷𝐹(𝐴𝐵𝐴𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

(2)证明𝐵𝐷=-),

111111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

所以𝐵𝐷=0,所以𝐵𝐷.

·𝐸𝐹⊥𝐸𝐹

11.已知空间向量a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),则|a-b|的最小值为()

A.2 B.3 C.2 D.4

√√

答案C

解析a=(t,1,t),b=(t-2,t,1),

∵

∴

a-b=(2,1-t,t-1),则|a-b|=

√√

2+(1-𝑡)+(𝑡-1)=2(𝑡-1)+4,

222

∴

当t=1时,|a-b|取最小值为2.故选C.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

-2𝐷𝐴)·)=0,则△ABC12.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(𝐷𝐵(𝐴𝐵

−𝐴𝐶+𝐷𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

是()

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.钝角三角形 D.锐角三角形

答案B

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,所以()·解析因为𝐷𝐵-2𝐷𝐴=(𝐷𝐵)+(𝐷𝐶)=𝐴𝐵𝐴𝐵(𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

+−𝐷𝐶𝐷𝐴−𝐷𝐴+𝐴𝐶+𝐴𝐶−

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

)=||=0,所以||,即△ABC是等腰三角形. 𝐴𝐵|-|𝐴𝐶𝐴𝐵|=|𝐴𝐶

𝐴𝐶

13.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于()

A.62 B.6 C.12 D.144

√

答案C

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=+=+··𝑃𝐴𝐴𝐵+𝐵𝐶𝑃𝐴𝐴𝐵+𝐵𝐶𝐴𝐵

,所以+2解析因为𝑃𝐶𝑃𝐶𝑃𝐴+2𝑃𝐴

2222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+2=36+36+36+2×36×cos60°=144,所以PC=12. 𝐴𝐵

𝐵𝐶·𝐵𝐶

14.给出下列几个命题:

①

方向相反的两个向量是相反向量;

②

若|a|=|b|,则a=b或a=-b;

③

对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.

其中所有真命题的序号为.

答案

③

解析对于,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故错误;对于,若

①①②

|a|=|b|,则a与b的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有正确.

③

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

=λ,则实数λ的15.等边三角形ABC中,P在线段AB上,且𝐴𝑃𝐴𝐵,若𝐶𝑃

··𝐴𝐵=𝑃𝐴𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

值为.

答案1-

√

解析设|𝐴𝐵|=a(a>0),

⃗⃗⃗⃗⃗

由题知,0<λ<1.如图,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=- 𝐴𝐶

+𝐶𝑃𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+λ=-𝐴𝐶𝐴𝐵,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐵−𝐴𝐶

=(λ𝐴𝐵)· 故𝐶𝑃𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|cosA=aa, =λ|𝐴𝐵|-|𝐴𝐵||𝐴𝐶

222

λ-

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑃𝐴𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

=(-λ𝐴𝐵)·(1-λ)𝐴𝐵

=λ(λ-1)|𝐴𝐵|=λ(λ-1)a,

⃗⃗⃗⃗⃗

则aa=λ(λ-1)a,

222

λ-

解得λ=1-舍.

√√

λ=1+

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,,𝐴𝐶𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

表示16.如图,平面α⊥平面β,AC⊥AB,BD⊥AB,且AB=4,AC=6,BD=8,用𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐶𝐷

=,|𝐶𝐷|=.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+−𝐴𝐶𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

229 答案𝐴𝐵

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

++==𝐶𝐴𝐴𝐵+𝐵𝐷𝐴𝐵−𝐴𝐶𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

, 解析𝐶𝐷

∵

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+−𝐴𝐶𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

) 𝐶𝐷=(𝐴𝐵

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

222

+·+𝐴𝐶𝐵𝐷·𝐴𝐶·𝐵𝐷𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+2-2-2=16+36+64=116,=𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐵𝐴𝐶

∴

|𝐶𝐷|=229.

⃗⃗⃗⃗⃗

√

17.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E,点F为D'C'上一点,且

D'F=D'C'.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

'+𝐵𝐶+𝐴𝐴𝐴𝐵

(1)化简:;

(2)设点M是底面ABCD的中心,点N是侧面BCC'B'对角线BC'上的分点(靠近C'),

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

',试求α,β,γ的值. =α设𝑀𝑁𝐴𝐵+β𝐴𝐷+γ𝐴𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

'='𝐴𝐴𝐸𝐴

, 解(1)由AA'的中点为E,得

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝐴'𝐷'

又𝐵𝐶,D'F=D'C',

2212

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

'+𝐵𝐶+'+𝐴𝐵=𝐷'𝐶'=𝐷'𝐹𝐴𝐴𝐴𝐵=𝐸𝐴𝐴'𝐷'+𝐷'𝐹=𝐸𝐹

⃗⃗⃗⃗ ⃗

. 因此.从而

3323

31113

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

'=(𝐷𝐴++'==+𝑀𝐵+𝐵𝑁𝐷𝐵𝐵𝐶𝐴𝐵(𝐵𝐶𝐶𝐶+

)=(-(2)𝑀𝑁)+𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

24242

3131113

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+''𝐴𝐵(𝐴𝐷𝐴𝐴𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝐴

)=,因此α=,β=,γ=. )+

4244244

18.如图,在三棱柱ABC-ABC中,M,N分别是AB,BC上的点,且

111111

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=b,BM=2AM,CN=2BN.设𝐴𝐵=a,𝐴𝐶𝐴𝐴=c.

111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

; (1)试用a,b,c表示向量𝑀𝑁

(2)若∠BAC=90°,∠BAA=∠CAA=60°,AB=AC=AA=1,求MN的长.

111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑀𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝑁

解(1)𝑀𝑁

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(c-a)+a+(b-a)

3333

𝐵𝐴+𝐴𝐵+𝐵𝐶=

111

=a+b+c.

333

(2)因为(a+b+c)=a+b+c+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5,所

2222

111

以|a+b+c|=5,

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|=|a+b+c|=,即MN=. 所以|𝑀𝑁

333

19.

155

√√

如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且AB=7,AC=BD=24,

线段BD与α所成的角为30°,求CD的长.

解由AC⊥α,可知AC⊥AB,

过点D作DD⊥α,

D为垂足,连接BD,

则∠DBD为BD与α所成的角,即∠DBD=30°,所以∠BDD=60°,因为AC⊥

111

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,,𝐷𝐵𝐵𝐷=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

>=60°,所以<>=120°.又⊥α,所以AC∥DD,所以<𝐶𝐴𝐶𝐴𝐶𝐷

α,DD

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐶𝐴𝐴𝐵+𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

+··𝐴𝐵+𝐵𝐷𝐴𝐵𝐵𝐷·

|+|)=||+2+2所以|𝐶𝐷|=(𝐶𝐴𝐶𝐴𝐴𝐵|+|𝐵𝐷𝐶𝐴+2𝐶𝐴𝐴𝐵

22222

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵𝐷

因为BD⊥AB,AC⊥AB,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

··𝐴𝐵𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

所以𝐵𝐷=0,𝐴𝐶=0.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|+||+2 故|𝐶𝐷|=|𝐶𝐴𝐴𝐵|+|𝐵𝐷𝐶𝐴

2222

·𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=24+7+24+2×24×24×cos120°=625,

222

所以|𝐶𝐷|=25,即CD的长是25.

⃗⃗⃗⃗⃗

20.如图所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD(点P位于平面ABCD的

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

? 上方),则边BC上是否存在点Q,使𝑃𝑄

⊥𝑄𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

, 解假设存在点Q(点Q在边BC上),使𝑃𝑄

⊥𝑄𝐷

连接AQ,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥QD.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+=𝑃𝐴𝐴𝑄

又𝑃𝑄,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=·+·𝑄𝐷𝑃𝐴𝑄𝐷𝐴𝑄·𝑄𝐷

=0. 所以𝑃𝑄

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

·𝑄𝐷·𝑄𝐷⊥𝑄𝐷

=0,所以=0,所以. 又𝑃𝐴𝐴𝑄𝐴𝑄

即点Q在以边AD为直径的圆上,圆的半径为.

𝑎

又AB=1,所以当=1,即a=2时,该圆与边BC相切,存在1个点Q满足题意;

当>1,即a>2时,该圆与边BC相交,存在2个点Q满足题意;

当<1,即a<2时,该圆与边BC相离,不存在点Q满足题意.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

; 综上所述,当a≥2时,存在点Q,使𝑃𝑄

⊥𝑄𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

. 当02时,不存在点Q,使𝑃𝑄

⊥𝑄𝐷

𝑎

1.1.2空间向量基本定理

1.如图所示,在平行六面体ABCD-ABCD中,M为AC与BD的交点.若

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵𝐷𝐴𝑀

111111

=a,𝐴=b,𝐴=c,则下列向量中与𝐵相等的向量是()

A.-a+b+c B.a+b+c

2222

C.a-b+c D.-a-b+c

2222

答案A

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

解析𝐵)

111

𝑀=𝐵𝐵+𝐵𝑀=𝐴𝐴+(𝐵𝐴+𝐵𝐶

=c+(-a+b)=-a+b+c.

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+3𝑂𝐶,则() 2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,且有6𝑂𝑃+2𝑂𝐵

=𝑂𝐴

A.O,A,B,C四点共面

B.P,A,B,C四点共面

C.O,P,B,C四点共面

D.O,P,A,B,C五点共面

答案B

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+3𝑂𝐶,得解析由6𝑂𝑃+2𝑂𝐵𝑂𝑃=2(𝑂𝐵)+3(𝑂𝐶),即

−−=𝑂𝐴−𝑂𝐴𝑂𝑃𝑂𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

=2, +3𝑃𝐵𝑃𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

,,𝑃𝐵𝑃𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗

共面.又三个向量的基线有同一公共点P,P,A,B,C四点共面. 𝐴𝑃

∴∴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=x𝑂𝐴,3.(多选)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有𝑂𝑀

+𝑂𝐵+𝑂𝐶

则x的值不可能为 ()

A.1 B.0 C.3 D.

答案ABC

11111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+𝑂𝐶++𝑂𝐵

,且M,A,B,C四点共面,x+=1,x=. 解析𝑂𝑀=x𝑂𝐴

∴∴∵

33333

111

1111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=-5a+6b,4.已知向量a,b,且𝐴𝐵=a+2b,𝐵𝐶𝐶𝐷=7a-2b,则一定共线的三点是()

A.A,B,D B.A,B,C

C.B,C,D D.A,C,D

答案A

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+=𝐴𝐵+𝐵𝐶𝐶𝐷∥𝐴𝐵

解析因为𝐴𝐷=3a+6b=3(a+2b)=3𝐴𝐵,故𝐴𝐷,又𝐴𝐷与𝐴𝐵有公

共点A,所以A,B,D三点共线.

5.下列说法错误的是()

A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面

B.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·a

C.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c一定不共面

D.设a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c

答案C

解析A.设a,b是两个空间向量,则a,b一定共面,正确,因为向量可以平移;

B.设a,b是两个空间向量,则a·b=b·a,正确,因为向量的数量积满足交换律;

C.设a,b,c是三个空间向量,则a,b,c可能共面,可能不共面,故C错误;

D.设a,b,c是三个空间向量,则a·(b+c)=a·b+a·c,正确,因为向量的数量积满足分

配律.故选C.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=5e+4e,6.设e,e是空间两个不共线的向量,已知𝐴𝐵=e+ke,𝐵𝐶𝐷𝐶=-e-2e,且

12121212

A,B,D三点共线,实数k=.

答案1

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+=𝐴𝐵+𝐵𝐶𝐶𝐷

解析𝐴𝐷=7e+(k+6)e,

∵

且𝐴𝐵与𝐴𝐷共线,故𝐴𝐷=x𝐴𝐵,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

即7e+(k+6)e=xe+xke,

1212

故(7-x)e+(k+6-xk)e=0,又e,e不共线,

1212

𝑥=7,

7-𝑥=0,

∴

{解得{故k的值为1.

𝑘+6-𝑘𝑥=0,𝑘=1,

7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为.

①

三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;

②

若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;

③

若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一

个基底.

答案

①②

解析c与a,b共面,不能构成基底.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=b,8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且𝑂𝐴=a,𝑂𝐶𝑂𝑂'=c.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

'; (1)用a,b,c表示向量𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

. (2)设G,H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心,用a,b,c表示𝐺𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

'解(1)𝐴𝐶=b+c-a.

=+'=𝑂𝐶−𝐴𝐶𝐶𝐶𝑂𝐴+𝑂𝑂'

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

=𝐺𝑂+𝑂𝐻+𝑂𝐻

=- (2)𝐺𝐻𝑂𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+'(𝑂𝐵'+(𝑂𝐵𝑂𝐶𝑂𝑂'

)+=-)

=-(a+b+c+b)+(a+b+c+c)=(c-b).

222

9.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r

是否共面?

解假设存在实数λ,μ,使p=λq+μr,则

a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c.

111

∵

a,b,c不共面,

2𝜆-7𝜇=1,

𝜆=

∴

{解得{

-3𝜆+18𝜇=1,

𝜇=

-5𝜆+22𝜇=-1,

即存在实数λ=,μ=,使p=λq+μr,

∴

p,q,r共面.

10.如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF

⃗⃗⃗⃗ ⃗

与是否共线? 的中点.判断𝐶𝐸𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

解M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,

∵

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

+++=𝑀𝐴+𝐴𝐹𝐹𝑁=𝐶𝐴𝐴𝐹𝐹𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗

. 𝑀𝑁

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

+++−−=𝑀𝐶𝐶𝐸𝐸𝐵+𝐵𝑁𝐶𝐴𝐶𝐸𝐴𝐹𝐹𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗

=-, 又𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

+++−−𝐶𝐴𝐴𝐹𝐹𝐵𝐶𝐴𝐶𝐸𝐴𝐹𝐹𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

=-,

∴

2222

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=++𝐶𝐴𝐹𝐵+𝐴𝐹𝐹𝑁

+2=2(, 𝐶𝐸𝐴𝐹𝑀𝐴)=2𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

∥𝑀𝑁

与𝑀𝑁,即共线. 𝐶𝐸𝐶𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∴

1111

11.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=b,𝑂𝐶=c,向量=xa+yb+zc,则x,y,z分别是 () 点,𝑂𝐴=a,𝑂𝐵𝑂𝐷

A.1,-1,2 B.-,1

C.,-,1 D.,-,-1

2222

答案C

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑂𝐶+𝐶𝐷=𝑂𝐶+𝐵𝐴=𝑂𝐶+(𝑂𝐴−𝑂𝐵−𝑂𝐵+𝑂𝐶=𝑂𝐴

1111

)=解析𝑂𝐷

2222

1111

a-b+c,因此,x=,y=-,z=1.故选C.

2222

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=x+3z,则x+y+z等于() 12.在平行六面体ABCD-EFGH中,若𝐴𝐺𝐴𝐵-2y𝐵𝐶𝐷𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A. B. C. D.

6346

答案D

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=+=+𝐴𝐵+𝐵𝐶𝐶𝐺𝐴𝐵+𝐵𝐶𝐷𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,对照已知式子可得解析由于𝐴𝐺

x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-,z=,从而x+y+z=.

236

115

7235

13.(多选)在正方体ABCD-ABCD中,P,M为空间任意两点,如果有𝑃𝑀

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑃𝐵𝐷

1111

+7𝐵𝐴+6𝐴𝐴-4𝐴,那么对点M判断错误的是()

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A.在平面BAD内 B.在平面BAD内

C.在平面BAD内 D.在平面ABC内

1111

答案ABD

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

解析𝑃𝑀+7𝐵𝐴+6𝐴𝐴-4𝐴

=𝑃𝐵𝐷

1111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑃𝐵+6𝐵𝐴-4𝐴

1111

+𝐵𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑃𝐵+6𝐵𝐴-4𝐴

111111

+𝐵𝐴𝐷

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

)-4(=𝑃𝐴+6(𝑃𝐴𝑃𝐷)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1111

−𝑃𝐵−𝑃𝐴

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

-4=11𝑃𝐴-6𝑃𝐵𝑃𝐷,且11-6-4=1,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

于是M,B,A,D四点共面.

14.已知空间单位向量e,e,e,e⊥e,e⊥e,e·e=,若空间向量m=xe+ye+ze满

123122313123

足:m·e=4,m·e=3,m·e=5,则x+y+z=,|m|=.

123

答案834

√

解析因为e⊥e,e⊥e,e·e=,空间向量m=xe+ye+ze满

122313123

(𝑥𝑒)·𝑒

1231

+𝑦𝑒+𝑧𝑒=4,

足:m·e=4,m·e=3,m·e=5,所以{

123

(𝑥𝑒)·𝑒

1232

+𝑦𝑒+𝑧𝑒=3,

(𝑥𝑒)·𝑒

1233

+𝑦𝑒+𝑧𝑒=5,

𝑥=0,

即{解得{

𝑦=3,

𝑧=5,

𝑥+𝑧=5,

𝑥+𝑧=4,

所以x+y+z=8,|m|=34.

√

15.已知O是空间任一点,A,B,C,D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+3y𝐶𝑂+4z,则2x+3y+4z=. =2x𝐵𝑂𝐷𝑂

𝑂𝐴

答案-1

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+3y𝐶𝑂+4z 解析𝑂𝐴=2x𝐵𝑂𝐷𝑂

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

-3y𝑂𝐶-4z. =-2x𝑂𝐵𝑂𝐷

由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1,

即2x+3y+4z=-1.

⃗⃗⃗⃗ ⃗

16.如图,设O为▱ABCD所在平面外任意一点,E为OC的中点,若𝐴𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+x𝑂𝐵+y𝑂𝐴,求x,y的值.

𝑂𝐷

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=+=𝑂𝐵−−𝑂𝐵−𝑂𝐶𝐴𝐵+𝐵𝐶𝐶𝐸𝑂𝐴+𝑂𝐶

解因为𝐴𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=-=-𝑂𝐴𝑂𝐴)

++𝑂𝐶+(𝑂𝐷𝐷𝐶

113111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

++(𝑂𝐵−+𝑂𝐵+(𝑂𝐷𝐴𝐵+𝑂𝐷𝑂𝐴𝑂𝐴+𝑂𝐷

, =-𝑂𝐴)=-𝑂𝐴)=-

222222

所以x=,y=-.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=2e+8e,17.已知非零向量e,e不共线,如果𝐴𝐵=e+e,𝐴𝐶𝐴𝐷=3e-3e,求证:A,B,C,D

12121212

四点共面.

证明证法一:令λ(e+e)+μ(2e+8e)+v(3e-3e)=0,

121212

则(λ+2μ+3v)e+(λ+8μ-3v)e=0.

𝜆+2𝜇+3𝑣=0,

∵∴

e,e不共线,{

𝜆+8𝜇-3𝑣=0.

𝜆=-5,

易知{是其中一组解,

𝜇=1,

𝑣=1

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

++𝐴𝐶𝐴𝐷

则-5𝐴𝐵=0.A,B,C,D四点共面.

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐴𝐷

证法二:观察易得𝐴𝐶=(2e+8e)+(3e-3e)=5e+5e=5(e+e)=5𝐴𝐵.

12121212

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+=𝐴𝐶𝐴𝐷

∴

𝐴𝐵.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,,𝐴𝐶𝐴𝐷

由共面向量知,𝐴𝐵共面.

又它们有公共点A,A,B,C,D四点共面.

∴

18.如图,在平行六面体ABCD-ABCD中,O是BD的中点,求证:BC∥平面ODC.

11111111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

证明𝐵

1111111

𝐶=𝐵𝑂+𝑂𝐶+𝐶𝐶=𝐵𝑂+𝑂𝐶+𝐷𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

. =𝐵

111

𝑂+𝑂𝐶+𝐷𝑂+𝑂𝐷

∵

O是BD的中点,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

. 𝐵=0,𝐵

∴∴

1111

𝑂+𝐷𝑂𝐶=𝑂𝐶+𝑂𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

共面,且BC⊄平面OCD. 𝐵

∴

𝐶,𝑂𝐶,𝑂𝐷

∴

BC∥平面ODC.

19.如图所示,四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=𝐶𝐵,=𝐶𝐺𝐶𝐷

边CB,CD上的点,且𝐶𝐹.求证:四边形EFGH是梯形.

证明E,H分别是边AB,AD的中点,

∵

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

==𝐴𝐵,𝐴𝐻𝐴𝐷

∴

𝐴𝐸,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

−=𝐴𝐷−𝐴𝐵=𝐵𝐷=𝐴𝐻𝐴𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

. 𝐸𝐻

∴

222

22223

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=−==(𝐶𝐷−𝐶𝐵=𝐶𝐺𝐶𝐹𝐶𝐷−𝐶𝐵𝐵𝐷𝐹𝐺

)=, ,又𝐹𝐺𝐸𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∴

33334

111

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,||. |=𝐸𝐻𝐸𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∥|𝐹𝐺𝐹𝐺

∴

∵∴

点F不在EH上,四边形EFGH是梯形.

20.已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,,𝑂𝐸,𝑂𝐹𝑂𝐺𝑂𝐻

=k. =k𝑂𝐴=k𝑂𝐵=k𝑂𝐶𝑂𝐷

求证:(1)点E,F,G,H共面;

(2)直线AB∥平面EFGH.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,k. 证明(1)𝑂𝐴𝑂𝐴+k𝐴𝐵=k𝑂𝐵

∴∵

+𝐴𝐵=𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,而𝑂𝐸=k𝑂𝐴=k𝑂𝐵𝑂𝐸+k𝐴𝐵.

∴

,𝑂𝐹=𝑂𝐹

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=+𝐸𝐹𝑂𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=k又𝑂𝐸,𝐸𝐹𝐴𝐵.

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=k. =k同理,𝐸𝐻𝐴𝐷𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐸𝐺

∵

四边形ABCD是平行四边形,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝐴𝐵+𝐴𝐷

∴

𝐴𝐶,

∴

𝑘𝑘𝑘

=+=+𝐸𝐹𝐸𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐸𝐺𝐸𝐹𝐸𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

. ,即𝐸𝐺

又它们有同一公共点E,

∴

点E,F,G,H共面.

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=k(2)由(1)知𝐸𝐹𝐴𝐵,

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗

,即AB∥EF.又AB⊄平面EFGH, 𝐴𝐵

∴

⃗⃗⃗⃗⃗

∥𝐸𝐹

∴

AB与平面EFGH平行,即AB∥平面EFGH.

1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系

1.已知向量a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则向量b等于()

A.(2,-4,2) B.(-2,4,-2)

C.(-2,0,-2) D.(2,1,-3)

答案B

2.向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=5,且a⊥b,则x+y的值为()

√

A.-2 B.2

C.-1 D.1

答案C

222

解析由题意得{

√1

+2+𝑥=5,

√

2+2𝑦-𝑥=0,

即{x+y=-1.

𝑥=0,

∴

𝑦=-1,

3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()

A.10 B.-10

√√

C.25 D.10

√

答案D

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(-6,1,2k),=(-3,2,-k), 解析𝐶𝐵𝐶𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐶𝐴

=(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k+20=0,k=10. 则𝐶𝐵

∴±

√

4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是

()

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等边三角形

答案A

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(5,1,3),𝐵𝐶=(2,-3,1). 解析𝐴𝐵=(3,4,2),𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

>0,得A为锐角;由>0,得C为锐角;由>0,得B为锐角.由𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵𝐴

·𝐶𝐵·𝐴𝐶·𝐵𝐶

所以△ABC为锐角三角形.

5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θ(𝜃≠,e分别是与

)角的两条数轴,e

x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若𝑂𝑀=xe+ye,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

2π

则把有序数对(x,y)叫做向量𝑂𝑀的反射坐标,记为𝑂𝑀=(x,y),在θ=的反射坐标系

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()

A.a-b=(-1,3) B.|a|=3

C.a⊥b D.a∥b

答案AB

解析a-b=(e+2e)-(2e-e)=-e+3e,

121212

√

则a-b=(-1,3),故A正确;

|a|=

√

(𝑒)

+2𝑒=+4cos=3,故B正确;

√5

2π

√

a·b=(e+2e)·(2e-e)=2𝑒+3e·e-2𝑒=-,故C错误;

121212

D显然错误.

6.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为.

答案4

解析由题意知a∥b,

所以,即{

123

𝑥𝑥+𝑦-2𝑦

𝑦=3𝑥,①

𝑥+𝑦-2=2𝑥,②

把代入得x+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,

①②

解得x=-2或x=1.

当x=-2时,y=-6;

当x=1时,y=3.

𝑥=-2,

则当{时,b=(-2,-4,-6)=-2a,

𝑦=-6

向量a,b反向,不符合题意,故舍去.

𝑥=1,

当{时,b=(1,2,3)=a,

𝑦=3

a与b同向,符合题意,此时x+y=4.

7.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围

为.

答案-∞,-∪-

5515

解析由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×-=3t-,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,

即3t-<0,所以t<.

515

若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb(λ<0),

即(5,3,1)=λ-2,t,-,

5=-2𝜆,

𝜆=-

所以{解得{

3=𝑡𝜆,

𝑡=-

1=-𝜆,

5252

252

6652

故t的取值范围是-∞,-∪-.

5515

6652

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(2,1,2),8.已知O为坐标原点,𝑂𝐴=(1,2,3),𝑂𝐵𝑂𝑃=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

取得最小值时,求Q的坐标. 当𝑄𝐴

·𝑄𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=λ解设𝑂𝑄𝑂𝑃,则𝑄𝐴-λ𝑂𝑃=(1-λ,2-λ,3-2λ),𝑄𝐵

==𝑂𝐵−𝑂𝑄==𝑂𝐴−𝑂𝑄𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

-λ𝑂𝑃=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以𝑄𝐴

𝑂𝐵·

⃗⃗⃗⃗⃗

=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ-8λ+5)=23λ--.

𝑄𝐵

4448

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

取得最小值,此时点Q的坐标为当λ=时,𝑄𝐴.

3333

·𝑄𝐵,,

9.已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长AB=2,AB⊥BC,点O,O分别是棱AC,AC

11111111

的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)求该三棱柱的侧棱长;

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

表示向量(2)若M为BC的中点,试用向量𝐴𝐴𝐴𝑀;

,𝐴𝐵,𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

(3)求cos<𝐴𝐵>.

,𝐵𝐶

解(1)设该三棱柱的侧棱长为h,由题意得

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),B(3,0,h),C(0,1,h),则𝐴𝐵=(3,1,h),𝐵𝐶=(-3,1,h),因

√√√√

为AB⊥BC,

所以𝐴𝐵=-3+1+h=0,所以h=2.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐵𝐶

√

111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(2)𝐴𝑀)=𝐴𝐵

=𝐴𝐵+𝐵𝑀=𝐴𝐵+𝐵𝐶=𝐴𝐵+(𝐵𝐵+𝐵𝐶+(𝐴𝐴+𝐴𝐶−

222

111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+𝐴𝐵𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐴𝐴

)=.

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(-3,1,0), (3)由(1)可知𝐴𝐵=(3,1,2),𝐵𝐶

√√√

-2

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=-3+1=-2,|𝐴𝐵所以𝐴𝐵|=6,|𝐵𝐶|=2,所以cos<𝐴𝐵>==-.

111

·𝐵𝐶,𝐵𝐶

√

266

√

10.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,-2,1),=(4,2,0),则() =(-2,1,4),𝐴𝑃𝐴𝐶

𝐴𝐵

A.AP⊥AB B.AP⊥BP

C.BC=53 D.AP∥BC

√

答案AC

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

·⊥𝐴𝐵𝐴𝐵

解析𝐴𝑃=-2-2+4=0,𝐴𝑃,即AP⊥AB,故A正确;

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),=3+6-3=6≠0,AP与BP不𝐵𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

∴

=·𝐵𝑃𝐵𝐴+𝐴𝑃𝐴𝑃

垂直,故B不正确;

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=−6+1+(-4)=53,故C𝐵𝐶𝐴𝐶𝐴𝐵

|==(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),|𝐵𝐶

√

∴

正确;

1=6𝑘,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=k𝐵𝐶,则{无解,因此假设不成立,即AP与BC不平行,故D不正假设𝐴𝑃

-2=𝑘,

1=-4𝑘,

确.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

与11.已知点A(1,0,0),B(0,-1,1),若𝑂𝐴+λ𝑂𝐵𝑂𝐵(O为坐标原点)的夹角为120°,则λ的

值为()

A. B.- C. D.6

666

答案B

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(0,-1,1),=(1,-λ,λ), 解析𝑂𝐵𝑂𝐴+λ𝑂𝐵

∵

cos120°==-,可得λ<0,解得λ=-.故选B.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝜆𝐴𝐵2λ16

)·𝑂𝐵(𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+𝜆𝑂𝐵

||𝑂𝐵||𝑂𝐴

√√√

666

±±

√

2λ+1×2

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

上的投影为. 12.已知点A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则𝐴𝐵在𝐴𝐶

答案-4

解析𝐴𝐵=(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),

∵

⃗⃗⃗⃗⃗

=(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3),

𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

>=cos<𝐴𝐵

∴

,𝐴𝐶

0-20+0

√√

4+(-5)×4+(-3)

=-,

541

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

上的投影为|> 在𝐴𝐶𝐴𝐵|cos<𝐴𝐵

𝐴𝐵,𝐴𝐶

=×-=-4.

√

4+(-5)

541

√

13.已知空间向量a=(1,-2,3),则向量a在坐标平面xOy上的投影向量

是.

答案(1,-2,0)

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(𝐴𝐵−𝐴𝐶

),则点P14.已知A,B,C三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),𝐴𝑃

的坐标是.

答案(5,

,0)

⃗⃗⃗⃗⃗

=(6,3,-4),设P(a,b,c), 解析𝐶𝐵

∵

则(a-2,b+1,c-2)=(3,

,-2),

∴∴

a=5,b=,c=0,P(5,

,0).

15.

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面

ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.建立空间直角坐标系,

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗

,𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

>; (1)求cos<𝐴𝐶

(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,求N点的坐标.

解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则

A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E0,,1,从而

√√

⃗⃗⃗⃗⃗

=(3,1,0),𝑃𝐵=(3,0,-2).

√√

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗ ⃗

,𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

>= 则cos<𝐴𝐶

𝐴𝐶

·𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗ ⃗

||𝑃𝐵||𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗

=>的余弦值为. .<𝐴𝐶

271414

33737

√

⃗⃗⃗⃗⃗

=,𝑃𝐵

√√

⃗⃗⃗⃗⃗

∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=-x,,1-z, (2)由于N点在侧面PAB内,故可设N点坐标为(x,0,z),则𝑁𝐸

由NE⊥平面PAC可得,{

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑁𝐸=0,

·𝐴𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑁𝐸=0,

·𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗

即{

(-𝑥,

,1-𝑧)·(0,0,2)=0,

(-𝑥,

1,0)=0,,1-𝑧)·(3,

√

化简得{

𝑧-1=0,

√

-+3𝑥

∴{

𝑥=

√

1,𝑧=

=0,

即N点的坐标为,0,1.

√

16.已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

(1)求以向量𝐴𝐵所在有向线段为边的平行四边形的面积;

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐶

(2)若|a|=3,且向量a分别与向量𝐴𝐵垂直,求向量a.

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐶

解(1)𝐴𝐵=(-2,-1,3),𝐴𝐶=(1,-3,2),

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

设θ为𝐴𝐵的夹角,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐶

则cosθ=,sinθ=.S=|𝐴𝐵||𝐴𝐶|sinθ=73.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵13

·𝐴𝐶

-2+3+6

|𝐴𝐵||𝐴𝐶|

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√√

4+1+91+9+42·2

∴∴

√

▱

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√

∴

以𝐴𝐵为边的平行四边形面积为73.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐶

√

(2)设a=(x,y,z),

-2𝑥-𝑦+3𝑧=0,

由题意,得{

𝑥-3𝑦+2𝑧=0,

222

𝑥+𝑦+𝑧=3.

𝑥=1,𝑥=-1,

解得{或{

𝑦=1,𝑦=-1,

𝑧=1

𝑧=-1.

∴

a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).

17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行边四

形,𝐴𝐵=(2,-1,-4),𝐴𝐷=(4,2,0),𝐴𝑃=(-1,2,-1).

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

(1)求证:PA⊥平面ABCD;

(2)对于向量a=(x,y,z),b=(x,y,z),c=(x,y,z),定义一种运

111222333

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

的绝对值;算:(a×b)·c=xyz+xyz+xyz-xyz-xyz-xyz,试计算(𝐴𝐵)·𝐴𝑃

123231312132213321

×𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

的绝说明其与几何体P-ABCD的体积关系,并由此猜想向量这种运算(𝐴𝐵)·𝐴𝑃

×𝐴𝐷

对值的几何意义.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

·𝐴𝐵

(1)证明𝐴𝑃=(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⊥𝐴𝐵·𝐴𝐷⊥𝐴𝐷

,即AP⊥AB.同理,𝐴𝑃=(-1,2,-1)·, 𝐴𝑃(4,2,0)=-4+4+0=0,𝐴𝑃

∴∴

即PA⊥AD.又AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A,PA⊥平面ABCD.

∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|=48, (2)解|(𝐴𝐵)·𝐴𝑃

×𝐴𝐷

又cos<𝐴𝐵>=,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐷

√

105

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|=6, |𝐴𝐵|=21,|𝐴𝐷|=25,|𝐴𝑃

√√

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|·|=16,可得|(|=3V. V=|𝐴𝐷|·sin<𝐴𝐵>·|𝐴𝑃𝐴𝐵)·𝐴𝑃

P-ABCD

|𝐴𝐵·𝐴𝐷×𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平行六面体的体积猜测:|(𝐴𝐵)·𝐴𝑃

×𝐴𝐷

(或以AB,AD,AP为棱的四棱柱的体积).

18.正四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,AC与BD交于

11111111

点N,BC与BC交于点M,且AM⊥BN,建立空间直角坐标系.

(1)求AA的长;

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(2)求<𝐵𝑁>;

(3)对于n个向量a,a,…,a,如果存在不全为零的n个实数λ,λ,…,λ,使得

12n12n

1122nn12n

a+λa+…+λa=0成立,则这n个向量a,a,…,a叫做线性相关,不是线性相关的

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐵𝑁,𝐶𝐷

是否线性相关,并说明理由. 向量叫线性无关,判断𝐴𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

解(1)以D为原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

系.

设AA的长为a,则B(4,4,0),N(2,2,a),

𝑎𝑎

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=(-2,-2,a),A(4,0,0),M(2,4,,得𝐵𝑁=0,即

),⊥·𝐵𝑁𝐴𝑀=(-2,4,),由𝐵𝑁𝐴𝑀𝐴𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

a=22,即AA=22.

√√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-2,-2,22),(2)𝐵𝑁𝐴𝐷=(-4,0,22),

√√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐷

𝐵𝑁6

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,𝐴𝐷=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

cos<𝐵𝑁>=,

|𝐵𝑁|||𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

<𝐵𝑁>=arccos.

(3)由

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-2,-2,22),=(-2,4,2),𝐵𝑁𝐶𝐷=(0,-4,0),λ(-2,4,2)+λ(-2,-2,22)+λ(0,-4,0)=(0,0

√√√√

𝐴𝑀

123

,0),

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,,𝐵𝑁𝐶𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

得λ=λ=λ=0,则𝐴𝑀线性无关.

123

1.2 空间向量在立体几何中的应用

1.2.1空间中的点、直线与空间向量

1.已知l的方向向量为v=(1,2,3),l的方向向量为v=(λ,4,6),若l∥l,则λ等于()

112212

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B

解析由l∥l,得v∥v,得,故λ=2.

1212

𝜆46

2.空间中异面直线a与b所成角的取值范围是()

A.[0,π] B.(0,π)

C.(0,

] D.(0,)

答案C

解析根据异面直线所成角定义,空间中异面直线a与b所成角的取值范围是(0,

3.在正方体ABCD-ABCD中,若E为AC的中点,则直线CE垂直于()

111111

A.BD B.AC C.AD D.AA

ππ

123

答案A

解析以D为坐标原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标

系Dxyz.设正方体的棱长为1.则

C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C(0,1,1),A(1,0,1),E,1,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=,-,1,=(-1,1,0),=(-1,0,-1),=(-1,-1,0),𝐶𝐸𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐴=(0,0,-1),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∴

𝐷𝐴

⃗⃗⃗⃗ ⃗

·𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(-1)×+(-1)×-+0×1=0, 𝐶𝐸

∵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

···𝐶𝐸𝐴𝐶𝐴𝐷𝐴𝐴

=-1≠0,=-𝐶𝐸=-1≠0,

≠0,𝐶𝐸

∴

CE⊥BD.

4.直线l与l的方向向量分别为a,a,若a⊥a,则l与l的位置关系为.

12121212

答案垂直

在正方体ABCD-ABCD中,O是AC的中点,E是线段DO上一点,且DE=EO.求

111111

异面直线DE与CD所成角的余弦值.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

解不妨设正方体的棱长为1,以𝐷𝐴为单位正交基底建立空间直角坐标系

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐷𝐶,𝐷𝐷

Dxyz,如图所示,

则A(1,0,0),O,0,C(0,1,0),D(0,0,1),E,于是

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐷𝐸,,

=,𝐶𝐷=(0,-1,1),且|𝐷𝐸|=,|𝐶𝐷|=2,

1116

11111

,,,

22442

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

4424

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐶𝐷

𝐷𝐸3

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|||𝐷𝐸𝐶𝐷|

则cos<𝐷𝐸>=.

⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐶𝐷=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

所以异面直线DE与CD所成角的余弦值为.

已知圆柱的底面半径为3,高为4,A,B两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直

线AB与轴OO'之间的距离.

解如图,直线AB与轴OO'之间的距离等于轴OO'与平面ABC的距离,由图形可知,

直线AB与轴OO'之间的距离等于点O'到BC的距离,

∵∴∴∴

AB=5,AC=4,且AC⊥BC,BC=√5-4=3,△O'CB为等边三角形,异面直

线AB与轴OO'之间的距离为.

√

7.已知直线l的方向向量a=(2,-3,5),直线l的方向向量b=(-4,x,y),若两直线l∥l,

1212

则x,y的值分别是()

A.6和-10 B.-6和10

C.-6和-10 D.6和10

答案A

解析由两直线l∥l,得两向量a,b平行,即,所以x,y的值分别是6和-10.

-4

-3

𝑥𝑦

如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,M,N分别是AB和SC的中点,SA=SB=SC,

且∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()

A. B.-

√√

1010

√√

1010

C.- D.

1010

答案A

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

,,𝑆𝐵𝑆𝐶

解析不妨设SA=SB=SC=1,以S为坐标原点,𝑆𝐴所在直线分别为x轴,y轴,z

轴,建立空间直角坐标系Sxyz,

则相关各点坐标为B(0,1,0),S(0,0,0),M,0,N0,0,.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=因为𝑆𝑀=0,-1,, ,0,𝐵𝑁

111

222

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

|=,||==-, 所以|𝑆𝑀𝐵𝑁

√√

251

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·,𝑆𝑀𝐵𝑁

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,𝐵𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

>=cos<𝑆𝑀=-,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐵𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑆𝑀10

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

||𝐵𝑁||𝑆𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

因为异面直线所成的角为锐角或直角,

所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.

√

9.如图,在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=AB=BC=1,则异面直线SB

与AC之间的距离为.

答案

√

解析构造如图所示正方体.取AB的中点O,连接OD交AC于点E,连接OM交SB于

点F,由平面几何知识可知,OF=OM,OE=OD,所以EF∥DM.又因为AC⊥BD,AC

333

⊥BM,

所以AC⊥平面BDM,AC⊥DM,

因为EF∥DM,所以AC⊥EF.

同理可证SB⊥DM,所以SB⊥EF.所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段.所

以EF=DM=.

10.

√

111

如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面

体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60°角;DE与

①②③④

MN垂直.

以上四个命题中,正确命题的序号是.

答案

②③④

解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成

60°角,DE与MN为异面垂直.

11.

如图,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且OA=OB=OC=1,设P

为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA.

证明如图,连接OP,OQ,PQ,取O为坐标原点,过点O作OD⊥OA,以OA,OD,OC所在

直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).

则A(1,0,0),C(0,0,1),B-,0.

√

∵∴

P为AC中点,P,0,.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=,=𝐴𝐵,𝑂𝐴+

∴

𝐴𝐵=-,0,又由已知,可得𝐴𝑄=-,0.又𝑂𝑄

22326

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝑄,

=,0,

√

33113

√√

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑂𝑄−𝑂𝑃

=0,,-. 𝑃𝑄

∴

∵∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑃𝑄=0,𝑃𝑄,即PQ⊥OA.

·𝑂𝐴⊥𝑂𝐴

12.

如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-ABC的底面△ABC中,CA=CB=1,∠

111

BCA=90°,棱AA=2,M,N分别为AB,AA的中点.

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

(1)求cos<𝐵𝐴>的值;

,𝐶𝐵

(2)求证:BN⊥平面CMN.

解以C为原点,CA,CB,CC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系Cxyz.

(1)依题意得A(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),B(0,1,2),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∴∴

𝐵𝐴=(1,-1,2),𝐶𝐵=(0,1,2),𝐵𝐴

111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝐶𝐵

111

=1×0+(-1)×1+2×2=3,|𝐵𝐴|=6,|𝐶𝐵|=5,

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∴

cos<𝐵𝐴>=.

=,𝐶𝐵

|𝐵𝐴||𝐶𝐵|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

𝐵𝐴30

·𝐶𝐵

√

(2)证明:依题意得C(0,0,2),N(1,0,1),

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(·=𝑀𝑁𝑀𝐵𝑁

,,0),,,2),𝐶𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(1,-1,1),M(=(1,0,-1),𝐵𝑁𝐶

∴∴

2222

∴

111

1111

×1+×(-1)+1×0=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0,

𝐶𝑁·𝐵𝑁

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⊥,𝑀𝐵𝑁𝐶𝑁⊥𝐵𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

, 𝐶

∴

BN⊥CM,BN⊥CN,且CM⊂平面CMN,CN⊂平面CMN,CM∩CN=C.

111111111

∴

BN⊥平面CMN.

13.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为a,求AB与DB的距离.

1111111

解在AB上任取一点M,作MP⊥AB,PN⊥BD,则MN⊥BD,只要求出MN的最小

1111111

值即可.设AM=x,则MP=x,AP=x.所以

PB=a-x,PN=a-xsin45°=

222

(2a-x),MN=+𝑃𝑁

√

√𝑃𝑀

2232

√√

2233

√

(𝑥-𝑎) +𝑎

√√

221

√√

当x=a时,MN=a.因此AB与DB的距离为a.

333

min111

√√√

233

1.2.2空间中的平面与空间向量

1.若a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为平面γ的法向量的是

()

A.(0,1,2) B.(3,6,9)

C.(-1,-2,3) D.(3,6,8)

答案B

解析向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线.

2.设平面α的法向量为(1,-2,λ),平面β的法向量为(2,μ,4),若α∥β,则λ+μ=()

A.2 B.4 C.-2 D.-4

答案C

解析α∥β,

∵

∴∴

2𝜇4

1𝜆

-2

,解得λ=2,μ=-4,λ+μ=-2.

3.(多选)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法不正确的是()

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

与𝐴𝐶是共线向量 A.𝐴𝐵

255

√√

B.与𝐴𝐵同向的单位向量是(

⃗⃗⃗⃗⃗

,-,0)

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

夹角的余弦值是 C.𝐴𝐵与𝐵𝐶

√

D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)

答案ABC

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

=(-1,2,1),所以不存在实数λ,使得,则不解析对于A,𝐴𝐵=(2,1,0),𝐴𝐶𝐴𝐵=λ𝐴𝐶𝐴𝐵与𝐴𝐶

是共线向量,所以A错误;

255

√√

对于B,因为𝐴𝐵=(2,1,0),所以与𝐴𝐵同向的单位向量为(

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,,0),所以B错误;

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(-3,1,1),所以cos<>==-,所以C错对于C,向量𝐴𝐵=(2,1,0),𝐵𝐶𝐴𝐵

𝐴𝐵55

·𝐵𝐶

√

,𝐵𝐶

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

||𝐴𝐵||𝐵𝐶

误;

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-1,2,1),所以对于D,设平面ABC的一个法向量是n=(x,y,z),𝐴𝐵=(2,1,0),𝐴𝐶

2𝑥+𝑦=0,

𝑛·𝐴𝐵=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

{

则{令x=1,则平面ABC的一个法向量为n=(1,-2,5),所以

-𝑥+2𝑦+𝑧=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝐴𝐶=0,

D正确.

4.若平面α,β的法向量分别为a=(-1,2,4), b=(x,-1,-2),并且α⊥β,则x的值为()

A.10 B.-10

C. D.-

答案B

解析因为α⊥β,所以它们的法向量也互相垂直,

所以a·b=(-1,2,4)·(x,-1,-2)=0,

解得x=-10.

5.如图,在正方体ABCD-ABCD中,E为AC的中点,则下列与直线CE垂直的是

111111

()

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

A.直线AC B.直线BD

C.直线AD D.直线AA

111

答案B

解析如图,连接AC,BD.

则点E在BD上,

∵∴

点C在平面ABCD内的射影是C,CE在平面ABCD内的射影是CE,

1111111111

∵

CE⊥BD,

111

由三垂线定理可得,CE⊥BD;

在四边形AACC中,CC⊥AC,

111

易得AC不可能和CE垂直;

∵

AD∥BC,AA∥CC,而BC,CC明显与CE不垂直,

11111

∴

AD,AA不可能和CE垂直.

111

综上,选B.

6.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面

α平行,则z=.

答案-9

解析由题知,u⊥v,u·v=3+6+z=0,z=-9.

∴∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

(λ,μ∈R),则直线AB与平面CDE的位置关系7.若𝐴𝐵=λ𝐶𝐷+μ𝐶𝐸

是.

答案AB∥平面CDE或AB⊂平面CDE

8.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内三点,设平面α的法向量为a=(x,y,z),

888

则xyz=.

∶∶

答案23(-4)

∶∶

解析由已知得,𝐴𝐵=1,-3,-,

⃗⃗⃗⃗⃗

1955

⃗⃗⃗⃗⃗

=-2,-1,-,

𝐴𝐶

∵

a是平面α的一个法向量,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=0, a·𝐴𝐵=0,a·𝐴𝐶

∴

即{解得{

𝑥-3𝑦-𝑧=0,𝑥=𝑦,

-2𝑥-𝑦-

𝑧=0,

𝑧=-𝑦,

∴∶∶∶∶∶∶

xyz=yy-y=23(-4).

9.在如图所示的坐标系中,ABCD-ABCD表示棱长为1的正方体,给出下列结论:

1111

①②③

直线DD的一个方向向量为(0,0,1);直线BC的一个方向向量为(0,1,1);平面

ABBA的一个法向量为(0,1,0);平面BCD的一个法向量为(1,1,1).

111

④

其中正确的是.(填序号)

答案

①②③

解析DD∥AA,𝐴𝐴=(0,0,1),故正确;BC∥AD,𝐴𝐷=(0,1,1),故正确;直线AD⊥

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

①②

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

平面ABBA,𝐴𝐷=(0,1,0),故正确;点C的坐标为(1,1,1),𝐴𝐶与平面BCD不垂直,

1111

③

故错误.

④

10.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥底

面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,求平面SCD与平面

SBA的一个法向量.

解以A为坐标原点,AD,AB,AS所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直

角坐标系Axyz,

则A(0,0,0),D,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),

则𝐷𝐶==-,0,1, ,1,0,𝐷𝑆

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

向量𝐴𝐷=,0,0是平面SBA的一个法向量.

⃗⃗⃗⃗⃗

设n=(x,y,z)为平面SCD的一个法向量,

𝑛·𝐷𝐶=𝑥+𝑦=0,𝑦=-𝑥,

⃗⃗⃗⃗⃗

则{即{

⃗⃗⃗⃗⃗

=-𝑥+𝑧=0,𝑛·𝐷𝑆𝑧=𝑥.

取x=2,得y=-1,z=1,

故平面SCD的一个法向量为(2,-1,1).

11.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,M,N分别是CC,BC的中点.求证:MN∥

1111111

平面ABD.

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝐶𝐶=𝐶𝑁−𝐶𝑀𝐵−𝐶

证法一𝑀𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∵

11111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=)=,

(𝐷𝐴−𝐷𝐷𝐷𝐴

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∥𝐷𝐴

∴∴

𝑀𝑁,MN∥平面ABD.

证法二如图,以D为原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐

标系,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,(1,0,1),B(1,1,0),

),N(

,1,1),D(0,0,0),A

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(),𝐷𝐴

,0,

于是𝑀𝑁=(1,0,1),𝐷𝐵=(1,1,0),

设平面ABD的法向量是n=(x,y,z),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=0,得{ 则n·𝐷𝐴𝐷𝐵=0,且n·

𝑥+𝑧=0,

𝑥+𝑦=0.

取x=1,得y=-1,z=-1.

∴

n=(1,-1,-1).

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

·又𝑀𝑁n=(

,0,

)·(1,-1,-1)=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⊥n,且MN⊄平面ABD. 𝑀𝑁

∴

MN∥平面ABD.

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

==𝐶𝑁−𝐶𝑀𝐷𝐴−𝐷𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

11111

证法三𝑀𝑁

∵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+(𝐷𝐵𝐵𝐴(𝐷𝐴+𝐴𝐷

=)-)

111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+𝐷𝐵𝐵𝐴−𝐷𝐴−𝐴𝐷

2222

111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

−+𝐷𝐵𝐷𝐴+(𝐵𝐴𝐷𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

222

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐷𝐵𝐷𝐴+𝐵𝐷=𝐷𝐴

2222

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

可以用即𝑀𝑁𝐷𝐴与𝐷𝐵线性表示,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

与𝑀𝑁𝐷𝐴是共面向量,

∴

,𝐷𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∥平面ABD,即MN∥平面ABD. 𝑀𝑁

∴

12.

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠

ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.

求证:(1)AE⊥CD;

(2)PD⊥平面ABE.

证明(1)AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系.

∵∴

设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).

∵

∠ABC=60°,

∴

△ABC为正三角形.

∴

,,0),

442

√

131

√

),A(0,0,0).

1313

√√

,0=设D(0,y,0),𝐴𝐶,𝐶𝐷=-,y-,0.

2222

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

·𝐶𝐷

由AC⊥CD,得𝐴𝐶=0,

即y=,则D(0,

2323

√√

,0),

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-=(),

,,0).又𝐴𝐸,,

∴

𝐶𝐷

26442

13131

√√

1133

√√

6424

=0, 𝐴𝐸=-

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

·𝐶𝐷×+×

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⊥𝐶𝐷

∴

𝐴𝐸,即AE⊥CD.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(),

131

√

(2)证法一:𝐴𝐵=(1,0,0),𝐴𝐸

∵

442

∴

设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),

则{

131

𝑥=0,

𝑥+𝑦+𝑧=0,

442

√

令y=2,则z=-3,n=(0,2,-3).

√√

∴

∵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑃𝐷n.

=(0,=

233

√√

,-1),显然𝑃𝐷

∴∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑃𝐷∥n,𝑃𝐷⊥平面ABE,即PD⊥平面ABE.

√

证法二:P(0,0,1),𝑃𝐷

∵∴

⃗⃗⃗⃗⃗

=(0,

,-1).

2313

√√

⃗⃗⃗⃗ ⃗

·𝑃𝐷=×+

⃗⃗⃗⃗⃗

又𝐴𝐸×(-1)=0,

432

⃗⃗⃗⃗ ⃗

,即PD⊥AE. 𝑃𝐷

∴

⃗⃗⃗⃗⃗

⊥𝐴𝐸

又𝐴𝐵=(1,0,0),𝑃𝐷=0,

∵∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐵

∴

PD⊥AB.

又AB∩AE=A,PD⊥平面ABE.

∴

13.已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面α的

法向量,则m,n的值分别为()

A.-1,2 B.1,-2

C.1,2 D.-1,-2

答案A

解析c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1),

由c为平面α的法向量,

𝑐·𝑎=0,3𝑚+𝑛+1=0,

得{即{

𝑐·𝑏=0,𝑚+5𝑛-9=0,

𝑚=-1,

解得{

𝑛=2.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,14.已知直线l的方向向量为a,且直线l不在平面α内,平面α内两共点向量𝑂𝐴

,𝑂𝐵

下列关系中一定能表示l∥α的是()

A.a=𝑂𝐴 B.a=k𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

C.a=p𝑂𝐴+λ𝑂𝐵D.以上均不能

答案D

解析A,B,C中均能推出l∥α,或l⊂α,但不能确定一定能表示为l∥α.

15.如图,AO⊥平面α,垂足为点O,BC⊂平面α,BC⊥OB,若∠ABO=45°,∠COB=30°,

则∠BAC的余弦值为 ()

A. B. C. D.6

776

答案B

解析AO⊥平面α,BC⊂平面α,BC⊥OB,

∵

由三垂线定理可得,AB⊥BC,设OB=2.

√√√

7426

√

∵

∠ABO=45°,∠COB=30°,

∴

AO=2,AB=22,BC=,

√

2323221

√√√

√

(22)

√

,∠ABC=90°,AC=在Rt△ABC中,AB=22,BC=.

∴

333

√

+() =

∴

cos∠BAC=.故选B.

𝐴𝐶7

𝐴𝐵2242

√√

221

√

16.(多选)在正方体ABCD-ABCD中,点E,F分别在AD,AC上,且

11111

AE=AD,AF=AC,则以下结论不正确的有()

A.EF至多与AD,AC中的一个垂直

B.EF⊥AD,EF⊥AC

C.EF与BD相交

D.EF与BD异面

答案ACD

解析以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角

坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1,则

A(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,0,,F,0,B(1,1,0),D(0,0,1),

1121

3333

111

333

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=𝐴𝐴𝐶𝐸𝐹,-,𝐵𝐷=(-1,-1,1),

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∴

𝐷,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

··𝐵𝐷,𝐴𝐷𝐸𝐹𝐸𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

=-=0,=0, 𝐸𝐹𝐴𝐶

∴

从而EF∥BD,EF⊥AD,EF⊥AC.

17.

如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,E是CD的中点,F是AD上一点,当

BF⊥PE时,AFFD的比值为()

∶

A.12 B.11

∶∶

C.31 D.21

∶∶

答案B

解析以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空

间直角坐标系Axyz,

设正方形边长为1,PA=a,

则B(1,0,0),E,1,0,P(0,0,a).

设点F的坐标为(0,y,0),

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=(-1,y,0),=则𝐵𝐹𝑃𝐸,1,-a.

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

·𝑃𝐸

=0, 因为BF⊥PE,所以𝐵𝐹

解得y=,即点F的坐标为0,,0,

所以F为AD的中点,所以AFFD=11.

∶∶

18.如图,长方体ABCD-ABCD中,AB=4,BC=2,CC=3,E,F分别是BC,CD的中点,

11111

以D为原点,分别以DA,DC,DD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则平面

DEF的一个法向量是.

答案(-6,3,2)

解析在长方体ABCD-ABCD中,AB=4,BC=2,CC=3,E,F分别是BC,CD的中点,

∵

11111

以D为原点,分别以DA,DC,DD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,则

D(0,0,3),E(1,4,0),F(0,2,0),𝐷=(1,4,-3),𝐷=(0,2,-3),设平面DEF的一个法向量是

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐸𝐹

𝑛·𝐷𝐸=𝑥+4𝑦-3𝑧=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

n=(x,y,z),则{

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝐷𝐹=2𝑦-3𝑧=0,

取y=3,得n=(-6,3,2),

则平面DEF的一个法向量是(-6,3,2).

19.在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且|n|=21,

√

则n的坐标为.

答案(-2,4,1)或(2,-4,-1)

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,0,2). 解析据题意,得𝐴𝐵=(-1,-1,2),𝐴𝐶

设n=(x,y,z),n与平面ABC垂直,

∵

𝑛·𝐴𝐵=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

∴

{

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝐴𝐶=0,

𝑥=-

-𝑥-𝑦+2𝑧=0,

即{可得{

𝑦

𝑥+2𝑧=0,

𝑧=

𝑦

∵∴

|n|=21,√𝑥

√

222

+𝑦+𝑧=21,

√

解得y=4或y=-4.

当y=4时,x=-2,z=1;

当y=-4时,x=2,z=-1.

∴

n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).

20.

如图所示,ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点.

求证:(1)MN∥平面PAD;

(2)平面QMN∥平面PAD.

证明(1)如图,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

设B(b,0,0),D(0,d,0),P(0,0,d),则C(b,d,0),

因为M,N,Q分别是PC,AB,CD的中点,

所以M,N,0,0,Q,d,0,

𝑏𝑑𝑑𝑏𝑏

22222

𝑑𝑑

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,-,-. 所以𝑀𝑁

因为平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

·⊥m. 且𝑀𝑁m=0,即𝑀𝑁

又MN不在平面PAD内,故MN∥平面PAD.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(0,-d,0), (2)因为𝑄𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

·⊥m, 所以𝑄𝑁m=0,即𝑄𝑁

又QN不在平面PAD内,所以QN∥平面PAD.

又因为MN∩QN=N,

所以平面MNQ∥平面PAD.

21.如图所示,四棱柱ABCD-ABCD的底面ABCD是正方形,O为底面中心,AO⊥

11111

平面ABCD,AB=AA=2.证明:AC⊥平面BBDD.

1111

√

证明由题设易知OA,OB,OA两两垂直,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图

所示,

∵

AB=AA=2,

√

∴

OA=OB=OA=1,

∴∴

A(1,0,0),B(0,1,0),C(-1,0,0),D(0,-1,0),A(0,0,1).

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(0,-2,0),=(-1,0,-1),𝐵𝐷𝐵𝐵=(-1,0,1),

𝐴𝐶=𝐴𝐴

111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=0,𝐴𝐴=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∴

111

𝐶·𝐵𝐷𝐶·𝐵𝐵

∴

AC⊥BD,AC⊥BB,又BD∩BB=B,

1111

∴

AC⊥平面BBDD.

111

22.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量,在平面直角坐标系中,

过动点P(1,2),法向量为n=(-2,3)的直线的点法式方程为-2(x-1)+3(y-2)=0,化简得

2x-3y+4=0,类比上述方法,在空间直角坐标系中,经过点P(1,2,-1),且法向量为

n=(-2,3,1)的平面的点法式方程应为()

A.2x-3y+z+5=0 B.2x-3y-z+3=0

C.2x+3y+z-7=0 D.2x+3y-z-9=0

答案B

解析通过类比,易得点法式方程为

-2(x-1)+3(y-2)+(z+1)=0,

整理可得2x-3y-z+3=0,故选B.

23.在正方体ABCD-ABCD中,E,F分别为棱BB和DD的中点.

111111

(1)求证:平面BFC∥平面ADE;

(2)试在棱DC上求一点M,使DM⊥平面ADE.

(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,

则A(2,0,0),D(0,0,0),E(2,2,1),F(0,0,1),C(0,2,2),B(2,2,2).

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

=(0,2,1),则𝐴𝐸𝐷𝐴=(2,0,0),𝐹𝐶=(0,2,1),𝐶=(2,0,0),𝐴𝐸.

111111

𝐵=𝐹𝐶,𝐷𝐴=𝐶𝐵

∴

可得AD∥平面FBC,AE∥平面FBC.

1111

又AD∩AE=A,平面ADE∥平面FBC.

∴

(2)解M应为DC的中点.M(0,1,0),D(0,0,2),

则𝐷=(0,1,-2),𝐷𝐸=(2,2,1),𝐴𝐷=(-2,0,0).𝐷=0,𝐷=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

111

𝑀𝑀·𝐷𝐸𝑀·𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

∵

∴

DM⊥DE,DM⊥AD.

∵

AD,DE⊂平面ADE,AD∩DE=D,

∴

DM⊥平面ADE.

1.2.3直线与平面的夹角

1.设直线l与平面α相交,且l的方向向量为a,α的法向量为n,若,n>=,则l与α

的夹角为()

2π

A. B. C. D.

3366

答案C

2πππ5π

解析线面角的范围是0,.

∵∴

<a,n>=,l与法向量所在直线所成角为,

∴

l与α的夹角为.

2.直线l的方向向量s=(1,1,2),平面α的法向量n=(1,-3,0),则直线l与平面α的夹角

的余弦值为()

A.- B. C.-D.

15151515

答案D

解析设直线l与平面α的夹角为θ(0≤𝜃≤

),则

sinθ=|cos<s,n>|=|,cosθ=√1-sin.

1×1+1×(-3)+2×0215210

√√√√

1515210210

2ππ

√

1+1+21+(-3)+0

22222

√

|==𝜃=

√√

6×101515

√√

∴

直线l与平面α的夹角的余弦值为.

√

210

在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E为CC的中点,则直线AB与平面BDE

111111

所成的角为()

A.B. C. D.

6326

πππ5π

答案B

解析以D为原点建立空间直角坐标系,如图,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,1,0),则𝐷𝐵𝐷𝐸=0,1,,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),𝐷𝐵n=0,𝐷𝐸·n=0,

∴

1+23

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

可得平面BDE的法向量n=(1,-1,2),而𝐵𝐴=(0,-1,1),cos<𝐵𝐴,n>=,

∴

232

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∴

<𝐵𝐴,n>=30°.

∴

直线AB与平面BDE的夹角为60°.

4.已知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为3的正三角形.

111

√

若P为底面ABC的中心,则PA与平面ABC的夹角的大小为()

111

A. B. C. D.

12346

5ππππ

答案B

解析如图所示,由棱柱体积为,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设

√√

P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为=2.故∠

√

1+(3)

√

PAO=,即PA与平面ABC的夹角为.

5.在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(1,-2,0),B(2,1,6),则向量𝐴𝐵与平面xOz的法向

√

⃗⃗⃗⃗⃗

量的夹角的正弦值为.

ππ

答案

𝑛·𝐴𝐵

解析设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t≠0),𝐴𝐵=(1,3,6),所以cos<n,𝐴𝐵>=

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√

|𝑛||𝐴𝐵|

⃗⃗⃗⃗⃗

3𝑡73𝑡

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,因为<n,𝐴𝐵>∈[0,π],所以sin<n,𝐴𝐵>=1-(.

) =

√

4|𝑡|4|𝑡|4

⃗⃗⃗⃗⃗

√

6.正方体ABCD-ABCD中,BB与平面ACD所成角的正弦值为.

111111

答案

√

解析设正方体的棱长为1,建立空间直角坐标系,如图所示,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

则D(0,0,0),B(1,1,0),B(1,1,1).平面ACD的一个法向量为𝐷𝐵=(1,1,1).又

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵𝐵

=(0,0,1),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

则sin<𝐷𝐵>=|cos<𝐷𝐵>|

1111

,𝐵𝐵,𝐵𝐵

|𝐷𝐵·𝐵𝐵|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝐷𝐵||𝐵𝐵|

√

3×13

√

7.正三棱柱ABC-ABC的所有棱长都相等,则AC与平面BBCC的夹角的余弦值

111111

为.

答案

√

解析设三棱柱的棱长为1,以B为原点,建立坐标系如图,则

√√

3131

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

C(0,1,1),A(

2222

,,0),𝐴𝐶,,1),

=(-

又平面BBCC的一个法向量n=(1,0,0),

设AC与平面BBCC的夹角为θ.

111

|𝐴𝐶·𝑛|

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

sinθ=|cos<n,𝐴𝐶>|=,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||𝑛||𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∴

cosθ=√1-sin.

𝜃=

√

如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点.

111111

(1)求直线AC与DE所成角的余弦值;

(2)求直线AD与平面BEDF的夹角的余弦值.

解以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角

坐标系Axyz.

(1)A(0,0,a),C(a,a,0),

D(0,a,0),Ea,,0,

𝑎

∴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴=(a,a,-a),

𝐶

𝑎

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐷𝐸

=a,-,0,

∴

cos<𝐴>=,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐶,𝐷𝐸=

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝐴𝐶15

·𝐷𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||𝐴||𝐷𝐸

𝐶

√

故AC与DE所成角的余弦值为.

(2)连接DB,∠ADE=∠ADF,

∵

∴

AD在平面BEDF内的射影在∠EDF的平分线上.

又BEDF为菱形,DB为∠EDF的平分线,

∴

故直线AD与平面BEDF所成的角为∠ADB.

由A(0,0,0),B(a,0,a),D(0,a,0),

得DA=(0,-a,0),DB=(a,-a,a),

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∴

cos<DA>=,

⃗⃗⃗⃗⃗

,DB=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·DB

DA3

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|||DADB|

√

又直线与平面所成角的范围是0,,

故直线AD与平面BEDF的夹角的余弦值为.

√

如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥

AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.

(1)证明:CE∥平面PAB;

(2)求直线CE与平面PBC的夹角的正弦值.

解(1)如图,设PA中点为F,连接EF,FB.

因为E,F分别为PD,PA中点,所以EF∥AD且EF=AD,

又因为BC∥AD,BC=AD,

所以EF∥BC且EF=BC,

即四边形BCEF为平行四边形,所以CE∥BF.

∵

BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,因此CE∥平面PAB.

(2)分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,

因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.

在平行四边形BCEF中,MQ∥CE.

由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.

由DC⊥AD,N是AD的中点得BN⊥AD.

所以AD⊥平面PBN.

由BC∥AD得BC⊥平面PBN,

那么平面PBC⊥平面PBN.

过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.

MH是MQ在平面PBC上的射影,

所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.

设CD=1.

在△PCD中,由PC=2,CD=1,PD=2得CE=2,

√√

在△PBN中,由PN=BN=1,PB=3得QH=,

√

在Rt△MQH中,QH=,MQ=2,

√

所以sin∠QMH=.

所以,直线CE与平面PBC的夹角的正弦值是.

10.已知向量a=(2,-3,3)是直线l的方向向量,向量n=(1,0,0)是平面α的法向量,则直

√

线l与平面α的夹角为()

A.30° B.45° C.60° D.90°

答案A

解析cos<a,n>=,故向量夹角为60°,则直线l与平面α所成的角为

|𝑎||𝑛|

4×12

90°-60°=30°.

11.

𝑎·𝑛21

√

如图,三棱柱ABC-ABC的侧面AABB⊥BC,且AC与底面成45°角,AB=BC=2,

111111

则该棱柱体积的最小值为()

A.43 B.33

√√

C.4 D.3

答案C

解析由已知得BC⊥AB,平面AABB⊥平面ABC且交线为AB,故点A在平面ABC

111

上的射影D在AB上.由AC与底面成45°角得AD=DC,当CD最小即CD=BC时

AD最小,此时V=·AB·BC·AD=×2×2×2=4.

1min1

12.AB∥α,AA'⊥α,A'是垂足,BB'是α的一条斜线段,B'为斜足,若AA'=9,BB'=63,则直

√

线BB'与平面α的夹角的大小为.

答案60°

13.如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为

√

AC的中点,则直线OC和平面PAC的夹角的余弦值为.

答案

解析设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体

积法得,V=V,即S·d=|PO|·S,d=,

O-PACP-OACPACOAC

333

△

∴

112

√

2·

··1

√

·(3)

√

∴

sinα=,则cosα=.

|𝐶𝑂|

𝑑27

√√

14.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是

PC的中点.求EB与底面ABCD的夹角的正弦值.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+𝐶𝐵=+𝐶𝐵=(𝑃𝐷+=𝐸𝐶𝑃𝐶𝐷𝐶

,设|解由向量加法知𝐸𝐵)+𝐶𝐵𝑃𝐷|=1,则

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|=1,且两两垂直,可得||𝐷𝐶|=1,|𝐶𝐵𝑃𝐷𝐸𝐵|=,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐷𝐶,𝐶𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐷𝑃

=-, 𝐸𝐵

∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐷𝑃=

>=cos<𝐸𝐵=-,直线EB与底面ABCD所成角的正弦值为

𝐸𝐵6

·𝐷𝑃

∴∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||𝐸𝐵||𝐷𝑃

√

15.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,在侧棱CC上求一点P,使得直线AP与

11111

平面BDDB的夹角的正切值为32.

√

解如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间

直角坐标系.

设CP=m(m>0),则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B(1,1,1),

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-1,-1,0),𝐵𝐵所以𝐵𝐷=(0,0,1),𝐴𝑃=(-1,1,m),𝐴𝐶=(-1,1,0).

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐵𝐷·𝐵𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=0,𝐴𝐶因为𝐴𝐶=0,

⃗⃗⃗⃗ ⃗

为平面BDDB的一个法向量. 所以𝐴𝐶

设AP与平面BDDB所成的角为θ,

则sinθ=cos(-𝜃)=,

π2

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||𝐴𝑃·𝐴𝐶

√

2·2+m

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||𝐴𝑃||𝐴𝐶

2+m

所以cosθ=√1-𝑠𝑖𝑛.

𝜃=

√

因为tanθ==32,

𝑐𝑜𝑠θm

所以m=.

𝑠𝑖𝑛θ2

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

故当CP时,直线AP与平面BDDB的夹角的正切值为32.

=CC

√

1.2.4二面角

1.已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a,b,且<a,b>=,则二面角

α-l-β的大小为()

A. B.

C.或 D.或

6663

π5πππ

π5π

答案C

2.如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长

为2的正三角形,且CO⊥AB,则二面角P-AC-B的正弦值是()

A.6 B. C. D.7

√√

答案B

√√

427

解析如图,取AC的中点D,连接OD,PD,PO⊥底面,PO⊥AC,

∵∴

∵

OA=OC,D为AC的中点,

∴

OD⊥AC,

又PO∩OD=O,AC⊥平面POD,则AC⊥PD,

∴

∠PDO为二面角P-AC-B的平面角.

∵

△PAB是边长为2的正三角形,

∴

PO=3,OA=OC=1,OD=,

√

则PD=.

√

(3)

√

+() =

√√

214

√

∴

sin∠PDO=.故选B.

𝑃𝐷7

PCD所成的角为()

A.30° B.45° C.60° D.90°

答案B

𝑃𝑂342

√√

√

3.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面

解析如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,

则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).

⃗⃗⃗⃗⃗

=(0,1,0),取PD的中点E,则E0,, 于是𝐴𝐷

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=0,,易知是平面PCD的法向量, 𝐴𝐸𝐴𝐷是平面PAB的法向量,𝐴𝐸

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

>=, cos<𝐴𝐷

∴

,𝐴𝐸

√

∴

平面PAB与平面PCD所成的角为45°.

4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整.

(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).

如图,已知:a∥α,,

①

求证:.

(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.

如图,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,,,

②

求证:AB⊥β.

证明:在β内引直线,垂足为B,则是二面角的平面角,由α

⊥β,知,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条直线,所以AB⊥β.

解(1)已知:a∥α,a⊂β,α∩β=b,求证:a∥b.

故答案为a⊂β,α∩β=b;a∥b.

(2)如图,已知:α⊥β,AB∩CD=B,

②

α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,

求证:AB⊥β.

证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,

则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,

由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD,

BE和CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β.

故答案为AB⊂α,AB⊥CD,BE⊥CD,∠ABE,α-CD-β,AB⊥BE,相交.

5.已知点O在二面角α-AB-β的棱上,点P在平面α内,且∠POB=60°.若直线PO与

平面β所成的角为45°,则二面角α-AB-β的正弦值为.

答案

解析如图,过点P作PE⊥β,垂足为E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接OE,PF,

√

则∠POE为直线PO与平面β所成的角,∠PFE为二面角α-AB-β的平面角.

设OP=2a,则在Rt△PEO中,由∠POE=45°,可得PE=a;在Rt△PFO中,由∠

√

POF=60°,可得PF=2a·sin60°=a;在Rt△PEF中,sin∠PFE=,即二

√

2𝑃𝐹3

√

√√

6𝑃𝐸𝑎6

𝑎

面角α-AB-β的正弦值为.

6.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平

面xOy所成的角为45°,则a=.

答案

解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),设平面α的法向量为u=(x,y,z),则{

即3x=4y=az,取z=1,则u=,1.

而cos<n,u>=,

√

𝑎𝑎

++1

916

√

-3𝑥+4𝑦=0,

-3𝑥+𝑎𝑧=0,

𝑎𝑎

√

又a>0,a=.

∵∴

7.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面

ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,求二面角C-BF-D的正切值.

解如图所示,设AC与BD交于O,

连接OF,以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空

间直角坐标系Oxyz.

设PA=AD=AC=1,则BD=3,

√

所以O(0,0,0),B,0,0=0,,0,易知𝑂𝐶为平面BDF的,F0,0,,C0,,0,𝑂𝐶

一个法向量.

⃗⃗⃗⃗⃗

=-,0,𝐹𝐵=由𝐵𝐶,0,-,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,3,3),

⃗⃗⃗⃗⃗

2222

√√

3113

√

3111

2222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

>=,sin<n,𝑂𝐶>=,所以tan<n,𝑂𝐶>=. 所以cos<n,𝑂𝐶

√√√

212723

773

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥

底面ABCD.

(1)证明:PA⊥BD;

(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

(1)证明因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD.从而BD+AD=AB,

√

222

故BD⊥AD.

又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,

所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.

(2)解如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直

角坐标系Dxyz.

则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,1).

√√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则=(0,3,-1),𝐵𝐶=(-1,3,0),𝑃𝐵

⃗⃗ ⃗⃗⃗

√√

𝐴𝐵

{

⃗⃗⃗⃗⃗

=0,𝑛·𝐴𝐵

-𝑥+3𝑦=0,

√

即{因此可取n=(3,1,3).

√√

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝑃𝐵=0,

√

3𝑦-𝑧=0,

⃗⃗ ⃗⃗⃗

=0,𝑚·𝑃𝐵

设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则{即{可取

√

3𝑏-𝑐=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

=0,𝑚·𝐵𝐶

-𝑎=0,

m=(0,-1,-3),cos<m,n>==-.

√

277

√

-4

√

由图形知二面角A-PB-C大小为钝角,

故二面角A-PB-C的余弦值为-.

√

正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长等于2,E,F分别是B'D',AC的中点.求:

(1)直线AB'和平面ACD'所成角的正弦值;

(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.

解如图建立空间直角坐标系Dxyz,

∵∴

正方体的棱长等于2,E,F分别是B'D',AC的中点,

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D'(0,0,2),B'(2,2,2),E(1,1,2),F(1,1,0).

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-2,2,0),(1)𝐴𝐷'=(-2,0,2),𝐴𝐶𝐴𝐵'=(0,2,2),设n=(x',y',z')是平面ACD'的一个法向

量,

𝑛·𝐴𝐷'=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(𝑥',𝑦',𝑧')·(-2,0,2)=0,

则由{

{

(𝑥',𝑦',𝑧')·(-2,2,0)=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝐴𝐶=0,

{

𝑧'=𝑥',

𝑦'=𝑥',

|𝑛·𝐴𝐵'||(1,1,1)·(0,2,2)|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

sinθ=设直线AB'和平面ACD'所成角的大小为θ,则,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝑛||𝐴𝐵'|

取x'=1,得平面ACD'的一个法向量n=(1,1,1),

√

√√

3×83

√

∴

直线AB'和平面ACD'所成角的正弦值是.

(2)𝐷'𝐵'=(2,2,0),𝐷'𝐶=(0,2,-2),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

设m=(x,y,z)是平面B'CD'的一个法向量,

000

则由{得{取y=1得平面B'CD'的一个法向量m=(-1,1,1),

𝑥=-𝑦

𝑚·𝐷'𝐵'=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑧=𝑦

𝑚·𝐷'𝐶=0

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝑚1

(1,1,1)·(-1,1,1)

√√

3×33

由cosθ=,

|𝑛||𝑚|

由图形知二面角B'-CD'-A的大小为锐角.

故二面角B'-CD'-A的余弦值是.

10.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都

垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217,则该二面角的大小为 ()

√

A.150° B.45° C.60° D.120°

答案C

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐵·𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0, 解析由条件知,𝐶𝐴=0,𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+𝐶𝐷=𝐶𝐴𝐴𝐵+𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|+||+2+2 |𝐶𝐷|=|𝐶𝐴𝐴𝐵|+|𝐵𝐷𝐶𝐴+2𝐴𝐵𝐶𝐴

2222

··𝐴𝐵·𝐵𝐷𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗

,𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

>=(217), =6+4+8+2×6×8cos<𝐶𝐴

√

2222

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

,,𝐵𝐷𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

>=-,即<>=120°, cos<𝐶𝐴𝐶𝐴

∴

二面角的大小为60°,故选C.

11.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).

记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角

P-AC-B的平面角为γ,则()

A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ

C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β

答案B

解析如图

G为AC中点,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D

在线段AO上,过点D作DE垂直AE,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点

F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,

所以cosα==cosβ,

𝑃𝐵𝑃𝐵𝑃𝐵𝑃𝐵

==<

𝑃𝐹𝐸𝐺𝐷𝐻𝐵𝐷

所以α>β,因为tanγ==tanβ,

𝐸𝐷𝐵𝐷

所以γ>β.故选B.

12.

𝑃𝐷𝑃𝐷

如图,将菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,若二面角

A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,则=()

𝐸𝐶'

A. B. C. D.

2623

答案C

解析取BD的中点O,连接AO,EO,C'O,

1626

𝐴𝐸

√√√

∵

菱形ABCD沿对角线BD折起,使得C点至C',E点在线段AC'上,

∴

C'O⊥BD,AO⊥BD,OC'=OA,

∴

BD⊥平面AOC',

∴∵

EO⊥BD.二面角A-BD-E与二面角E-BD-C'的大小分别为30°和45°,

∴

∠AOE=30°,∠EOC'=45°,

∵∴

OC'=OA,∠OC'E=∠OAE,

由正弦定理得,

sin∠𝑂𝐶'𝐸sin∠𝐸𝑂𝐶'

sin∠𝐴𝑂𝐸sin∠𝑂𝐴𝐸

𝑂𝐸𝐴𝐸

𝑂𝐸𝐸𝐶'

∴

sin∠𝐸𝑂𝐶'sin∠𝐴𝑂𝐸

𝐸𝐶'𝐴𝐸

∴

𝐸𝐶'sin45°2

===

13.

𝐴𝐸sin30°2

√

.故选C.

如图所示,将边长为a的正三角形ABC,沿BC边上的高线AD将△ABC折起.若折起

后B,C'间距离为,则二面角B-AD-C'的大小为.

答案60°

14.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=3,E为线段BC上一动点,现将△ABE沿AE折

√

起得到△AB'E,当二面角B'-AE-D的平面角为120°,点B'在平面ABC上的投影为K,

当E从B运动到C,则点K所形成轨迹是.

𝑎

答案一段圆弧

解析过K作KO⊥AE,连接OB',

∵

二面角B'-AE-D的平面角为120°,

∴∴

∠B'OK=60°,KO=B'O,

从而原问题就转化为B'O⊥AE,K为B'O中点,求K的轨迹长度,如右图,

∵∴

B'O⊥AE,O在以AB'为直径的圆上,取AB'中点J,则JK⊥B'K,所以K点的轨

迹是以B'J为直径的圆上的一段弧.

15.

如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB

∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA

与平面EAC所成角的正弦值.

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

,𝐶𝐷,𝐶𝑃

分别为x轴、y轴、z轴正解如图,作CF∥DA,交AB于点F,以C为原点,𝐶𝐹

方向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,-1,0).设P(0,0,a)(a>0),则

E,-,

11𝑎

222

11𝑎

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(1,1,0),=(0,0,a),=𝐶𝑃𝐶𝐸,-,

𝐶𝐴,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=m·=0,所以m为平面PAC的一个法向量.设n=(x,y,z)取m=(1,-1,0),则m·𝐶𝐴𝐶𝑃

为平面EAC的一个法向量,

则{即{取x=a,

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,𝑛·𝐶𝐴

𝑥+𝑦=0,

𝑥-𝑦+𝑎𝑧=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝐶𝐸=0,

2𝑎3

√

2·2𝑎+4

√

,则依题意,|cos,n>|=a=1(负值舍去).

可得n=(a,-a,-2),

|𝑚||𝑛|

|𝑚·𝑛|

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,1,-1). 于是n=(1,-1,-2),𝑃𝐴

⃗⃗⃗⃗ ⃗

,n>|=,即直线PA与平设直线PA与平面EAC所成的角为θ,则sinθ=|cos<𝑃𝐴

√

面EAC所成角的正弦值为.

16.如图1,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2AD=4,P为AB的中点,对角线AC平分

∠DAB,将△ACD沿AC折起到如图2中△ACD'的位置.

√

(1)求证:PD'⊥AC.

(2)若二面角B-AC-D'为直二面角,M为线段AB上的点,且二面角A-D'C-M与二面角

M-D'C-B大小相等,求出的值.

𝐴𝐵

(1)证明连接DP,CP,设DP与AC交于点O,如图3所示.四边形ABCD是等腰梯

∵

形,AB∥DC,

𝐴𝑀

∴

AD=BC,∠DCA=∠CAB.

又AC平分∠DAB,

∴∴

∠DAC=∠CAB=∠DCA,CD=AD,结合P为AB的中点,AB=2AD,易证得四

边形APCD为菱形,AC⊥DP.

∴

图3

图4

如图4,AC⊥OP,AC⊥OD',且OP∩OD'=O,

∵

∴

AC⊥平面D'PO,又PD'⊂平面D'PO,

∴

PD'⊥AC.

(2)解二面角B-AC-D'为直二面角,AC⊥OP,

∵

∴

OP⊥平面ACD',易知OP∥BC,

∴

BC⊥平面ACD',

∴

二面角A-D'C-B为直二面角.

又二面角A-D'C-M与二面角M-D'C-B大小相等,二面角A-D'C-M的平面角

∵∴

为45°,

图5

以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,OD'所在直线为z轴,

建立如图5所示的空间直角坐标系Oxyz.

如图3,在菱形APCD中,易知∠PAD=,OD=OP=1,OA=OC=3.

∴

√

∴

A(3,0,0),B(-3,2,0),C(-3,0,0),D'(0,0,1),𝐶𝐷'=(3,0,1),𝐴𝐵=(-23,2,0),

√√√√√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

设𝐴𝑀=λ𝐴𝐵(0≤λ≤1),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=(23(1-λ),2λ,0),易知平面ACD'的一个法向量为M(3-23λ,2λ,0),𝐶𝑀

√√√

∴∴

m=(0,1,0),

设n=(x,y,z)为平面MCD'的法向量,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=0,𝑛·𝐶𝑀

23(1-𝜆)𝑥+2𝜆𝑦=0,

√

则{即{

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝐶𝐷'=0,

√

3𝑥+𝑧=0,

取x=1,则z=-3,y=-,得n=1,-,-3,|cos<m,n>|=

√√

√

3(1-𝜆)

𝜆

√√

3(1-𝜆)3(1-𝜆)

𝜆𝜆

∴

|𝑚||𝑛|

|𝑚·𝑛|

√

1+[-]+3

√

3(1-𝜆)

𝜆

√

解得λ=23-3,满足题意,故=23-3.

√√

𝐴𝐵

17.

𝐴𝑀

如图,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M为CE

上一点,且BM⊥面ACE.

(1)求证:AE⊥BC;

(2)若点N为线段AB的中点,求证:MN∥面ADE;

(3)若BE=4,CE=42,且二面角A-BC-E的大小为45°,求三棱锥C-ABE的体积.

√

(1)证明BM⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,

∵

∴∵

BM⊥AE.AE⊥BE,BM∩BE=B,

∴∵∴

AE⊥平面BCE.BC⊂平面BCE,AE⊥BC.

(2)证明取DE中点P,连接PM,AP,

∵

BC=BE,BM⊥AE,

∴

M为CE的中点,

∴

MP∥DC∥AN,且MP=AN,

∴∴

APMN为平行四边形,MN∥AP.

∵

MN⊄平面ADE,AP⊂平面ADE,

∴

MN∥平面ADE.

(3)解由BE=BC=4,CE=42,得BC⊥BE.BC⊥AE,AE∩BE=E,BC⊥平面ABE.

√

∵∴∴

∠ABE为二面角A-BC-E的平面角.∠ABE=45°.AE=BE=4.

∴∴

∴

三棱锥C-ABE的体积×4×4=.

323

18.(2021全国乙,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面

ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB⊥AM.

1132

(1)求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

解(1)连接BD.PD⊥底面ABCD,AM⊂底面ABCD,PD⊥AM.

∵∴

∵

PB⊥AM,PB∩PD=P,

∴∴

AM⊥平面PBD,AM⊥BD,

∴

∠ADB+∠DAM=90°.

又∠DAM+∠MAB=90°,

∴

∠ADB=∠MAB,

∴∴

Rt△DAB∽Rt△ABM,,

𝐴𝐵𝐵𝑀

∴∴

BC=1,BC=2.

√

𝐴𝐷𝐵𝐴

(2)如图,以D为原点,𝐷𝐴分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐷𝐶,𝐷𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗

可得=(-2,0,1),A(2,0,0),B(2,1,0),M(𝐴𝑀

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

√√√

,1,0),P(0,0,1),𝐴𝑃

√√

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(-2,-1,1). -,0,0,𝐵𝑃=

√

,1,0),𝐵𝑀

设平面AMP的一个法向量为m=(x,y,z),

111

-2𝑥

√

+𝑧=0,

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,𝑚·𝐴𝑃

则{即{

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑥+𝑦=0,

𝑚·𝐴𝑀=0,

令x=2,则y=1,z=2,可得m=(2,1,2).

111

√√

设平面BMP的一个法向量为n=(x,y,z),

222

同理可得n=(0,1,1).

则cos<m,n>=.设二面角A-PM-B的平面角为θ,则

|𝑚||𝑛|

𝑚·𝑛3314

√√

7×214

970

√

sinθ=-cos.

√1

<𝑚,𝑛>=-=

√1

1414

19.

√

如图,在长方体ABCD-ABCD中,已知上下两底面为正方形,且边长均为1,侧棱

111

AA=2,E为BC中点,F为CD中点,G为BB上一个动点.

(1)确定G点的位置,使得DE⊥平面AFG;

(2)当DE⊥平面AFG时,求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.

解(1)如图,

分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,

则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,2).

因为E为BC中点,F为CD中点,所以E,1,0,F0,,0.由题意得DE⊥AF,DE

⊥AG,设G(1,1,t).

又𝐷=,1,-2=,𝐴𝐹-1,,0=(0,1,t).因为DE⊥平面AFG,则,𝐴𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐸

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,𝐷𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐹

{

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐷𝐸=0,

·𝐴𝐺

得1-2t=0,t=.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∴

BG=,即G为BB的四等分点.

(2)由题意知,平面AFE的一个法向量为m=(0,0,1),设平面AFG的法向量

n=(x,y,z).

-𝑥+

𝑦=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑛=0,

𝐴𝐹

𝑚·𝑛421

√

则{得{取x=-1,得n=(-1,-2,4).cos<m,n>=.

∴

|𝑚||𝑛|

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐺

·𝑛=0,

𝑦+𝑧=0,

由图形知二面角G-AF-E的大小为锐角.

∴

二面角G-AF-E的平面角的余弦值为.

20.

421

√

如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,直线PC⊥平面ABC,E,F分别

是PA,PC的中点.

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加

以证明;

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=𝐶𝑃

,记直线PQ与(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D,且点Q满足𝐷𝑄

平面ABC所成的角为θ,异面直线PQ与EF所成的角为α,二面角E-l-C的大小为β,

求证:sin θ=sin αsin β.

(1)解直线l∥平面PAC,证明如下:

连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,

所以EF∥AC.

又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,

所以EF∥平面ABC.

而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,

所以EF∥l.

因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,

所以直线l∥平面PAC.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=𝐶𝑃

,作DQ∥CP,且DQ=CP. (2)证明如图,由𝐷𝑄

连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l即为直线BD.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,𝐶𝐵,𝐶𝑃

所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空以点C为原点,向量𝐶𝐴

间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有

C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E(

𝑎,0,𝑐),F(0,0,c).

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(𝑎,0,0),𝑄𝑃

⃗⃗⃗⃗⃗

=(0,-b,c), 于是𝐹𝐸=(-a,-b,c),𝐵𝐹

所以cosα=,

|𝐹𝐸|||𝑄𝑃

√

⃗⃗⃗⃗⃗

|·𝑄𝑃|𝐹𝐸

⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑎

𝑎+𝑏+𝑐

222

. 从而sinα=√1-cos

⃗⃗⃗⃗⃗

||𝑚·𝑄𝑃

𝛼=

√

𝑏+𝑐

𝑎+𝑏+𝑐

222

又取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),可得sinθ=,

设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),

⃗⃗⃗⃗⃗

||𝑚||𝑄𝑃

√

𝑐

𝑎+𝑏+𝑐

222

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,𝑛·𝐹𝐸

𝑎𝑥=0,

|𝑚𝑛|

𝑏

所以由{可得{取n=(0,c,b).于是|cosβ|=,

|𝑚||𝑛|

√

𝑏+𝑐

⃗⃗⃗ ⃗⃗

=0,𝑛·𝐵𝐹

-𝑏𝑦+𝑐𝑧=0.

从而sinβ=√1-cos.

𝛽=

√

故sinαsinβ==sinθ,即sinθ=sinαsinβ.

√√√

√

𝑏+𝑐𝑐𝑐

𝑎+𝑏+𝑐𝑏+𝑐𝑎+𝑏+𝑐

22222222

𝑐

𝑏+𝑐

·=

21.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中

AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图

(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,

故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.

由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.

又因为AB⊂平面ABC,

所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)解作EH⊥BC,垂足为H.

因为EH⊂平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,

所以EH⊥平面ABC.

由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH=3.

√

以H为坐标原点,𝐻𝐶的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系

⃗⃗⃗⃗⃗

Hxyz,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,0,3),=(2,-1,0). 则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3),𝐶𝐺𝐴𝐶

√√

设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),

则{即{

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑛=0,

𝐶𝐺

𝑥+3𝑧=0,

√

⃗⃗⃗⃗⃗

2𝑥-𝑦=0.

𝐴𝐶

·𝑛=0,

所以可取n=(3,6,-3).

√

又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),

所以cos<n,m>=.

|𝑛||𝑚|

𝑛·𝑚3

√

由图形知二面角B-CG-A大小为锐角.

因此二面角B-CG-A的大小为30°.

1.2.5空间中的距离

1.如图所示,在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AA=2,E,F分别是平面

11111

√

ABCD,平面BCCB的中心,则E,F两点间的距离为()

111111

A.1 B. C. D.

答案C

222

√√

563

解析以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则点E(1,1,2),F2,1,,

√

所以|EF|=,故选C.

√

(1-2)

+(1-1)+(2-) =

√

√√

√

2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α

的距离为()

A.10 B.3 C. D.

答案D

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,2,-4),故点P到平面α的距离d=. 解析由已知得𝑃𝐴

|𝑃𝐴·𝑛||-2-4-4|

|𝑛|

3.已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2,点E是AB的中点,则点A到直线BE的

111111

距离是()

A. B.C.D.

6545255

√√√√

5555

⃗⃗⃗⃗⃗

810

答案B

解析建立空间直角坐标系如图所示,B(0,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),

则𝐵𝐴=(0,2,0),𝐵𝐸=(0,1,2),

⃗⃗⃗⃗⃗

设∠ABE=θ,则cosθ=,sinθ=√1-𝑐𝑜𝑠.故A到直线BE

|𝐵𝐴·𝐵𝐸|

⃗⃗⃗⃗⃗

||𝐵𝐴||𝐵𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗

==𝜃=

2555

2525

√

√√

⃗⃗⃗⃗ ⃗

|sinθ=2×. 的距离d=|AB

2545

√√

4.如图,已知长方体ABCD-ABCD,AA=5,AB=12,则直线BC到平面ABCD的距

111111111

离是()

A.5 B.8 C. D.

答案C

133

6013

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

解析方法一以D为坐标原点,𝐷𝐴的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐷𝐶,𝐷𝐷

图所示的空间直角坐标系,

则C(0,12,0),D(0,0,5).设

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(-x,0,0),B(x,12,0),B(x,12,5)(x>0),𝐵𝐶𝐶𝐷=(0,-12,5),𝐵=(0,0,-5).

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,n⊥设平面ABCD的法向量为n=(a,b,c),由n⊥𝐵𝐶𝐶𝐷,得

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=(a,b,c)·n·𝐵𝐶(-x,0,0)=-ax=0,n·𝐶𝐷=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12b+5c=0,

所以a=0,b=c,所以可取n=(0,5,12).

又𝐵=(0,0,-5),所以点B到平面ABCD的距离为.因为BC∥平面

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵=

11111

ABCD,

所以BC到平面ABCD的距离为.

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝐵·𝑛|

𝐵60

|𝑛|

方法二因为BC∥BC,所以BC∥平面ABCD,从而点B到平面ABCD

111111111

的距离即为所求.

如图,过点B作BE⊥AB于点E.

111

因为BC⊥平面AABB,且BE⊂平面AABB,所以BC⊥BE.

111111

又BC∩AB=B,所以BE⊥平面ABCD,BE的长即为点B到平面ABCD的距

11111111

离.

在Rt△ABB中,BE=,所以直线BC到平面ABCD的

1111111

距离为.

5.已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面

√

𝐴𝐵𝐵12×560

111

·𝐵

𝐴𝐵13

√

5+12

积为16π,则圆心O到平面ABC的距离为()

A.3 B. C.1 D.

√

答案C

√

解析由题意可知图形如图,△ABC是面积为的等边三角形,

可得|AB|=×3=3,球,即AB=BC=AC=3,所以AO=O的表面积为

4423

√√√

39323

√

16π,设球O的半径为R,所以4πR=16π,解得R=2,所以圆心O到平面ABC的距离为

√

4-3=1.

6.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB

的长度为.

答案211

√

解析过A,B作x轴的垂线,垂足分别为A',B',

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

'|=3,|则|𝐴𝐴𝐵𝐵'|=2,|𝐴'𝐵'|=5,又𝐴𝐵,

'+=𝐴𝐴𝐴'𝐵'+𝐵'𝐵

∴

|𝐴𝐵|=3+5+2+2×3×2×=44,

⃗⃗⃗⃗⃗

2222

∴

|𝐴𝐵|=211.

⃗⃗⃗⃗⃗

√

7.如图,在长方体ABCD-ABCD中,AA=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC的中点,

111111

则点D到直线GF的距离为.

答案

√

解析如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD所在的直线为坐标轴建立如图所示

的空间直角坐标系,

|𝐺𝐹·𝐺𝐷|

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,-1,-1),则D(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),于是有𝐺𝐹𝐺𝐷=(0,-2,1),所以

⃗⃗⃗ ⃗⃗

||𝐺𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

2-11142

√√

3333

,|GD|=5,所以点D到直线GF的距离为-.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

√5

√

8.如图,在三棱柱ABC-ABC中,所有棱长均为1,且AA⊥底面ABC,则点B到平面

11111

ABC的距离为.

答案

√

解析建立如图所示的空间直角坐标系,

则A,0,B(0,1,0),B(0,1,1),C(0,0,1),则

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐶𝐴,𝐵𝐵

1111

=,-1,𝐶=(0,1,0),𝐶=(0,1,-1).设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),

√

解得n=,1,1则有{,则所求距离为

√

3𝐵

121

√

+1+1

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐶𝐴𝑥+𝑦-1=0,

·𝑛=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐶𝐵

·𝑛=𝑦-1=0,

|𝐶·𝑛|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝑛|

√

9.在直三棱柱ABC-ABC中,AB=AC=AA=2,∠BAC=90°,M为BB的中点,N为BC

11111

的中点.

(1)求点M到直线AC的距离;

(2)求点N到平面MAC的距离.

解(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),A(0,0,2),M(2,0,1),C(0,2,2),直线

AC的一个单位方向向量为s=0,=(2,0,1),故点M到直线AC的距离,𝐴𝑀

101

132

√

d=-|𝐴𝑀.

√

|𝐴𝑀|·𝑠|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=-=

√5

√√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(2)设平面MAC的法向量为n=(x,y,z),𝐴𝐴=(0,2,0),𝐴=(2,0,-1),则n·=0,

11111

𝐶𝑀𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

且n·𝐴=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,

𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-1,1,-1),故点N到故n=(1,0,2)为平面MAC的一个法向量,因为N(1,1,0),所以𝑀𝑁

平面MAC的距离d=.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑛||𝑀𝑁|-1-2|

|𝑛|

√

1+2

√

10.(多选)如图,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,E为BC中点,

则下列结论不正确的是()

A.AE=

B.∠EAD为AE与平面ABD所成的角

C.DE为点D到平面ABC的距离

D.∠AED为二面角A-BC-D的平面角

答案ABC

解析由于DA,DB,DC两两垂直,且长度均为1,则△ABC为边长是2的等边三角形.

√

又E为BC中点,则AE=√𝐴𝐵-𝐵𝐸-(,故A错;

222

=) =≠

√

(2)

√

222

√

√√

233

√

由于DE与平面ABD不垂直,故∠EAD不是AE与平面ABD所成的角,故B错;

若DE为点D到平面ABC的距离,则DE⊥平面ABC,故∠AED为直角,而在三角形

ADE中,∠ADE为直角,矛盾,故C错;

由于E为BC中点,则AE⊥BC,DE⊥BC,故∠AED为二面角A-BC-D的平面角,

故D正确.

11.正四棱柱ABCD-ABCD中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B到平面ADC的

111111

距离为()

A. B.C.D.

3333

答案A

822424

√√

解析如图,以D为原点,DA,DC,DD分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则

A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,4),B(2,2,4),

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-2,2,0),𝐴𝐶𝐴𝐷=(-2,0,4),𝐵=(-2,-2,0).

∴

111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐷

设平面ADC的法向量为n=(x,y,z),

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,𝑛·𝐴𝐶

-2𝑥+2𝑦=0,

则{即{取z=1,则x=y=2,所以n=(2,2,1),所以点B到平

-2𝑥+4𝑧=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛·𝐴𝐷=0,

面ADC的距离为,故选A.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝑛·𝐵|

𝐷8

|𝑛|

12.在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PA⊥底面ABCD,BC∥AD,∠

ABC=90°,PA=AB=BC=2,AD=1,则AD到平面PBC的距离为.

答案2

√

解析AD到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离.由已知可知AB,AD,AP两两

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐垂直.以A为坐标原点,𝐴𝐵

,𝐴𝐷,𝐴𝑃

标系(图略),则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),

⃗⃗⃗⃗⃗

=(0,2,0). =(2,0,-2),𝐵𝐶则𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

设平面PBC的法向量为n=(a,b,c),

⃗⃗ ⃗⃗⃗

𝑛⊥𝑃𝐵2𝑎-2𝑐=0,

则{即{

𝑏=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑛⊥𝐵𝐶

取a=1,得n=(1,0,1).又𝐴𝐵=(2,0,0),

⃗⃗⃗⃗⃗

所以d=

|𝐴𝐵·𝑛|

⃗⃗⃗⃗⃗

|𝑛|

=2.

√

13.在直三棱柱ABC-ABC中,底面ABC为直角三角形,∠BAC=,AB=AC=AA=1.

1111

已知G与E分别为AB和CC的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包

111

括端点).若GD⊥EF,则线段DF的长度的最小值为.

答案

√

解析以A为坐标原点,AB为x轴,AC为y轴,AA为z轴,建立空间直角坐标系,设

F(t,0,0)(0<1),D(0,t,0)(0<1),E(0,1,

1122

,0,1).

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(𝑡),𝐺𝐷=(-

,-1,-,𝑡,-1).

⃗⃗⃗⃗⃗

∴

𝐸𝐹

∵∴

GD⊥EF,t+2t=1,由此推出0<.又𝐷𝐹=(t,-t,0),|𝐷𝐹|=

12212

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√𝑡

+𝑡=

2125

√

√5𝑡√5(𝑡

-4𝑡-,当t=时,|𝐷𝐹|=.

+1=) +

5555

∴

2min

⃗⃗⃗⃗⃗

14.正方体ABCD-ABCD的棱长为2,E,F分别是BB,CD的中点,求点F到平面

11111

ADE的距离.

解以D为坐标原点,DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角

111111

坐标系Dxyz.

则F(0,1,2),D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),𝐷=(2,0,0),𝐷=(2,2,1).

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

111

𝐴𝐸

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

设n=(x,y,z)为平面ADE的一个法向量,则n·𝐷=0,且n·𝐷=0,

111

𝐴𝐸

∴

{𝐹

2𝑥=0,

则x=0,令z=2,y=-1,得n=(0,-1,2),又𝐷=(0,1,2),点F到平面

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∴

2𝑥+2𝑦+𝑧=0,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐹35

·𝑛||𝐷

|𝑛|

ADE的距离为d=.

√

15.如图,在五面体ABCDEF中,AB∥DC,∠BAD=,CD=AD=2.四边形ABFE为平行

四边形,FA⊥平面ABCD,FC=3,ED=7,求直线AB到平面EFCD的距离.

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空解如图,以A点为坐标原点,𝐴𝐵

,𝐴𝐷,𝐴𝐹

间直角坐标系,

则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0).

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(2,2,-z). 设F(0,0,z)(z>0),可得𝐹𝐶

000

⃗⃗⃗⃗ ⃗

|=3,得=3, 由|𝐹𝐶

√

2+2+(-𝑧

)

解得z=1,则F(0,0,1).

因为AB∥DC,CD⊂平面EFCD,所以直线AB到平面EFCD的距离等于点A到

平面EFCD的距离.

设A点在平面EFCD上的射影为G(x,y,z),

111

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(x,y,z). 则𝐴𝐺

111

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

··𝐷𝐹𝐶𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗

所以𝐴𝐺=0,且𝐴𝐺=0,

而𝐷𝐹=(0,-2,1),𝐶𝐷=(-2,0,0),

⃗⃗⃗⃗⃗

所以{解得x=0,

-2𝑦

+𝑧=0,①

-2𝑥

=0,②

③

⃗⃗⃗⃗ ⃗

∥𝐷𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗

所以G点在yOz平面上,故G点在FD上,且𝐺𝐹.

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-x,-y,-z+1), 又𝐺𝐹

111

𝑦24

⃗⃗⃗⃗ ⃗

|为直线AB到平面EFCD故有=-z+1.联立,解得G0,.所以|𝐴𝐺

255

④①③④

的距离.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,,所以||=, 而𝐴𝐺𝐴𝐺

2425

√

555

即直线AB到平面EFCD的距离为.

√

16.已知二面角α-l-β为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,点P到β的距离为3,点Q

√

到α的距离为23,则P,Q两点之间距离的最小值为()

√

A.2 B.2 C.23 D.4

√√

答案C

解析作PM⊥β,QN⊥α,垂足分别为M,N.

分别在平面α,β内作PE⊥l,QF⊥l,垂足分别为E,F,如图所示,连接ME,NF,则ME

⊥l,∠PEM为二面角α-l-β的平面角.∠PEM=60°.

∴∴

⃗⃗⃗⃗⃗

|=在Rt△PME中,|𝑃𝐸=2,

sin60°sin60°

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

++=𝑃𝐸𝐸𝐹𝐹𝑄

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

同理|𝑄𝐹|=4.又𝑃𝑄,

|𝑃𝑀|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

∴

|𝑃𝑄|=4+|𝐸𝐹|+16+2𝑃𝐸+2𝑃𝐸+2𝐸𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐸𝐹·𝐹𝑄·

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|+2×2×4cos120°=12+||.当||取最小值0时,|=20+|𝐸𝐹𝐸𝐹𝐸𝐹𝑃𝑄|最小,此时

2222

∴

𝐹𝑄

|𝑃𝑄|=23.

⃗⃗⃗⃗⃗

√

17.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=22,∠ABC=90°,如图把△

√

①

ABD沿BD翻折,使得平面ABD⊥平面BCD(如图).

②

(1)求证:CD⊥AB;

(2)若点M为线段BC的中点,求点M到平面ACD的距离;

(3)在线段BC上是否存在点N,使得AN与平面ACD所成的角为60°?若存在,求出

𝐵𝐶

的值;若不存在,请说明理由.

(1)证明由已知条件可得BD=2,CD=2,CD⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,平面

ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,又因为AB⊂平面ABD,所以CD⊥AB.

𝐵𝑁

(2)解以点D为原点,DB所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,建立空间直角坐

标系,如图,由已知可得A(1,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,1,0),所以

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=(-1,1,0). =(0,-2,0),𝐴𝐷=(-1,0,-1),𝑀𝐶

𝐶𝐷

𝑦=0,

设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则𝐶𝐷⊥n,𝐴𝐷⊥n,所以{令x=1,得平

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑥+𝑧=0,

面ACD的一个法向量为n=(1,0,-1),所以点M到平面ACD的距离d=.

|𝑛·𝑀𝐶|

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|𝑛|

√

(3)解假设在线段BC上存在点N,使得AN与平面ACD所成角为60°,设

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,0≤λ≤1,则N(2-2λ,2λ,0),所以=(1-2λ,2λ,-1),又因为平面ACD的一个法向=λ𝐵𝐶𝐴𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵𝑁

量为n=(1,0,-1),且直线AN与平面ACD所成的角为60°,所以sin60°=,

|||𝑛|𝐴𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

·𝑛||𝐴𝑁

√

可得8λ+2λ-1=0,所以λ=或λ=-(舍去).综上,在线段BC上存在点N,使AN与平面

ACD所成角为60°,此时.

𝐵𝐶4

𝐵𝑁1

第一章综合测验

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

是() 1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量𝐴𝐵'、𝐴𝐷'、𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

A.有相同起点的向量 B.等长的向量

C.共面向量 D.不共面向量

答案C

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

显然不是有相同起点的向量,A不正确; 解析向量𝐴𝐵'、𝐴𝐷'、𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B不正确.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

, 又𝐴𝐷'

∵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

−𝐴𝐵'=𝐵'𝐷'=𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

共面,C正确,D不正确. 𝐴𝐵'

∴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐴𝐷',𝐵𝐷

2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()

A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c

C.a∥c,a⊥b D.以上都不对

答案C

解析a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),a·b=-4+0+4=0,a⊥b.

∵∴∴

∵∴

-2-3

,a∥c.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

++𝐵𝐶𝐷𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

3.在长方体ABCD-ABCD中,𝐵𝐴= ()

1111

A.𝐷 B.𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

111

𝐵𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

C.𝐷𝐵 D.𝐵𝐷

答案D

-4-6

解析如图所示,

长方体ABCD-ABCD中,

1111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐵𝐴+𝐵𝐶𝐷𝐷+𝐵𝐶=𝐵𝐷+𝐷𝐷=𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1111

=(𝐵𝐴)+𝐷𝐷.

4.如图所示,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD.M,G分别是BC,CD的中点,则𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐵𝐶𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

等于 ()

A.𝐴𝐷 B.𝐺𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

C.𝐴𝐺D.𝑀𝐺

答案C

解析M,G分别是BC,CD的中点,

∵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

==𝐵𝐶𝐵𝑀,𝐵𝐷𝑀𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+=+𝐵𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵+𝐵𝑀+𝑀𝐺=𝐴𝑀+𝑀𝐺=𝐴𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

. 𝐴𝐵

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h5.在四棱锥P-ABCD中,𝐴𝐵=(4,-2,3),𝐴𝐷=(-4,1,0),𝐴𝑃

等于 ()

A.1 B.2 C.13 D.26

答案B

解析设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),

⃗⃗⃗⃗⃗

=0,𝑛·𝐴𝐵

4𝑥-2𝑦+3𝑧=0,

则{即{

𝑛·𝐴𝐷=0,

⃗⃗⃗⃗⃗

-4𝑥+𝑦=0.

不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),

四棱锥的高h==2.

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑛||𝐴𝑃

|𝑛|

6.已知两不重合的平面α与平面ABC,若平面α的法向量为

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,1,1),则() n=(2,-3,1),𝐴𝐵=(1,0,-2),𝐴𝐶

A.平面α∥平面ABC

B.平面α⊥平面ABC

C.平面α、平面ABC相交但不垂直

D.以上均有可能

答案A

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=2×1+(-3)×1+1×1=0,解析由题意,n·𝐴𝐵=2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n⊥𝐴𝐵,n·𝐴𝐶

111

⃗⃗⃗⃗ ⃗

, 得n⊥𝐴𝐶

所以n⊥平面ABC,所以平面α的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面α

∥平面ABC.

7.直线AB与直二面角α-l-β的两个面分别交于A,B两点,且A,B都不在棱l上,设直

线AB与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是()

A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90°

C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°

答案B

解析如图,分别过点A,B向平面β,α作垂线,垂足为A,B,连接BA,AB.

1111

由已知α⊥β,所以AA⊥β,BB⊥α,因此∠BAB=θ,∠ABA=φ.由最小角定理得∠

1111

BAA≥θ,而∠BAA+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA≤90°,

111

当AB⊥l时,θ+φ=90°,应选B.

8.长方体AAAA-BBBB的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=𝐴

12341234

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵·

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑖𝑗

𝐴𝐵

,i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}中元素的个数为()

A.1 B.2 C.3 D.4

答案C

解析长方体AAAA-BBBB的底面为边长为1的正方形,高为2,

∵

12341234

∴

建立如图的空间直角坐标系,

则A(1,1,0),A(0,1,0),A(0,0,0),A(1,0,0),

1234

B(1,1,2),B(0,1,2),B(0,0,2),B(1,0,2),

1234

则𝐴=(-1,0,2),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

与𝐴=(0,0,2)相等的向量为𝐴,此时𝐴=2×2=4,

112233441211

𝐵𝐵=𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐵·𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

21431214

与𝐴=(0,-1,2)相等的向量为𝐴,此时𝐴=2×2=4,

𝐵𝐵𝐵·𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

34121241

与𝐴=(0,1,2)相等的向量为𝐴,此时𝐴=2×2=4,

𝐵𝐵𝐵·𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

与𝐴=(1,0,2)相等的向量为𝐴,此时𝐴=-1+4=3,与𝐴=(-1,0,2)

2134122112

𝐵𝐵𝐵·𝐴𝐵𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

相等的向量为𝐴,

𝐵

此时𝐴=1+4=5,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1212

𝐵·𝐴𝐵

体对角线向量为𝐴=(-1,-1,2),此时𝐴=1+4=5,𝐴=(1,-1,2),𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1312132412

𝐵𝐵·𝐴𝐵𝐵𝐵·

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵

=-1+4=3,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵𝐵·𝐴𝐵

311231

=(1,1,2),𝐴=-1+4=3,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

421242

𝐴𝐵𝐵·𝐴𝐵

=(-1,1,2),𝐴=1+4=5,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝑖12𝑗

综上集合{x|x=𝐴,i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个

𝐵·𝐴𝐵

数为3个.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.

9.设向量a,b,c可构成空间一个基底,下列选项中正确的是()

A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c

B.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面

C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc

D.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底

答案BCD

解析由a,b,c是空间一个基底,知:

在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;

在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;

在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确;

在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.

10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()

A.(a·b)c=b·c

B.(a+b)·c=a·(b+c)

C.(a+b+c)=a+b+c

2222

D.|a+b+c|=|a-b-c|

答案BCD

解析A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;

B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,左边=右边,因

∴

此正确.

C.a+b+c=(3,7,-1),左边=3+7+(-1)=59,右边

222

=1+2+3+3+0+(-1)+(-1)+5+(-3)=59,

22222222

∴

左边=右边,因此正确.

D.由C可得左边=59,a-b-c=(-1,-3,7),

√

∵

∴∴

|a-b-c|=59,左边=右边,因此正确.故BCD正确.

√

11.在正方体ABCD-ABCD中,E,F,G,H分别为AB,CC,AD,CD的中点,则下列结

111111111

论正确的是 ()

A.AE⊥AC B.BF∥平面ADDA

1111

C.BF⊥DG D.AE∥CH

答案BCD

解析设正方体的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD所在的直线分别为x轴、y轴、z

轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则

A(1,0,1),E(1,(0,1,1),H0,,1,G(

2222

,0),C(0,1,0),F(0,1,,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),

),C

D(0,0,0),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗

则𝐴=(-1,1,1),𝐵𝐹

𝐸=(0,=(-1,0,),𝐷𝐺=(=(0,-

2222

,-1),𝐴𝐶,0,1),𝐶𝐻,1),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

所以𝐴=-,所以AE与AC不垂直,故A错误;

𝐸·𝐴𝐶

1111

显然平面ADDA的一个法向量v=(0,1,0),

⃗⃗⃗ ⃗⃗

·有𝐵𝐹v=0,所以BF∥平面ADDA,故B正确;

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐵𝐹𝐷𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗

=0,所以BF⊥DG,故C正确;

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐸

=-𝐶𝐻,所以AE∥CH,故D正确.

12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:

①②③④

AC⊥BD;△ACD是等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60°;AB与CD

所成的角为60°.其中正确的结论有()

A. B.② C.③ D.④

①

答案ABD

解析如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为2,则

√

D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(0,-1,1),=(2,0,0),=0, 𝐵𝐷𝐶𝐷=(1,0,-1),𝐴𝐷=(1,-1,0),𝐴𝐵=(-1,-1,0),𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐶𝐵𝐷

故AC⊥BD,正确.

①

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|=2,|又|𝐴𝐶𝐶𝐷|=2,|𝐴𝐷|=2,

√√√

所以△ACD为等边三角形,正确.

②

对于,𝑂𝐴为平面BCD的一个法向量,

③

⃗⃗⃗⃗⃗

cos<𝐴𝐵>=

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,𝑂𝐴

(-1,-1,0)·(0,1,0)

√√√

2·122

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

𝐴𝐵

·𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||𝐴𝐵||𝑂𝐴

==-.

-1

√

因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB与平面BCD所成的角为45°,

故错误.

③

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,CD

>=又cos<AB

==-,

(-1,-1,0)·(1,0,-1)

√√

2·22

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·CD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

||CD||AB

因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为60°,故正

④

确.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+··𝐵𝐶𝐴𝐶𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=. 13.在棱长为a的正四面体中,𝐴𝐵

答案-

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

的夹角为120°,AC⊥BD.解析棱长为a的正四面体中,AB=BC=a,且𝐴𝐵与𝐵𝐶𝐴𝐵

∴

𝑎

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+·𝐵𝐶𝐴𝐶𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=a·acos120°+0=-.

𝑎

14.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则xy=.

答案-2

解析由题中条件得a+2b=(1+2x,4,-y+4),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)∥(2a-b),

所以存在λ∈R使得1+2x=λ(2-x)且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=,x=,y=-4,

所以xy=-2.

15.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α,∠BAC=90°,PB,PC分别与α成45°和30°

角,PA=2,则PA与BC的距离是;点P到BC的距离是.

答案37

√√

解析作AD⊥BC于点D,

∵

PA⊥面ABC,

∴∴

PA⊥AD.AD是PA与BC的公垂线.

易得AB=2,AC=23,BC=4,AD=3,连接PD,则PD⊥BC,P到BC的距离PD=7.

√√√

16.已知向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a+b=c+d=1,现有以下命题:

2222

①

向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关);

②

m·n的最大值为2;

√

③

<m,n>(m,n的夹角)的最大值为;

④

若定义u×v=|u|·|v|sin<u,v>,则|m×n|的最大值为2.

√

其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)

答案

①③④

解析取z轴的正方向单位向量a=(0,0,1),

①

则cos<n,a>=,向量n与z轴正方向的夹角恒为

|𝑛||𝑎|

===

√

定值,命题正确;

𝑛·𝑎112

𝑐+𝑑+1×1

222

3π

√

∴

②

m·n=ac+bd≤=1,

𝑎+𝑐𝑏+𝑑𝑎+𝑐+𝑏+𝑑1+1

22222222

2222

+==

当且仅当a=c,b=d时取等号,因此m·n的最大值为1,命题错误;

③②∴

由可得|m·n|≤1,-1≤m·n≤1,

∴

cos<m,n>=

|𝑚||𝑛|

=≥-=-,

√

𝑎𝑐+𝑏𝑑12

𝑎+𝑏+𝑑+1

22222

·𝑐

√

𝑚·𝑛

1×22

√

3π

√

∴

<m,n>的最大值是,命题正确;

④③

由可知:-≤cos<m,n>≤,

∴∴

442

≤<m,n>≤≤sin<m,n>≤1,m×n=|m|×|n|×sin<m,n>≤1×2×1=2,

√√

命题正确.

π3π2

√

√√

综上可知,正确的命题序号是.

①③④

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,b=𝐴𝐷,c=𝐴𝑀,的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60°,N是CM的中点,设a=𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

,并求BN的长. 试以a,b,c为基向量表示出向量𝐵𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+𝐶𝑁=𝐴𝐷+𝐶𝑀=𝐴𝐷+(𝐴𝑀−𝐴𝐶+[𝐴𝑀+𝐴𝐵=𝐵𝐶

)=𝐴𝐷-(𝐴𝐷)] 解𝐵𝑁

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

222

=-.

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐴𝐵+𝐴𝐷+𝐴𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=-a+b+c, 所以𝐵𝑁

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|==-a+b+c |𝐵𝑁𝐵𝑁

111

222

=(a+b+c-2a·b-2a·c+2b·c)=.

222

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|=所以|𝐵𝑁,即BN的长为.

√√

1717

117

111

18.(12分)如图,正三棱柱ABC-ABC中,底面边长为2.

111

√

(1)设侧棱长为1,求证:AB⊥BC;

(2)设AB与BC所成的角为,求侧棱的长.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(1)证明𝐴𝐵.

1111

=𝐴𝐵+𝐵𝐵,𝐵𝐶=𝐵𝐵+𝐵𝐶

因为BB⊥平面ABC,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=0. 所以𝐵𝐵=0,𝐵𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐵·𝐵𝐶

又△ABC为正三角形,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

>=π-<>=π-. 所以<𝐴𝐵𝐵𝐴

π2π

=,𝐵𝐶,𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

) 因为𝐴𝐵=(𝐴𝐵)·(𝐵𝐵

1111

·𝐵𝐶+𝐵𝐵+𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

+·𝐵𝐵+𝐴𝐵·𝐵𝐶𝐵𝐵+𝐵𝐵·𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=𝐴𝐵

111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|·>+=|𝐴𝐵|·|𝐵𝐶cos<𝐴𝐵𝐵𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

,𝐵𝐶

=-1+1=0,

所以AB⊥BC.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|·>+𝐵𝐵(2)解由(1)知𝐴𝐵=|𝐴𝐵|·|𝐵𝐶cos<𝐴𝐵-1.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1111

·𝐵𝐶,𝐵𝐶=𝐵𝐵

√√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

又|𝐴𝐵|==|𝐵𝐶|,

𝐴𝐵+𝐵𝐵=2+𝐵𝐵

1111

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

所以cos<𝐴𝐵>=,

,𝐵𝐶=

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝐵𝐵1

-1

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

2+𝐵𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

所以|𝐵𝐵|=2,即侧棱长为2.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

. 19.(12分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=𝐴𝐵,b=𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗

,求向量c; (1)若|c|=3,且c∥𝐵𝐶

(2)已知向量ka+b与b互相垂直,求k的值;

(3)求△ABC的面积.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

, 解(1)空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=𝐴𝐵,b=𝐴𝐶

∵

⃗⃗⃗⃗⃗

=(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), 𝐵𝐶

∴

⃗⃗⃗⃗⃗

, |c|=3,且c∥𝐵𝐶

∵

⃗⃗⃗⃗⃗

=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m), c=m𝐵𝐶

∴

|c|==3|m|=3,

√

(2𝑚)

+𝑚+(-2𝑚)

∴±∴

m=1,c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).

(2)由题得a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2),

∴

ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2),

∵∴∴

向量ka+b与b互相垂直,(ka+b)·b=1-k+4=0,解得k=5.k的值是5.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,0,-2),𝐵𝐶=(2,1,-2), (3)𝐴𝐵=(-1,-1,0),𝐴𝐶

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

>=cos<𝐴𝐵=->=-,sin<𝐴𝐵,

,𝐴𝐶==,𝐴𝐶

1133

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐶

𝐴𝐵113

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

||𝐴𝐵|·|𝐴𝐶

-1

√√√√

2×5101010

√1

√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

|×sin<>=S=×|𝐴𝐵|×|𝐴𝐶𝐴𝐵.

×2×5×,𝐴𝐶=

√

∴

△

ABC

22210

20.(12分)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.

(1)用向量法证明E,F,G,H四点共面;

(2)用向量法证明:BD∥平面EFGH;

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝑂𝐵+𝑂𝐶+=(𝑂𝐴

(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有𝑂𝑀

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑂𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=2=2,则证明(1)如图,连接BG,𝐵𝐷𝐸𝐻𝐵𝐹𝐸𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=+,𝐵𝐶𝐸𝐵+𝐵𝐺=𝐸𝐵+(𝐵𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

)=𝐸𝐵,

+𝐵𝐹+𝐸𝐻=+𝐸𝐻𝐵𝐷𝐸𝐹

由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

−==𝐴𝐻𝐴𝐸𝐴𝐷−𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

(2)因为𝐸𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

−(𝐴𝐷𝐴𝐵𝐵𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

. =)=

所以EH∥BD,又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,

所以BD∥平面EFGH.

(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=𝐵𝐷

, 由(2)知𝐸𝐻

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

==𝐵𝐷𝐹𝐺

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

, ,所以同理𝐹𝐺𝐸𝐻

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+=(𝑂𝐸

EH∥FG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分,所以𝑂𝑀

111

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑂𝐺+𝑂𝐵(𝑂𝐶+(𝑂𝐴𝑂𝐷

)=)+)

222

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

+𝑂𝐵+𝑂𝐶+(𝑂𝐴𝑂𝐷

). =

21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-ABC中,侧面AABB为正方

11111

形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC的中点,D为棱AB上的点,BF⊥AB.

11111

(1)证明:BF⊥DE;

(2)当BD为何值时,平面BBCC与平面DFE所成的二面角的正弦值最小?

111

证明(1)如图,连接AE,取BC中点M,连接BM,EM.

∵

E,M分别为AC,BC中点,

∴

EM∥AB.

又AB∥AB,AB∥EM,

1111

∴

则点A,B,M,E四点共面,故DE⊂平面ABME.又在侧面BCCB中,△FCB≌△

111111

MBB,

∴

∠FBM=∠MBB.

又∠MBB+∠BMB=90°,

∴∴

∠FBM+∠BMB=90°,BF⊥MB.

又BF⊥AB,MB∩AB=B,MB,AB⊂平面ABME,BF⊥平面ABME,BF

1111111111111

∴∴

⊥DE.

(2)BF⊥AB,BF⊥AB,

∵∴

∴

AF=BF+AB=CF+BC+AB=9.

222222

又AF=FC+AC,AC=8,则AB⊥BC.

2222

∴

如图,以B为原点,BC,BA,BB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(1,-1,1),B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).则𝐸𝐹𝐸𝐷=(-1,t-1,2),

设DB=t,则D(0,t,2),0≤t≤2.

则平面BBCC的法向量为m=(0,1,0),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),

∴

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑛=0,

𝐸𝐹

{

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐸𝐷

·𝑛=0,

即{

𝑥-𝑦+𝑧=0,

-𝑥+(𝑡-1)𝑦+2𝑧=0,

√

(1+𝑡)

∴

n=(1+t,3,2-t).

则cos<m,n>=.

+3+(2-𝑡)

√

2𝑡

-2𝑡+14

要求最小正弦值,则求最大余弦值.

当t=时二面角的余弦值最大,

则BD=时二面角正弦值最小.

22.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,

平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的

点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=3.

√

(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;

(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?

(1)证明AD∥BC,Q为AD的中点,BC=AD,

∵

∴

BC∥QD,BC=QD,

∴∴

四边形BCDQ为平行四边形,BQ∥CD.

∵∴

∠ADC=90°,BC⊥BQ.

∵∴

PA=PD,AQ=QD,PQ⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ⊥平面ABCD,

∵∴∴

PQ⊥BC.

又PQ∩BQ=Q,BC⊥平面PQB.

∵∴

BC⊂平面PBC,平面PBC⊥平面PQB.

(2)解由(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x

轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则

Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(-1,3,0),

√√√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(0,3,0),=(-1,3,-3), 𝑄𝐵𝐷𝐶=(0,3,0),𝐷𝑃=(1,0,3),𝑃𝐶

√√√√√

∴

⃗⃗⃗⃗⃗

PC=

√

(-1)

222

+(3)+(-3)=7.

√√√

⃗⃗⃗⃗ ⃗

,则设𝑃𝑀=λ𝑃𝐶𝑃𝑀=(-λ,3λ,-3λ),且0≤λ≤1,得M(-λ,3λ,3−3λ),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√√√√√

∴

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑄𝑀=(-λ,3λ,3(1-λ)).

√√

设平面MBQ的法向量为m=(x,y,z),则

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

-𝜆𝑥++(1-𝜆)𝑧=0,

√3𝜆𝑦√3

𝑄𝑀

·𝑚=0,

{

即{

⃗⃗⃗⃗⃗

𝑄𝐵√3𝑦

·𝑚=0,

=0.

令x=3,则y=0,z=,平面MBQ的一个法向量为m=3,0,.

√√

1-𝜆1-𝜆

∴

设平面PDC的法向量为n=(x',y',z'),则

𝜆𝜆

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐷𝐶

·𝑛=0,

√3𝑦

'=0,

{

𝐷𝑃

即{

⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑛=0,

𝑥'+'=0.

√3𝑧

令x'=3,则y'=0,z'=-3,平面PDC的一个法向量为n=(3,0,-3).

√√

∴

平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°,

∴

cos60°=,

|𝑛||𝑚|

1177

|𝑛·𝑚|

|33-3·|

√√

1-𝜆

√

12·3+()

√

1-𝜆

√√

𝜆

∴∴

λ=.PM=PC=.即当PM=时,平面QMB与平面PDC所成的角大小为

2222

60°.

第二章平面解析几何

2.1 坐标法

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

等于() 1.数轴上的三点M,N,P的坐标分别为3,-1,-5,则𝑀𝑃

+𝑃𝑁

A.-4 B.4 C.12 D.-12

答案A

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=+𝑃𝑁𝑀𝑁

=-1-3=-4. 解析𝑀𝑃

2.数轴上点P(x),A(-8),B(-4),若|PA|=2|PB|,则x等于()

A.0 B.- C. D.0或-

答案D

解析因为|PA|=2|PB|,所以|x+8|=2|x+4|,

解得x=0或-.

3.点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为 ()

A.(1,5) B.(4,9)

C.(5,3) D.(9,4)

答案B

333

161616

𝑥=4,

解析设点Q的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得{所以{故点Q的坐标

-1+𝑦

𝑦=9,

为(4,9).

4.已知平行四边形的三个顶点坐标为(3,-2),(5,2),(-1,4),则第四个顶点不是()

A.(9,-4) B.(1,8)

C.(-3,0) D.(1,-3)

答案D

解析设第四个顶点的坐标为(x,y),然后分情况讨论.

(1)若点(3,-2),(5,2)为平行四边形的对顶点,则有,解得

x=9,y=-4,即(9,-4);

(2)若(5,2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(1,8);

(3)若(3,-2),(-1,4)为对顶点,同理可求第四个顶点为(-3,0).故选D.

5.在数轴上有点A(1),若点A负向移动3个单位长度到达点B,则𝐴𝐵=.向

⃗⃗⃗⃗⃗

量𝐴𝐵与以B为起点,终点坐标为的向量是相等向量.

⃗⃗⃗⃗⃗

答案-3-5

解析由于A(1)负向移动3个单位长度到达B点,所以B点坐标为-2,则向量𝐴𝐵的坐

⃗⃗⃗⃗⃗

标为-3,若以B为起点的向量为-3,则终点坐标应为-5.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|=2,则点C的坐标6.已知A,B,C三点在数轴上,且点B的坐标为3,|𝐴𝐵|=5,|𝐴𝐶

为.

答案-4或0或6或10

解析由题意,设A,C的坐标分别为x,x,则|𝐴𝐵|=3-x=5或|𝐴𝐵|=x-3=5,x=-2或

ACAAA

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

∴

x=8,

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|=x-x=x-(-2)=2,或||=x-x=x-8=2,或||=x-x=-2-x=2,或|𝐴𝐶𝐴𝐶𝐴𝐶

CACCACACC

∴

⃗⃗⃗⃗ ⃗

|=x-x=8-x=2,解得x=0或x=10或x=-4或x=6. |𝐴𝐶

ACCCCCC

7.已知四边形ABCD的顶点A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),E,F分别为边AB,BC的中

点,求CE,DE,AF,DF的长度.

解设线段AB的中点为E(x,y),

3+54+𝑦

2222

2+𝑥

=,=

-1+𝑥-2+2

则x==-1,y==4,

-4+2

3+5

则|CE|==52,

√

(-1-6)

+(4-3)

√

|DE|==25.

√

[-1-(-3)]

+(4-0)

√

即CE,DE的长度分别为52,25.

√

设线段BC的中点为F(m,n),

则m==4,n==4,

2+65+3

则|AF|=

√

[4-(-4)]

+(4-3)=65,

√

|DF|=

√

[4-(-3)]

+(4-0)=65,

√

即AF,DF的长度都为65.

√

如图所示,△ABD和△BCE是在直线AC同一侧的两个等边三角形,求证:|AE|=|CD|.

证明以B为原点,以直线AC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设△ABD和

△BCE的边长分别为a,c,

则有A(-a,0),C(c,0),D(-

于是|AE|=

𝑐3

√

(+𝑎)+(𝑐-0)

𝑎3𝑐3

√√

𝑎),E(𝑐).

2222

√

+𝑎𝑐+𝑎+𝑐=+𝑎𝑐+𝑐

2222

√𝑎

|CD|=

√

(𝑐+)+(0-𝑎)

𝑎3

√

𝑐3

=𝑐,

√

2222

+𝑎𝑐++𝑎=+𝑎𝑐+𝑐

𝑎3

√𝑎

所以|AE|=|CD|.

9.当数轴上的三个点A,B,O互不重合时,它们的位置关系共有六种情况,其中使𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

−𝑂𝐵𝑂𝐴

|-|和|𝐴𝐵|=|𝑂𝐵𝑂𝐴|同时成立的情况有()

A.1种 B.2种 C.3种 D.4种

答案B

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

−=𝑂𝐵𝑂𝐴

|-|解析𝐴𝐵恒成立,而要使|𝐴𝐵|=|𝑂𝐵𝑂𝐴|成立,则点A应在点O和点B中

间,共有2种可能.

10.

某县位于山区,居民的居住区域大致呈如图所示的五边形,近似由一个正方形和两

个等腰直角三角形组成,若AB=60 km,AE=CD=30 km,为了解决当地人民看电视难

的问题,准备建一个电视转播台,理想方案是转播台距五边形各顶点距离的平方和

最小,图中P,P,P,P是AC的五等分点,则转播台应建在()

1234

A.P处 B.P处 C.P处 D.P处

1234

答案A

解析以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则

P(6,6),P(12,12),P(18,18),P(24,24).

4321

设转播台的坐标为P(x,y),则

|PA|+|PB|+|PC|+|PD|+|PE|=x+y+(x-60)+y+(x-30)+(y-30)+(x-30)+(y-60)

2222222222222

+x+(y-30)=5x-(120+120)x+5y-(120+120)y+2×60+4×30,故当x=24,且y=24

222222

时,|PA|+|PB|+|PC|+|PD|+|PE|最小,故P应在P处.

22222

11.使得|x-3|+|x+1|≥a恒成立的a的取值范围为.

答案(-∞,4]

解析设函数y=|x-3|+|x+1|,

因为函数y=|x-3|+|x+1|的最小值为4,即y≥4,所以使|x-3|+|x+1|≥a恒成立a

的取值范围为(-∞,4].

√√

12.已知x,y∈(0,1),则

√√

𝑥+𝑦+𝑥+(y-1)++𝑦++(𝑦-1)

2222

(𝑥-1)(𝑥-1)

的最小值是.

答案22

√

解析x,y∈(0,1),√𝑥表

∵∴

2222

+𝑦+𝑥+(𝑦-1)++𝑦++(𝑦-1)

√√√

2222

(𝑥-1)(𝑥-1)

示以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内部的动点(x,y)到四个顶点距离的和,根

据两点之间线段最短,可得当(x,y)为正方形对角线的交点,即x=y=时,√𝑥

+𝑦+

√√√

𝑥+(𝑦-1)++𝑦++(𝑦-1)

2222

(𝑥-1)(𝑥-1)

的最小值为22.

√

13.已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,-2),(3,1),(0,2),求这个平行四边形第

四个顶点的坐标.

解设A(-1,-2),B(3,1),C(0,2),第四个顶点D的坐标为(x,y),

(1)若四边形ABCD是平行四边形,

𝑥+3

则由中点坐标公式得{

𝑦+1

-1+0

-2+2

解得{点D的坐标为(-4,-1);

𝑥=-4,

∴

𝑦=-1,

𝑥-13+0

(2)若四边形ABDC是平行四边形,

则由中点坐标公式得{

𝑦-21+2

解得{点D的坐标为(4,5);

𝑥=4,

∴

𝑦=5,

-1+3

(3)若四边形ACBD是平行四边形,

则由中点坐标公式得{

-2+1

𝑥+0

𝑦+2

解得{点D的坐标为(2,-3).

𝑥=2,

∴

𝑦=-3,

综上所述,满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(-4,-1)或(4,5)或(2,-3).

14.用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

证明以线段BC的中点为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标

系.

设A(a,b),C(c,0)(c>0),

则B(-c,0).

线段AB的中点E的坐标是.

线段AC的中点F的坐标是,

𝑎-𝑐𝑏

𝑎+𝑐𝑏

𝑎-𝑐𝑎+𝑐𝑏𝑏

则|EF|=--=c.

√

()+()

2222

因为|BC|=2c,所以|EF|=|BC|.

又E,F的纵坐标相同,所以EF∥BC.

综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.

15.

河流的一侧有A,B两个村庄,如图所示,计划在河上共建一座水电站给两村供电.已

知A,B两村到河边的垂直距离分别为300 m和600 m,且两村相距500 m.为了使水

电站到两村的距离之和最小,水电站P应建在什么位置?

解如图所示,以河边所在直线为x轴,以AC为y轴建立平面直角坐标系,则

A(0,300),B(400,600).

设A关于x轴的对称点为A',则A'(0,-300),连接A'B交OD于点P,此时|PA|+|PB|

最小.

设|OP|=x,则由△OA'P∽△DBP,得.解得x=,故水电站P应建在C,D

400-𝑥6003

之间距离点Cm的地方.

400

𝑥300400

16.已知点A(-1,2),B(1,3),在直线y=2x上求一点P,使|PA|+|PB|取得最小值,并写出

P点坐标.

解设P点的坐标为(x,y),由于点P在直线y=2x上,所以y=2x.

|PA|=

√

(𝑥+1)

+(𝑦-2)

=-8𝑥+4

√

(𝑥+1)

+(2𝑥-2)=+2𝑥+1+4𝑥

√𝑥

=-6𝑥+5,

√5𝑥

|PB|=

√√

(𝑥-1)(𝑥-1)

2222

+(𝑦-3)=+(2𝑥-3)

=-2𝑥+1+4𝑥-12𝑥+9

√𝑥

=-14𝑥+10,

√5𝑥

所以|PA|+|PB|=5x-6x+5+5x-14x+10=10x-20x+15=10(x-1)+5,

222222

因此,当x=1时,|PA|+|PB|取得最小值为5,y=2×1=2,所以所求P点的坐标为

(1,2).

17.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,P为三角形内一点,且S=S=S.求

△△△

PABPBCPCA

证:|PA|+|PB|=5|PC|.

222

证明如图所示,以CA所在的直线为x轴,点C为原点建立平面直角坐标系,设

C(0,0),A(3a,0),B(0,3b),P(x,y).

∵

S=S=S,

△△△

PCAPCBPAB

∴

S=S.

△△

PCAABC

即×3ay=×3a·3b,

111

232

∴

y=b.又S=S,

△△

PBCABC

即×3bx=×3a·3b,

111

232

∴∴

x=a.适合条件的点P的坐标为(a,b).此时,

|PA|=(3a-a)+b=4a+b,

22222

|PB|=(3b-b)+a=a+4b,|PC|=a+b,

22222222

|PA|+|PB|=5(a+b)=5|PC|,

22222

∴

结论成立.

2.2 直线及其方程

2.2.1直线的倾斜角与斜率

1.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+3),则此直线的倾斜角是()

√

A.30° B.45° C.60° D.90°

答案A

解析由题意知k=,

2+3-23

√√

4-13

∴

直线的倾斜角为30°.

2.(多选)下列说法中,不正确的有()

A.任何一条直线都有唯一的斜率

B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大

C.任何一条直线都有唯一的倾斜角

D.任何一条直线都能找出方向向量

答案AB

解析A错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当

90°<α<180°时,k<0;C对,D对.

3.若某直线的斜率k∈(-∞,3],则该直线的倾斜角α的取值范围是()

√

A.0, B.

332

C.0,∪,π D.,π

323

答案C

解析直线的斜率k∈(-∞,3],k≤tan,该直线的倾斜角α的取值范围是0,

∵∴∴

√

∪,π.故选C.

ππ

πππ

4.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所

在直线的斜率之和为()

A.-23 B.0

√

C.3 D.23

√√

答案B

解析由BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB

的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B.

若图中直线l,l,l的斜率分别为k,k,k,则()

123123

A.k

123

B.k

312

C.k

321

D.k

132

答案D

解析由题图可知,k<0,k>0,k>0,

123

且l比l的倾斜角大,k.

23132

∴

6.已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的取值范围是.

答案[10°,100°)

解析由0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.故α的取值范围为[10°,100°).

7.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐

标为.

答案(3,0)或(0,-3)

解析若设点P的坐标为P(x,0),

则k==tan45°=1,x=3,即P(3,0).

0-(-1)

𝑥-2

∴

若设点P的坐标为P(0,y),

则k==tan45°=1,

𝑦-(-1)

0-2

∴

y=-3,即P(0,-3).

8.已知A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)三点共线,则x=,直线AB的倾斜角

为.

答案3,

解析直线AB斜率为k==1,直线BC斜率为k=,因为A(-1,-2),B(2,1),C(x,2)

ABBC

2+1𝑥-2

三点共线,所以k=k,则x=3,由tanθ=1得θ=,所以直线AB的倾斜角为.

ABBC

9.已知点A(1,2),B(-2,-4),C2,,D(x,-2).

(1)证明:A,B,C三点共线;

(2)若∠DAB=,求x的值.

(1)证明A(1,2),B(-3,-4),C2,,

ππ

1+22-1

∴

k=,k=,

ABAC

-3-1

22-12

∴∴

k=k,A,B,C三点共线.

ABAC

(2)解由𝐴𝐵=(-4,-6),𝐴𝐷=(x-1,-4),

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

若∠DAB=,则𝐴𝐵=0,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐴𝐷

-4-2

-2

即-4(x-1)+24=0,解得x=7,

∴

x的值为7.

10.已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(2,-1)的直线l与线段AB有公共点,求直线l的斜

率k的取值范围.

解直线l与线段AB有公共点,

∵

∴

直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,当l的倾斜角等于90°时,

斜率不存在;当l的倾斜角小于90°时,k≥k;当l的倾斜角大于90°时,k≤k.

PBPA

∵

k==-1,k==3,

PAPB

2-(-3)2-3

∴

直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).

11.直线ax-y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则a的取值范围是()

A.(-∞,-1]∪[3,+∞)

B.[-1,3]

C.(-∞,-

]∪[1,+∞)

D.[-

,1]

答案C

解析直线ax-y+1=0恒过定点C(0,1),如图,

-1-4-1-2

由k==1,k==-,

ACBC

2-03

-3-0

又直线ax-y+1=0与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,

即y=ax+1与连接A(2,3),B(-3,2)的线段相交,所以a∈(-∞,-

]∪[1,+∞).

12.若a=,b=,c=,则()

ln2ln3ln5

124

3-12-11

A.a B.c

C.c D.b

答案B

解析表示函数y=lnx图像上的点(x,y)与点D(1,0)连线的斜率,如图所示.

𝑥-1𝑥-1

ln𝑥ln𝑥-0

令a=k,b=k,c=k,由图知k,即c

DADBDCDCDBDA

13.若直线l的倾斜角α满足≤α≤,则其斜率k的范围为()

A.(1,3] B.[-3,-1]

√√

C.-3,- D.

√

答案C

解析直线l的倾斜角α满足≤α≤,且k=tanα,又tan=-3,tan=-,函数

∵

36363

√

y=tanx在,π上单调递增,k的范围为-3,-.

π3

2π5π2π5π3

√

√√

2π5π

√

∴

√

故选C.

14.若直线l的一个法向量为n=(2,1),则直线l的斜率k=.

答案-2

解析根据题意,设直线l的斜率为k,则其方向向量为a=(1,k),

若直线l的一个法向量为n=(2,1),则有a·n=2+k=0,解得k=-2.

15.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,4),B(1,2),C(-2,3),则BC边上的高AD所在

直线的斜率为.

答案3

解析直线BC的斜率为k==-,

-2-1

3-21

∵∴

BC⊥AD,k·k=-1,则k=3.

BCADAD

16.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).

(1)求直线AB和AC的斜率;

(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.

解(1)由斜率公式,可得直线AB的斜率k=,直线AC的斜率k=,即直

ABAC

-4-3

70-33

线AB的斜率为,直线AC的斜率为.

2-315

-2-3

(2)如图,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由k增大到k,由(1)

ABAC

知,k=,k=.

ABAC

故直线AD的斜率的变化范围是[

17.一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,经过点B(5,7),则点P的坐标

为.

答案(

,0)

解析方法一:设P(x,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即α=β,如图.

①

所以反射光线PB的倾斜角β与入射光线AP的倾斜角(π-α)互补,因此,k=-k,

APBP

即=-,解得x=,

𝑥-(-2)𝑥-510

即P(

,0).

0-30-71

图

①

图

②

方法二:由题意知,x轴是镜面,易知入射点A(-2,3)关于x轴的对称点为A'(-2,-3).

由光学知识知点A'应在反射光线所在的直线上,即A',P,B三点共线,如图.从而

②

有k=k,即,解得x=,即P(

A'PPB

𝑥+25-𝑥1010

,0).

0+3711

18.设直线l与坐标轴的交点分别为M(a,0),N(0,b),且ab≠0,斜率为k,坐标原点到直线

l的距离为d.

试证:(1)b=-ka;

(2)ak=d(1+k);

2222

(3).

𝑑𝑎𝑏

222

证明(1)由斜率公式得k==-,

0-𝑎𝑎

所以b=-ka.

(2)由面积公式可得S=|a||b|=d·,所以ab=d(a+b).又由

△

OMN

√𝑎

+𝑏

22222

(1)b=-ka可得b=ka,代入上式即得ak=d(1+k).

2222222

(3)由(2)中ab=d(a+b),

22222

可得,即.

𝑑𝑎𝑏𝑎𝑏𝑑𝑎𝑏

22222222

==+=+

1𝑎+𝑏11111

𝑏-0𝑏

111

2.2.2直线的方程

第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程

1.方程y-y=k(x-x)()

A.可以表示任何直线

B.不能表示过原点的直线

C.不能表示与y轴垂直的直线

D.不能表示与x轴垂直的直线

答案D

解析方程y-y=k(x-x)是直线的点斜式方程,当直线垂直x轴时,斜率不存在,不能用

点斜式表示.故选D.

2.经过点(0,3)且倾斜角为0°的直线方程为()

A.x=3 B.y=3

C.y=x+3 D.y=2x+3

答案B

3.集合A={直线的斜截式方程},B={一次函数的解析式},则集合A,B间的关系为

()

A.A⊆B B.B⫋A C.B=A D.A⫋B

答案B

4.如图,直线y=ax+的图像可能是()

𝑎

答案B

解析由已知a≠0.假设a>0,则直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都大于0,则

𝑎

A,C,D都不符合.

假设a<0,则直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都小于0,只有B符合.综上,

𝑎

只有B正确.故选B.

5.直线y=k(x-2)+3必过定点.

答案(2,3)

解析化为点斜式y-3=k(x-2).

6.过点(-10,10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程

为.

答案y=-x或y=-x+

解析当直线过坐标原点时,显然直线的斜率存在,设直线方程为y=kx,代入(-10,10),

有-10k=10,即k=-1,所以直线方程为y=-x;当直线不过坐标原点时,设y-10=k(x+10),

所以横截距为--10,纵截距为10k+10,所以--10=4(10k+10),解得k=-或k=-1(舍),

𝑘𝑘4

所以直线方程为y=-x+.

综上,直线方程为y=-x或y=-x+.

7.从原点O向直线l作垂线,垂足为点M(1,2),则l的方程为.

答案y=-x+

解析点M(1,2),k=2,则k=-,则直线l的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+.

∵∴

OMl

2222

8.已知所求直线l的斜率是直线y=-3x+1的斜率的-,且分别满足下列条件:

√

1115

115

10101

115

(1)经过点(3,-1);

√

(2)在y轴上的截距是-5,分别求该直线的方程.

解直线方程为y=-3x+1,k=-3.由题知,所求直线l的斜率k=-3×-=.

∵∴

√√√

(1)直线过点(3,-1),所求直线l的方程为y+1=(x-3),即y=x-2.

∵∴

√√

(2)直线在y轴上的截距为-5,又所求直线的斜率k=,所求直线l的方程

∵∵∴

为y=x-5.

9.光线从点A(-3,4)发出,经过x轴反射,再经y轴反射后过点B(-2,6),求经y轴反射后

的反射光线的方程.

解点A(-3,4)关于x轴的对称点A(-3,-4)在经过x轴反射的光线上,同样A(-3,-4)

∵

关于y轴的对称点A(3,-4)在经过y轴反射的光线上,𝑘=-2,所求直线方

∴∴

𝐴𝐵

-2-3

程为y-6=-2(x+2),即y=-2x+2.

10.直线l:y=ax+b与直线l:y=bx+a(ab≠0,a≠b)在同一平面直角坐标系内的图像只可

能是()

6+4

√

√√

√

答案D

解析对于A,由l得a>0,b<0,而由l得a>0,b>0,矛盾;对于B,由l得a<0,b>0,而由

121

l得a>0,b>0,矛盾;对于C,由l得a>0.b<0,而由l得a<0,b>0,矛盾;对于D,由l得

2121

a>0,b>0,而由l得a>0,b>0.故选D.

11.过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为()

A.x-y+1=0

B.x+y-3=0

C.2x-y=0或x+y-3=0

D.2x-y=0或x-y+1=0

答案D

解析易知斜率不存在时不满足条件;设直线方程为y=k(x-1)+2,则截距和为

2-k-+1=0,解得k=1或k=2,故直线方程为x-y+1=0或2x-y=0.

𝑘

12.若点P(x,y)在直线x+y=12上运动,则

√𝑥

+1+√𝑦+16的最小值为()

A.37+213 B.2+137

√√√√

C.13 D.1+410

答案C

√

解析因为点P(x,y)在直线x+y=12上,所以y=12-x.

所以

√𝑥

222

+1+√𝑦+16=+1++16=+(0+1)+

√𝑥

√√

(12-𝑥)(𝑥-0)

222

√

(𝑥-12)

+(0-4)

上式可以看成是两个距离的和,一个是点C(x,0)与点A(0,-1)的距离;另一个是点

C(x,0)与点B(12,4)的距离,原题即求两个距离和的最小值,而动点C为x轴上的一点,

如图所示,由几何知识可知,当A,C,B三点共线时,|CA|+|CB|最小.此

时,(|CA|+|CB|)=|AB|==13.

min

√

12+(4+1)

13.将直线y=x+3-1绕其上面一点(1,3)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线的

√√

点斜式方程是.

答案y-3=3(x-1)

√√

解析由y=x+3-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.沿逆时针方向旋转15°后,

√

∵

倾斜角变为60°,

∴∵

所求直线的斜率为3.又直线过点(1,3),

√√

∴

由直线的点斜式方程可得y-3=3(x-1).

√√

14.求经过点(-1,2)且分别满足下列条件的直线的一般式方程.

(1)倾斜角为45°;

(2)在y轴上的截距为5;

(3)在第二象限与坐标轴围成的三角形面积为4.

解(1)由倾斜角为45°,得直线的斜率k=1,得点斜式方程为y-2=x+1,则y=x+3.

(2)直线在y轴上的截距为5,即直线过点(0,5),则斜率k==3,得点斜式方程为

0-(-1)

y-2=3(x+1),即y=3x+5.

(3)设直线的斜率为k(k>0),

则直线方程为y-2=k(x+1),

取x=0,得y=k+2,取y=0,得x=--1.

𝑘

则S=×(k+2)×+1=4,解得k=2.

2𝑘

得点斜式方程为y-2=2(x+1),即y=2x+4.

15.求满足下列条件的直线方程.

(1)经过点A(-1,-3),且斜率等于直线3x+8y-1=0斜率的2倍;

(2)过点M(0,4),且与两坐标轴围成三角形的周长为12.

解(1)因为3x+8y-1=0可化为y=-x+.所以直线3x+8y-1=0的斜率为-,则所求直线

888

的斜率k=2×-=-.又直线经过点(-1,-3),

因此所求直线的方程为y+3=-(x+1),

即y=-x-.

(2)设直线与x轴的交点为(a,0).因为点M(0,4)在y轴上,所以由题意有

4++|a|=12,

√𝑎

解得a=3.所以所求直线的斜率k=或-,则所求直线的方程为y-4=x或

333

y-4=-x,

即y=x+4或y=-x+4.

16.已知Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(1,-2),顶点C在x轴上.

(1)求点C的坐标;

(2)求△ABC的斜边上的中线的方程.

解(1)Rt△ABC的顶点A(-3,0),直角顶点B(1,-2),顶点C在x轴上,设C(m,0),则

∵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=(m-1,2). =(4,-2),𝐵𝐶

𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=0,得4(m-1)-2×2=0, 再由𝐴𝐵

·𝐵𝐶

解得m=2,故C(2,0).

444

315

313

5-2

(2)斜边AC的中点为M-,0,BM的斜率为=-,故BM的方程为y-0=-x+,

2332

--1

10+2441

即y=-x-.

第2课时直线的两点式方程与一般式方程

1.已知点A(-2,0),B(2,0),C(0,3),则△ABC底边AB的中线的方程是()

A.x=0 B.x=0(0≤y≤3)

C.y=0 D.y=0(0≤x≤2)

答案B

解析由题意,点A(-2,0),B(2,0),C(0,3),可得底边AB的中点坐标为D(0,0),所以△ABC

底边AB的中线的方程是x=0(0≤y≤3).

2.下列说法中正确的是()

A.经过定点P(x,y)的直线都可以用方程y-y=k(x-x)来表示

00000

B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b来表示

C.不经过原点的直线都可以用方程=1来表示

𝑎𝑏

D.经过任意两个不同的点P(x,y),P(x,y)的直线都可以用方程

111222

(y-y)(x-x)=(x-x)(y-y)来表示

121121

答案D

3.直线=1过第一、三、四象限,则()

𝑎𝑏

A.a>0,b>0 B.a>0,b<0

C.a<0,b>0 D.a<0,b<0

答案B

4.(多选)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能

为()

A.x-y+1=0 B.x+y-3=0

C.2x-y=0 D.x-y-1=0

答案ABC

𝑥𝑦

解析当直线经过原点时,斜率为k==2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;

1-0

当直线不过原点时,设所求的直线方程为xy=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或

1+2=k,

求得k=-1或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0,或x+y-3=0.

综上,所求的直线方程为2x-y=0,x-y+1=0,或x+y-3=0.故选A,B,C.

5.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0可能是()

2-0

答案C

解析由题意知,直线方程可化为y=-x-,

𝑏𝑏

𝑎𝑐

∵∴∴

ac<0,bc<0,ab>0,-<0,->0,故直线的斜率小于0,在y轴上的截距大于0.

𝑏𝑏

6.过点A(1,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线共有条.

答案2

解析当直线过坐标原点时,方程为y=4x,符合题意;

当直线不过原点时,设直线方程为x+y=a,

代入A的坐标得a=1+4=5.

直线方程为x+y=5.

所以过点A(1,4)且在两坐标轴上的截距相等的直线共有2条.

7.已知直线l:(m+1)x-2y+1=0(m为常数),若直线l的斜率为,则m=;若

m=-1,直线l的倾斜角为.

答案045°

解析直线l:(m+1)x-2y+1=0(m为常数),直线l的斜率为,,解得m=0;

∵∴

222

𝑎𝑐

11𝑚+1

=1,直线l直线l:(m+1)x-2y+1=0(m为常数),m=-1,直线l的斜率k=

∴∵∴

的倾斜角为45°.

(-1)

8.设直线l的方程为(m-2m-3)x+(2m+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.

(1)直线经过定点P(2,-1);

(2)直线在y轴上的截距为6;

(3)直线与y轴垂直.

解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)符合方程

(m-2m-3)x+(2m+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得

2(m-2m-3)-(2m+m-1)=2m-6,解得m=.

(2)令x=0,得y=,根据题意可知=6,解得m=-或0.

2𝑚+𝑚-12𝑚+𝑚-13

𝑚

-2𝑚-3=0,

(3)直线与x轴平行,则有{

2𝑚+𝑚-1≠0,

解得m=3.

2𝑚-62𝑚-61

已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).

(1)求边AC和AB所在直线的方程;

(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.

解(1)由截距式,得边AC所在直线的方程为

=1,即x-2y+8=0.

-8

由两点式,得边AB所在直线的方程为,即x+y-4=0.

6-4

-2-0

(2)由题意,得点D的坐标为(-4,2),

由两点式,得边BD所在直线的方程为,

6-2

-2-(-4)

即2x-y+10=0.

10.若直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,则 ()

A.AB>0,且BC>0 B.AB>0,且BC<0

C.AB<0,且BC>0 D.AB<0,且BC<0

答案B

解析若B=0,直线方程化为x=-,直线不可能过第一、二、四象限,因此B≠0,则直线

𝐴

方程化为y=-x-,由直线过第一、二、四象限知-<0,->0,所以AB>0,BC<0,故选

𝐵𝐵𝐵𝐵

11.过点(-1,0),且与直线有相同方向向量的直线的方程为()

A.3x+5y-3=0 B.3x+5y+3=0

C.3x+5y-1=0 D.5x-3y+5=0

𝑥+1𝑦+1

-3

𝐴𝐶𝐴𝐶

𝐶

𝑦-2𝑥-(-4)

𝑦-4𝑥-0

𝑥𝑦

答案B

解析由可得,3x+5y+8=0,即直线的斜率为-,由题意可知所求直线的斜率

k=-,

𝑥+1𝑦+13

-3

故所求的直线方程为y=-(x+1),

即3x+5y+3=0.

故选B.

12.已知直线ax+by+1=0和直线ax+by+1=0都过点A(2,1),则过点P(a,b)和点

1122111

P(a,b)的直线方程是()

222

A.2x+y-1=0 B.2x+y+1=0

C.2x-y+1=0 D.x+2y+1=0

答案B

解析把A(2,1)坐标代入两条直线ax+by+1=0和ax+by+1=0,得

1122

2a+b+1=0,2a+b+1=0,

1122

∴

2(a-a)=b-b,

1221

过点P(a,b),P(a,b)的直线的方程是,

111222

𝑏𝑎

𝑦-𝑏𝑥-𝑎

2121

-𝑏-𝑎

∴

y-b=-2(x-a),则2x+y-(2a+b)=0.

1111

∵

2a+b+1=0,

∴

2a+b=-1,

∴

所求直线方程为2x+y+1=0.故选B.

13.在平面直角坐标系xOy中,过点(1,1)的直线与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交

于A,B两点,则△OAB的面积的最小值为()

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B

解析平面直角坐标系xOy中,过点(1,1)的直线与x轴的正半轴,y轴的正半轴分别交

于A,B两点,

设直线方程为y-1=k(x-1),k<0,

可得A,0,B(0,1-k),

𝑘-1

𝑘

1𝑘-1+2𝑘-1𝑘11

𝑘22𝑘22𝑘4

则△OAB的面积为·(1-k)==-+1+-≥1+2=2,

-𝑘

√

当且仅当k=-1时,取等号,故△OAB的面积的最小值为2,故选B.

14.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,则直线l

的方程为.

答案x+y6=0或x-y6=0

±±

解析直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,

∵

∴

直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.若l在两坐标轴上的

截距相等,且设为a(a≠0),则直线方程为=1,即x+y-a=0.

𝑎𝑎

𝑥𝑦

∵∴±

|a|·|a|=18,即a=36,a=6,

∴±

直线方程为x+y6=0.

若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的

截距为-a(a≠0),

故直线方程为=1,即x-y-a=0.

𝑎

-𝑎

𝑥𝑦

∵

|-a|·|a|=18,即a=36,

∴±∴±±

a=6,直线方程为x-y6=0.综上所述,直线l的方程为x+y6=0或

x-y6=0.

15.若方程Ax+By+C=0表示与两坐标轴都相交的直线,则.

答案A≠0,B≠0

解析当A=0时,B≠0,直线化为y=-,只与y轴相交,不符.

𝐵

当B=0时,A≠0,直线化为x=-,只与x轴相交,不符.

𝐴

所以A≠0,B≠0,直线化为y=-x-,斜率为k=-,截距为b=-,只要斜率存在且不为

𝐵𝐵𝐵𝐵

0,与两坐标轴均有交点.

16.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).

(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程;

(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.

解(1)当a=-1时,y=-3,不符合题意.

当a≠-1时,令x=0,得y=a-2;

令y=0,得x=.l在两坐标轴上的截距相等,a-2=,解得a=2或a=0,

𝑎+1𝑎+1

∵∴

𝑎-2𝑎-2

𝐴𝐶𝐴𝐶

𝐶

∴

所求的直线l方程为3x+y=0或x+y+2=0.

(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2,

-(𝑎+1)≥0,

∵∴

l不过第二象限,{

𝑎-2≤0,

∴∴

a≤-1,a的取值范围为(-∞,-1].

17.过点M(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A,B.

(1)当M为AB中点时,求直线l的方程;

(2)设O是坐标原点,当△AOB的面积最小时,求直线l的方程.

解(1)设直线l的方程为=1(a>0,b>0),则A(a,0),B(0,b).

𝑎𝑏

𝑥𝑦

∵∴∴

M为AB中点,=2,=1,a=4,b=2,

则直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.

(2)M(2,1)在直线l上,

∵

21212

𝑥𝑦

𝑎𝑏

∴∵∴

𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏

=1,又1=≥2,ab≥8,

√

∴

S=ab≥4,当且仅当a=4,b=2时,等号成立,

∴

直线l的方程为=1,即x+2y-4=0.

18.

𝑥𝑦

如图,在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)

是线段OA上一点(异于端点),a,b,c,p均为非零实数.直线BP,CP分别交AC,AB于点

E,F.一同学已正确地求出直线OE的方程为(--

𝑏𝑐𝑝𝑎

)x+()y=0,请你完成直线OF的

方程:()x+(-

𝑝𝑎

)y=0.

答案

𝑐𝑏

−

解析直线CP的方程为=1,

𝑐𝑝

直线AB的方程为=1,

𝑏𝑎

则点F的坐标必然满足方程,

𝑐𝑝𝑏𝑎

+=+

即(--

𝑐𝑏𝑝𝑎

)x+()y=0.

又该方程表示的直线也经过原点O,故直线OF的方程就是(--

𝑐𝑏𝑝𝑎

)x+()y=0.

1111

𝑥𝑦𝑥𝑦

𝑥𝑦

1111

19.在△ABC中,已知顶点A(2,4),AB边上的中线所在直线方程为x+2y-5=0,内角∠

ABC的平分线所在直线方程为2x-y+10=0.

(1)求点B的坐标;

(2)求直线BC的方程.

解(1)由内角∠ABC的平分线所在直线方程为2x-y+10=0知,点B在直线2x-y+10=0

上,

设B(m,2m+10),

则AB中点D的坐标为.

𝑚+22𝑚+14

由AB边上的中线所在直线方程为x+2y-5=0知,点D在直线x+2y-5=0上,

∴

+2×-5=0,解得m=-4.

𝑎+2𝑏+4

∴

点B的坐标为(-4,2).

2×+10=0,

(2)设点E(a,b)与点A(2,4)关于直线2x-y+10=0对称,则{

𝑏-4

×2=-1,

𝑎-2

即{解得{

2𝑎-𝑏=-20,

𝑎=-6,

𝑎+2𝑏=10,

𝑏=8.

∴

点E的坐标为(-6,8).

由直线2x-y+10=0为内角∠ABC的平分线所在直线,知点E在直线BC上.

∴

直线BC方程为y-2=(x+4),

-6-(-4)

即3x+y+10=0.

8-2

2.2.3两条直线的位置关系

1.已知直线l:x+my+7=0和l:(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则实数m等于()

A.-1或3 B.-1

C.-3 D.1或-3

答案A

2.下列四组直线中,互相垂直的一组是()

A.2x+y-1=0与2x-y-1=0

B.2x+y-1=0与x-2y+1=0

C.x+2y-1=0与x-y-1=0

D.x+y=0与x+y-3=0

答案B

解析对于A,2x+y-1=0与2x-y-1=0,有2×2+1×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;

对于B,2x+y-1=0与x-2y+1=0,有2×1+1×(-2)=0,两直线垂直,符合题意;

对于C,x+2y-1=0与x-y-1=0,有1×1+2×(-1)≠0,两直线不垂直,不符合题意;

对于D,x+y=0与x+y-3=0,两直线平行,不符合题意.

故选B.

3.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是()

A.4x+2y=5 B.4x-2y=5

C.x+2y=5 D.x-2y=5

答案B

解析可以先求出AB的中点坐标为(2,=-,则线段AB的

23-12

),又直线AB的斜率k=

垂直平分线的斜率为2.由点斜式方程,可得所求垂直平分线的方程为y-=2(x-2),即

4x-2y=5.

4.已知A(7,-4)关于直线l的对称点为B(-5,6),则直线l的方程是()

A.5x+6y-11=0 B.5x-6y+1=0

C.6x+5y-11=0 D.6x-5y-1=0

答案D

5.已知l平行于直线3x+4y-5=0,且l和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面

积是24,则直线l的方程是()

A.3x+4y-122=0 B.3x+4y+122=0

√√

C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0

答案C

解析设直线l的方程是3x+4y-c=0,c>0,由题意,知=24,所以c=24.

234

××

6.已知在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为.

答案(3,-6)

解析设D(x,y),由题意可知,AB∥CD,且AD∥BC.

所以k=k,且k=k,

ABCDADBC

𝑥

𝑥=3,

-2-1

所以{解得{

-4-3

𝑦-1

𝑦=-6.

𝑥-10+2

3-1𝑦+4

1𝑐𝑐

31-21

所以点D的坐标为(3,-6).

7.若经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值

是.

答案

解析由题意可知k=,又因为k=,

42-𝑚

所以,解得m=.

2-𝑚45

8.设直线l:(a+1)x+3y+2-a=0,直线l:2x+(a+2)y+1=0,若l⊥l,则实数a的值

1212

为;若l∥l,则实数a的值为.

答案--4

解析若l⊥l,则2(a+1)+3(a+2)=0,整理可得5a+8=0,求解关于实数a的方程可得

a=-.

若l∥l,则,据此可得a=-4.

𝑎+132-𝑎

2𝑎+21

𝑚-3114

1𝑚-3

=≠

9.已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(4,0),C(3,2),求BC边上的高所在的直线方程及高

的长度.

解设BC边上的高为AD,因为k==-2,AD⊥BC,所以直线AD的斜率k=.

BCAD

2-01

3-42

所以BC边上的高AD所在的直线方程为y-1=(x-1),即x-2y+1=0.又直线BC的

方程为,即2x+y-8=0.

0-24-3

联立直线AD与BC的方程得{

解得{即点D的坐标为(3,2).

𝑥-2𝑦+1=0,

2𝑥+𝑦-8=0,

𝑦-2𝑥-3

𝑥=3,

𝑦=2,

因此,高AD的长|AD|=

√

(3-1)

+(2-1)=5,所以BC边上的高的长度为5.

√√

10.

如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点(不含端点),四边形PECF是矩形.证

明:PA⊥EF.

证明如图,以B为原点,以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形的边长

为1,则P点坐标为(x,x)(01),

则A(0,1),E(1,x),F(x,0),

k=,k=,

PAEF

0-𝑥𝑥1-𝑥

1-𝑥𝑥-1𝑥

所以kk=-1.

PAEF

所以PA⊥EF.

11.已知直线l:xsin α+y-1=0,直线l:x-3ycos α+1=0.若l⊥l,则sin 2α=()

1212

A. B.- C. D.-

5533

答案A

解析l⊥l,sinα-3cosα=0,即tanα=3.

∵∴

3322

∴

sin2α=2sinαcosα=.

sin𝛼+cos𝛼1+tan𝛼105

222

===

12.将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次,使得点A(0,2)与点B(4,0)重合,若此

时点C(7,3)与点D(m,n)也重合,则m+n的值为()

A. B. C. D.

5555

答案A

解析根据题意不妨设点A与点B关于直线l对称,则点C与点D也关于直线l对称.

易知k=-,所以直线l的斜率为2,又易知AB的中点坐标为(2,1),则直线l的方

程为y-1=2(x-2),即y=2x-3,因为CD中点(=-,所以可列

𝑛-31

7+𝑚3+𝑛1

222

34333231

2sin𝛼cos𝛼2tan𝛼63

)在直线l上,且k

𝑚=

2𝑚-7

方程组为{解得{所以m+n=.

3+𝑛31

=7+𝑚-3,𝑛=

13.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a).若△OAB为直角三角形,则必有()

A.b=a

B.b=a+

𝑎

C.(b-a)(𝑏-𝑎-

𝑎

)=0

D.|b-a|+|𝑏-𝑎-

𝑎

|=0

答案C

解析若O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意;

若A为直角顶点,则b=a

≠0;

若B为直角顶点,根据斜率关系可知a·=-1(a≠0),所以a(a-b)=-1,即

𝑎

b-a-=0.

𝑎

以上两种情况皆有可能,故只有C满足条件.

14.已知直线l的倾斜角为经过点A(3,2),B(a,-1),且l与l垂直,直线

π,直线l

l:4x+by+1=0与直线l平行,则a+b等于.

答案-4

解析因为直线l的倾斜角为与l垂直,所以直线l的

π,所以直线l的斜率k=-1.又l

斜率k=-=1,即=1,解得a=0,且l与l平行,则k=-=k=1,所以b=-4,故a+b=-4.

12121

𝑘3-𝑎

𝑎

15.若点P(a,b)与点Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则直线l的倾斜角α为.

答案45°

解析由k==-1,

(𝑏-1)-𝑎

(𝑎+1)-𝑏

𝑎-𝑏+1

𝑏-𝑎-1

12+14

𝑎

-𝑏

由题意知PQ⊥l,则k·k=-1,得k=1,

PQll

∴

直线l的倾斜角为45°.

16.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则

m=.

答案-或-

解析设l:2x-y+4=0,l:x-y+5=0,l:2mx-3y+12=0,l不垂直于l,要使围成的三角形为

12312

直角三角形,则l⊥l或l⊥l.

3132

由l⊥l,得2×m=-1,m=-;

∴

由l⊥l,得1×m=-1,m=-.

∴

故m=-或-.

17.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,求证:BF⊥AE.

证明建立平面直角坐标系,如图所示,

则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),

所以k=,k==-2.

AEBF

422-4

又k·k=×(-2)=-1,所以AE⊥BF.

AEBF

18.求经过点A(2,1)且与直线2x+ay-10=0垂直的直线l的方程.

解(方法一)当a=0时,已知直线化为x=5,此时直线斜率不存在,则所求直线l的斜

①

率为0,因为直线l过点A(2,1),所以直线l的方程为y-1=0(x-2),即y=1.

214-0

②

当a≠0时,已知直线2x+ay-10=0的斜率为-,因为直线l与已知直线垂直,设

𝑎

直线l的斜率为k,所以k·(-.

𝑎2

)=-1,所以k=

因为直线l过点A(2,1),所以所求直线l的方程为y-1=(x-2),即ax-2y-2a+2=0.

所求直线l的方程为y=1或ax-2y-2a+2=0.

又y=1是ax-2y-2a+2=0的一个特例,

故所求直线l的方程为ax-2y-2a+2=0.

(方法二)根据与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.

因此根据题意可设所求方程为ax-2y+m=0,

又因为该直线过点A(2,1),

所以2a-2+m=0,即m=2-2a.

所以所求方程为ax-2y-2a+2=0.

19.

𝑎

2𝑎

如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽

|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得

AC与DM两条小路互相垂直?

解如图所示,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标

系,单位:m.

由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).

设点M的坐标为(x,0),AC⊥DM,k·k=-1,即=-1,解得x=.故当

∵∴

ACDM

0-55-𝑥5

|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.

20.已知P(2,3)是两条直线l:ax+by+1=0与l:ax+by+1=0的交点,试求过

111222

A(a,b),B(a,b)两点的直线方程.

1122

解(方法一)因为P(2,3)是两条直线的交点,

所以{两式相减,

2𝑎+3𝑏+1=0,

𝑏2

-𝑏

3-03-016

得2(a-a)+3(b-b)=0,即=-.

1212

𝑎3

-𝑎

所以直线AB的斜率k==-.故所求直线的方程为y-b=(x-a)=-(x-a).

𝑎3𝑎3

1212

-𝑎-𝑎

111

1212

𝑏2𝑏2

-𝑏-𝑏

所以2x+3y-(3b+2a)=0.

又2a+3b=-1,所以2x+3y+1=0.

故过A(a,b),B(a,b)两点的直线的方程为2x+3y+1=0.

1122

2𝑎+3𝑏+1=0,

(方法二)由两直线过P(2,3)知{

2𝑎+3𝑏+1=0.

由上述方程组可知点A(a,b)与B(a,b)在直线2x+3y+1=0上.故过

1122

A(a,b),B(a,b)两点的直线方程为2x+3y+1=0.

1122

21.已知点A(4,-1)和点B(8,2)均在直线l:x-y-1=0的同侧,动点P(x,y)在直线l上,求

|PA|+|PB|的最小值.

解如图所示,设点A与A关于直线l对称,P为AB与直线l的交点,

101

所以|PA|=|PA|,|PA|=|PA|.

0101

在△APB中,|PA|+|PB|≥|AB|=|AP|+|PB|=|PA|+|PB|,因此当P点运动到

11110000

P点处时,|PA|+|PB|取到最小值|AB|.设A关于直线l的对称点A(x,y),

01111

𝑦+1

𝑥

-4

则{解得{

𝑥+4𝑦

-1

·1=-1,

--1=0,

𝑥=0,

𝑦=3,

所以A(0,3).所以(|PA|+|PB|)=|AB|=

1min1

√8

+1=65.

√

2.2.4点到直线的距离

1.原点到直线x+2y-5=0的距离为()

A.1 B.3 C.2 D.5

答案D

解析d=

|0+2×0-5|

√

1+2

√

=5.

√

2.直线l通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点,并且点(5,1)到l的距离为10,则l

√

的方程是()

A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0

C.3x-y-4=0 D.-x+3y-4=0

答案C

解析由{得x=y=2,

7𝑥+5𝑦-24=0,

𝑥-𝑦=0,

∴

直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点为(2,2).

①

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0.

∴

点(5,1)到l的距离d=

解得k=3,

|5𝑘-1+2-2𝑘|

√

𝑘+1

=10,

√

∴

直线l的方程为3x-y-4=0.

②

当直线l的斜率不存在时,l:x=2,不满足题意.

综上所述,直线l的方程为3x-y-4=0.

3.已知两平行直线x+2y+m=0与2x-ny-4=0之间的距离是5,若m>0,则m+n=()

√

A.0 B.-1 C.1 D.-2

答案B

解析两条直线平行,所以=-,解得n=-4,

∵

𝑛2

∴

直线2x-ny-4=0⇒2x+4y-4=0⇒x+2y-2=0.又直线x+2y+m=0与直线x+2y-2=0

之间的距离是5,

√

则

|𝑚+2|

√

=5,解得m=3或m=-7(舍去),

√

∴

m+n=3-4=-1.

4.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),则△ABC的面积等于()

A.3 B.4 C.5 D.6

答案C

解析设AB边上的高为h,则S=|AB|·h,

△

ABC

|AB|==22,

√

(3-1)

+(1-3)

√

AB边上的高h就是点C到直线AB的距离,

AB边所在的直线方程为,

1-33-1

即x+y-4=0.

点C到直线x+y-4=0的距离为,因此,S=×22×=5.

|-1+0-4|

√√√

2222

515

𝑦-3𝑥-1

△

ABC

√

5.直线l过点A(3,4),且与点B(-3,2)的距离最远,则直线l的方程为()

A.3x-y-5=0 B.3x-y+5=0

C.3x+y+13=0 D.3x+y-13=0

答案D

解析由题意知,当l与AB垂直时,符合要求,

因为k=,

3-(-3)3

所以直线l的斜率k=-3.

所以直线l的方程为y-4=-3(x-3),

即3x+y-13=0.

6.已知04,直线l:kx-2y-2k+8=0和直线l:2x+ky-4k-4=0与两坐标轴围成一个

四边形,则使得这个四边形面积最小的k值为()

4-21

A. B. C. D.1

248

答案C

111

解析l:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l:k(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图所示,点

A(0,4-k),B(2k+2,0),S=×2k×4+(4-k+4)×2×=4k-k+8.当k=时,S取得最小值.

222

228

7.直线4x-3y+5=0与直线8x-6y+5=0之间的距离为.

答案

解析直线8x-6y+5=0化简为4x-3y+=0,则由两条平行直线之间的距离公式得

|5-|

111

√

4+3

8.经过点P(-3,4),且与原点的距离等于3的直线l的方程

为.

答案x=-3或7x+24y-75=0

解析(1)当直线l的斜率不存在时,原点到直线l:x=-3的距离等于3,满足题意.

(2)当直线l的斜率存在时,

设直线l的方程为y-4=k(x+3),即kx-y+3k+4=0.原点到直线l的距离

d==3,

|3𝑘+4|

√

𝑘+(-1)

解得k=-.直线l的方程为7x+24y-75=0.

综上可知,直线l的方程为x=-3或7x+24y-75=0.

9.平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-1,2),B(-3,4),C(0,6).

(1)求BC边上的高所在的直线方程;

(2)求△ABC的面积.

解(1)直线BC的斜率k=,

0-(-3)3

则BC边上高所在直线斜率k=-,

6-42

则BC边上的高所在的直线方程为y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.

(2)BC的方程为y=x+6,即2x-3y+18=0.

点A到直线BC的距离d=

=,|BC|=

1013

√

(0+3)

|2×(-1)-3×2+18|

√

3+2

+(6-4)=13,

√

111013

√

=5. 则△ABC的面积S=|BC|d=

1322

×13×

√

10.已知直线l在两坐标轴上的截距相等,且点P(4,3)到直线l的距离为32,求直线l

√

的方程.

解由题意知,若截距为0,可设直线l的方程为y=kx,

由题意知=32,

√

解得k=,直线l的方程为y=x或y=x;

|4𝑘-3|

𝑘+1

√

-12+314-12±314-12-314

√√√

222

|4+3-𝑎|

√

若截距不为0,设所求直线l的方程为x+y-a=0,由题意知=32,解得a=1

或a=13,直线l的方程为x+y-1=0或x+y-13=0.

综上所述,所求直线l的方程为y=x,

y=x,x+y-1=0或x+y-13=0.

-12-314

√

-12+314

√

11.已知直线过两直线x-y+1=0和x+y-1=0的交点,且原点到该直线的距离等于1,

这样的直线共有()

A.0条 B.1条 C.2条 D.3条

答案B

解析联立{得{

𝑥-𝑦+1=0,

𝑥=0,

𝑦=1.

𝑥+𝑦-1=0,

∴

两直线交点坐标为(0,1),由交点到原点的距离为1可知,只有1条直线符合条

件.

12.点P(sin θ,3cos θ)到直线x+y+8=0的距离的最小值为()

√

A.4 B.23 C.32 D.52

答案C

解析点P(sinθ,3cosθ)到直线x+y+8=0的距离为d=

√

|sin𝜃+3cos𝜃+8|

√

√√

1+12

√√√

=≥

2sin(𝜃+)+8

-2+8

√

236

=32.所以当sin(𝜃+,k∈Z时,d取得最小值为32.故选C.

√√

)=-1,即θ=2kπ+

() 距离最大值为

B.4 C.32 D.11 A.10

√√√

π7π

13.设直线l:x+3y-7=0与直线l:x-y+1=0的交点为P,则P到直线l:x+ay+2-a=0的

答案A

解析联立{

𝑥+3𝑦-7=0,

𝑥-𝑦+1=0,

解得x=1,y=2.可得P(1,2).

直线l:x+ay+2-a=0化为x+2+a(y-1)=0,

因此直线经过定点Q(-2,1).

P到直线l:x+ay+2-a=0的距离最大值为|PQ|=

√

(1+2)

+(2-1)=10.

√

故选A.

14.已知直线l:mx+2y-4-m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,则直线l与直线

l:3x+3y-1=0间的距离为()

A. B.2

√

D.0或2 C.或2

√√

答案A

√

解析直线l:mx+2y-4-m=0(m>0)在两坐标轴上的截距相等,,m=2.

∵∴∴

直线l:x+y-3=0,

即3x+3y-9=0.故直线l与直线l:3x+3y-1=0间的距离为.故选A.

()

A.1 B.2 C.2 D.22

答案B

√√

𝑚+4𝑚+4

𝑚2

|-1-(-9)|

√

9+93

√

15.若直线l:ax+y-1=0与直线l:x+ay+1=0平行,则两条平行直线之间的距离为

解析直线l:ax+y-1=0与直线l:x+ay+1=0平行,则a-1=0,解得a=1.

当a=-1时,直线l:x-y+1=0与直线l:x-y+1=0重合,故舍去.

当a=1时,直线l:x+y-1=0与直线l:x+y+1=0平行.

故两条平行直线之间的距离d=

故选B.

|-1-1|

√

=2.

√

16.已知两条平行直线l,l分别过点P(1,1),Q(0,-1),当l,l间的距离最大时,直线l的

12121

方程为.

答案x+2y-3=0

解析由题意可得,l,l间的距离最大时,PQ和这两条直线都垂直.

由于PQ的斜率为=2,故直线l的斜率为-,故它的方程是y-1=-(x-1),化简为

1-022

x+2y-3=0.

17.已知直线过两直线x-3y+1=0和3x+y-3=0的交点,且原点到该直线的距离为

√√√

1+111

,则该直线的方程为.

答案x=或x-3y+1=0

√

𝑥=

2√

𝑥-3𝑦+1=0,

√

解析联立{解得{故交点的坐标为A(

√

√√

3𝑥+𝑦-3=0,

𝑦=

①

当经过点A的直线的斜率不存在时,其方程为x=,原点(0,0)到直线x=的距

离为,符合题意;

②

当直线斜率存在时,设经过点A的直线的方程为y-=k(𝑥-k+=0,

2222

),即kx-y-

由于原点(0,0)到方程为kx-y-k+=0的直线的距离d=,

√

311

222

√√

3113

|-𝑘+|

√

1+𝑘

解得k=,故所求直线的方程为x-3y+1=0.

√

18.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求角A的平分线的方程.

解设P(x,y)为角A的平分线上任一点,

则点P到直线AB与到直线AC的距离相等,由两点式得直线AB的方程为

5-1

𝑥-4

7-4

𝑦-1

即4x-3y-13=0,直线AC的方程为,

7-1

-4-4

即3x+4y-16=0.所以由点到直线的距离公式,

得,

|4𝑥-3𝑦-13||3𝑥+4𝑦-16|

√

4+(-3)

√

3+4

𝑦-1𝑥-4

即|4x-3y-13|=|3x+4y-16|,

即4x-3y-13=(3x+4y-16),

整理得x-7y+3=0或7x+y-29=0.

易知x-7y+3=0是角A的外角平分线的方程,7x+y-29=0是角A的平分线的方程.

19.如图,△ABC中,顶点A(1,2),BC边所在直线的方程为x+3y+1=0,AB边的中点

D(0,1).

(1)求AB边所在直线的方程;

(2)若|AC|=|BC|,求AC边所在直线的方程.

解(1)AB边的中点为D(0,1),

∵

∴

AB边所在直线的方程为,

0-11-2

即x-y+1=0.

𝑥+𝑦-1=0,

(2)|AC|=|BC|,点C在线段AB的垂直平分线x+y-1=0上,由{

∵∴

𝑥+3𝑦+1=0,

𝑥=2,

得{

𝑦=-1,

即点C的坐标为(2,-1),又点A(1,2),

𝑥-1𝑦-2

∴

AC边所在直线的方程为,

2-1

-1-2

即3x+y-5=0.

20.(多选)S=直线lx+y=1,m,n为正常数,θ∈[0,2π),下列结论中错误的是

()

A.当θ=时,S中直线的斜率为

4𝑚

B.S中所有直线均经过同一个定点

C.当m≥n时,S中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n

D.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面

答案ABD

解析当θ=时,sinθ=cosθ,S中直线的斜率为-,故A不正确;

4𝑚

根据x+y=1,可知S中所有直线不可能经过一个定点,B不正确;

sin𝜃cos𝜃

𝑚𝑛

π𝑛

sin𝜃cos𝜃

𝑚𝑛

𝑥-1𝑦-2

当m≥n时,S中的两条平行直线间的距离为d=≥2n,即最小值为

2n,C正确;

√

sin𝜃cos𝜃

𝑚𝑛

(0,0)不满足方程,S中的所有直线不可覆盖整个平面,D不正确.

∴

21.已知P为等腰△ABC的底边BC上一点(不含端点),PM⊥AB于点M,PN⊥AC于

点N,证明:|PM|+|PN|为定值.

证明以BC的中点O为原点建立如图所示的直角坐标系,设

B(-a,0),C(a,0)(a>0),A(0,b),P(x,0),a,b为定值,-a,b>0.

所以AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0.

由点到直线的距离公式,得|PM|=,|PN|=.

因为a>0,b>0,所以ab>0,-ab<0.

所以bx+ab>0,bx-ab<0.

所以|PM|+|PN|=为定值.同理可求证,当b<0

时,|PM|+|PN|=为定值.

√

-2𝑎𝑏

𝑎+𝑏

𝑏𝑥+𝑎𝑏-(𝑏𝑥2𝑎𝑏

-𝑎𝑏)

√√

𝑎+𝑏𝑎+𝑏

2222

|𝑏𝑥|𝑏𝑥

+𝑎𝑏|

√

𝑎+𝑎

-𝑎𝑏|

𝑎+𝑏

√

2.3 圆及其方程

2.3.1圆的标准方程

1.圆心为(-3,4),半径是2的圆的标准方程为()

A.(x+3)+(y-4)=4

B.(x-3)+(y+4)=4

C.(x+3)+(y-4)=2

D.(x-3)+(y+4)=2

答案A

2.方程y=√9-𝑥表示的曲线是()

A.一条射线 B.一个圆

C.两条射线 D.半个圆

答案D

3.如图,圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上(小正方形的边长为1),图中直线与

圆弧相切于一个小正方形的顶点,若圆C经过点A(2,15),则圆C的半径为()

A.72 B.8 C.82 D.10

√√

答案A

解析圆C经过点(2,1)和点(2,15),

∵

故圆心在直线y=8上.

又过点(2,1)的圆的切线为y-1=-(x-2),故圆心在直线y-1=x-2上,即圆心在直线

𝑦=8,

x-y-1=0上.由{可得圆心为(9,8),

𝑥-𝑦-1=0

故圆的半径为=72.

√

(9-2)

+(8-1)

√

4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方

程为()

A.(x+2)+(y-3)=13

B.(x-2)+(y+3)=13

C.(x-2)+(y+3)=52

D.(x+2)+(y-3)=52

答案B

解析如图,结合圆的性质可知,原点在圆上,

圆的半径为r=

√

(2-0)

+(-3-0)=13.

√

故所求圆的标准方程为(x-2)+(y+3)=13.

5.已知直线l过圆x+(y-3)=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程为()

A.x+y-2=0 B.x-y+2=0

C.x+y-3=0 D.x-y+3=0

答案D

解析圆x+(y-3)=4的圆心坐标为(0,3).

因为直线l与直线x+y+1=0垂直,所以直线l的斜率k=1.由点斜式得直线l的

方程是y-3=x-0,

化简得x-y+3=0.

6.将圆x+y=2沿x轴正方向平移2个单位后得到圆C,则圆C的标准方程

为.

答案(x-2)+y=2

7.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以点C为圆心,5为半径的

√

圆的标准方程是.

答案(x+1)+(y-2)=5

解析将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),

从而所求圆的标准方程为(x+1)+(y-2)=5.

8.若圆的方程为(𝑥++(y+1)=1-k,则当圆的面积最大时,圆心坐标和半径分别

)

为、.

答案(0,-1)1

解析圆的方程为(𝑥++(y+1)=1-k,

∵

)

𝑘3

∴

r=1-k>0,r=1,此时k=0.

max

∴

圆心为(0,-1).

9.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.

解设所求圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r,

222

(2-𝑎),

+(2-𝑏)=𝑟

𝑎=4,

则有{解得{

(5-𝑎),

+(3-𝑏)=𝑟

𝑏=1,

𝑟=5,

(3-𝑎),

+(-1-𝑏)=𝑟

即△ABC的外接圆的标准方程为(x-4)+(y-1)=5.

10.已知点A(-1,2)和B(3,4).求:

(1)线段AB的垂直平分线l的方程;

(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.

解由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).

(1)A(-1,2),B(3,4),

∵

∴

直线AB的斜率k=.

3-(-1)2

∵

直线l垂直于直线AB,

∴

直线l的斜率k=-=-2,

𝑘

𝐴𝐵

4-21

∴

直线l的方程为y-3=-2(x-1),

即2x+y-5=0.

(2)A(-1,2),B(3,4),

∵

∴

|AB|=

√

(3+1)

+(4-2)=20=25,

√

∴

以线段AB为直径的圆的半径R=|AB|=5.又圆心为C(1,3),

√

∴

所求圆的标准方程为(x-1)+(y-3)=5.

11.方程(x-1)√𝑥-3=0所表示的曲线是()

+𝑦

A.一个圆 B.两个点

D.一条直线和一个圆 C.一个点和一个圆

答案D

解析(x-1)√𝑥-3=0可化为x-1=0或x+y=3,方程(x-1)√𝑥-3=0表示一

2222

+𝑦+𝑦

∴

条直线和一个圆.

12.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)+(y+3)=16有公共

的圆心且过点P的圆的标准方程为()

A.(x-2)+(y+3)=36

B.(x-2)+(y+3)=25

C.(x-2)+(y+3)=18

D.(x-2)+(y+3)=9

答案B

解析由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0,

得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0,

2𝑥+3𝑦-1=0,

𝑥=-1,

则{解得{即P(-1,1).

𝑦=1,

3𝑥-2𝑦+5=0,

∵

圆C:(x-2)+(y+3)=16的圆心坐标是(2,-3),

∴

|PC|==5,

√

(-1-2)

+(1+3)

∴

所求圆的标准方程为(x-2)+(y+3)=25,故选B.

13.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形

的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离

的一半,这条直线被后人称为三角形的欧拉线.在平面直角坐标系中作△ABC,在

△ABC中,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆(x-3)

222

+y=r相切,则该

圆的半径r为()

A.1 B.2 C.2 D.22

答案B

解析在△ABC中,AB=AC=4,点B(-1,3),点C(4,-2),可得BC边上的高线、垂直平分线

和中线三线合一,则其“欧拉线”为△ABC边BC的垂直平分线,

可得BC的中点为(=-1,

),直线BC的斜率为

-1-4

则BC的垂直平分线的斜率为1,

所以BC的垂直平分线方程为y-=x-,即为x-y-1=0,其“欧拉线”与圆

(x-3)+y=r相切,所以圆心(3,0)到“欧拉线”的距离为d=

222

|3-0-1|

√

313+2

√√

=2,即半径r=2.

√√

14.已知点A(-a,0),B(a,0)(a>0),点C在圆(x-2)+(y-2)=2上,且满足∠ACB=90°,则a

的最小值是.

答案2

√

解析设C(2+2cosα,2+2sinα),

√√

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=(2+2cosα+a,2+2sinα),𝐵𝐶=(2+2cosα-a,2+2sinα),∠ACB=90°,𝐴𝐶

√√√√

∵∴

∴∴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐵𝐶

𝐴𝐶=(2+2cosα)-a+(2+2sinα)=0,

√√

222

a=10+42(sinα+cosα)=10+8sinα+∈[2,18].a>0,a∈[2,32],a的最小

√√√

∵∴∴

值是2.

√

15.已知圆C与圆(x-1)+y=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程

为.

答案x+(y+1)=1

解析由已知圆(x-1)+y=1,设其圆心为C,

则圆C的圆心坐标为(1,0),半径长r=1.

设圆心C(1,0)关于直线y=-x对称的点的坐标为(a,b),即圆心C的坐标为(a,b),

𝑏

1𝑎-

则{

𝑎+1𝑏

·(-1)=-1,

𝑎=0,

解得{

𝑏=-1.

所以圆C的标准方程为x+(y+1)=1.

16.已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C三点中一点

在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的标准方程.

解要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,则圆的半径是

|PA|,|PB|,|PC|的中间值.

因为|PA|=10,|PB|=13,|PC|=5,

√√

所以|PA|<|PB|<|PC|,

所以圆的半径r=|PB|=13.

√

故所求圆的标准方程为(x-2)+(y+1)=13.

17.已知圆C与y轴相切,圆心在直线x-2y=0上,且圆C被直线y=x截得的弦长为

214,求圆C的方程.

√

解设圆心C(2y,y),半径r=|2y|,

000

圆心到直线x-y=0的距离为,

|2𝑦||𝑦|

000

-𝑦

√√

由半径、弦心距、半弦长的关系得4𝑦=14+,

𝑦

∴±

y=2.

当y=2时,圆心C(4,2),半径r=4,此时圆C为(x-4)+(y-2)=16,

当y=-2时,圆心C(-4,-2),半径r=4,此时圆C为(x+4)+(y+2)=16.

18.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数

学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆

锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B

的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面,我们来研究与此

相关的一个问题.已知圆:x+y=1和点A(-

,0),点B(1,1),M为圆O上动点,则

2|MA|+|MB|的最小值为.

答案10

√

解析如图,取点K(-2,0),连接OM,MK.|OM|=1,|OA|=,|OK|=2,

∵

∴

|𝑂𝑀||𝑂𝐴|

|𝑂𝐾||𝑂𝑀|

=2.

又∠MOK=∠AOM,

∵

∴∴

△MOK∽△AOM,=2,

|𝑀𝐴||𝑂𝐴|

|𝑀𝐾||𝑂𝑀|

∴∴

|MK|=2|MA|,|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|,|MB|+|MK|≥|BK|,

∴

|MB|+2|MA|=|MB|+|MK|的最小值为|BK|,

∵

B(1,1),K(-2,0),

∴

|BK|=

√

(-2-1)

+(0-1)=10.

√

19.已知圆C的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切于点(0,1).

(1)求圆C的方程;

(2)若圆C与直线l:x-y+m=0交于A,B两点,分别连接圆心C与A,B两点,若CA⊥CB,

求m的值.

解(1)设圆心坐标为C(a,b),则a=3b,

∵

圆与y轴相切于点(0,1),则b=1,r=|a-0|,

∴

圆C的圆心坐标为(3,1),半径r=3.

故圆的方程为(x-3)+(y-1)=9.

(2)CA⊥CB,|CA|=|CB|=r,△ABC为等腰直角三角形,|CA|=|CB|=r=3,圆

∵∴∵∴

心C到直线l的距离d=.

√

则d=

|3-1+𝑚|

√

=2,解得m=1或-5.

√

2.3.2圆的一般方程

1.若方程ax+ay-4(a-1)x+4y=0表示圆,则实数a的取值范围是()

A.R B.(-∞,0)∪(0,+∞)

C.(0,+∞) D.(1,+∞)

答案B

解析当a≠0时,方程为(𝑥-,由于a-2a+2=(a-1)+1>0恒

2𝑎-224(𝑎

𝑎𝑎𝑎

)+(𝑦+)=

-2𝑎+2)

成立,a≠0时方程表示圆.

∴

当a=0时,易知方程为x+y=0,表示直线.

综上可知,实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,+∞).

2.圆x+y-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()

A.2 B. C.1 D.2

答案D

解析因为圆心坐标为(1,-2),所以圆心到直线x-y=1的距离为d=

3.方程x+y+2ax+2by+a+b=0表示()

2222

A.以(a,b)为圆心的圆

B.以(-a,-b)为圆心的圆

C.点(a,b)

D.点(-a,-b)

答案D

解析原方程可化为(x+a)+(y+b)=0,

|1+2-1|

√

=2.

√

∴∴

{即{方程表示点(-a,-b).

()

𝑥=-𝑎,

𝑥+𝑎=0,

𝑦=-𝑏.

𝑦+𝑏=0,

4.方程x+y+ax-2ay+2a+3a=0表示的图形是半径为r(r>0)的圆,则该圆的圆心在

222

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案D

解析因为方程x+y+ax-2ay+2a+3a=0表示的图形是圆,又方程可化为(𝑥+

222

𝑎3𝑎3

2222

)

+(y-a)=-a-3a,故圆心坐标为(-=-a-3a.

,𝑎),r

2424

又r>0,即-a-3a>0,解得-40,

故该圆的圆心在第四象限.

5.已知圆C:x+y+4x=0的圆心和圆上两点A,B间的连线构成等边三角形,则AB中

点M的轨迹方程是()

A.(x+2)+(y+1)=1

B.(x+1)+(y+1)=3

C.(x+1)+y=2

D.(x+2)+y=3

答案D

解析圆C:x+y+4x=0⇒(x+2)+y=4,

2222

所以圆心C(-2,0),半径r=2,

因为△ABC为等边三角形,且AC=BC=2,

所以AB=2,MC=3,

√

所以点M的轨迹是以(-2,0)为圆心,半径为3的圆.所以AB中点M的轨迹方程

√

是(x+2)+y=3.

6.已知圆C过定点(7,2),且和圆C':x+(y-3)=2相切于点(1,2),则圆C的一般方程

是.

答案x+y-8x+2y-1=0

解析设定点(7,2)为点A,切点(1,2)为点B,圆C'的圆心C'坐标为(0,3),则直线BC'的方

程为x+y-3=0,设圆C的一般方程为x+y+Dx+Ey+F=0,则C点坐标为(-

𝐷=-8,

则{解得{

7+2+7𝐷+2𝐸+𝐹=0,

𝐸=2,

𝐹=-1.

1+2+𝐷+2𝐸+𝐹=0,

所以圆C的一般方程是x+y-8x+2y-1=0.

7.已知直线与圆x+y+2x-4y+a=0(a<5)相交于A,B两点,且弦AB的中点Q的坐标

---3=0,

𝐷𝐸

为(0,1),则直线AB的方程为.

答案x-y+1=0

解析易知圆心P的坐标为(-1,2).

∵

AB的中点Q的坐标为(0,1),

∴

直线PQ的斜率k==-1,

-1-0

∴

直线AB的斜率k=1,故直线AB的方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.

8.若圆x+y+2x-4y-4=0的圆心C到直线l的距离为2,且l与直线3x+4y-1=0平行,

则直线l的方程为.

答案3x+4y+5=0或3x+4y-15=0

解析由题得圆心为(-1,2).设所求的直线方程为3x+4y+D=0,由点到直线的距离公式,

得=2,即=2,解得D=5或-15.故所求的直线方程为3x+4y+5=0或

|3×(-1)+4×2+𝐷||5+𝐷|

√

3+4

2-1

3x+4y-15=0.

9.求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点A(5,2)和点B(3,-2)的圆的一般方程.

解圆心在直线2x-y-3=0上,

∵

∴

可设圆心坐标为(a,2a-3),半径为r(r>0),

则圆的方程为(x-a)+(y-2a+3)=r.

222

把点A(5,2)和点B(3,-2)的坐标代入方程,

得(5-a)+(2-2a+3)=r,

222

(3-a)+(-2-2a+3)=r,

222

由可得a=2,r=10.

①②

故所求圆的方程为(x-2)+(y-1)=10,

即x+y-4x-2y=5.

10.已知圆C:x+y+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径长

为2,求圆的一般方程.

√

解圆心C的坐标为(-

因为圆心在直线x+y-1=0上,

所以--1=0,即D+E=-2.

−

又r= +E=20.

√

𝐷+𝐸

-12

𝐷𝐸

①

②

①

②

=2,所以D

√

𝐷=-4,

𝐷=2,

由可得{或{

①②

𝐸=2.

𝐸=-4

又圆心在第二象限,所以-<0,即D>0,所以{

所以圆的一般方程为x+y+2x-4y+3=0.

𝐷

𝐷=2,

𝐸=-4,

11.若a∈-2,0,1,,则方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示的圆的个数为()

222

A.0 B.1 C.2 D.3

答案B

解析根据题意,若方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表示的圆,则有

222

a+(2a)-4(2a+a-1)>0,

222

解得-2,又由a∈-2,0,1,,则a=0.所以方程x+y+ax+2ay+2a+a-1=0表

222

示的圆的个数为1.

12.(多选)已知圆M的一般方程为x+y-8x+6y=0,则下列说法中正确的是()

A.圆M的圆心为(4,-3)

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.圆M的半径为25

D.圆M被y轴截得的弦长为6

答案ABD

解析圆M的一般方程为x+y-8x+6y=0,则(x-4)+(y+3)=25.圆的圆心坐标为(4,-3),

2222

半径为5.显然选项C不正确,A,B,D均正确.

13.已知直线l:ax+by-3=0经过点(a,b-2),则原点到点P(a,b)的距离可以是()

A.4 B.2 C. D.

答案B

解析把点(a,b-2)代入直线方程得a+b(b-2)-3=0,即a+(b-1)=4,即点P(a,b)在圆

222

x+(y-1)=4上,0+(0-1)<4,原点在圆x+(y-1)=4内,如图所示,

222222

∵∴

√

圆x+(y-1)=4的圆心为C(0,1),半径为r=2,原点到点P的距离为|OP|,由三角不

等式可得||PC|-|OC||≤|OP|≤|PC|+|OC|,即1≤|OP|≤3,B选项合乎要求.

∴

14.当点P在圆x+y=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是

()

A.(x+3)+y=4 B.(x-3)+y=1

2222

C.(2x-3)+4y=1 D.(2x+3)+4y=1

2222

答案C

解析设P(x,y),PQ的中点M的坐标为(x,y),

𝑥=

∵∴∴

Q(3,0),{x=2x-3,y=2y.

𝑦+0

𝑦=

又点P在圆x+y=1上,

𝑥+3

∴

(2x-3)+(2y)=1,故选C.

15.已知圆x+y+4x-6y+a=0关于直线y=x+b成轴对称图形,则a-b的取值范围

是.

答案(-∞,8)

解析由题意知,直线y=x+b过圆心,而圆心坐标为(-2,3),代入直线方程,得b=5,所以圆

的方程化为标准方程为(x+2)+(y-3)=13-a,所以a<13,由此得a-b<8.

16.已知直线3x+4y-10=0与圆x+y-5y+F=0相交于A,B两点,且OA⊥OB(O是原点),

则F=.

答案0

解析易得圆x+y-5y+F=0的圆心坐标为(0,

),它在直线3x+4y-10=0上,再由OA⊥

OB,可知圆x+y-5y+F=0过原点O,将O(0,0)代入圆的方程可求得F=0.

17.设△ABC顶点坐标A(0,a),B(-3𝑎,0),C(3𝑎,0),其中a>0,圆M为△ABC的外接圆.

√√

(1)求圆M的方程;

(2)当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由.

解(1)设圆M的方程为x+y+Dx+Ey+F=0.

𝑎+𝑎𝐸+𝐹=0,

因为圆M过点A(0,a),B(-3𝑎,0),C(3𝑎,0),所以{解得

√√

3𝑎+3𝑎𝐷+𝐹=0,

√

3𝑎-3𝑎𝐷+𝐹=0,

√

D=0,E=3-a,F=-3a,

所以圆M的方程为x+y+(3-a)y-3a=0.

(2)圆M过定点(0,-3).理由如下,圆M的方程可化为(3+y)a-(x+y+3y)=0.由

3+𝑦=0,

{

解得x=0,y=-3.所以圆M过定点(0,-3).

𝑥+𝑦+3𝑦=0,

18.已知圆C的方程可以表示为x+y-2x-4y+m=0,其中m∈R.

(1)若m=1,求圆C被直线x+y-1=0截得的弦长;

(2)若圆C与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的

值.

解(1)m=1,配方得(x-1)+(y-2)=4,圆心到直线的距离为

|1+2-1|

√

=2,

√

所以圆C被直线x+y-1=0截得的弦长为24-2=22.

√√

(2)设M(x,y),N(x,y),

1122

直线代入圆的方程得5x-8x+4(m-4)=0,

所以x+x=,xx=.

1212

84(𝑚-4)

因为OM⊥ON,所以xx+yy=0,

1212

所以+4=0,所以m=,此时Δ>0.

4555

×−

54(𝑚-4)88

19.已知圆C:x+y+2x+Ey+F=0,有以下命题:

①

E=-4,F=4是曲线C表示圆的充分非必要条件;

②

若曲线C与x轴交于两个不同点A(x,0),B(x,0),且x,x∈[-2,1),则0≤F≤1;

1212

③

若曲线C与x轴交于两个不同点A(x,0),B(x,0),且x,x∈[-2,1),O为坐标原点,则

1212

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|的最大值为2; |𝑂𝐴

−𝑂𝐵

④

若E=2F,则曲线C表示圆,且该圆面积的最大值为.

其中所有正确命题的序号是.

答案

①③

解析圆C:x+y+2x+Ey+F=0中,应有4+E-4F>0,当E=-4,F=4时,满足4+E-4F>0,

①

2222

曲线C表示圆,但曲线C表示圆时,E不一定等于-4,F不一定等于4,故正确;

①

3π

②

若曲线C与x轴交于两个不同点A(x,0),B(x,0),且x,x∈[-2,1),则x,x是

121212

x+2x+F=0的两根,Δ=4-4F>0,解得F<1,故不正确;

②

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|=|由知,|𝑂𝐴𝐵𝐴|=|x-x|=-4𝑥

③②

−𝑂𝐵+𝑥𝑥=4-4𝐹,故当F=0,即

√

(𝑥)

1212

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|取最大值2,故正确; x=2,x=0,或x=0,x=2时,|𝑂𝐴

③

1212

−𝑂𝐵

④

由于E=2F,则圆的半径的平方为(4+E-4F)=(4+4F-4F)=(𝐹-,

4424

则圆面积有最小值,无最大值,故不对.

④

20.在平面几何中,通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆,称为该平面图形的

最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质:

1113

①

线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆;

②

锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆.

已知曲线W:x+y=16,A(0,t),B(4,0),C(0,2),D(-4,0)为曲线W上不同的四点.

(1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程;

(2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程;

(3)求曲线W的最小覆盖圆的方程.

解(1)由题意,t=-2.

由于△ABC为锐角三角形,外接圆就是△ABC的最小覆盖圆.

4-2𝐸+𝐹=0,𝐷=-3,

设△ABC外接圆方程为x+y+Dx+Ey+F=0,则{解得{

16+4𝐷+𝐹=0,𝐸=0,

4+2𝐸+𝐹=0,𝐹=-4,

∴

△ABC的最小覆盖圆的方程为x+y-3x-4=0.

(2)DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆,

∵

∴

DB的最小覆盖圆的方程为x+y=16.

又|OA|=|OC|=2<4,点A,C都在圆内.

∵∴

∴

四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x+y=16.

(3)由题意,曲线W为中心对称图形.

设曲线W上一点P的坐标为(x,y),

则𝑥=16.

+𝑦

∴

|OP|=𝑥,且-2≤y≤2.

+𝑦

故|OP|=𝑥=16-𝑦=-(𝑦-,

22422

00000

165

+𝑦+𝑦)+

165

∴

当𝑦时,|OP|=,

max

√

∴

曲线W的最小覆盖圆的方程为x+y=.

2.3.3直线与圆的位置关系

1.直线(m-1)x+(m-3)y-2=0与圆(x-1)+y=1的位置关系是()

A.相交 B.相切

C.相离 D.相交或相切

答案D

解析圆(x-1)+y=1,圆心为(1,0),半径r=1,

𝑥+𝑦=0,

由(m-1)x+(m-3)y-2=0,得m(x+y)=x+3y+2,由{得x=1,y=-1,所以

𝑥+3𝑦+2=0,

直线过定点(1,-1),

代入(x-1)+y=1成立,所以点(1,-1)为圆上的定点,所以直线与圆相切或者相交.

2.过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(x-2)+y=1所截得的弦长为()

A. B.1 C.3 D.23

答案C

解析根据题意,设过点(1,0)且倾斜角为30°的直线为l,其方程为y=tan30°(x-1),

即y=(x-1),变形可得x-3y-1=0,

√

圆(x-2)+y=1的圆心为(2,0),半径r=1,

设直线l与圆交于点A,B,圆心到直线的距离d=,则|AB|=2×-

故选C.

3.已知圆x+y=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为()

A.y-2=0 B.x+2y-5=0

C.2x-y=0 D.x-1=0

答案B

解析当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),所以过

点P(1,2)的直径所在直线的斜率k==2,故所求直线的斜率为-,所以所求直线方程

1-02

为y-2=-(x-1),

即x+2y-5=0.

4.若直线x-y=2被圆(x-a)+y=4所截得的弦长为22,则实数a的值为()

√

A.0或4 B.0或3

C.-2或6 D.-1或3

答案A

解析由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为22,所

√

以圆心到直线的距离d=-(,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.

√

2)=2.又d=

2-01

|2-1|

√

√√

==3,

241+3

√1

√

|𝑎-2|

√

5.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x+y+2x-2y-6=0截得的弦长是圆心C到直

线l的距离的2倍,则m等于()

A.6 B.8 C.11 D.9

答案D

解析圆C:x+y+2x-2y-6=0可化为(x+1)+(y-1)=8,圆心坐标为(-1,1),半径为22,

2222

√

由题意可知,圆心到直线的距离d==2.

|1+𝑚|

∵∴

m>0,m=9.

6.直线x+y+1=0被圆C:x+y=2所截得的弦长为;由直线x+y+3=0上的

一点向圆C引切线,切线长的最小值为.

答案6

√

解析圆C:x+y=2的圆心坐标为C(0,0),半径r=2.圆心C到直线x+y+1=0的距离

√

d=.

|1|

√

∴

直线x+y+1=0被圆C:x+y=2所截得的弦长为2-(

√

(2)

√

)=6.圆心C到直

√

线x+y+3=0的距离d=,则由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线,切线长

3210

√√

的最小值为. -(2)

√

()=

|3|

√

7.已知对任意实数m,直线l:3x+2y=3+2m和直线l:2x-3y=2-3m分别与圆

C:(x-1)+(y-m)=1相交于A,C和B,D,则四边形ABCD的面积为.

答案2

解析由题意,直线l:3x+2y=3+2m和直线l:2x-3y=2-3m交于圆心(1,m),且互相垂直,

∴∴

四边形ABCD是正方形,四边形ABCD的面积为4××1×1=2.

8.过点A(3,5)作圆x+y-4x-8y-80=0的最短弦,则这条弦所在直线的方程

是.

答案x+y-8=0

解析将圆x+y-4x-8y-80=0化成标准形式为(x-2)+(y-4)=100,圆心为M(2,4),则点A

2222

在圆内,当AM垂直这条弦时,所得到的弦长最短.

∵∴

k==1,这条弦所在直线的斜率为-1,其方程为y-5=-(x-3),即x+y-8=0.

3-2

9.一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为27,求此圆的

√

方程.

解因为圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆的方程为(x-3b)+(y-b)=9b.

222

又因为直线y=x截圆得弦长为27,则有(+(7)=9b,解得b=1,故所求圆的

√√

|3𝑏-𝑏|

√

5-4

)

方程为(x-3)+(y-1)=9或(x+3)+(y+1)=9.

2222

10.已知圆C:(x+2)+(y+2)=3,直线l过原点O.

(1)若直线l与圆C相切,求直线l的斜率;

(2)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(-2,0).若AP⊥BP,求直线l的方程.

解(1)由题意知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=kx.由直线l与圆C相切,

得-8k+1=0,解得k=415.

√

|2𝑘-2|

𝑘+1

=3,整理为k

√

(2)设点A,B的坐标分别为(x,y),(x,y),由(1)知直线l的方程为y=kx.

1122

(𝑥+2)

+(𝑦+2)=3,

联立方程{

𝑦=𝑘𝑥,

消去y整理为(k+1)x+(4k+4)x+5=0,

所以x+x=-,xx=,yy=,

121212

𝑘+1𝑘+1𝑘+1

222

⃗⃗⃗⃗⃗

=(x+2,y),𝑃𝐵=(x+2,y), 由𝑃𝐴

1122

⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

··=𝑃𝐵𝑃𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

=(x+2)(x+2)+yy=xx+2(x+x)+yy+4,代入化简得则𝑃𝐴𝑃𝐴

1212121212

−+·𝑎𝑃

𝑘+1𝑘+1𝑘+1𝑘+19

2222

+4==0,得9k-8k+1=0,解得k=,,由AP⊥BP,有𝑃𝐴

则直线l的方程为y=x或y=x.

58𝑘+85𝑘9𝑘4±7

-8𝑘+1

4𝑘+455𝑘

⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

√

4-74+7

√√

11.圆x+y+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+2=0的距离为1的点共有()

√

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

答案C

解析化x+y+2x-2y-2=0为(x+1)+(y-1)=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,圆心到

2222

∵

直线l:x+y+2=0的距离d==1<2,

√

|-1+1+2|

√

1+1

结合图形可知,圆上有三点到直线l的距离为1.

12.(多选)已知点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)+(y-2)=4上的

动点,若∠PAQ的最大值为60°,则点A的坐标可以是()

A.(4,6) B.(2,8)

C.(6,4) D.(8,2)

答案AD

解析点A是直线l:x+y-10=0上一定点,点P,Q是圆C:(x-4)+(y-2)=4上的动点,

如图,圆的半径为2,

所以直线上的A到圆心的距离为4,

结合图形,可知A的坐标(4,6)与(8,2)满足题意.

13.设圆C:x+y-2x-3=0,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则线段PC长度的

最大值为()

A.10 B.23 C.4 D.26

√√√

答案C

解析化圆C:x+y-2x-3=0为(x-1)+y=4,

2222

连接AC,BC,设∠CAB=θ0<θ<,连接PC与AB交于点D,

∵

AC=BC,△PAB是等边三角形,

∴

D是AB的中点,得PC⊥AB,

在圆C:(x-1)+y=4中,圆C的半径为2,|AB|=4cosθ,|CD|=2sinθ,

√

∴

在等边△PAB中,|PD|=|AB|=23cosθ,

√

∴

|PC|=|CD|+|PD|=2sinθ+23cosθ

√

=4sin(𝜃+

)≤4.

14.在圆x+y-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则圆心坐

标为,四边形ABCD的面积为.

答案(1,3)102

√

解析圆的方程化为标准形式为(x-1)+(y-3)=10,易知点E在圆内,由圆的性质可知最

长弦|AC|=210,最短弦BD恰以E(0,1)为中点,且与AC垂直,设点F为其圆心,坐标

√

为(1,3).

故|EF|=5,|BD|=2=25,

√√

∴

√

10-(5)

√

∴

S=|AC|·|BD|=102.

四边形

ABCD

√

15.过点(1,4)且斜率为k的直线l与曲线y=√-𝑥-4𝑥-3+1有公共点,则实数k的取值

范围是.

答案[

9-173

√

]

解析曲线y=√-𝑥-4𝑥-3+1可化为(x+2)+(y-1)=1(1≤y≤2),设点C(1,4),如图所示,

当直线l在直线AC和BC之间运动时,直线l与曲线有公共点,其中点A为(-1,1),点

B为直线l与曲线的切点,即直线l与圆心为(-2,1),半径为1的半圆相切.直线l的

∵

方程为y=k(x-1)+4,

|𝑘(-2-1)+4-1|

√

𝑘+(-1)

9-179+174-1

√√

881-(-1)

∴

在点B处有=1,解得k=或(舍),而直线AC的斜率为

39-173

√

822

,k∈[

∴

16.过点P(4,-4)的直线l被圆C:x+y-2x-4y-20=0截得的弦AB的长度为8,求直线l

的方程.

解圆的方程可化为(x-1)+(y-2)=5,

∵

222

∴

圆心C(1,2),半径r=5.由圆的几何性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成

|𝐴𝐵|

直角三角形,圆心到直线l的距离d=-(-4=3.当直线l⊥x轴时,

∴

√

𝑟)=√5

222

∵∴

l过点P(4,-4),直线l的方程为x=4.

点C(1,2)到直线l的距离d=|4-1|=3,满足题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线

l的方程为y+4=k(x-4),即kx-y-4k-4=0,=3,解得k=-.

∴

|𝑘-2-4𝑘-4|

√

𝑘+(-1)

∴

直线l的方程为y+4=-(x-4),

即3x+4y+4=0.

综上所述,直线l的方程为x=4或3x+4y+4=0.

17.直线y=kx与圆C:x+y-6x-4y+10=0相交于不同的两点A,B,当k取不同实数值时,

求AB中点的轨迹.

解设A(x,y),B(x,y),则

1122

𝑥+𝑦

-6x-4y+10=0,

𝑥+𝑦

-6x-4y+10=0.

2222

①②

-得(𝑥)+(𝑦)-6(x-x)-4(y-y)=0.

1212

−𝑥−𝑦

1212

①

②

设AB的中点坐标为(x,y),

则x+x=2x,y+y=2y.

1212

代入上式,有2x(x-x)+2y(y-y)-6(x-x)-4(y-y)=0,

12121212

即(2x-6)(x-x)+(2y-4)(y-y)=0.

1212

所以=-=-k.

𝑦-2𝑥

-𝑥

𝑥-3𝑦

-𝑦

③

④

又因为y=kx,

由得x+y-3x-2y=0.

③④

故所求轨迹为圆x+y-3x-2y=0位于圆C:x+y-6x-4y+10=0内的一段弧.

2222

18.已知A,B为圆C:(x+1)+(y-1)=5上两个动点,且|AB|=2,直线l:y=k(x-5),若线段AB

的中点D关于原点的对称点为D',若直线l上任一点P,都有|PD'|≥1,则实数k的取

值范围是.

答案(-∞,

4-624+62

√√

,+∞)

]∪[

解析|AB|=2,且圆C:(x+1)+(y-1)=5的半径为5,AB的中点D到圆心(-1,1)的距

∵∴

√

离为-1=2,

√

(5)

√

则D的轨迹方程为(x+1)+(y-1)=4.

∵

线段AB的中点D关于原点的对称点为D',

∴

D'的轨迹方程为(x-1)+(y+1)=4.

要使直线l:y=k(x-5)上任一点P,都有|PD'|≥1,则-2≥1,解得k≤或

√

k≥.实数k的取值范围是(-∞,

4+624-624+62

√√√

∴

777

|𝑘+1-5𝑘|

𝑘+1

4-62

√

]∪[

,+∞).

19.已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)和圆C:x+y-8x-6y+5=0.

(1)求证:直线l恒过一定点M;

(2)试求当m为何值时,直线l被圆C所截得的弦长最短;

(3)在(2)的前提下,直线l'是过点N(-1,-2)且与直线l平行的直线,求圆心在直线l'上,

且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程.

(1)证明由直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,得m(2x+y-7)+x+y-4=0,联立

{

2𝑥+𝑦-7=0,

𝑥=3,

解得{直线l恒过一定点M(3,1).

∴

𝑦=1,

𝑥+𝑦-4=0,

(2)解要使直线l被圆C所截得的弦长最短,则l⊥CM,化圆C:x+y-8x-6y+5=0为

(x-4)+(y-3)=20,可得C(4,3),则k==2,-=-,解得m=-.

4-3𝑚+123

∴

(3)解由(2)得,直线l':y+2=-(x+1),

即x+2y+5=0.

3-12𝑚+111

如图,过C与直线x+2y+5=0垂直的直线方程为y-3=2(x-4),即2x-y-5=0.联立

𝑥=1,

𝑥+2𝑎+5=0,

{

解得{

𝑦=-3,

2𝑥-𝑦-5=0,

而C到直线x+2y+5=0的距离d==35,所求圆的半径为35-25=

√

故圆心在直线l'上,且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程为

(x-1)+(y+3)=5.

|4+6+5|

√

√√√

∴

2.3.4圆与圆的位置关系

1.设r>0,圆(x-1)+(y+3)=r与圆x+y=16的位置关系不可能是()

22222

A.内切 B.相交

C.内切或内含 D.外切或外离

答案D

解析两圆的圆心距为d=

√

(1-0)

+(-3-0)=10,两圆的半径之和为r+4,因为

√

104,

所以两圆不可能外切或外离,故选D.

2.两圆C:x+y=16,C:x+y+2x+2y-7=0,则两圆公切线条数为()

2222

A.1 B.2 C.3 D.4

答案B

解析两圆C:x+y=16,圆心C(0,0),半径为4,C:x+y+2x+2y-7=0,其标准方程为

112

2222

(x+1)+(y+1)=9,圆心C(-1,-1),半径为3,圆心距|CC|=2,|4-3|<2<|4+3|,即两圆

212

√√

相交,所以公切线恰有两条.

3.设两圆C,C都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|CC|等于()

1212

A.4 B.42 C.8 D.82

答案C

解析两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),

∵

√√

∴

两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.

设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),

则有(4-a)+(1-a)=a,(4-b)+(1-b)=b,即a,b为方程(4-x)+(1-x)=x的两个根,

222222222

整理得x-10x+17=0,a+b=10,ab=17.

∴

(a-b)=(a+b)-4ab=100-4×17=32,

∴

|CC|=

√

(𝑎-𝑏)

+(𝑎-𝑏)=32×2=8.

√

4.过点M(2,-2)以及圆x+y-5x=0与圆x+y=2交点的圆的方程是()

2222

A.x+y-x-=0 B.x+y-x+=0

2222

4242

C.x+y+x-=0 D.x+y+x+=0

2222

4242

151151

答案A

解析设经过圆x+y-5x=0与圆x+y=2交点的圆的方程是x+y-5x+λ(x+y-2)=0,

22222222

再把点M(2,-2)代入可得4+4-10+λ(4+4-2)=0,求得λ=,

故要求的圆的方程为x+y-x-=0.

5.若圆x+y=r与圆x+y+2x-4y+4=0有公共点,则r满足的条件是()

22222

A.r<5+1 B.r>5+1

√√

C.|r-5|≤1 D.|r-5|<1

√√

答案C

解析由x+y+2x-4y+4=0,得(x+1)+(y-2)=1,两圆圆心之间的距离为

2222

√

(-1)

+2=

√

151

∵∴

两圆有公共点,|r-1|≤5≤r+1,

√

∴

√√

5-1≤r≤5+1,

即-1≤r-5≤1,|r-5|≤1.

√√

∴

6.已知两圆(x+2)+(y-2)=4和x+y=4相交于M,N两点,则|MN|=.

2222

答案22

√

解析由题意可知直线MN的方程为(x+2)+(y-2)-x-y=0,即l:x-y+2=0,圆x+y=4

222222

的圆心为(0,0),半径为2,则圆心(0,0)到x-y+2=0的距离d=

|MN|=2√𝑟-𝑑=2×-(2)=22.

222

√

√√

7.若圆x+y-2ax+a=2和圆x+y-2by+b=1外离,则a,b满足的条件

222222

是.

答案a+b>3+22

√

解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0),2和(0,b),1.因为两圆外离,

√

所以+b>3+22.

√𝑎

+𝑏>2+1,即a

√

8.若☉O:x+y=5与☉O:(x-m)+y=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切

2222

线互相垂直,则线段AB的长度是.

答案4

解析由题知O(0,0),O(m,0),半径分别为5,25,根据两圆相交,可得圆心距大于两

√√

圆的半径之差而小于半径之和,即535.又OA⊥OA,所以有

√√

m=(5)+(25)=25,

222

√√

√

=2,所以

√

∴±

m=5.再根据𝑆·|AO|·|AO|=|OO|·,求得|AB|=2×=4.

△𝐴𝑂𝑂

2225

1212

|AB|=22,求圆O的方程.

√

解设圆O的方程为(x-2)+(y-1)=𝑟,

115×25

|𝐴𝐵|

√√

9.已知圆O:x+(y+1)=4,圆O的圆心O(2,1).若圆O与圆O交于A,B两点,且

12221

因为圆O的方程为x+(y+1)=4,

将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x+4y+𝑟-8=0,作

OH⊥AB,H为垂足,图略,则|AH|=|AB|=2,所以|OH|=𝑟-|𝐴𝐻|

√

=4-2=2.

√√

由圆心O(0,-1)到直线4x+4y+𝑟-8=0的距离为=4或𝑟=20,故

222

-12|

|𝑟

√

=2,得𝑟

√

圆O的方程为(x-2)+(y-1)=4或(x-2)+(y-1)=20.

2222

10.已知圆x+y-2x-6y-1=0和圆x+y-10x-12y+m=0.

2222

(1)m取何值时两圆外切?

(2)m取何值时两圆内切?

(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

解两圆的标准方程为(x-1)+(y-3)=11,

(x-5)+(y-6)=61-m,

圆心分别为M(1,3),N(5,6),

半径分别为11和61-𝑚.

√√

两圆圆心之间的距离d==5.

√

(5-1)

+(6-3)

(1)当两圆外切时,5=11+61-𝑚,

√√

解得m=25+1011.

√

(2)当两圆内切时,因定圆的半径11小于两圆圆心间距离5,故只有61-𝑚−

√√

11=5,解得m=25-1011.

(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x+y-2x-6y-1)-(x+y-10x-12y+45)=0,

2222

|4×1+3×3-23|

即4x+3y-23=0,公共弦长为2-(=27.

∴

√

(11)

√

)

√

4+3

11.已知圆C的方程为(x-3)+y=1,若y轴上存在一点A,使得以A为圆心,半径为3

的圆与圆C有公共点,则A的纵坐标可以是()

A.1 B.-3 C.5 D.-7

答案A

解析圆C的方程为(x-3)+y=1,则圆心C(3,0).

设y轴上一点A(0,b),当以A为圆心,半径为3的圆与圆C有公共点时,满足

3-1≤|CA|≤3+1,

即2≤≤4,

√

(0-3)

+(𝑏-0)

所以2≤+𝑏≤4,

√9

化简得b≤7,-7≤b≤7,

∴

√√

∴

A的纵坐标可以是1.

12.已知函数f(x)=bx-b-(b>0,x∈R),若(m+1)+(n+1)=2,则的取值范围是()

222

4𝑓(𝑚)

A.[-3,2] B.[3,2+3]

√√√

C.[2-3,3] D.[2-3,2+3]

√√√√

1𝑓(𝑛)

答案D

解析,

𝑓(𝑚)

𝑓(𝑛)

𝑏𝑚-𝑏

𝑏𝑛-𝑏

)𝑛-(𝑏+

4𝑏

𝑚-(𝑏+)

4𝑏

可以看作点(m,n)与点(𝑏++(y+1)=2

4𝑏4𝑏

,𝑏+

)连线的斜率,点(m,n)在圆(x+1)

上,

点(𝑏+

4𝑏4𝑏

,𝑏+

)在直线y=x(x≥1)上,结合图形分析可得,

当过点(1,1)作圆(x+1)+(y+1)=2的切线,此时两条切线的斜率分别是的最

𝑓(𝑚)

大值和最小值.

两条切线与圆心(-1,-1)、点(1,1)所在直线的夹角均为,两条切线的倾斜角分别

为,

π5π

1212

𝑓(𝑛)

故所求直线的斜率的范围为[2-3,2+3].

√√

13.已知圆C:(x-3)+(y-4)=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆上存在点P,使得∠

APB=90°,则m的取值范围是.

答案[4,6]

解析设点P的坐标为(x,y),∠APB=90°,且坐标原点O为AB的中点,

∵∴

|OP|=|AB|=m,则点P的轨迹方程为x+y=m,

222

由题意可知,圆x+y=m与圆C有公共点,且圆心C(3,4),则|m-1|≤|OC|≤m+1,

222

即|m-1|≤5≤m+1.m>0,解得4≤m≤6.

∵

因此,实数m的取值范围是[4,6].

14.已知点P(t,t-1),t∈R,点E是圆x+y=上的动点,点F是圆(x-3)+(y+1)=上的动

2222

点,则|PF|-|PE|的最大值为.

答案4

解析P(t,t-1),P点在直线y=x-1上,

∵∴

作E关于直线y=x-1的对称点E',且圆O:x+y=关于直线y=x-1对称的圆O

的方程为(x-1)+(y+1)=,所以E'在圆O上,|PE|=|PE'|,

∴

设圆(x-3)+(y+1)=的圆心为O,

∴

|PE'|≥|PO|-|E'O|,|PF|≤|PO|+|FO|,

1122

∴

|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤(|PO|+|FO|)-(|PO|-|E'O|)=|PO|-|PO|+2≤|OO|+2=4,当

22112112

P,E',F,O,O五点共线,E'在线段PO上,O在线段PF上时等号成立.

1212

因此,|PF|-|PE|的最大值为4.

15.与圆C:(x-1)+y=1,圆C:(x-4)+(y+4)=4均外切的圆中,面积最小的圆的方程

2222

是.

答案(𝑥-=1

)+(𝑦+)

解析当三圆圆心在一条直线上时,所求圆面积最小.

设所求圆的圆心坐标为(a,b),已知两圆圆心之间的距离为

𝑎-1211𝑏-02

d==5,所以所求圆半径为1.由已知可知,所以a=,

√

(1-4)

+(0+4)=,=

4-1555

-4-0

118

所以b=-,

所以所求圆的方程为(𝑥-=1.

)+(𝑦+)

16.已知圆C:x+y=5与圆C:x+y-4x+3=0相交于A,B两点.

2222

(1)求过圆C的圆心与圆C相切的直线方程;

(2)求圆C与圆C的公共弦长|AB|.

解(1)已知圆C:x+y=5的圆心坐标为(0,0),半径为5,圆C:x+y-4x+3=0的圆心坐

2222

√

标为(2,0),半径为1.

118

若过圆C的圆心(0,0)与圆C相切的直线斜率存在,则可设直线方程为y=kx,则

圆心(2,0)到直线kx-y=0的距离d==1,整理得3k=1,解得k=,

√

所以直线方程为y=x.

若直线斜率不存在,直线不与圆C相切.

综上所述,直线方程为y=x.

(2)圆C:x+y=5与圆C:x+y-4x+3=0相交于A,B两点,则过点A和B的直线

2222

方程为4x-3=5,即x=2.所以(0,0)到直线x=2的距离d=2,

所以弦|AB|=2-2=2.

√

(5)

√

17.

√

|2𝑘|

1+𝑘

√

如图所示,圆O与圆O的半径都是1,|OO|=4,过动点P分别作圆O,圆O的切线

121212

PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=2|PN|.试建立适当的坐标系,求动点P的轨迹

√

方程.

解如图所示,以直线OO为x轴,线段OO的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标

1212

系,则O(-2,0),O(2,0).

设动点P(x,y).由题意得|PM|=|OP|-|OM|=(x+2)+y-1.

22222

同理,可得|PN|=(x-2)+y-1.

222

因为|PM|=2|PN|,所以|PM|=2|PN|.

√

所以(x+2)+y-1=2[(x-2)+y-1],

2222

即x+y-12x+3=0.

所以动点P的轨迹方程是x+y-12x+3=0.

18.已知圆方程C:f(x,y)=0,点P(x,y)在圆C上,点P(x,y)不在圆C上,则方程

111112221

f(x,y)-f(x,y)-f(x,y)=0表示的圆C与圆C的关系是()

112221

A.与圆C重合

B.与圆C同心圆

C.过P且与圆C圆心相同的圆

D.过P且与圆C圆心相同的圆

答案D

解析由题意,圆方程C:f(x,y)=0,点P(x,y)在圆C上,点P(x,y)不在圆C上,

111112221

∴

f(x,y)=0,f(x,y)≠0,由f(x,y)-f(x,y)-f(x,y)=0,得f(x,y)=f(x,y)≠0,它表示过P

11221122222

且与圆C圆心相同的圆.

19.(多选)设有一组圆C:(x-k+1)+(y-3k)=2k(k∈N).下列四个命题中是真命题的

224*

有()

A.存在一条定直线与所有的圆均相切

B.存在一条定直线与所有的圆均相交

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

答案BD

解析根据题意得,圆心(k-1,3k),圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有

圆都相交,选项B正确;

考虑两圆的位置关系,

圆C:圆心(k-1,3k),半径为r=2k,

√

圆C:圆心(k-1+1,3(k+1)),

k+1

即(k,3k+3),半径为R=2(k+1),两圆的圆心距d=

√

(𝑘-𝑘+1)

+(3𝑘+3-3𝑘)=

√√

10,两圆的半径之差R-r=2(k+1)

-2k=22k+2,任取k=1或2时,(R-r>d),C含

√√√

于C之中,选项A错误;

k+1

若k取无穷大,则可以认为所有直线都与圆相交,选项C错误;

将(0,0)代入圆的方程,则有(-k+1)+9k=2k,

224

即10k-2k+1=2k(k∈N),

24*

因为左边为奇数,右边为偶数,故不存在k使上式成立,即所有圆均不过原点,选

项D正确.

20.已知圆O:x+y=25,点P在圆O:x+y=r(05)上,过点P作圆O的切线交圆

122

22222

O于点M,N两点,且r,|OM|,|MN|成等差数列.

(1)求r;

(2)若点P的坐标为(-交于A,B两点,则使

1612

),与直线MN平行的直线l与圆O

△AOB的面积为43的直线l有几条?并说明理由.

√

解(1)显然圆O和圆O是圆心在原点的同心圆.

连接OP,则OP⊥MN,|OM|=5,|OP|=r,

在直角三角形MOP中,|MP|=√5-𝑟,

所以|MN|=2√5-𝑟.

由r,|OM|,|MN|成等差数列,得2|OM|=r+|MN|,即2×5=r+2√25-𝑟,解得r=4.

(2)满足题意的直线l有4条.理由如下,

因为点P的坐标为(-

1612

所以k=-,所以直线l的斜率k=,

设直线l的方程为y=x+b,

即4x-3y+3b=0.

设圆心到该直线的距离为d,则d=,

则|AB|=2√4-𝑑,

所以S=×|AB|×d=√4-𝑑×d=43,

△

AOB

√

整理得d-16d+48=0,(d-4)(d-12)=0,

4222

解得d=2或d=23,因为d=,检验,从而对应的b有4个解,b=或b=

√

|3𝑏|

533

10103

√

|3𝑏|

±±

知均符合题意,故使△AOB的面积为43的直线l有4条.

√

2.4 曲线与方程

1.下列方程中表示相同曲线的一对方程是()

A.x=𝑦与y=x B.y=x与=1

√

𝑦

C.y=lg x与y=lg𝑥 D.y=x与x-y=0

√

答案C

2.方程x+y=1(xy<0)的曲线形状是()

𝑥

答案C

解析方程x+y=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分.

3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)+y=3上,则α的值为()

A. B.

π5π

5ππππ

C.或 D.或

3336

答案C

解析由(cosα-2)+sin.

α=3,得cosα=

又0≤α<2π,α=或.

∴

π5π

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,4.设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,𝑂𝑀

=𝑂𝐴+𝑂𝐵

则点M的轨迹方程为 ()

A.=1 B.=1

9494

C.D.=1 =1

259259

𝑥𝑦𝑦𝑥

2222

𝑥𝑦𝑦𝑥

2222

答案A

3232

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

,得(x,y)=(x,0)+(0,y), 解析设M(x,y),A(x,0),B(0,y),由𝑂𝑀

0000

=𝑂𝐴+𝑂𝐵

5555

𝑥=𝑥

𝑥=𝑥,

55𝑥𝑦

由{解得{由|AB|=5,得(=25,化简得=1.

𝑥)+(𝑦)+

3294

𝑦=𝑦

𝑦=𝑦,

5.已知点A(a,2)既是曲线y=mx上的点,也是直线x-y=0上的点,则m=.

答案

𝑎=2,

2=𝑚𝑎

解析根据点A既在曲线y=mx上,也在直线x-y=0上,则{

∴{

𝑚=

𝑎-2=0,

6.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足向量𝑂𝑃在向量𝑂𝐴上的

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

投影为-5,则点P的轨迹方程是.

√

答案x+2y+5=0

解析由=-5,知=-5,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑂𝐴

𝑂𝑃𝑥+2𝑦

√√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

||𝑂𝐴

√

即x+2y+5=0.

7.动点P与平面上两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值-,则动点P的轨

√√

迹方程为.

答案x+2y-2=0(x≠2)

√

解析设P(x,y),由题意知,x≠2,k=,k=,由条件知k·k=-,所以

√

APBPAPBP

𝑥+2𝑥-22𝑥+2

√√√

𝑦1

𝑥-22

√

=-,整理得x+2y-2=0(x≠2).

√

𝑦𝑦1𝑦

8.若直线x+y-m=0被曲线y=x所截得的线段长为32,求m的值.

√

解设直线x+y-m=0与曲线y=x相交于A(x,y),B(x,y)两点,联立直线与曲线方程,

1122

得

{

将代入,得x+x-m=0,

②①

𝑥+𝑥=-1,

所以{

𝑥𝑥=-𝑚,

所以|AB|=-𝑥-𝑦·|x-x|=2·-4𝑥

√√√

(𝑥))(𝑥)

12121212

2222

+(𝑦=1+(-1)+𝑥𝑥=

√

√√

2·1+4𝑚=32,

√

所以1+4𝑚=3,所以m的值为2.

√

9.方程(x-y)+(xy-1)=0表示的曲线是()

A.一条直线和一条双曲线

B.两条双曲线

C.两个点

D.以上答案都不对

答案C

解析(x-y)+(xy-1)=0,即{

𝑥-𝑦=0,

𝑥𝑦-1=0.

𝑥+𝑦-𝑚=0,

①

𝑦=𝑥

②

故{或{

𝑥=1,𝑥=-1,

𝑦=1𝑦=-1.

10.(多选)给出下列结论,其中错误的是()

A.方程=1表示斜率为1,在y轴上截距为-2的直线

𝑥-2

B.到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2

C.方程|x-3|+(y-9)=0表示两个点

D.到两坐标轴距离之和为a(a>0)的点M的轨迹方程为x+y=a(a>0)

答案ABD

解析对于A,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线且去掉点(2,0),所

𝑥-2

以A错误;

对于B,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以B错误;

对于C,方程|x-3|+(y-9)=0表示(3,-3),(3,3)两个点,所以C正确;

对于D,轨迹方程应为|x|+|y|=a(a>0),所以D错误.

11.在直角坐标平面内,点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),则满足tan∠PAB·tan∠

PBA=m(m为非零常数)的点P的轨迹方程是()

A.x-=1(y≠0) B.x-=1

𝑚𝑚

C.x+=1(y≠0) D.x+=1

𝑚𝑚

答案C

解析设P(x,y),由题意,得=-m(m≠0),化简可得x+=1(y≠0).

𝑥+1𝑥-1𝑚

12.直线y=kx+1与y=2kx-3(k为常数,且k≠0)交点的轨迹方程是.

答案y=5(x≠0)

解析y=kx+1与y=2kx-3联立,消去k,得y=5.由y=kx+1=5,得kx=4.

𝑦𝑦𝑦

𝑦𝑦

𝑦

𝑦𝑦

∵∴

k≠0,x≠0.

故所求的轨迹方程为y=5(x≠0).

13.已知A(-2,0),B(1,0)两点,动点P不在x轴上,且满足∠APO=∠BPO,其中O为原点,

则点P的轨迹方程是.

答案(x-2)+y=4(y≠0)

解析由角平分线的性质定理得|PA|=2|PB|,

设P(x,y),则=2,

√√

(𝑥+2)(𝑥-1)

+𝑦+𝑦

整理得(x-2)+y=4(y≠0).

14.已知P为圆(x+2)+y=1上的动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,求点M的

轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.

解设M(x,y),P(x,y).M为线段OP的中点,

∵

∴

{即{即P(2x,2y).

𝑥=

𝑦=

𝑥

𝑦

𝑥=2𝑥,

𝑦=2𝑦,

将P(2x,2y)代入圆的方程(x+2)+y=1,可得

(2x+2)+(2y)=1,即(x+1)+y=,

2222

此方程为点M的轨迹方程.点M的轨迹曲线是以(-1,0)为圆心,为半径的圆.

∴

15.已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.

(1)求点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状;

(2)记(1)中轨迹曲线为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l

的方程.

解(1)由题意,得=5,

|𝑀𝑄|

即=5,

√

(𝑥-26)

+(𝑦-1)

√

(𝑥-2)

+(𝑦-1)

|𝑀𝑃|

化简,得x+y-2x-2y-23=0,

所以点M的轨迹方程是(x-1)+(y-1)=25.

轨迹曲线是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.

(2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2,

此时所截得的线段长度为2√5-3=8,

所以l:x=-2符合题意.

当直线l的斜率存在时,设过点N(-2,3)的直线l的方程为y-3=k(x+2),即

kx-y+2k+3=0.

圆心(1,1)到l的距离d=.

√

由题意,得(+4=5,解得k=.

√

|3𝑘+2|

𝑘+1

|3𝑘+2|

𝑘+1

)

523

所以直线l的方程为x-y+=0,

126

即5x-12y+46=0.

综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

+𝐺𝐵+

16.在△ABC中,已知A(2,0),B(-2,0),G,M为平面上的两点且满足𝐺𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

=0,||,𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|=|𝑀𝐶𝐺𝑀,则顶点C的轨迹方程为.

𝐺𝐶∥𝐴𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

答案=1(y≠0)

412

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

+𝐺𝐵+𝐺𝐶

=0, 解析设C(x,y)(y≠0),则由𝐺𝐴

即G为△ABC的重心,得G(

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

|, 又|𝑀𝐴|=|𝑀𝐵|=|𝑀𝐶

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

即M为△ABC的外心,所以点M在y轴上,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

∥𝐴𝐵).

,则有M(0,又𝐺𝑀

𝑦

𝑎

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

|=|由|𝑀𝐶𝑀𝐴|,得x+(𝑦-=4+,

)

𝑥𝑦

𝑦

化简得=1,y≠0.

412

17.已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x+y=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|

的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并指出轨迹曲线的形状.

解如图所示,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是

P={M||MN|=λ|MQ|}(λ>0).

𝑥𝑦

因为圆的半径|ON|=1,

所以|MN|=|MO|-|ON|=|MO|-1.

2222

设点M的坐标为(x,y),

则λ[(x-2)+y]=x+y-1,

22222

整理,得(λ-1)(x+y)-4λx+(1+4λ)=0,当λ=1时,方程化为x=,它表示一条直线;

22222

当λ≠1时,方程化为(𝑥-+y=,它表示圆心为(的圆.

𝜆𝜆

2222

-1-1)-1-1|

)

(𝜆|𝜆

,0),半径为

2𝜆1+3𝜆2𝜆1+3𝜆

222

√

2.5 椭圆及其方程

2.5.1椭圆的标准方程

1.若椭圆C:=1的一个焦点坐标为(-1,0),则实数m的值为()

5𝑚

A.9 B.6 C.4 D.1

答案C

解析因为椭圆的焦点(-1,0)在x轴上,

所以a=5,b=m,所以c=a-b=5-m,

22222

即5-m=1,解得m=4.

2.已知椭圆=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为

𝑎𝑏

()

A.=1 B.=1

45363627

C.=1 D.=1

2718189

答案D

𝑎=18,

解析由题意可得{解得{

0+=1,

𝑏

𝑏=9,

故椭圆的方程为=1.

189

𝑥𝑦

𝑥𝑦𝑥𝑦

2222

𝑥𝑦𝑥𝑦

2222

𝑥𝑦

𝑎=9,

-𝑏

3.如果方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是()

4-𝑚𝑚-3

A.(3,4) B.(

C.(3,

) D.(

答案D

解析因为方程=1表示焦点在y轴上的椭圆,所以4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,

4-𝑚𝑚-3

解得4.

4.已知椭圆=1(a>b>0),M为椭圆上一动点,F为椭圆的左焦点,则线段MF的

𝑎𝑏

中点P的轨迹是 ()

𝑥𝑦

,+∞)

,4)

A.圆 B.椭圆 C.线段 D.直线

答案B

解析设椭圆的右焦点为F,

由题意,知|PO|=|MF|,|PF|=|MF|,

211

又|MF|+|MF|=2a,

所以|PO|+|PF|=a>|FO|=c,

故由椭圆的定义,知P点的轨迹是椭圆.

5.已知P为椭圆C上一点,F,F为椭圆的焦点,且|FF|=23,若|PF|与|PF|的等差

121212

√

中项为|FF|,则椭圆C的标准方程为()

A.=1

129

B.=1或=1

129912

𝑥𝑦

𝑥𝑦𝑥𝑦

2222

𝑥𝑦

C.=1

912

D.=1或=1

48454548

答案B

解析由已知2c=|FF|=23,所以c=3.

√√

因为2a=|PF|+|PF|=2|FF|=43,

1212

√

所以a=23,所以b=a-c=9.

√

222

故椭圆C的标准方程是=1或=1.

129912

6.椭圆=1的一个焦点为F,点P在椭圆上,若线段PF的中点M在y轴上,则

123

3233

𝑥𝑦

𝑥𝑦𝑥𝑦

2222

𝑥𝑦𝑥𝑦

2222

点M的纵坐标为()

A. B. C. D.

±±±±

4224

答案D

解析线段PF的中点M在y轴上且O是线段FF的中点,OM为△PFF的中

∵∴

11212

位线,PF⊥x轴,

∴

√√√

∴

点P的横坐标是3或-3,

∵∴

点P在椭圆上,=1,即y=,

1243

√√

9𝑦3

∴±∴±

y=.点M的纵坐标为.

7.已知F,F为椭圆C:+y=1的左、右焦点,点P在椭圆C上,∠FPF=60°,则

1212

𝑥

|PF||PF|=.

答案

解析由椭圆定义可得|PF|+|PF|=4,利用余弦定理可得

|PF|+|PF|-2|PF||PF|cos60°=|FF|,

121212

222

所以(|PF|+|PF|)-3|PF||PF|=|FF|=12,

121212

解得3|PF||PF|=4,即|PF||PF|=.

1212

8.已知椭圆=1上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2,N是MF的中点,O

259

𝑥𝑦

为坐标原点,那么线段ON的长是.

答案4

解析设椭圆的另一个焦点为E,则|MF|+|ME|=10,

又|MF|=2,|ME|=8,又ON为△MEF的中位线,|ON|=|ME|=4.

∵∴∴

9.求满足下列条件的椭圆的标准方程.

(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2);

(2)ca=513,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

∶∶

解(1)由焦距是4可得c=2,

且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=

√

3+(2+2)+

√

3+(2-2)

=8,

所以a=4,所以b=a-c=16-4=12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为

𝑥

222

𝑦

=1.

(2)由题意知,2a=26,即a=13,

又ca=513,所以c=5,

∶∶

所以b=a-c=13-5=144,

22222

因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为=1或

169144169

𝑥𝑦𝑦

222

𝑥

144

=1.

𝑥𝑦25

√

51612

10.已知椭圆M与椭圆N:=1有相同的焦点,且椭圆M过点(-1,

+).

(1)求椭圆M的标准方程;

(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F,F,点P在椭圆M上,且△PFF的面积为1,求

1212

点P的坐标.

解(1)由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0),

设椭圆M的方程为=1(a>b>0),

𝑎𝑏

则{化简并整理得5b+11b-16=0,

𝑎=4,

-𝑏

𝑎5𝑏

𝑥𝑦

+=1,

故b=1或b=-(舍),a=5,

222

故椭圆M的标准方程为+y=1.

(2)由(1)知F(-2,0),F(2,0),设P(x,y),则△PFF的面积为×4×|y|=1,得y=.

12001200

又=1,所以𝑥,x=,

542

+𝑦=

𝑥1515

𝑥

√

√√√√

151151151151

,,,-,-

),(-),(),(-).

22222222

所以点P有4个,它们的坐标分别为(

11.如图,已知F,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,B

𝑎𝑏

在x轴上,△ABF是直角三角形,且|BF|=|FF|,O为坐标原点,若点O到直线AB的

2112

距离为,则椭圆C的方程为()

A.=1 B.=1

16943

𝑥𝑥𝑦

222

𝑥𝑦𝑥𝑦

2222

𝑥𝑦

D.=1 C.+y=1

544

答案B

解析因为△ABF是直角三角形,且|BF|=|FF|,

2112

所以△AFF是等边三角形,

设|FF|=2c,则a=2c,

所以直线AB的方程为=1,

-3𝑐

𝑏

即bx-3cy+3bc=0,

所以点O到直线AB的距离为,

√

又因为a=b+c,

222

所以联立,解得a=4,b=3,

①②③

所以椭圆C的方程为=1.

𝑥𝑦

3𝑏𝑐3

𝑏+9𝑐

𝑥𝑦

①

②

③

12.设定点F(0,-3),F(0,3),动点P满足条件|PF|-a=-|PF|(a>0),则点P的轨迹是

1212

𝑎

()

A.椭圆 B.线段

C.不存在 D.椭圆或线段

答案D

解析由题意得,|PF|-a=-|PF|(a>0),

𝑎

所以|PF|+|PF|=a+≥2·=6,

𝑎𝑎

√𝑎

当且仅当a=时取等号,此时a=3,

𝑎

则|PF|+|PF|≥6,

因为定点F(0,-3),F(0,3),所以|FF|=6,

1212

当|PF|+|PF|=6时,点P的轨迹是线段FF;

1212

当|PF|+|PF|>6时,点P的轨迹是以F,F为焦点的椭圆.

1212

13.(多选)设P是椭圆C:+y=1上任意一点,F,F是椭圆C的左、右焦点,则()

A.|PF|+|PF|=22

√

B.-2<|PF|-|PF|<2

C.1≤|PF|·|PF|≤2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

D.0≤𝑃𝐹≤1

·𝑃𝐹

答案ACD

解析椭圆C:+y=1,可得a=2,b=c=1,P是椭圆C:+y=1上任意一点,F,F是椭

√

圆C的左、右焦点,

所以|PF|+|PF|=22,A正确;

√

𝑥𝑥

𝑥

-2≤|PF|-|PF|≤2,所以B错误;

设P点坐标为(2cosθ,sinθ),

√

则|PF|·|PF|=

√√

(2cos𝜃-1)(2cos𝜃+1)

√√

+sin𝜃·+sin𝜃=

√√

2+cos𝜃-22cos𝜃·2+cos𝜃+22cos𝜃=𝜃)𝜃=2-cos

2222

√√

√

(2+cosθ∈

-8cos

[1,2],所以C正确;

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

因为𝑃𝐹(2cosθ-1,sinθ)=2cos=(2cosθ+1,sinθ)·

√√

222

θ-1+sinθ=cosθ∈[0,1],

·𝑃𝐹

所以D正确.

14.已知两定点M(-1,0),N(1,0),直线l:y=x-3,在l上满足|PM|+|PN|=22的点P的个

√√

数是()

A.0 B.1

C.2 D.0或1或2

答案B

解析由椭圆的定义可知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,故c=1,a=2,b=1,其方

√

程是+y=1,

把y=x-3代入椭圆方程并整理得3x-43x+4=0,

√√

𝑥

∵

Δ=(-43)-4×3×4=0,

√

∴

在l上满足|PM|+|PN|=22的点P有1个.

√

15.已知F,F是椭圆=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AFF=45°,则

1212

𝑥𝑦

△AF

122

F的面积为,此时|AF|=.

答案

解析如图,由=1,

𝑥𝑦

知a=9,b=7,c=2.

222

所以a=3,b=7,c=2.

√√

所以|FF|=22.

√

设|AF|=x,则|AF|=6-x.

因为∠AFF=45°,

所以(6-x)=x+8-42x·.所以x=.

√

所以𝑆×22×.

△𝐴𝐹𝐹

=×=

2222

√

|AF|=6-.

16.已知定点A(0,-2),点B在圆C:x+y-4y-32=0上运动,C为圆心,线段AB的垂直平

分线交BC于点P,则动点P的轨迹E的方程为.

答案=1

𝑦𝑥

1727

√

解析由题意,得|PA|=|PB|,

∴∴

|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=r=6>|AC|=4,点P的轨迹E是以A,C为焦点的椭圆,

其中c=2,a=3,b=5,椭圆方程为=1.

∴∴

√

𝑥𝑦

𝑦𝑥

17.已知F(-c,0),F(c,0)为椭圆=1(a>b>0)的两个焦点,P在椭圆上,且△PFF

1212

𝑎𝑏

的面积为b,求cos∠FPF的值.

解依题意可得

|𝑃𝐹||||𝑃𝐹|=4𝑎,

1212

+|𝑃𝐹+2|𝑃𝐹

{

|𝑃𝐹||-2|𝑃𝐹||𝑃𝐹|cos∠𝐹,

121212

+|𝑃𝐹𝑃𝐹=4𝑐

整理得|PF|·|PF|=.

1+cos∠𝐹𝑃𝐹

√

2𝑏

∵

△PFF的面积为b,

∴

21+cos∠𝐹𝑃𝐹2

×sin∠FPF=b,

√

12𝑏2

√

∴

1+cos∠FPF=2sin∠FPF,

1212

√

又sin∠FPF+cos∠FPF=1,

∵

1212

∴

cos∠FPF=(cos∠FPF=-1舍去).

1212

18.已知x轴上一定点A(1,0),Q为椭圆+y=1上任意一点,求AQ的中点M的轨迹

𝑥

方程.

解设中点M的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x,y),利用中点公式,得{所以

{

𝑥=2𝑥-1,

𝑦=2𝑦.

因为Q(x,y)在椭圆+y=1上,所以=1.将x=2x-1,y=2y代入上式,得

0000

+𝑦

𝑥=

𝑦=

𝑥+1

𝑦

𝑥𝑥

(2𝑥-1)

+(2y)=1.故所求AQ的中点M的轨迹方程是(𝑥-+4y=1.

)

19.如图,椭圆C:=1(a>b>0)经过点M(

𝑎𝑏33

+),且点M到椭圆的两焦点的距离之

和为22.

√

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若R,S是椭圆C上的两个点,线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS交于点

P,O为坐标原点,求证:P,O,M三点共线.

(1)解点M到椭圆的两焦点的距离之和为22,

∵

√

𝑥𝑦41

∴

2a=22,解得a=2.又椭圆C经过点M(=1,解得b=1.

√√

33𝑎𝑏

),+

∴

椭圆C的标准方程为+y=1.

(2)证明线段RS的中垂线l的斜率为,

∵

𝑥

()()

∴

直线RS的斜率为-2,

∴

可设直线RS的方程为y=-2x+m.

联立{得9x-8mx+2m-2=0.

𝑥

𝑦=-2𝑥+𝑚,

+𝑦=1,

设点R(x,y),S(x,y),P(x,y),

112200

∴

x+x=,y+y=-2x+m-2x+m

121212

8𝑚

8𝑚2𝑚

=-2(x+x)+2m=-2·+2m=,

则x=,y=.

𝑦11

𝑥+𝑥4𝑚𝑦+𝑦𝑚

1212

2929

∵∴

𝑥44

,y=x,

∴

点P在直线y=x上,

又点O(0,0),M(x上,

334

)也在直线y=

411

∴

P,O,M三点共线.

2.5.2椭圆的几何性质

1.过椭圆=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()

A.8,6 B.4,3 C.2,3 D.4,23

答案B

解析由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度

√

为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.

2.(多选)已知椭圆=1与椭圆=1有相同的长轴,椭圆=1的短轴长

𝑎𝑏2516𝑎𝑏

2222

+++

与椭圆=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有()

219

𝑦𝑥

𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦

222222

𝑥𝑦

√√

A.a=25,b=16

B.a=9,b=25

C.a=25,b=9或a=9,b=25

2222

D.a=25,b=9

答案ABC

解析椭圆=1的长轴长为10,

2516

𝑥𝑦

椭圆=1的短轴长为6,

219

𝑦𝑥

𝑥𝑦

由题意可知椭圆=1的焦点在x轴上,

𝑎𝑏

即有a=5,b=3.

3.设椭圆C:=1(a>2)的左、右焦点分别为F,F,直线l:y=x+t交椭圆C于点

𝑎4

√√√

35225

𝑥𝑦

A,B,若△FAB的周长的最大值为12,则C的离心率为()

A. B. C. D.

3339

答案B

解析△FAB的周长等于AB+AF+BF=AB+2a-AF+2a-BF=4a+AB-(AF+BF),

1112222

因为AF+BF≥AB,当且仅当A,B,F三点共线时等号成立,

222

所以4a+AB-(AF+BF)≤4a+AB-AB=4a,

即△FAB的周长的最大值为4a,所以4a=12,解得a=3,

由椭圆的方程可得b=4,

所以c=√𝑎-𝑏

=9-4=5,

√

所以椭圆C的离心率为e=.

𝑎3

𝑐5

√

(多选)如图,椭圆与有公共的左顶点和左焦点,且椭圆的右顶点为椭圆的中

ⅠⅡⅡⅠ

心.设椭圆与的半长轴长分别为a和a,半焦距分别为c和c,离心率分别为

ⅠⅡ

1212

e,e,则下列结论正确的是()

A.a+c>2(a+c) B.a-c=a-c

11221122

C.ac>ac D.e=

12211

答案ABD

解析由题图知,a=2a,c>2c,

1212

𝑒+1

∴

a+c>2(a+c),2ac<2ac,即acc,故A正确,C不正确;

112212211221

∵ⅠⅡⅡⅠ

椭圆与有公共的左顶点和左焦点,且椭圆的右顶点为椭圆的中心,

∴

a-c=a-c,故B正确;

1122

由图知,c=a+c,

122

∴

e=,故D正确.

𝑎2𝑎2

1222

𝑐𝑎+𝑐𝑒+1

5.已知F,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,点P为C上一点,O为坐标原

𝑎𝑏

点,△POF为正三角形,则C的离心率为.

答案3-1

√

解析如图,因为△POF为正三角形,

所以|OF|=|OP|=|OF|,

所以△FPF是直角三角形.

𝑥𝑦

因为∠PFF=60°,|FF|=2c,所以|PF|=c.

21212

所以|PF|=|FF|-|PF|=4c-c=3c,

1122

222222

所以|PF|=3c.

√

因为|PF|+|PF|=2a,所以c+3c=2a,

√

即

𝑎3+1

==3-1,所以e=3-1.

𝑐2

√

√√

=1的离心率e=,则k的值为. 6.若椭圆

29𝑘+8

1𝑥𝑦

答案4或-

解析(1)若焦点在x轴上,即k+8>9时,a=k+8,b=9,e=,解得k=4.

𝑎𝑎𝑘+84

===

(2)若焦点在y轴上,

即08<9时,a=9,b=k+8,

e=,解得k=-.

𝑎𝑎944

===

222

𝑐𝑎𝑘-11

222

-𝑏

𝑐𝑎1-𝑘15

222

-𝑏

综上所述,k=4或k=-.

7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学

家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴

长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为

20π,则椭圆C的标准方程为.

答案=1

100

𝑦𝑥

解析设椭圆C的方程为=1(a>b>0),

𝑎𝑏

𝑦𝑥

椭圆C的面积为S=πab=20π,

又e=1-,解得a=,b=12,

√

𝑏4100

𝑎53

𝑦𝑥

所以椭圆C的方程为=1.

100

8.已知椭圆C:4x+9y=36.求椭圆的长轴长,焦点坐标和离心率.

解椭圆C:4x+9y=36的标准方程为=1,

𝑥𝑦

所以a=3,b=2,c=√𝑎-𝑏

=9-4=5,所以椭圆的长轴长2a=6,焦点坐标

√

(-5,0),(5,0),离心率e=.

√√

𝑎3

9.(1)求与椭圆=1有相同的焦点,且离心率为的椭圆的标准方程;

954

𝑥𝑦5

𝑐5

√

(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴

上的椭圆的标准方程.

解(1)c=9-4=5,

∵

√

∴

所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).

√√

设所求椭圆的方程为=1(a>b>0).

𝑎𝑏

𝑥𝑦

∵∴

e=,c=5,a=5,b=a-c=20,

𝑎5

𝑐5

√

222

√

𝑥𝑦

∴

所求椭圆的方程为=1.

2520

(2)椭圆的焦点在x轴上,

∵

∴

设它的标准方程为=1(a>b>0),

𝑎𝑏

∵∴∴

2c=8,c=4,又a=6,b=a-c=20.

222

∴

椭圆的方程为=1.

3620

10.已知椭圆+y=1,F,F分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则

|𝑃𝐹||𝑃𝐹|

的取值范围为()

𝑥𝑦

𝑥

A.[1,2] B.[2,3]

C.[2,4] D.[1,4]

√

答案D

√√

解析根据椭圆的定义|PF|+|PF|=2a=4,

设m=|PF|,n=|PF|,

则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],

即m,n∈[2-3,2+3],则∈[1,4].

√√

|𝑃𝐹||𝑃𝐹|

+=+==

𝑚𝑛𝑚(4-𝑚)+4

-(𝑚-2)

111144

11.(2021全国乙,理11)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一

𝑎𝑏

点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是()

A.[

,1) B.[,1)

C.(0,

√

] D.(0,]

√

𝑥𝑦

答案C

解析由题意,点B(0,b).

设P(x,y),则=1,得𝑥=a

𝑎𝑏𝑏

222

+(1-),

222

𝑥𝑦𝑦

000

∴

|PB|=𝑥+(y-b)=a-2by+b=--2by+a+b,y∈[-b,b].

𝑏

222222

𝑦𝑐

222

000

0000

(1-)+𝑦𝑦

𝑏

𝑎

由题意知当y=-b时|PB|最大,

∴

-≤-b,得b≥c,即a-c≥c,

𝑐

22222

∴

离心率e=,即e∈(0,

𝑎22

≤].

𝑐22

√√

𝑥𝑦

12.(多选)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,点Q在圆

𝑎𝑏

E:(x+3)+(y-4)=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为

25-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确的是()

√

A.椭圆C的焦距为2

B.椭圆C的短轴长为3

√

C.|PQ|+|PF|的最小值为25

√

D.过点F的圆E的切线斜率为

答案AD

解析圆E的圆心为E(-3,4),半径长为2,

由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则2a=4,可得a=2,

-4±7

√

设椭圆的左焦点为点F,由椭圆的定义可得|PF|+|PF|=2a=4,|PF|=4-|PF|.

111

∴

|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF|)=|PF|+|PQ|-4≥|PF|+|PE|-2-4≥|EF|-6=25-6,

1111

√

当且仅当P,Q,E,F四点共线,且当P,Q分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点

时,等号成立,则|EF|=

√√

(-3+𝑐)(𝑐-3)

222

+(4-0)=+16=25.

√

∵

02,解得c=1,

∴

椭圆C的焦距为2c=2,A选项正确;

椭圆C的短轴长为2b=2√𝑎-𝑐=23,B选项错误;

√

|PQ|+|PF|≥|PE|+|PF|-2≥|EF|-2=-2=42-2,

√

(-3-1)

+(4-0)

√

当且仅当P,Q,E,F四点共线,且当P,Q分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点时,

等号成立,C选项错误;

若所求切线的斜率不存在,则切线方程为x=1,圆心E到该直线的距离为

|-3-1|=4>2,则直线x=1与圆E相离,不合题意;若所求切线的斜率存在,可设切线的方

程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,由题意可得=2,整理得3k+8k+3=0,解得

√√

k=,D选项正确.

-4±7

√

|-3𝑘-4-𝑘|

𝑘+1𝑘+1

4|𝑘+1|

𝑥𝑦𝑏

13.若椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,线段FF被点(

𝑎𝑏2

1212

,0)分成5

∶

3的两段,则此椭圆的离心率为()

A. B.C. D.

171755

16417425

√√

答案D

解析依题意得,即c=2b.a-b=c,

𝑐+

𝑏

𝑐-

∵

222

𝑐25

√

. a=

5𝑎

∴

√𝑏

+𝑐=5b.e==

√

∴

14.已知F是椭圆C:=1(a>b>0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为

𝑎𝑏

椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP|为半径

的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为.

答案

√

3-1

𝑥𝑦

解析如图,|AB|=,a-c≤|PF|≤a+c,由题意可得,a-c≤≤a+c,不等式

√𝑎√𝑎

2222

+𝑏+𝑏

左边恒成立,则≤a+c,两边平方整理得2e+2e-1≥0,

√𝑎

+𝑏

解得e≤(舍)或e≥.

-1-3

√

3-1

√

3-1

. 椭圆C的离心率的最小值为

∴

15.(1)计算:

𝑥𝑦

𝑥𝑦4

493

①

若A,A是椭圆=1长轴的两个端点,P(0,2),则𝑘=;

+·𝑘

②

若A,A是椭圆=1长轴的两个端点,P(-5,

+),则𝑘·

𝑘

𝑃𝐴

𝑃𝐴𝑃𝐴

√

𝑃𝐴

③

若A,A是椭圆=1长轴的两个端点,P(1,-

943

+),则𝑘·

𝑘

𝑃𝐴

𝑥𝑦42

√

𝑃𝐴

(2)观察,由此可得到:若A,A是椭圆=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为

①②③

𝑎𝑏

椭圆上任意一点,则𝑘=?并证明你的结论.

𝑃𝐴𝑃𝐴

·𝑘

解(1)由椭圆方程可得A(-3,0),A(3,0),

①

又P(0,2),𝑘=-.

∴

𝑃𝐴𝑃𝐴

·𝑘=×

0+30-39

2-02-04

𝑥𝑦

②

由椭圆方程可得A(-3,0),A(3,0),

又P(-5,

√

∴

𝑘=-.

𝑃𝐴𝑃𝐴

·𝑘=×

3-95

-0-0

√

-3-5

√

③

由椭圆方程可得A(-3,0),A(3,0),

又P(1,-

√

--0-

4242

√√

∴

𝑘=-.

𝑃𝐴𝑃𝐴

·𝑘=×

1+391-3

𝑥𝑦

(2)若A,A是椭圆=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则

𝑎𝑏

𝑘·𝑘

𝑃𝐴𝑃𝐴

=-.

𝑎

证明如下:设P(x,y).

由题意𝑘,

𝑃𝐴𝑃𝐴

=,𝑘=

𝑥+𝑎𝑥

-𝑎

000

则𝑘.又P为椭圆上任意一点,满足=1,得

𝑃𝐴𝑃𝐴

·𝑘=·=+

𝑥+𝑎𝑥𝑥𝑎𝑏

-𝑎-𝑎

222

𝑏

𝑦𝑦

-0-0

𝑦𝑦𝑦𝑥𝑦

-0-0

222

𝑦(1-),

𝑎

𝑥

𝑏(1-)

𝑎

-𝑎

𝑥𝑎

𝑥

代入可得𝑘=-,得证.

𝑃𝐴𝑃𝐴

·𝑘=

𝑥𝑦

𝑏

16.如图,已知椭圆=1(a>b>0),F,F分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶

𝑎𝑏

点,直线AF交椭圆于另一点B.

(1)若∠FAB=90°,求椭圆的离心率;

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(2)若椭圆的焦距为2,且𝐴𝐹=2𝐹,求椭圆的方程.

𝐵

解(1)由∠FAB=90°及椭圆的对称性知b=c,

则e=.

𝑎𝑎𝑏+𝑐2

===

√√

222

𝑐𝑐𝑐2

√

(2)由已知a-b=1,F(1,0),A(0,b),设B(x,y),

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

则𝐴𝐹=(1,-b),𝐹=(x-1,y),

𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

由𝐴𝐹=2𝐹,即(1,-b)=2(x-1,y),

𝐵

解得x=,y=-,则=1,

224𝑎4𝑏

得a=3,因此b=2,椭圆的方程为=1.

3𝑏9𝑏

𝑥𝑦

17.已知F,F是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠FPF=60°.

1212

(1)求椭圆的离心率的取值范围;

(2)求证:△FPF的面积只与椭圆的短轴长有关.

(1)解不妨设椭圆方程为=1(a>b>0),

𝑎𝑏

由余弦定理得

cos60°==

|𝑃𝐹|||

1212

222

+|𝑃𝐹𝐹

-|𝐹

2|𝑃𝐹

|·|𝑃𝐹|

𝑥𝑦

(|𝑃𝐹|+|𝑃𝐹|)|·|𝑃𝐹|-|𝐹|

121212

-2|𝑃𝐹

𝐹

2|𝑃𝐹

|·|𝑃𝐹|

所以|PF|·|PF|=4a-2|PF|·|PF|-4c,

1212

所以3|PF|·|PF|=4b,

所以|PF|·|PF|=.

4𝑏

|𝑃𝐹|+|𝑃𝐹|

𝑐11

又因为|PF|·|PF|≤(=a,

)

所以3a≥4(a-c),所以,所以e≥.

222

𝑎22

≥

又因为椭圆中01,

所以所求椭圆的离心率的取值范围是[

,1).

(2)证明由(1)可知|PF|·|PF|=b,

𝑆=×=

△𝐹𝑃𝐹

22323

|PF|·|PF|sin 60°=b×b.

所以△FPF的面积只与椭圆的短轴长有关.

11433

√√

18.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦为的椭圆,如图

所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)

距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴

长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则()

A.a-c=m+R B.a+c=n+R

C.2a=m+n D.b=(𝑚+𝑅)(𝑛+𝑅)

答案ABD

√

解析椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b,半焦距为c,则由题意可知a-c-R=m,a+c-R=n,

可得a-c=m+R,所以A正确;a+c=R+n,所以B正确;可得a=+R,c=,所以C不

正确;b=a-c=(=(m+R)(n+R),则b=(𝑚+𝑅)(𝑛+𝑅),所以D正

确.

19.已知椭圆=1的坐标原点为点O,有长轴上一端点坐标为(2,0),离心率e=,

𝑥𝑦3

√

222

𝑚+𝑛𝑛-𝑚

𝑚+𝑛

+𝑅)−()

𝑎-𝑚

√

𝑎𝑏2

过椭圆右焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于A,B两点.

(1)求椭圆的方程;

(2)求三角形OAB的面积.

解(1)由题意可知焦点在x轴上,则a=2,

e=,c=3,由a=b+c,解得b=1,

𝑐3

√

2222

𝑎2

√

∴

椭圆方程为+y=1.

𝑥

(2)由题意可知右焦点(3,0),则直线方程为y=(x-3),即y=x-1,设

√√

A(x,y),B(x,y),

1122

将直线方程代入椭圆方程整理得7x-83x=0,

√

由根与系数的关系x+x=,x·x=0,

1212

√

由弦长公式|AB|=+,

√1

18316

377

×()=

√

原点O到直线的距离为d=,

|1|

√

1+(

√

)

∴

△OAB的面积S=×d×|AB|=.

1131643

√√

22277

××=

∴

△OAB的面积S=.

√

2.6 双曲线及其方程

2.6.1双曲线的标准方程

1.若一双曲线与椭圆4x+y=64有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲

线的方程为()

A.y-3x=36 B.x-3y=36

2222

C.3y-x=36 D.3x-y=36

2222

答案A

解析椭圆的标准方程为=1,焦点为(0,43),离心率为,则双曲线的焦点在

64162

√

y轴上,c=43,e=,从而a=6,b=12,故所求双曲线的方程为y-3x=36.

√

222

√

𝑦𝑥3

√

2.(多选)当α∈(sin α+ycos α=1表示的轨迹可以是()

A.两条直线 B.圆

C.椭圆 D.双曲线

答案ACD

解析当α∈(sinα+ycosα=1表示

42422

,,1],cosα∈(-,

π3π222

π3π

)时,方程x

)时,sinα∈(),可得方程x

√√√

的曲线可以是椭圆(sinα>0,cosα>0).也可以是双曲线(sinα>0,cosα<0),也可能是两条

直线(sinα=1,cosα=0).

3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,点P在双曲线的右支上,

𝑎𝑏

−

若|PF|-|PF|=b,且双曲线的焦距为25,则该双曲线的方程为()

√

A.-y=1 B.=1

432

C.x-=1 D.=1

423

答案C

|𝑃𝐹|-|𝑃𝐹|=2𝑎=𝑏,

𝑎=1,

222

解析由题意得{解得{

𝑐=𝑎+𝑏

𝑏=4,

2𝑐=25,

√

则该双曲线的方程为x-=1.

4.已知双曲线=1上一点P到左焦点F的距离为10,则PF的中点N到坐标

−

𝑥𝑦

𝑦

222

𝑦𝑥𝑦

𝑥𝑦

𝑥𝑥𝑦

222

−

原点O的距离为()

A.3或7 B.6或14

C.3 D.7

答案A

解析设右焦点为F,连接PF,ON(图略),ON是△PFF的中位线,|ON|=|PF|,

22122

∴

∵

||PF|-|PF||=4,|PF|=10,

121

∴∴

|PF|=14或6,|ON|=|PF|=7或3.

5.动圆与圆x+y=1和x+y-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是()

2222

A.双曲线的一支 B.圆

C.椭圆 D.双曲线

答案A

解析设动圆的圆心为M,半径为r,圆x+y=1与x+y-8x+12=0的圆心分别为O和

2222

O,半径分别为1和2,

由两圆外切的充要条件,得|MO|=r+1,|MO|=r+2.

∴

|MO|-|MO|=1,又|OO|=4,

2112

∴

动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O).

6.已知双曲线=1(m>0,n>0)和椭圆=1有相同的焦点,则的最小值

𝑚5𝑛𝑚𝑛2

−++

为()

A.2 C.4 D.5 B.3

答案B

解析由题意,双曲线=1(m>0,n>0)和椭圆=1有相同的焦点,

𝑚𝑛52

−+

m+n=5-2=3,

4114114𝑛𝑚14𝑛𝑚4𝑛𝑚

𝑥𝑦𝑥𝑦

2222

𝑥𝑦𝑥𝑦41

2222

∴

𝑚𝑛3𝑛3𝑚𝑚𝑛3𝑚𝑛𝑚𝑛

+=++=

(m+n)=5+≥5+2=3,当且仅当,

√

即m=2n时等号成立,故的最小值为3.

𝑚𝑛

7.平面上两点F,F满足|FF|=4,设d为实数,令D表示平面上满足||PF|-|PF||=d

121212

的所有P点组成的图形,又令C为平面上以F为圆心、6为半径的圆.下列结论中,

其中正确的有(写出所有正确结论的编号).

①

当d=0时,D为直线;

②

当d=1时,D为双曲线;

③

当d=2时,D与圆C交于两点;

④

当d=4时,D与圆C交于四点;

⑤

当d>4时,D不存在.

答案

①②⑤

解析当d=0时,D为线段FF的垂直平分线,正确;

①∴①

②∵∴②

当d=1时,||PF|-|PF||=d<|FF|=4,由双曲线的定义知D为双曲线,正

1212

确;

③∵

当d=2时,D是双曲线,且c=2,a=1,C为平面上以F为圆心、6为半径的圆,

∴∴③

D与圆C有4个交点,错误;

④∴∴④

当d=4时,D是两条射线,D与圆C有2个交点,错误;

⑤∴∴⑤

当d>4时,由双曲线的定义知,不表示任何图形,D不存在,正确.

8.焦点在x轴上的双曲线经过点P(42,-3),且Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,则此

√

双曲线的标准方程为.

答案=1

169

−

𝑥𝑦

解析设焦点F(-c,0),F(c,0)(c>0),

则由QF⊥QF,得𝑘=-1,

𝑄𝐹𝑄𝐹

·𝑘

∴∴

𝑐

-𝑐

=-1,c=5.

设双曲线方程为=1(a>0,b>0),

𝑎𝑏

−

𝑥𝑦

∵∴

双曲线过点(42,-3),=1,

√

𝑎𝑏

−

又c=a+b=25,a=16,b=9,

∵∴

22222

329

∴

双曲线的标准方程为=1.

169

−

9.已知与双曲线=1共焦点的双曲线过点P(-

1629

−

程.

解已知双曲线=1,

𝑥𝑦

√

5𝑥𝑦

,-6),求该双曲线的标准方

√

𝑥𝑦

169

−

𝑥𝑦

则c=16+9=25,c=5.设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0).依题意

∴

𝑎𝑏

−

知b=25-a,

故所求双曲线方程可写为=1.

𝑎25-𝑎

−

𝑥𝑦

∵

点P(-

√

,-6)在所求双曲线上,

√

∴

√

()

𝑎25-𝑎

−

=1,

125

(-6)

√

化简得4a-129a+125=0,解得a=1或a=.

4222

当a=时,a>c,不合题意,舍去,

222

125

∴

a=1,b=24,

∴

所求双曲线的标准方程为x-=1.

10.

𝑦

如图所示,已知定圆F:(x+5)+y=1,定圆F:(x-5)+y=4,动圆M与定圆F,F都外

1212

22222

切,求动圆圆心M的轨迹方程.

解圆F:(x+5)+y=1,圆心F(-5,0),半径r=1;

111

圆F:(x-5)+y=4,圆心F(5,0),半径r=4.

222

设动圆M的半径为R,

则有|MF|=R+1,|MF|=R+4,

∴

|MF|-|MF|=3<10=|FF|.

2112

∴

点M的轨迹是以F,F为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,于是b=c-a=.

222

∴

动圆圆心M的轨迹方程为=1(𝑥≤-

𝑥𝑦

𝑥𝑦3

991

391

−).

11.(多选)已知方程=1表示曲线C,则下列判断正确的是()

4-𝑡𝑡-1

A.当14时,曲线C表示圆

B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线

C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1

D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4

答案BCD

解析由圆的定义可知,当4-t=t-1时,得t=,此时方程=1表示圆,故A选项错误;

24-𝑡𝑡-1

由双曲线的定义可知,当(4-t)(t-1)<0时,即t<1或t>4时,方程=1表示双

4-𝑡𝑡-1

曲线,故B选项正确;

𝑥𝑦

5𝑥𝑦

由椭圆的定义可知,当椭圆焦点在x轴上时,满足4-t>t-1>0,解得1,故C选

项正确;

当曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则{解得t>4,故D选项正确.

综上所述,正确的选项为BCD.

12.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为21,则称此双曲线存在

∶

“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是()

A.x-=1 B.x-=1

C.x-=1 D.x-=1

1524

答案A

解析若双曲线的方程为x-=1,

则a=1,c=5,不妨设|PF|=2|PF|,则由双曲线的定义可得

√

𝑦

𝑦𝑦

4-𝑡<0,

𝑡-1>0,

𝑦𝑦

|PF|-|PF|=|PF|=2a=2,即(x-5)+y=4,与双曲线方程4x-y=4联立可得

122

√

2222

5x-25x-3=0,其判别式Δ=20+60=80>0,故存在“L点”.

√

13.已知定点F(-2,0),F(2,0),N是圆O:x+y=1上任意一点,F关于N的对称点

121

为M,线段FM的中垂线与直线FM相交于点P,则点P的轨迹是()

A.椭圆 B.双曲线

C.抛物线 D.圆

答案B

解析连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF的中点,

∴

|MF|=2.

∵

F关于N的对称点为M,线段FM的中垂线与直线FM相交于点P,

112

由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF|,

∴

||PF|-|PF||=||PF|-|PM||=|MF|=2<|FF|.由双曲线的定义可得点P的轨迹

212212

是以F,F为焦点的双曲线.

14.已知F是双曲线C:x-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐

标是(1,3),则△APF的面积为.

答案

解析因为F是双曲线C:x-=1的右焦点,

所以F(2,0).

因为PF⊥x轴,所以可设P的坐标为(2,y).

因为P是C上一点,所以4-=1,解得y=3,

所以P(2,3),|PF|=3.

又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1,

所以S=×|PF|×1=×3×1=.

△

APF

222

15.数学家华罗庚曾说过,“数缺形时少直观,形少数时难入微”,事实上,有很多代数问

题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑

√

(𝑥-𝑎)

+(𝑦-𝑏)

转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程

|-8𝑥+20|=4的解为.

√𝑥

+8𝑥+20−

√𝑥

答案

√

113

𝑦

𝑃

𝑦

解析|-8𝑥+20|=4,

√𝑥

+8𝑥+20−

√𝑥

即||=4.

√√

(𝑥+4)(𝑥-4)

+2−+2

其几何意义是动点(x,2)到定点(-4,0)和(4,0)的距离之差的绝对值为4,该曲线

∴

为双曲线,

∴

2a=4,a=2,c=4,b=12,

∴∵∴

双曲线的标准方程为=1.点(x,2)在该双曲线上,=1,解得

412412

−−

x=.

√

𝑥𝑦𝑥4

222

16.在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点

P的双曲线方程.

解因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,

所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.

由3k+4k+5k=48,得k=4.

所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.

以MN所在直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.

设所求双曲线方程为=1(a>0,b>0).

𝑎𝑏

−

由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,a=4.

由|MN|=20,得2c=20,c=10,c=100,

所以b=c-a=100-4=96,

222

故所求方程为=1.

496

−

17.已知双曲线=1的左、右焦点分别为F,F.

164

−

𝑥𝑦

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

(1)若点M在双曲线上,且𝑀𝐹=0,求M点到x轴的距离;

·𝑀𝐹

(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(32,2),求双曲线C的方程.

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

解(1)如图所示,不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h,𝑀𝐹=0,

·𝑀𝐹

则MF⊥MF,

设|MF|=m,|MF|=n,由双曲线定义,知m-n=2a=8,

又m+n=(2c)=80,

222

由得m·n=8,

①②

1125

√

. mn=4=|FF|·h,h=

522

𝑥𝑦

①

②

∴∴

(2)设所求双曲线C的方程为=1(-4<λ<16),由于双曲线C过点(32,2),

16-𝜆4+𝜆

−

√

∴

16-𝜆4+𝜆

−

=1,解得λ=4或λ=-14(舍去),

∴

所求双曲线C的方程为=1.

128

−

𝑥𝑦

184

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

18.设F,F分别是双曲线x-=1的左、右焦点.若P在双曲线上,且𝑃𝐹=0,则

·𝑃𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

|𝑃𝐹|= ()

+𝑃𝐹

A.25 B.5 C.210 D.10

√√

答案C

解析由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F(-10,0),F(10,0).设点P(x,y),则

√√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑃𝐹

=(-10-x,-y),𝑃𝐹=(10-x,-y).

√√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∵

𝑃𝐹=0,

·𝑃𝐹

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

∴∴

x+y-10=0,即x+y=10.|𝑃𝐹|=

2222

121212

+𝑃𝐹+|𝑃𝐹+2𝑃𝐹

√

|𝑃𝐹||·𝑃𝐹

=√2(𝑥

+𝑦

)+20=210.

√

19.设以O为中心,F为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示.已知△OFQ的面

积为26,且𝑂𝐹=m,其中O为坐标原点.

√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

·𝐹𝑄

√√

𝑦

(1)设646,求𝑂𝐹与𝐹𝑄的夹角θ的正切值的取值范围;

√√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|取得最小值时,求此双曲线的标准方程. (2)设|𝑂𝐹|=c,m=(-1)c,当|𝑂𝑄

解(1)因为{

|𝑂𝐹|·|𝐹𝑄|sin(π-𝜃)=26,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√

|𝑂𝐹|·|𝐹𝑄|cos𝜃=𝑚,

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

√

.又646, 所以tanθ=

√√

𝑚

所以1<tanθ<4,即tanθ的取值范围为(1,4).

(2)设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),Q(x,y),则𝐹𝑄=(x-c,y),

𝑎𝑏

−

1111

⃗⃗⃗⃗⃗

|·所以S=|y|=26,

△

OFQ1

|𝑂𝐹

√

𝑥𝑦

则y=.

√

𝑐

√√

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

|=又𝑂𝐹=m,即(c,0)·(x-c,y)=(-1)c,解得x=c,所以|𝑂𝑄

√𝑥

·𝐹𝑄+𝑦=

111

√

𝑐+≥12=23,

√√

8𝑐

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|最小. 当且仅当c=4时,取等号,|𝑂𝑄

这时Q的坐标为(6,6)或(6,-6).

√√√√

𝑎=4,

因为{所以{

𝑏=12,

𝑎+𝑏=16,

=1,

𝑎𝑏

于是所求双曲线的标准方程为=1.

𝑥𝑦

412

396

−

2.6.2双曲线的几何性质

1.若双曲线x-=1的一条渐近线的斜率是-2,则实数k的值为()

𝑘

A.4 B.

C.-4 D.-

答案A

解析双曲线x-=1的一条渐近线的斜率是-2,

𝑘

可得𝑘=2,解得k=4.

√

2.双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为50°,则C的离心率为

𝑎𝑏

−

()

A.2sin 40° B.2cos 40°

C. D.

sin50°cos50°

答案D

解析双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=x,由双曲线的一条渐近线

𝑎𝑏𝑎

−

的倾斜角为50°,得=tan50°=,则=e-1=,

𝑎cos50°𝑎𝑎cos50°

222

𝑏sin50°𝑏𝑐sin50°

2222

-𝑎

𝑥𝑦𝑏

𝑥𝑦

𝑦

得e=1+,e=.

cos50°cos50°cos50°

∴

3.渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()

A. B.1

C.2 D.2

√

答案C

解析根据渐近线方程为xy=0的双曲线,可得a=b,所以c=2a.则该双曲线的离心

√

率为e=

=2.

√

𝑎

𝑐

√

sin50°11

4.(多选)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)与直线y=kx交于A,B两点,点P(x,y)为C

𝑎𝑏

−

上任意一点,且直线PA,PB的斜率分别为k,k,且k·k=,则下列结论正确的是

PAPBPAPB

()

A.双曲线的渐近线方程为y=x

B.双曲线的渐近线方程为y=x

C.双曲线的离心率为

√

𝑥𝑦

D.双曲线的离心率为

答案AC

解析设点A(x,y),B(-x,-y),有=1.

𝑎𝑏

−

又=1,两式相减得,

∵

𝑎𝑏𝑎𝑏

2222

−=

即.

𝑦𝑏

-𝑦

2222

𝑥𝑦𝑥𝑦

0000

-𝑥-𝑦

𝑥𝑦

𝑥𝑎

-𝑥

又k·k=,,,双曲线的渐近线方程为

∵∴∴∴

PAPB

(𝑥(𝑥

(𝑦(𝑦

-𝑦)

·===

-𝑥)

+𝑦)9𝑏9𝑏3

4𝑎4𝑎2+𝑥)

y=x,故选项A正确;

又=e-1=,e=,故选项C正确.

∵∴

𝑎𝑎42

𝑏𝑐913

222

-𝑎

𝑥𝑦𝑦𝑥

2222

√

5.我们把方程分别为=1和=1的双曲线称为共轭双曲线,则共轭双曲线

𝑎𝑏𝑏𝑎

2222

−−

有相同的()

A.离心率 B.渐近线

C.焦点 D.顶点

答案B

解析共轭双曲线=1和=1的c=,设a>0,b>0,

𝑎𝑏𝑏𝑎

2222

−−+𝑏

√𝑎

可得它们的焦点分别为(c,0),(0,c),

±±

渐近线方程均为y=x,离心率分别为和,

𝑎𝑎𝑏

它们的顶点分别为(a,0),(0,b).

±±

6.(2021全国乙,理13)已知双曲线C:-y=1(m>0)的一条渐近线为3x+my=0,则C

𝑚

√

的焦距为.

答案4

解析由双曲线方程可知其渐近线方程为y=0,即y=x,得-=-,解得m=3.

可得C的焦距为2𝑚+1=4.

√

7.双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F,F,以坐标原点O为圆心,以c为

𝑎𝑏

−

半径作圆A,圆A与双曲线C的一个交点为P,若三角形FPF的面积为a,则C的离

心率为.

答案2

√

解析不妨设P为右支上一点,设|PF|=m,|PF|=n,由双曲线的定义可得m-n=2a,

𝑥𝑦

𝑥131

√√√

𝑥

𝑎

𝑐𝑐

𝑥𝑦𝑦𝑥

2222

±±

𝑚𝑚𝑚𝑚

√

由题意可得△PFF为直角三角形,且∠FPF=90°,可得m+n=4c,且mn=a,

1212

2222

由(m-n)=m+n-2mn=4c-4a=4a,即为c=2a,可得e=

222222

√

𝑎

=2.

√

8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;

(2)渐近线方程为2x3y=0,且两顶点间的距离是6.

解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.

𝑎

由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有

b=c-a=6-3=27.

22222

由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为=1或

9279

−−

𝑥

𝑥𝑦𝑦

222

=1.

(2)设双曲线方程为4x-9y=λ(λ≠0),

即=1(λ≠0),由题意得a=3.

𝑥𝑦

𝜆𝜆

−

𝜆𝑥𝑦

449

当λ>0时,=9,λ=36,双曲线方程为=1;

−

-𝜆

𝑦𝑥𝑥

222

=1.故所求双曲线的标准方程为当λ<0时,=9,λ=-81,双曲线方程为

999

−−

𝑦𝑦𝑥

222

=1或=1.

−

𝑦𝑥

9.过双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点

𝑎𝑏

−

P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.

解如图所示,与渐近线平行的直线l的斜率为,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的

𝑎

方程为y=(x-c).

𝑎

因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得=1,化简得y=-3b或

𝑎𝑏

−

√

y=3b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-3b),代入直线方程得

√√

-3b=(2a-c),化简可得离心率e==2+3.

√√

𝑎𝑎

10.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若

M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()

𝑏𝑐

4𝑎𝑦

𝑏

A.3 B.2

C.3 D.2

√√

答案B

解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为=1(a>b>0),=1(m>0,n>0),因

𝑎𝑏𝑚𝑛

2222

+−

为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为

e=,e=,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以=2.

𝑎𝑚𝑒𝑚

𝑥𝑦𝑥𝑦

2222

𝑐𝑐𝑒𝑎

𝑐

𝑚

𝑐

𝑎

11.(2019全国,理10)双曲线C:=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O

Ⅲ

−

3232

√√

A.B.

𝑥𝑦

为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为()

C.22 D.32

√√

答案A

解析由已知可得a=2,b=2,则c=

√

√𝑎

+𝑏=6,

√

∴∵∴

F(6,0).|PO|=|PF|,x=.

√

又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=x上,

√

∴

y=.

222

×=

11332

√√√

263

√√

2224

∴

S=|OF|·|y|=.故选A.

△

PFOP

×6×=

√

12.(多选)已知双曲线C过点(3,2)且渐近线方程为y=x,则下列结论正确的是

√

()

A.C的方程为-y=1

B.C的离心率为3

√

C.曲线y=e-1经过C的一个焦点

x-2

𝑥

D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点

√

答案AC

解析若焦点在x轴上,可设双曲线C的方程为=1,根据条件可知,所以方

𝑎𝑏𝑎3

−=

𝑥𝑦

𝑥𝑦𝑏3

√

程可化为=1,将点(3,2)代入得b=1,所以a=3,所以双曲线C的方程为

3𝑏𝑏

−

√

𝑥𝑦𝑥𝑎3

222

-y=1;若焦点在y轴上,可设双曲线C的方程为=1,根据条件可知,所

𝑎𝑏𝑏33

−=

𝑦𝑥𝑥

222

√

以方程可化为=1,将点(3,2)代入得a=-1(舍去).综上C的方程为-y=1,故

𝑎3𝑎3

−

√

A正确;

离心率e=,故B错误;

𝑎𝑎33

===

√

𝑥

𝑐𝑎+𝑏3+123

√

双曲线C的焦点为(2,0),(-2,0),将x=2代入得y=e-1=0,所以C正确;

联立{整理得y-22y+2=0,则Δ=8-8=0,故只有一个公共点,故D错

√

𝑥-2𝑦-1=0,

√

误.

13.设双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过F的直线分别交双曲

𝑎𝑏

−

121

线的左、右两支于M,N.若以MN为直径的圆经过右焦点F,且|MF|=|NF|,则双曲

222

线的离心率为()

A.6 B.5

√

C.3 D.2

√√

答案C

解析若以MN为直径的圆经过右焦点F,

则𝑀𝐹=0,又|MF|=|NF|,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑁𝐹

可得△MNF为等腰直角三角形,

设|MF|=|NF|=m,则|MN|=2m,

√

由|MF|-|MF|=2a,|NF|-|NF|=2a,

2112

两式相加可得|NF|-|MF|=|MN|=4a,

即有m=22a.

√

过F作MN的垂线交于点H,则|FH|=2a.

√

𝑥𝑦

-𝑦

=1,

在直角三角形HFF中可得4c=4a+(2a+22a-2a),

222

√

化为c=3a,即e=

𝑎

=3.

√

14.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,左焦点为F,点Q(0,3c)(c为半

𝑥𝑦

𝑎𝑏

𝑐

−

√

焦距),P是双曲线C的右支上的动点,且|PF|+|PQ|的最小值为6,则双曲线C的方程

为.

答案x-=1

解析设双曲线右焦点为F,则|PF|-|PF|=2a,所以|PF|+|PQ|=2a+|PF|+|PQ|,

21212

而|PF|+|PQ|的最小值为|QF|==2c,

√

𝑐+(3𝑐)

√

所以|PF|+|PQ|的最小值为2a+2c=6,

又=2,解得a=1,c=2,于是b=3,故双曲线方程为x-=1.

𝑎3

15.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,过F的直线与C

𝑎𝑏

−

121

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

112

𝐴=·𝐴𝐵,𝐹𝐵𝐹𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,则双曲线C的渐近线方的两条渐近线分别交于A,B两点,若𝐹

程为.

答案y=3x

√

𝑥𝑦

𝑐𝑦

𝑦

解析如图,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

112

𝐴=·𝐹𝐴𝐵,𝐹𝐵𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

=0,OA为Rt△FFB的中位线,OA⊥FB. 𝐹

∴∴∵

121

又OA所在直线斜率为-,

∵

𝑎

𝑏

∴

FB所在直线方程为y=(x+c),

𝑏

联立{

𝑦=

𝑏

(𝑥+𝑐),

𝑦=𝑥,

𝑎

𝑏

𝑎

解得B(

𝑏𝑏

2222

-𝑎-𝑎

则|OB|==c,

(𝑎)(𝑎)

2222

-𝑏-𝑏

整理得b=3a,

∴

=3,

√

𝑎

𝑏

𝑎𝑐𝑎𝑏𝑐

42222

∴±

双曲线C的渐近线方程为y=3x.

√

16.已知双曲线C的焦点F(3,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为3−2.

√√√

(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程;

(2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是P关于原点的对称点.设λ=𝑀𝑃,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑀𝑄

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

求λ的取值范围.

解(1)双曲线C的焦点F(3,0),双曲线C上一点P到F的最短距离为3−2,可

∵

√√√

设双曲线的方程为=1,

𝑎𝑏

−

𝑥𝑦

∴∴

c=3,c-a=3−2,a=2,

√√√√

∴

b=c-a=(3)-(2)=1,

22222

√√

则双曲线的方程为-y=1,

𝑥

令-y=0,则y=x,

即渐近线方程为y=x.

(2)设P的坐标为(x,y),则Q的坐标为(-x,-y),

0000

222

∴∵∴

λ=𝑀𝑃=(x,y-1)·(-x,-y-1)=-𝑥+1=-+2.|x|≥2,λ的取值

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

·𝑀𝑄−𝑦𝑥

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

00000

000

√

𝑥2

√

范围是(-∞,-1].

17.求适合下列条件的双曲线的离心率:

(1)双曲线的渐近线方程为y=x;

(2)双曲线=1(0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,且原点到直线l的

𝑎𝑏

−

距离为c.

解(1)若焦点在x轴上,则,

𝑎2

故e=.

√

𝑎2

+1=

𝑏13

√

𝑏3

√

𝑥𝑦

若焦点在y轴上,则,即,

𝑏2𝑎3

故e=.

√

𝑎3

+1=

𝑏13

√

√√

1313

或. 综上所述,双曲线的离心率为

√√

3𝑎𝑏3

𝑎+𝑏

𝑎3𝑏2

(2)依题意,得直线l:bx+ay-ab=0.由原点到l的距离为c,得c,即

√

ab=c,

√

∴

16ab=3(a+b),

22222

即3b-10ab+3a=0,

4224

𝑏𝑏

∴

3(-10×+3=0.

𝑎𝑎

)

解得或=3.

𝑎3𝑎

𝑏1𝑏

∵∴∴

0,=3.e=1+=2.

𝑎𝑎

√

𝑏𝑏

2.7 抛物线及其方程

2.7.1抛物线的标准方程

1.(多选)对抛物线x=4y,下列描述不正确的是()

A.开口向上,焦点为(0,1)

B.开口向上,焦点为(0,

)

C.开口向右,焦点为(1,0)

D.开口向右,焦点为(

,0)

答案BCD

解析抛物线的标准方程为x=4y,

∵

∴

2p=4,p=2,解得=1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,可得该抛物线的

开口向上.

2.抛物线y=2x的焦点到准线的距离是()

𝑝

A.2 B.1 C. D.

答案C

解析抛物线y=2x化为x=y,

∴

焦点到准线的距离为.

3.平面上动点M到点F(3,0)的距离等于M到直线l:x=-3的距离,则动点M满足的方

程是()

A.y=6x B.y=12x

C.x=6y D.x=12y

答案B

解析由条件可知,点M到点F(3,0)的距离与到直线x=-3的距离相等,

所以点M的轨迹是以F(3,0)为焦点,x=-3为准线的抛物线,其方程为y=12x.

4.已知双曲线8x-8y=-1有一个焦点在抛物线C:x=2py(p>0)的准线上,则p的值为

222

()

A.2 B.1

C. D.

答案B

解析双曲线标准方程是=1,a=b=,c=a+b=,所以c=,焦点为(0,±

以,p=1.

5.已知抛物线C:y=x的焦点为F,A(x,y)是C上一点,|AF|=x,则x等于()

0000

A.4 B.2 C.1 D.8

答案C

𝑝1

𝑦𝑥1111

−),所

22222

8422

解析如图,F(

,0),

过A作AA'⊥准线l,

∴

|AF|=|AA'|,

∴

424

x=x+=x+,

000

∴

x=1.

6.如图所示,一隧道内设有双行线公路,其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一

段构成.为保证安全,要求行驶车辆顶部(假设车顶为平顶)与隧道顶部在竖直方向上

高度之差至少要有0.6 m,已知行车道总宽度|AB|=7 m,则车辆通过隧道的限制高度

为()

5𝑝1

A.3.90 m B.3.95 m

C.4.00 m D.4.05 m

答案B

解析设抛物线的方程为x=ay,可知点(5,-5)在该抛物线上,则-5a=5,解得a=-5,所以,

抛物线的方程为x=-5y,将x=3.5代入抛物线方程得-5y=3.5,解得y=-2.45,因此,车辆

通过隧道的限制高度为7-2.45-0.6=3.95(m).

7.若抛物线y=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.

答案9

解析抛物线y=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准

线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足x+1=10,解得x=9,所以点M到y轴的

距离为9.

8.一抛物线形拱桥,当桥顶离水面2米时,水面宽4米,若水面下降2米,则水面宽为

米.

答案42

√

解析以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平

面直角坐标系,设抛物线方程为x=-2py(p>0).由当桥顶离水面2米时,水面宽4米可

得图中点A的坐标为(2,-2),

所以4=-2p×(-2),解得p=1.

所以抛物线的方程为x=-2y.

当水面下降2米,即当y=-4时,

可得x=-2×(-4)=8,

解得x=22,

√

因此水面宽为42米.

√

9.根据下列条件分别求抛物线的标准方程.

(1)抛物线的焦点是双曲线16x-9y=144的左顶点;

(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.

解(1)双曲线方程可化为=1,左顶点为(-3,0),由题意设抛物线方程为

916

−

y=-2px(p>0)且=-3,p=6,抛物线的方程为y=-12x.

∴∴

(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y=2nx(n≠0),A(m,-3),由抛物线定义得

5=|AF|=|𝑚+=2nm,n=1或n=9,

|.又(-3)

∴±±

故所求抛物线方程为y=2x或y=18x.

±±

10.已知点P是抛物线x=4y上的动点,点P在x轴上的射影是点Q,点A的坐标是

(8,7),求|PA|+|PQ|的最小值.

解抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,

如图,设点P在准线上的射影是点M,

𝑛

-𝑝

𝑥𝑦

根据抛物线的定义知,|PF|=|PM|=|PQ|+1.

所以|PA|+|PQ|=|PA|+|PM|-1=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=10-1=9,

√

8+(7-1)

当且仅当A,P,F三点共线时,等号成立.

故|PA|+|PQ|的最小值为9.

11.AB是抛物线y=2x的一条焦点弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是()

A.2 B. C. D.

答案C

解析设A(x,y),B(x,y),

1122

根据抛物线的定义可知,|AB|=x+x+p=x+x+1=4,.

1212

∴

𝑥+𝑥3

135

222

12.已知抛物线y=2px(p>0)的焦点为F.P,Q是抛物线上的两个点,若△PQF是边长为

2的正三角形,则p的值为()

A.3-1 B.31

√√

C.23 D.2+3

√√

答案C

解析根据题意可得F(

,0),

设P(≠y),

2𝑝2𝑝

,𝑦,𝑦

),Q()(y

𝑝

𝑦𝑦

由题意可得|PF|=|QF|,以及|PF|=x+,|QF|=x+,

22𝑝222𝑝2

=+=+

∴

2𝑝22𝑝2

+=+=𝑦

,则𝑦,又y≠y,

𝑦𝑝𝑦𝑝

𝑝𝑦𝑝𝑝𝑦𝑝

∴

y=-y.

∵∴

|PQ|=2=2|y|,|y|=1,

∴±

|PF|==2,解得p=23.

2𝑝2

√

13.(多选)方程表示的曲线不可能为()

√

(𝑥-2)

+(𝑦-2)=

A.抛物线 B.椭圆 D.圆 C.双曲线

答案BCD

|3𝑥-4𝑦-6|

1𝑝

解析设P(x,y),由方程得,点P到点F(2,2)的距离等于点P

√

(𝑥-2)

+(𝑦-2)=

抛物线.

14.以下四个命题:

|3𝑥-4𝑦-6|

到直线3x-4y-6=0的距离,又点F不在直线3x-4y-6=0上,由抛物线的定义得,曲线为

①

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线;

②

抛物线y=ax的焦点到原点的距离是;

③

直线l与抛物线y=2px(p>0)交于两点A(x,y),B(x,y),则|AB|=x+x+p;

112212

④

正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y=2px(p>0)上,则此

正三角形的边长为43p.

√

其中正确命题的序号是.

答案

④

解析当定点F正好在定直线l上时,平面内与一定点F和一条定直线l的距离相

①

等的点的轨迹不是抛物线,故错;

①

|𝑎|

②

当a>0时,整理抛物线方程得x=y,p=.

𝑎2𝑎

所以焦点坐标为(0,的焦点到原点的距离是,故错;

4𝑎4|𝑎|

),抛物线y=ax

②

③

当直线l不是过抛物线焦点的直线时,直线l与抛物线y=2px(p>0)交于两点

A(x,y),B(x,y),则|AB|=x+x+p不成立,故错;

112212

③

④

设正三角形另外两个顶点的坐标分别为(

2𝑝2𝑝3

,𝑚),(,-𝑚),由tan30°=

𝑚

2𝑝

𝑚𝑚3

√

,解得m=23p,故这个正三角形的边长为2m=43p,故正确.

√√

④

15.已知曲线C上的任意一点到定点F(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等.

(1)求曲线C的方程;

(2)若曲线C上有两个定点A,B分别在其对称轴的上、下两侧,且|FA|=2,|FB|=5,求

原点O到直线AB的距离.

解(1)曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,曲线C

∵∴

的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线,且=1,曲线C的方程为y=4x.

∴

(2)由抛物线的定义结合|FA|=2可得,A到准线x=-1的距离为2,

即A的横坐标为1,代入抛物线方程可得y=2,即A(1,2),同理可得B(4,-4),故直线

AB的斜率k==-2,故AB的方程为y-2=-2(x-1),

2-(-4)

1-4

𝑝

即2x+y-4=0,由点到直线的距离公式可得,原点O到直线AB的距离为

√

|-4|

2+1

16.

如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为3,点M在AB上,且|AM|=|AB|,点P在平面

1111

ABCD上,且动点P到直线AD的距离与P到点M的距离相等,在平面直角坐标系

xAy中,动点P的轨迹方程是,此曲线的焦点为.

答案x=2y+8(0,-

)

解析作PN⊥AD,NH⊥AD,N,H为垂足,图略,则PN⊥面ADDA,由线面垂直的判定

1111

可得出PH⊥AD.以AD,AB,AA为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,设P(x,y,0),

111

由题意可得M(0,1,0),H(x,0,3),|PM|=|PH|,

∴∴

√

𝑥+(𝑦-1)=√𝑦+9,整理,得x

=2y+8,即x=2(y+4),该曲线的焦点可以

看作是由x=2y的焦点向下平移4个单位长度得到的,即(0,-

17.已知M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

(2)过点F作相互垂直的两条直线l,l,曲线C与l交于点P,P,与l交于点Q,Q,

12112212

试证明:.

|𝑃|𝑄||

111

1212

𝑃𝑄4

(1)解点M到点F(1,0)和直线x=-1的距离相等,由抛物线的定义可知,点M的轨迹

∵

是抛物线,

设方程为y=2px(p>0),=1,p=2.

∵∴

𝑝

∴

轨迹C的方程为y=4x.

(2)证明由题意知,l,l的斜率均存在且不为0.

设l的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程,

整理可得kx-(2k+4)x+k=0,设P,P的横坐标分别为x,x,则x+x=,

121212

222

2𝑘+4

𝑘

14𝑘+4111

∴∴

|PP|=x+x+p=,以-代入,可得|QQ|=4+4k,.

121212

𝑘𝑘𝑃𝑄4

|𝑃|𝑄||

1212

2.7.2抛物线的几何性质

1.已知抛物线C:y=8x上一点A到焦点F的距离等于6,则直线AF的斜率为()

A.2 B.2

C.22 D.22

√√

答案D

解析由题意,点F(2,0),因为|AF|=x+2=6,可得x=4,又因为点A在抛物线上,所以

𝑦

𝐴

=32,则y=42,所以点A(4,42),则k==22.

AAF

±±±

√√√

±42

√

2.已知直线y=kx-k及抛物线y=2px(p>0),则()

A.直线与抛物线有一个公共点

B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点

D.直线与抛物线可能没有公共点

答案C

解析直线y=kx-k=k(x-1),直线过点(1,0),

∵∴

又点(1,0)在抛物线y=2px的内部,

∴

当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共

点.

3.若抛物线y=2x上有两点A,B,且AB垂直于x轴,若|AB|=22,则点A到抛物线的

√

准线的距离为()

A. B. C.2 D.

222

答案B

135

解析由抛物线y=2x,其准线方程为x=-,AB垂直于x轴,|AB|=22,A到y轴的距

∵

√

离为2,假设A在y轴上侧,即y=2,代入抛物线y=2x,求得x=1,

√√

点A到抛物线的准线的距离d=1+.

4.P为抛物线y=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是

|AA|,|BB|,|PP|,则有 ()

111

A.|PP|=|AA|+|BB|

111

B.|PP|=|AB|

C.|PP|>|AB|

D.|PP|<|AB|

答案B

解析如图所示,根据题意,PP是梯形AABB的中位线,故

111

|PP|=(|AA|+|BB|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.

111

222

5.抛物线y=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当

△FPM为等边三角形时,其面积为()

A.23 B.4 C.6 D.43

√√

答案D

解析由题意知,△FPM为等边三角形,

|PF|=|PM|=|FM|,PM⊥抛物线的准线.

∴

设P(,又由F(1,0),|PM|=|FM|,

𝑚𝑚

𝑚

111

,𝑚),则M(-1,m),等边三角形边长为1+

=+𝑚

√

(1+1)

,得m=23, 得1+

√

∴

等边三角形的边长为4,其面积为43,故选D.

√

6.已知点(x,y)在抛物线y=4x上,则z=x+y+3的最小值是.

222

答案3

解析因为点(x,y)在抛物线y=4x上,所以x≥0,

因为z=x+y+3=x+2x+3=(x+1)+2,

2222

所以当x=0时,z最小,其值为3.

7.已知抛物线y=2x的焦点为F,点A,B在抛物线上,若△FAB为等边三角形,则其边长

为.

答案423

√

解析因为|FA|=|FB|及抛物线的对称性知A,B关于x轴对称,不妨设直线AF的倾斜

角为,F(

6232

,0),则直线AF的方程为y=

(𝑥-),

联立{解得x=,

𝑦=2𝑥,

𝑦=(𝑥-),

√

𝑝17±43

π131

√

7±43

√

则|AF|=x+=423.

222

√

所以该三角形边长为423.

√

8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上

一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.

√

解设所求抛物线的标准方程为x=2py(p>0),

设A(x,y),由题意知M(0,-

𝑝

∵∴

|AF|=3,y+=3,

∵∴

|AM|=17,𝑥=17,

√

𝑝

+(𝑦+)

𝑝

∴

𝑥=8,代入方程𝑥=2py得,

8=2p(3-

),解得p=2或p=4.

𝑝

∴

所求抛物线的标准方程为x=4y或x=8y.

9.已知抛物线y=2px(p>0)的准线方程为x=-1.

(1)求p的值;

(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.

解(1)由抛物线y=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-=-1,所以p=2.

𝑦=𝑥-1,

(2)设A(x,y),B(x,y),由{消去y,得x-6x+1=0,则x+x=6,xx=1,

11221212

𝑦=4𝑥

所以|AB|=-𝑥-𝑦

√

(𝑥))

1212

+(𝑦

=2·-𝑥-4𝑥

√

√√

(𝑥)(𝑥)

121212

=2·+𝑥𝑥

√

=2×32=8.

√√

10.已知抛物线C:y=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=3,则|AB|=() 个交点为B,且𝐹𝐴𝐹𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

A. B. C. D.

3333

答案C

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=3,解析抛物线C:y=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),𝐹𝐴𝐹𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

∴∵

𝑚+1248

2333

24816

𝑝

,m+1=,AB=.

∴

11.抛物线y=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线l相切的圆

有()

A.1个 B.2个

C.0个 D.无数个

答案B

解析因为点M(2,2)在抛物线y=2x上,

又焦点F(

,0),由抛物线的定义知,过点F,M且与l相切的圆的圆心即为线段

FM的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F,M且与l相切的

圆有2个.

12.已知抛物线y=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)+y=1的两条切线,

222

则直线BC的方程为()

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

答案B

解析因为点A(2,2)在抛物线y=2px上,故2=2p×2,即p=1,所以抛物线方程为y=2x,

222

设过点A(2,2)与圆(x-2)+y=1相切的直线的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,则圆

心(2,0)到切线的距离d==1,解得k=3,如图,直线AB:y-2=3(x-2),直线

AC:y-2=-3(x-2).

√

联立{得3x+(43-14)x+16-83=0,故xx=,由x=2得

8-4323-6

√√

|2𝑘-0+2-2𝑘|

√

𝑘+1

√√

𝑦-2=3(𝑥-2),

√

16-83

√

AAB

√√

𝑦=2𝑥,

𝑦-2=-3(𝑥-2),

√

,联立{得x=,故y=3x-(43+14)x+16+83=0,故

𝑦=2𝑥,

√√

-23-6-23-6

√√

33333

2𝑦1𝑦2

xx=,由x,故y,故y=2得x==+y==-4,又由B,C在

ACACCBC

16+838+4323-6

√√√

-𝑦-𝑦

𝐵𝐶𝐵𝐶

𝑦𝑦

𝐵

𝐶

抛物线上可知,直线BC的斜率为k==-,故直线BC的

𝑥𝑦+𝑦2

𝐵𝐶𝐵𝐶

-𝑥-4

===

方程为y-=-

23-618-43

√√

(𝑥-),即3x+6y+4=0.

323

13.已知M,N是过抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=3𝐹𝑁,S=3|MN|,则p的值为. 坐标原点,且满足𝑀𝐹

△

OMN

√

答案8

解析不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,

过N作NK⊥MG于K,

由𝑀𝐹=3𝐹𝑁,得|MF|=3|FN|,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

∴

|MG|=3|NH|,

∴

|MK|=2|NH|=2|NF|=|MN|,

∴

|NK|=-|𝑀𝐾||MN|,

√

|𝑀𝑁|

√

由S=S+S=|OF|·|NK|=p|MN|,又S=3|MN|,

△△△△

OMNOMFONFOMN

√

∴

p|MN|=3|MN|,得p=8.

√

14.

√

抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对

称轴的方向射出.今有抛物线y=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的

点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线

间的最小距离为3,则抛物线的方程为.

答案y=3x

解析由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F(

,0).当直线PQ斜率不存

在时,易得|PQ|=2p;

当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=k(𝑥-,y),Q(x,y),

),P(x

1122

联立{得k-𝑝𝑥+

𝑦=𝑘(𝑥-),

𝑦=2𝑝𝑥,

2𝑝𝑝

𝑝

(𝑥)=2px,

𝑝

整理得4kx-(4kp+8p)x+kp=0,

22222

所以x+x=p+,xx=.

1212

𝑘4

所以|PQ|=x+x+p=2p(1+

𝑘

)>2p.

综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,

又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,

∴

抛物线方程为y=3x.

15.(2021全国乙,理21)已知抛物线C:x=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆

M:x+(y+4)=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

解(1)点F(0,+4-1=4,解得p=2.

)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-1=

(2)由(1)知,抛物线的方程为x=4y,即y=x,则y'=x.设切点A(x,y),B(x,y),则易

1122

得直线l:y=x-,直线l:y=x-,从而得到P,

PAPB

242442

𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥𝑥

121212

𝑝𝑝

设直线l:y=kx+b,联立抛物线方程,消去y并整理可得x-4kx-4b=0,

∴

Δ=16k

+16b>0,即k+b>0,且x+x=4k,xx=-4b,P(2k,-b).

1212

∴

∵

|AB|=+𝑘-4𝑥

√1

222

·+𝑥𝑥=+𝑘·+16𝑏,点P到直线AB

√

(𝑥)

1212

√1√16𝑘

的距离d=,

|2𝑘

+2𝑏|

√

𝑘+1

∴①

S=|AB|d=4(k+b),

△

PAB

又点P(2k,-b)在圆M:x+(y+4)=1上,

故k=,代入得,S=4(,而y=-b∈[-5,-3],

1-(𝑏-4)+12𝑏-15

-𝑏

①

△

PABP

)

∴

当b=5时,(S)=205.

△

PABmax

√

16.

如图,已知抛物线y=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x,y),B(x,y)

1122

两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.

(1)求yy的值;

(2)连接MN,记直线MN的斜率为k,直线AB的斜率为k,证明:为定值.

𝑘

(1)解依题意,设AB的方程为x=my+2,

代入y=4x,得y-4my-8=0,从而yy=-8.

(2)证明设M(x,y),N(x,y),

3344

𝑘𝑦𝑥𝑦𝑦+𝑦

143412312

𝑘𝑥𝑦𝑦𝑦+𝑦

234121234

=×=×=

-𝑥-𝑦-𝑦

𝑦

-𝑦-𝑥-𝑦

𝑦𝑦

,设直线AM的方程为x=ny+1,

代入y=4x,消去x得y-4ny-4=0,

所以yy=-4,同理yy=-4,

1324

𝑘𝑦+𝑦𝑦+𝑦𝑦𝑦

1121212

𝑘𝑦+𝑦

234

===

-4-4

𝑦𝑦

-4

𝑘

由(1)知yy=-8,所以=2为定值.

𝑘

17.已知抛物线y=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则

的最小值为()

A. B.-

C.- D.

答案D

|𝑁𝐹|

−

|𝑀𝐹|

解析抛物线y=16x的焦点为F,则F(4,0),当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,由

|𝑁𝐹|

𝑦=16𝑥,

{−=

可得M(4,8),N(4,-8),|MF|=|NF|=8,.当直线l的斜率存

∴∴

918

|𝑀𝐹|

𝑥=4,

在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x-4),不妨设M(x,y),N(x,y),

1122

𝑦=16𝑥,

由{消y可得kx-(16+8k)x+16k=0,x+x=8+,xx=16,

222

∴

1212

𝑘

𝑦=𝑘(𝑥-4),

∴

|MF|=x+=x+4,|NF|=x+=x+4,

1122

∴∴

44141

𝑝𝑝

+===−=+

|𝑁𝐹||𝑀𝐹|)+𝑥|𝑀𝐹|

4(𝑥+𝑥𝑥+16499

|𝑁𝐹||𝑁𝐹|

9933

11𝑥+𝑥+814

1212

32++16+16

𝑘

16+

𝑘

|𝑁𝐹||𝑁𝐹|

-1≥2-1=,当且仅当|NF|=6时取等号.故的最小值为.

√

|𝑁𝐹||𝑁𝐹||𝑀𝐹|

−

18.(多选)已知抛物线C:y=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于

P(x,y),Q(x,y)两点,点P在l上的射影为P,则下列结论中正确的是()

11221

A.若x+x=6,则|PQ|=8

B.以PQ为直径的圆与准线l相切

C.设M(0,1),则|PM|+|PP|≥2

√

D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条

答案ABC

解析若直线的斜率存在,设y=k(x-1),

由{得kx-(2k+4)x+k=0,

𝑦=𝑘(𝑥-1),

2222

𝑦=4𝑥,

2𝑘+4

𝑘

x+x=,xx=1.

1212

对于A,若x+x=6,则k=1,故k=1或-1,|PQ|=1+1-4𝑥

√

(𝑥)

1212

+𝑥𝑥=

√√

2×42=8,故A成立;

对于B,取PQ点中点N,N在l上的投影为N',Q在l上的投影为Q',根据抛物线

的定义,|PP|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=(|PP|+|QQ'|)=|PQ|,

故B成立;

对于C,M(0,1),|PM|+|PP|=|MP|+|PF|≥|MF|=2,故C成立;

√

对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线

与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.

第二章综合训练

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.

1.在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化

时,d的最大值为 ()

A.1 B.2 C.3 D.4

答案C

解析cos

∵

θ+sinθ=1,

∴∴

P为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A(2,0),d的最大值为

|OA|+1=2+1=3,故选C.

2.已知点P(-2,4)在抛物线y=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()

A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)

答案C

解析因为点P(-2,4)在抛物线y=2px的准线上,所以-=-2,所以p=4,则该抛物线的焦

点坐标是(2,0).

𝑝

3.已知直线l:xcos⊥l,则l倾斜角的取值范围是()

1122

α+3y+2=0,若l

√

A.[

326

) B.[0,]

C.[

3236

] D.[]

答案C

解析因为l:xcos=-=0时,k

111

α+3y+2=0的斜率k,0],当cosα=0时,即k

√

πππ

π5πππ

cos𝛼3

√

∈[-

√

不存在,此时倾斜角为⊥l,k≠0时,可知直线l的斜率k=-

2𝑘

π,由l

1212

≥3,此时倾斜角

√

的取值范围为[

综上可得l倾斜角的取值范围为[

4.(2021全国乙,文11)设B是椭圆C:+y=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值

为()

A. B.6 C.5 D.2

答案A

解析(方法一)由椭圆方程可得a=5,b=1,故椭圆的上顶点为B(0,1).设P(x,y),则有

√

𝑥

+y=1,

ππ

𝑥

√

故x=5(1-y),由椭圆的性质可得-1≤y≤1.则

𝑦125

|PB|=x+(y-1)=5(1-y)+(y-1)=-4y-2y+6=-4y++6=-4y++.

22222222

244

因为-1≤y≤1,所以当y=-时,|PB|取得最大值,且最大值为,所以|PB|的最大

值为.

(方法二)由题意可设P(5cosθ,sinθ)(θ∈R),又B(0,1),则

√

125

|PB|=5cos=5cos

222222

θ+(sinθ-1)θ+sinθ-2sinθ+1=-4sinθ-2sinθ+6,于是当sinθ=-

时,|PB|最大,此时|PB|=-4×-2×(-+6=,

164424

)+6=-+

故|PB|的最大值为.

111125

5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行

进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为()

A.82-8 B.82+8 C.82 D.122

√√√√

答案A

解析机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,在行进过程中保持与

点C的距离不变,

∴

机器人的运行轨迹方程为(x-3)+(y+3)=64,如图所示;

∵

A(-10,0)与B(0,10),

∴

直线AB的方程为=1,即为x-y+10=0,

-10

则圆心C到直线AB的距离为d==82>8,最近距离为82-8.

𝑥𝑦4

|3+3+10|

√

1+1

𝑥𝑦

√√

∴

6.设P是双曲线=1(a>0,b>0)上的点,F,F是焦点,双曲线的离心率是,且∠

𝑎𝑏3

−

FPF=90°,△FPF的面积是7,则a+b等于()

1212

A.3+7 B.9+7 C.10 D.16

√√

答案A

𝑚𝑛=7,

𝑚-𝑛=2𝑎,

解析由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF|=m,|PF|=n,则

222

∴

𝑚+𝑛=4𝑐

𝑐4

{

𝑎3

a=3,c=4.

∴

b=√𝑐-𝑎

=7.a+b=3+7.

√√

∴

7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可

近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的

距离为()

A. B. C. D.

8ℎ4ℎ2ℎℎ

答案A

𝑎𝑎𝑎𝑎

2222

解析根据题意,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐

标系,该抛物线方程可写为x=-2py(p>0).

∵∴

该抛物线经过点(=2hp,解得p=.桥形对应

248ℎ

,-ℎ),代入抛物线方程可得

的抛物线的焦点到准线的距离即为p=.

8ℎ

8.平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB

为直角三角形的点M的个数是()

A.1 B.2 C.3 D.4

答案D

𝑎

𝑎𝑎𝑎

解析根据题意,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:

①

∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l,又由

A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k==1,

1.02-(-0.98)

则𝑘=-1,直线l的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,

𝑙

2.56-0.56

此时原点O到直线l的距离d=<1,直线l与单位圆相交,有2个公

共点,即有2个符合题意的点M;

|0.42|

√

2100

212

√

②

∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l,

同理可得,直线l的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线

l的距离d=>1,

|3.58|

√

2100

1792

√

直线l与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;

③

∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,

又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为

(0.02,1.56),|AB|=4+4=22,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径

√

r=|AB|=2,

√

此时|OC|=

√

(0.02)

+(1.56)=2.4340,

√

则有2-1<|OC|<2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.

√√

综合可得,共有4个符合条件的点M.

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.

9.已知圆C:x+y=r,圆C:(x-a)+(y-b)=r(r>0)交于不同的A(x,y),B(x,y)两点,下

121122

222222

列结论正确的有()

A.a(x-x)+b(y-y)=0

1212

B.2ax+2by=a+b

C.x+x=a

D.y+y=2b

答案ABC

解析两圆方程相减可得直线AB的方程为a+b-2ax-2by=0,即2ax+2by=a+b,故B

2222

正确;

分别把A(x,y),B(x,y)两点代入2ax+2by=a+b得

1122

2ax+2by=a+b,2ax+2by=a+b,

1122

2222

两式相减得2a(x-x)+2b(y-y)=0,

1212

即a(x-x)+b(y-y)=0,故A正确;

1212

由圆的性质可知,线段AB与线段CC互相平分,x+x=a,y+y=b,故C正确,D

121212

∴

错误.

10.若P是圆C:(x+3)+(y-3)=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为

()

A.4 B.6

C.32+1 D.8

√

答案ABC

解析直线y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离

最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),

所以为+1=6,

√

(-3)

+(3+1)

当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离

的范围为[0,6].

11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜

率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()

A.曲线C是轴对称图形

B.曲线C上所有的点都在圆x+y=2外

C.曲线C是中心对称图形

D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2

答案BC

解析设P(x,y),则k+k=2,即=2(x≠2),整理得x-xy=4(x≠2),

PAPB

𝑥+2𝑥-2

±±

所以曲线C是中心对称图形,不是轴对称图形,故C正确,A错误;

由x-xy=4>2=x+y,所以曲线C上所有的点都在圆x+y=2外,故B正确;

22222

由x-xy=4可知,x∈R且x≠0,x≠2,故D错误.

12.已知P是椭圆E:=1上一点,F,F为其左右焦点,且△FPF的面积为3,则

下列说法正确的是 ()

A.P点纵坐标为3

B.∠FPF>

C.△FPF的周长为4(2+1)

√

D.△FPF的内切圆半径为

(2-1)

√

答案CD

解析设P点坐标为(x,y),S=×2c×|y|=×4×|y|=3,得y=或y=-,故A错误;

2222

椭圆中焦点三角形面积为S=btan(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan=3,得

𝜃𝜃

1133

𝑥𝑦

𝑦𝑦

1212

tan,则,∠FPF<,故B错误;

24242

𝐶

△𝐹

𝑃𝐹

=2a+2c=4(2+1),故C正确;

√

设△FPF的内切圆半径为R,R(42+4)=3,得R=

√

(2-1),故D正确.

√

𝜃3𝜃ππ

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.经过点P(1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是.

答案y=4x或y=x+3

解析根据题意,分2种情况讨论:

①

直线经过原点,则直线l的方程为y=4x;

②

直线不经过原点,设直线方程为x-y=a,把点P(1,4)代入可得1-4=a,解得a=-3,

即直线的方程为y=x+3.

综上可得,直线的方程为y=4x或y=x+3.

14.若双曲线=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m的值

𝑚𝑚-5

−

为.

答案7或-2

解析依题意可知c=3,

当双曲线的焦点在x轴上时,m>5,c=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y

轴上时,m<0,c=-m+5-m=9,所以m=-2.

综上,m=7或m=-2.

𝑥𝑦

15.如图,过抛物线y=4x的焦点F作直线,与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=3,则直线AB的方程为,|AB|=. 若𝐹𝐶𝐹𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

答案y=3(x-1)

√

解析抛物线的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,设C(-1,m),B(a,b),

⃗⃗⃗⃗ ⃗

=3,(-2,m)=3(a-1,b)=(3a-3,3b),则3a-3=-2,m=3b,即a=,此时b=4×,𝐹𝐶𝐹𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗

∴∵

得b=-=-,即m=-23,

√

423

√

则C(-1,-23),则AB的斜率k=

√

则直线方程为y=3(x-1),

√

=3,

√

代入y=4x,得3x-10x+3=0,得x+x=,即|AB|=x+x+2=+2=.

1212

333

16.已知点O(0,0),A(4,0),B(0,4).若从点P(1,0)射出的光线经直线AB反射后过点

Q(-2,0),则反射光线所在直线的方程为;若从点M(m,0),m∈(0,4)射出的

光线经直线AB反射,再经直线OB反射后回到点M,则光线所经过的路程是

(结果用m表示).

答案x-2y+2=0

√2𝑚

+32

解析根据题意,设点P(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P在反射光线所在直线

上,

又由A(4,0),B(0,4),

则直线AB的方程为x+y=4,

𝑏

-1𝑎

则有{解得{即P(4,3),

𝑎+1𝑏

101016

=1,

+=4,

𝑎=4,

𝑏=3,

3-01

反射光线所在直线的斜率k=,

4-(-2)2

则其方程为y-0=(x+2),即x-2y+2=0;

设点M(a,b)与点M关于直线AB对称,点M与M关于y轴对称,易得M(-m,0);

10022

线段MM的长度就是光线所经过的路程,

𝑏

则有{解得{即M(4,4-m),又由M(-m,0),则

𝑎

-𝑚

𝑚+𝑎𝑏

=1,

+=4,

𝑎=4,

𝑏=4-𝑚,

|MM|=

√

(4+𝑚)

+(4-𝑚)=+32.

√2𝑚

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(0,-5),C(10,0),线段AC的垂直

平分线为l.

(1)求直线l的方程;

(2)点P在直线l上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P的坐标.

解(1)直线AC的斜率为k==-,

2-102

所以直线l的斜率为k=2,

直线AC的中点为(6,2),所以直线l的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.

(2)由(1)得点A关于直线l的对称点为点C,所以直线BC与直线l的交点即为

|AP|+|BP|最小的点.由B(0,-5),C(10,0)得直线BC的方程为=1,即x-2y-10=0,联

-5

𝑥-2𝑦-10=0,

1010

立方程{解得{所以点P的坐标为(

2𝑥-𝑦-10=0,

𝑦=-

𝑥𝑦

4-01

𝑥=

18.(12分)已知直线l:ax-y-3a+1=0恒过定点P,过点P引圆C:(x-1)+y=4的两条切

线,设切点分别为A,B.

(1)求直线AB的一般式方程;

(2)求四边形PACB的外接圆的标准方程.

解(1)直线l:y-1=a(x-3).

∵

∴

直线l恒过定点P(3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为

A(3,0).

由圆的性质可知AB⊥PC,

∵∴

k=,k=-2,所以直线AB的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0.

PCAB

3-12

(2)由题意知|PC|=

√

(3-1)

+(1-0)=5.

√

1-01

∵

PA⊥AC,PB⊥BC,

所以四边形PACB的外接圆是以PC为直径的圆,PC的中点坐标为(2,

),所以

四边形PACB的外接圆为(x-2)+(𝑦-.

19.(12分)已知F,F分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线

𝑎𝑏

−

上一点,F到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,

(1)求双曲线的渐近线方程;

(2)当∠FPF=60°时,△PFF的面积为483,求此双曲线的方程.

1212

√

解(1)因为双曲线的渐近线方程为bxay=0,

则点F到渐近线距离为=b(其中c是双曲线的半焦距),所以由题意知

√

c+a=2b.

|𝑏𝑐±0|

𝑏+𝑎

𝑥𝑦

又因为a+b=c,解得b=a,

222

故所求双曲线的渐近线方程是4x3y=0.

(2)因为∠FPF=60°,由余弦定理得

|PF|+|PF|-2|PF|·|PF|cos60°=|FF|,

121212

222

即|PF|+|PF|-|PF|·|PF|=4c.

1212

222

又由双曲线的定义得||PF|-|PF||=2a,

平方得|PF|+|PF|-2|PF|·|PF|=4a,相减得|PF|·|PF|=4c-4a=4b.

121212

222222

根据三角形的面积公式得S=|PF|·|PF|sin60°=·4b=3b=483,得b=48.

222

√√

由(1)得a=b=27,

√

故所求双曲线方程是=1.

2748

−

20.(12分)已知过抛物线x=2py(p>0)的焦点,斜率为的直线交抛物线于

A(x,y),B(x,y)(x)两点,且|AB|=9.

112212

(1)求该抛物线的方程;

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑂𝐴

,求λ的值. (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若𝑂𝐶+λ𝑂𝐵

解(1)抛物线x=2py的焦点为(0,

所以直线AB的方程为y=x+,

联立{消去x,得4y-5py+p=0,所以y+y=,由抛物线定义得

𝑦=𝑥+

√

2𝑝

√

2𝑝

𝑝

√

𝑥𝑦

𝑥=2𝑝𝑦,

5𝑝

|AB|=y+y+p=9,即+p=9,所以p=4.

所以抛物线的方程为x=8y.

(2)由p=4知,方程4y-5py+p=0,

可化为y-5y+4=0,

解得y=1,y=4,故x=-22,x=42.

1212

√√

所以A(-22,1),B(42,4).

√√

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=𝑂𝐴

=(-22,1)+λ(42,4)=(-22+42λ,1+4λ).因为C为抛物线上则𝑂𝐶+λ𝑂𝐵

√√√√

一点,所以(-22+42λ)=8(1+4λ),

√√

整理得λ-2λ=0,所以λ=0或λ=2.

21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为

(1)求C的方程;

(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足𝑃𝑄=9𝑄𝐹,求直线OQ斜率的最大值.

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故p=2,C的方程为y=4x.

(2)设点P(x,y),Q(x,y).

1122

又F(1,0),则𝑃𝑄=(x-x,y-y),𝑄𝐹=(1-x,-y).

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

212122

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

=9𝑄𝐹, 因为𝑃𝑄

所以x-x=9(1-x),y-y=-9y,

212212

得x=10x-9,y=10y.

1212

又因为点P在抛物线C上,所以𝑦=4x,

所以(10y)=4(10x-9),

则点Q的轨迹方程为y=x-.

525

易知直线OQ的斜率存在.

设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y=x-相切时,斜率取得最大值、

525

最小值.

由{得kx=x-,

𝑦=𝑘𝑥,

𝑦=𝑥-

525

即kx-x+=0,(*)

525

当直线OQ和曲线y=x-相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(--4k·=0,解得

525525

)

k=,所以直线OQ斜率的最大值为.

22.

2929

(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,

要求图中标记的,,三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半

①②③

轴、短半轴长度之积,即椭圆=1(a>b>0)面积为S=πab

𝑎𝑏

椭圆

(1)求椭圆的离心率的值;

𝑥𝑦

(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕

外椭圆一周,得到由点M生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适

的坐标系,求出点M的轨迹方程.

解(1)建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为=1(a>b>0),

𝑎𝑏

𝑥𝑦

∵

内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b,设内椭圆短轴长为b',

焦距长为c',得,c'=,b'=b-c'=b-.

𝑎𝑏𝑎𝑎𝑎𝑎

===

𝑐𝑐'𝑏𝑐𝑏𝑐𝑏𝑏

2222

222224

222

(𝑎)

-𝑐

∴

内椭圆的方程为=1.

𝑏

𝑦𝑥

𝑏

𝑎

外内

图中标记的,,三个区域面积彼此相等,由对称性只需S=3S,即

①②③

πab=3πb·

得a=3b,

𝑎

即a=3(a-c),故e=.

222

(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,a=3,又e=,

∴∴

c=6,b=3.

√

则外椭圆方程为=1.

𝑥𝑦

√

设点M(x,y),切线方程为y-y=k(x-x),

0000

代入椭圆方程得,(1+3k)x+6k(y-kx)x+3(y-kx)-9=0.

222

0000

∴∵

Δ=36k(y-kx)-4(1+3k)[3(y-kx)-9]=0.化简得(x-9)k-2xyk+𝑦-3=0.两

22222

0000000

条切线互相垂直,kk=-1,

∴

即=-1,即𝑥=12(x≠3).

-3

𝑦

-9

𝑥

+𝑦

当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,3),(-3,3)也满足方程,轨迹方程为

±±∴

√√

x+y=12.

十年之后的我作文-空洞山

本文发布于:2023-11-16 23:58:13，感谢您对本站的认可！

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