(新教材)高一升高二数学训练题一 (含解析)

（新教材）高一升高二数学训练题1

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.

已知平面向量与的夹角为30°，且＝（1，），为单位向量，则|+|＝（ ）

A．1 B． C． D．

） 已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若z（2+i）＝5i，则在复平面内点P（a，b）位于（

2.

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.

已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（ ）

A．1 B． C．2 D．2

4.

在△ABC中，若△ABC的面积S＝（a+b

A． B． C． D．

222

﹣c），则C＝（ ）

） 如图，RtAO'A'B′是△OAB的斜二测直观图，其中O'B'⊥B'A'，斜边O′A′＝2，则△OAB的面积是（

5.

A． B．1 C． D．2

） 若α、β、γ是空间中三个不同的平面，α∩β＝l，α∩γ＝m，γ∩β＝n，则l∥m是n∥m的（

6.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

，满足|+k|＝1，|+|＝k，则k的值为（ ） 若存在单位向量

B．﹣2或1 C．0 D．1或0A．1

7.

8.

设复数z满足＝i，则下列说法正确的是（ ）

A．z为纯虚数 B．z的虚部为﹣

C．＝ D．|z|＝

9.

在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCD﹣ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，

111111

则以下结论中不成立的是（ ）

A．EF⊥BB B．EF⊥BD

1

C．EF与CD为异面直线 D．EF与AC为异面直线

11

10.

在棱长为1的正方体ABCD﹣ABCD中，点E，F分别是棱CD，BC的中点，P是上底面ABCD

111111111111

内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ）

A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]

11.

某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ）

A． B． C． D．

，b+c＝10，△ABC的已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且

12.

面积为，则a＝（ ）

A． B．5 C．8 D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.

设O为△ABC内一点，且满足关系式，则S

14.

计算：所得的结果为 ．

△△△

BOCAOBCOA

：S：S＝ ．

15.

已知一个圆锥的底面面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于 ．

16.

已知正方体ABCD﹣ABCD的棱长为4，点E为BC中点，点F为AB中点，若平面α过点F且

111111

与平面AEC

11111

平行，则平面α截正方体ABCD﹣ABCD所得的截面面积为 ．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤）

17.（本小题10分）

已知向量．

（1）求；

（2）若，求实数m，n的值；

（3）若，求实数k的值．

18.（本小题12分）

已知复数（i是虚数单位）．

（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；

（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围．

19.（本小题12分）

如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝2，

AC交BD于点F，且△PAD与△ACD均为正三角形，G为△PAD的重心．

（1）求证：GF∥平面PAB；

（2）求三棱锥G﹣PAB的体积．

20.（本小题12分）

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足＝．

（1）若cosA＝，求cosB；

（2）若b＝5，且cosA＝，求a．

21.（本小题12分）

已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC，（如图所示）

（Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表

面积．

（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬

行的最短距离．

22.（本小题12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA﹣2c+a＝0．

（1）求角B；

（2）若，△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的范围．

（新教材）高一升高二数学训练题1

解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.

已知平面向量与的夹角为30°，且＝（1，），为单位向量，则|+|＝（ ）

A．1 B． C． D．

＝， 【解答】解：由题意得||＝2，||＝1，

＝． 所以||＝＝

故选：B．

【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．

2.

已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若z（2+i）＝5i，则在复平面内点P（a，b）位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：若z（2+i）＝5i，

则z＝＝＝1+2i，

所以a＝1，b＝2，P （1，2），

则P位于第一象限．

故选：A．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.

已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（ ）

A．1 B． C．2 D．2

【解答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，

由题意知πl＝2πr，解得l＝2r，

又因为表面积为S＝πr＝3π，

22

+πr•2r＝3πr

所以r＝1，解得r＝1；

2

所以圆锥的母线长为l＝2r＝2．

故选：C．

【点评】本题考查了圆锥的结构特征与表面积计算问题，是基础题．

4.

在△ABC中，若△ABC的面积S＝（a+b

A． B． C． D．

222

﹣c），则C＝（ ）

， 【解答】解：△ABC的面积S＝（a﹣c）＝

222

+b

整理得，

故tanC＝1，

由于0＜C＜π，

故C＝．

故选：A．

【点评】本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数

学思维能力，属于基础题．

5.

如图，RtAO'A'B′是△OAB的斜二测直观图，其中O'B'⊥B'A'，斜边O′A′＝2，则△OAB的面积是（ ）

A． B．1 C． D．2

【解答】解：依题意知，∠A'O'B'＝45°，所以三角形O'A'B'为等腰直角三角形，且O'A'＝2，所以O'B'

＝A'B'＝，

所以Rt△O′A′B′的面积为S'＝×O′B′×A′B′＝1，

又因为直观图的面积S'与原图的面积S的比值为＝，

所以原图形的面积为S＝＝2．

故选：D．

【点评】本题考查了斜二测画法的直观图面积与原平面图形面积的关系应用问题，是基础题．

6.

若α、β、γ是空间中三个不同的平面，α∩β＝l，α∩γ＝m，γ∩β＝n，则l∥m是n∥m的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：根据题意，如图，若l∥m，则m∥平面β，则有m∥n，则l∥m是n∥m的充分条件，

反之：若n∥m，则m∥平面β，则有l∥m，则l∥m是n∥m的必要条件，

故l∥m是n∥m的充要条件，

故选：C．

【点评】本题考查线面平行的判断以及性质的应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．

7.

若存在单位向量，满足|+k|＝1，|+|＝k，则k的值为（ ）

A．1 B．﹣2或1 C．0 D．1或0

【解答】解：∵，是单位向量，

∴＝+2k••+k＝1+2k••+k＝1①，

＝+2•+b＝2+2•＝k

22

22

②，

①﹣②得：（k﹣1）•＝1﹣k

2

，

若k＝1，等式显然成立，

若k≠1，解得：•＝﹣k﹣1，

代入②得：2+2（﹣k﹣1）＝k，解得：k＝0或﹣2（舍），

2

综上：k＝0或1，

故选：D．

【点评】本题考查了平面向量的运算，考查单位向量以及向量的模，是基础题．

8.

设复数z满足＝i，则下列说法正确的是（ ）

A．z为纯虚数 B．z的虚部为﹣

C．＝ D．|z|＝

＝i，则z+1＝zi，即， 【解答】解：因为

则z的虚部为，，．

故选：D．

【点评】本题考查了复数的运算，主要考查了复数除法的运算法则，复数的定义，共轭复数的定义，

复数模的求解，属于基础题．

9.

在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCD﹣ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，

111111

则以下结论中不成立的是（ ）

A．EF⊥BB B．EF⊥BD

1

C．EF与CD为异面直线 D．EF与AC为异面直线

11

【解答】解在正四棱柱（侧面为矩形，底面为正方形的棱柱）ABCD﹣A

1111

BCD中，

E，F分别是AB，BC的中点，

11

连接AC，B

11

C，则F是BC的中点，

∴EF是△ACB

111

的中位线，∴EF∥AC∥AC，故D错误；

∵BB

11

⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB⊥AC，

∴EF⊥BB

1

，故A正确；

∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵EF∥AC，∴EF⊥BD，故B正确；

∵EF∥AC，EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，

∵CD∩AC＝C，∴EF与CD为异面直线，故C正确．

故选：D．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空

间想象能力等数学核心素养，是基础题．

10.

在棱长为1的正方体ABCD﹣ABCD中，点E，F分别是棱CD，BC的中点，P是上底面ABCD

111111111111

内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ）

A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]

【解答】解：如下图所示：

分别取棱A

111111

B、AD的中点M、N，连接MN，连接BD，

∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥B

1111

D，EF∥BD，

∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，

∴MN∥平面BDEF；

连接NF，由NF∥A

11111111

B，NF＝AB，AB∥AB，AB＝AB，

可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB为平行四边形，

则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF．

又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．

又P是上底面A

1111

BCD内一点，且AP∥平面BDEF，

∴P点在线段MN上．

在Rt△AA

1

M中，AM＝，

同理，在Rt△AA

1

N中，求得AN＝，则△AMN为等腰三角形．

当P在MN的中点时，AP最小为，

当P与M或N重合时，AP最大为．

∴线段AP长度的取值范围是[，]．

故选：B．

【点评】本题考查点、线、面间的距离问题，考查空间想象能力与运算求解能力，解决本题的关键是

通过构造平行平面寻找P点位置，属中档题．

11.

某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（ ）

A． B． C． D．

， 【解答】解：设圆锥的母线长为l，则展开后扇形的弧长为

再设圆锥的底面半径为r，可得2，即l＝3r，

圆锥的高为h＝，

设圆锥外接球的半径为R，则（h﹣R）＝R，解得R＝．

222

+r

圆锥的体积为，

圆锥外接球的体积＝，

∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为＝．

故选：C．

【点评】本题考查圆锥的结构特征，考查圆锥及其外接球的体积，考查运算求解能力，是中档题．

12.

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，b+c＝10，△ABC的

面积为，则a＝（ ）

A． B．5 C．8 D．

， 【解答】解：因为

由正弦定理可得sinAsinAsinB＝sinB﹣sinBcosA，

因为0＜B＜π，所以sinB≠0，

所以sin

22

A＝﹣cosA，可得1﹣cosA＝﹣cosA，

即（2cosA﹣1）＝0，解得cosA＝，所以sinA＝，

2

因为S＝bcsinA＝，所以bc＝25，

△

ABC

又b+c＝10，

所以a＝b﹣2bccosA＝（b+c）﹣3bc＝100﹣3×25＝25，

2222

+c

所以a＝5．

故选：B．

【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查同角三角函数的基本关系，考查转化思想与

运算求解能力，属于中档题．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.

设O为△ABC内一点，且满足关系式，则S

2：1 ．

【解答】解：由题可得+2+3＝3（﹣）+2（ ﹣）+（﹣），则3++2＝

，

即（+）+2（+ ）＝，

+＝2，+＝2 设M，N分别为AB、AC的中点，∵

△△△

BOCAOBCOA

：S：S＝ 3：

则＝﹣2，设S

△

ABC

＝S，

∵MN为△ABC的中位线，

∴S＝S，

△

BOC

∵M是AB的中点，

∴S＝S，

△

CAM

又ON：OM＝1：2，

∴S＝S＝S，

△△

COACAM

∵N是AC的中点，

∴S＝S，

△

ANB

又ON：OM＝1：2，

∴S＝S＝S，

△△

AOBANB

故S：S：S＝3：2：1．

△△△

BOCAOBCOA

【点评】本题考查平面向量的综合运用，考查三角形面积比的求解，考查数形结合思想，属于中档题．

14.

计算：所得的结果为 ﹣i ．

【解答】解：因为，

又，

所以：＝505×（﹣i﹣1+i+1）﹣i＝﹣i．

故答案为：﹣i．

【点评】本题考查了复数的求和问题，主要考查了i的乘方运算，解题的关键是利用周期性进行分组求

和，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

15.

已知一个圆锥的底面面积为3π，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于 16π ．

【解答】解：设圆锥底面圆半径为r，圆锥的底面圆面积为3π，

可得πr＝3π，所以r＝，

2

母线长为l，圆锥的外接球半径为R，

∵侧面展开图是半圆，2π＝×2lπ，∴l＝2，

∴圆锥的轴截面为等边三角形，

∴球心为等边三角形的中心，∴R＝＝2，

∴外接球的表面积是4πR＝16π．

2

故答案为：16π．

【点评】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

16.

已知正方体ABCD﹣ABCD的棱长为4，点E为BC中点，点F为AB中点，若平面α过点F且

111111

与平面AEC

11111

平行，则平面α截正方体ABCD﹣ABCD所得的截面面积为 ．

【解答】解：如图所示，取A

11

D的中点G，

则平面AEC

11

即为平面AECG，

过点F作GC

1111

的平行线与BC交于点M，则BM＝1，

过点M作C

111

E的平行线与BB交于点N，则BN＝2，

平面α截正方体ABCD﹣A

1111

BCD所得的截面为△FMN，且，，

在△FMN中，，所以，

故△FMN的面积为．

故答案为：．

【点评】本题考查正方体几何性质的应用，主要考查了正方体中截面的理解，涉及了余弦定理以及同

角三角函数关系的应用，属于中档题．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤）

17.（本小题10分）

已知向量．

（1）求；

（2）若，求实数m，n的值；

（3）若，求实数k的值．

【解答】解：（1）∵向量．

∴＝6（1，1）+（﹣1，3）﹣2（5，﹣3）

＝（6，6）+（﹣1，3）﹣（10，﹣6）＝（﹣5，15）．

（2）＝（5n﹣m，3m﹣3n）

又且，

∴，解得．

（3），，

∵，∴3（1+3k）+5（1﹣k）＝0，

即8+4k＝0，解得k＝﹣2．

【点评】本题考查平面向量的坐标运算法则、向量相等、向量平行的等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题．

18.（本小题12分）

已知复数（i是虚数单位）．

（1）复数z是纯虚数，求实数m的值；

（2）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的取值范围．

【解答】解：（1）复数z是纯虚数，则且m﹣2m﹣15≠0⇒m＝3，

（2）z对应复平面上的点在第四象限，则且m﹣2m﹣15＜0⇒3＜m＜5，

所以m的取值范围为（3，5）．

【点评】本题主要考查了复数的定义及复数的几何意义，属于基础题．

2

2

19.（本小题12分）

如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝2，

AC交BD于点F，且△PAD与△ACD均为正三角形，G为△PAD的重心．

（1）求证：GF∥平面PAB；

（2）求三棱锥G﹣PAB的体积．

【解答】（1）证明：因为△PAD与△ACD均为正三角形，

连接DG并延长交PA于点E，连接BE，底面ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，

所以△ABF∽△CDF，则，

而G为△PAD的重心，所有，

所以，则GF∥EB，

而GF⊄平面PAB，EB⊂平面PAB，

所以GF∥平面PAB；

（2）解：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，

在△PAD中，连接PG并延长交AD于点M，PM⊥AD，所以PM⊥面ABCD，

则V

GPABPABMGABM

﹣﹣﹣

＝V﹣V，

因为CD＝，AB＝，△ACD为正三角形，则AD＝，所以PM＝3，PG＝2，GM＝1，

而∠DAC＝∠ACD＝60°＝∠CAB，则∠EAB＝120°，

所以S△MAB＝AM•AB•sin120°＝，

所以V

GPAB

﹣

＝＝．

【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理，以及几何体的体积的计算，同时考查了转化能力和运

算求解的能力，属于中档题．

20.（本小题12分）

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足＝．

（1）若cosA＝，求cosB；

（2）若b＝5，且cosA＝，求a．

【解答】解：（1）因为＝＝，

所以，由正弦定理可得，可得sinBcosB＝sinCcosC，可得sin2B＝sin2C，

因为B，C，

可得B＝C，或2B+2C＝π，即B+C＝，

因为cosA＝，

所以A，则B＝C，且B＜，

则cos（π﹣2B）＝，则2cos

2

B﹣1＝﹣，可得cosB＝±，

因为B为锐角，可得cosB＝．

（2）因为cosA＝≠0，所以B＝C，则b＝c＝5，

所以由余弦定理可得a＝b﹣2bccosA＝50﹣50×＝，可得a＝．

222

+c

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的综合应用，

考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

21.（本小题12分）

已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC，（如图所示）

（Ⅰ）若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表

面积．

（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬

行的最短距离．

【解答】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC中，由

即，得，若以AC为轴旋转一周，

的圆锥， 形成的几何体为以BC＝2为半径，高

． 则，其表面积为

（Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短

距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如

右图）最短距离就是点B到点B

1

的距离，

，

在△ABB

1

中，由余弦定理得：．

【点评】本题考查旋转体的简单性质，圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，是基本知识的考查．

22.（本小题12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bcosA﹣2c+a＝0．

（1）求角B；

（2）若，△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的范围．

＝＝， 【解答】解：（1）由正弦定理知，

∵2bcosA﹣2c+a＝0，

∴，

∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，

∴sinA＝sinAcosB，

∵sinA≠0，∴，即．

（2）由正弦定理得，＝＝＝＝2，

∴a＝2sinA，c＝2sinC，

∴a+c＝2（sinA+sinC）＝2[sin（﹣C）+sinC]＝2（cosC+sinC+sinC）

＝2（sinC+cosC）＝，

， ∵△ABC为锐角三角形，

∴，解得，

∴＜C+＜，

∴sin（C+）∈（，1]，

]， ∴a+c∈（3，2

故△ABC的周长a+b+c的范围为．

【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、两角和差的正弦公式、辅助角公

式，以及正弦函数的图象与性质等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．