第1讲导数概念运算和几何意义
............................................................................................................................
2
导数的运算题型一
............................................................................................................................................
4
【】根据求导法则求函数的导数
玩转角度1
...........................................................................................
4
【】抽象函数的导数计算
玩转角度4
2
.......................................................................................................
题型二导数的几何意义
....................................................................................................................................
4
【
玩转角度
1
】导数求切线方程（两类）
...............................................................................................
5
【】导数求切点坐标
玩转角度2
...............................................................................................................
5
【】求参数的值或取值范围
玩转角度35
...................................................................................................
【】公切线求法
玩转角度4
.......................................................................................................................
5
【】与切线有关的距离最值问题
玩转角度5
...........................................................................................
5
第2讲导数研究函数单调性
....................................................................................................................................
8
判断函数单调性题型一
....................................................................................................................................
8
【】求不含参函数单调性
玩转角度1
.......................................................................................................
8
【】讨论含参函数单调性
玩转角度2
.......................................................................................................
8
题型二已知函数单调性求参
题型三构造函数用单调性比较大小和解不等式
题型四导函数图像和原函数关系
第3
讲导数研究函数极值最值
..........................................................................................................................
10
..........................................................................................
11
..................................................................................................................
题型三双变量不等式证明
................................................................................................................................
25
题型四数列不等式证明
第5讲利用导数证明不等式（2）
..................................................................................................................................
26
........................................................................................................................
28
不含参极值点偏移题型一
..............................................................................................................................
30
含参极值点偏移题型二
..................................................................................................................................
30
拐点偏移题型三
..............................................................................................................................................
31
第6讲导数处理恒成立和能成立求参
..................................................................................................................
34
端点效应处理不等式求参题型一
..................................................................................................................
34
4种方法处理不等式求参题型二
...................................................................................................................
35
第讲导数处理函数零点问题
7
..............................................................................................................................
37
利用导数确定函数零点的个数题型一
..........................................................................................................
38
题型二已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围
................................................................................
38
题型三隐零点问题
第8讲计数原理
..........................................................................................................................................
39
......................................................................................................................................................
41
分类加法计数原理的应用
..................................................................................................................
41
分步乘法计数原理的应用
..................................................................................................................
42
两个计数原理的综合应用题型三
..................................................................................................................
43
题型一
题型二
第9讲排列组合
......................................................................................................................................................
45
排列问题
..............................................................................................................................................
46
组合问题
..............................................................................................................................................
47
排列与组合问题的综合应用题型三
..............................................................................................................
48
题型一
题型二
第10讲二项式定理
................................................................................................................................................
51
二项展开式
..........................................................................................................................................
52
二项式系数的性质及各项系数和
......................................................................................................
53
[基础回顾]
1.函数y＝f(x)在x＝x处的导数
0
(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x处的瞬时变化率处的
00
limlim
导数，记作f′(x＝
000
)或y′|x＝x，即f′(x)＝
limlim
xx
00
f(x
00
＋Δx)－f(x)
Δy
为函数y＝f(x)在x＝x＝
Δx
Δx
f(x
00
＋Δx)－f(x)
Δy
。
xx
00
Δx
Δx
(2)几何意义：函数f(x)在点x处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x，f(x))处的切线的斜率.相应
00
00
地，切线方程为y－y
000
＝f′(x)(
x－x).
2.函数y＝f(x)的导函数
如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在
(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝
lim
Δx→0
f(x
＋Δx)－f(x)
称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.
Δx
3.导数公式表
基本初等函数导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝x
αα
(α∈Q)f′(x)＝αx
*1
f(x)＝sinxf′(x)＝cosx
f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx
f(x)＝ef′(x)＝e
xx
f(x)＝a
xx
(a＞0)f′(x)＝alna
f(x)＝lnx
f(x)＝logx(a＞0，a≠1)
a
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x
)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f(x)
f′(x)g(x)－f(x)g′(x)
(3)(g(x)≠0).
g(x)
′＝
[g(x)]
2
5.复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y
xux
′＝y′·u′.
－
1
f′(x)＝
x
1
f′(x)＝
xlna
[完美题型展现]
题型一导数的运算
【】根据求导法则求函数的导数
玩转角度1
例1分别求下列函数的导数：
(1)y＝elnx；
x
cosx
(2)y＝
x
；
e
(3)f(x)＝ln1＋2x.
【】抽象函数的导数计算
玩转角度2
例2(2020·天津河西区调研)已知函数f(x，则f(1)＝()
)的导函数是f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln
A.－eB.2C.－2D.e
玩转秘籍
1.
求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元
.
3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解
.
[题型特训]
1.求下列函数的导数．
(1)y＝cosx－sinx；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
lnx
(3)y＝.
2
x
＋1
1
x
ππ
2.(2020·南昌模拟)已知函数f(cosx＋sinx，则f的值为________．
x)＝f′
44
题型二导数的几何意义
【】导数求切线方程（两类）
玩转角度1
例3（1）(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x＋(a－1)x＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线
32
y＝f(x)在点(0，0)处的切
线方程为()
A.y＝－2xB.y＝－x
C.y＝2xD.y＝x
（2）(2019·湖北百所重点高中联考)已知函数f
(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，
则直线l的方程为
【玩转角度2】导数求切点坐标
1
x
2
例4(1)(2019·聊城月考)已知曲线－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()
y＝
42
A.3B.2C.1D.
1
2
．
1
(2)设曲线y＝e(x>0)上点P处的切线垂直，则
x
在点(0，1)处的切线与曲线y＝
P的坐标为________.
x
【玩转角度3】求参数的值或取值范围
例5(1)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数
a的取值范围是()
A.(－∞，2]B.(－∞，2)
C.(2，＋∞)D.(0，＋∞)
a
(2)(2019·
河南六市联考)已知曲线f(x)＝x＋
＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5
，则a－b＝
x
________.
【玩转角度4】公切线求法
则b＝________．也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，例6（2016全国卷）
【玩转角度5
】与切线有关的距离最值问题
2
例7已知
x,yR
，则的最小值为．
xyx
2
y
2
玩转秘籍
处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
．
[题型特训]
x
2
＋a
3π
1．(2020·
衡阳模拟)曲线f(x)＝
，则实数a＝(在点(1，f(1))处切线的倾斜角为)
4
x＋1
A．1B．－1
C．7D．－7
2．若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)
＝x
2
＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()
A．－1B．0
C．1D．2
3．(2018·江西南昌二中月考)已知曲线f(x)
＝lnx的切线经过原点，则此切线的斜率为()
A．eB．－e
C.D．－
11
ee
7
1
4．(2018·江西新余质检)已知f(x)＝lnx(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，
，g(x)＝
x
2
＋mx＋
22
且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为()
A．－1B．－3
C．－4D．－2
5.函数g(x)＝ln
x图象上一点P到直线y＝x的最短距离为________.
[特训作业]
1.下列求导数的运算中错误的是()
A.(3)′＝3ln3
xx
B.(xlnx)′＝2xlnx＋x
2
cosx
xsinx－cosx
C.
x
′＝
x
2
D.(sinx·cosx)′＝cos2x
2.(2019·日照质检)已知f(x)＝xlnx，若
f′(x)＝2，则x等于()
00
A.eB.eC.
2
ln2
2
2
3.(2019·南阳一模)函数f(x)＝x－g(x)的图象在点x＝2处的切线方程是y＝－x－1，则g(2)＋g′(2)＝()
A.7B.4C.0D.－4
4.已知e为自然对数的底数，曲线y＝ae
x
＋x在点(1，ae＋1)处的切线与直线2ex－y－1＝0平行，则实数a
＝()
A.B.C.D.
e－12e－1e－12e－1
ee2e2e
)x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(
5.如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(
6.(2019·广州调研)已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k
的值为()
2B.1
C.1
－ln2D.1＋ln2
7.已知曲线f(x)＝2x
2
＋1在点M(x
00
，f(x))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.
8.(2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y
轴上的截距为
________.
9.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x
2
＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝________.
10.已知函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))
处的切线方程为y＝2x－1，则曲线g(x)＝x
2
＋f(x)在点(2，g(2))处的
切线方程为________________.
1
11.(2019·深圳二模)设函数f(x
)＝x＋
＋b，若曲线
y＝f(x)在点(a，f(a))处的切线经过坐标原点，
则ab＝()
x
A.1B.0C.－1D.－2
12.已知函数
f(x)＝|x，x∈
3
＋ax＋b|(
a，b∈R)，若对任意的x
121212
[0，1]，f(x)－f(x)≤2|x－x|恒成立，则实数
a的取值范围是________.
1
13.若函数f(x)＝
x
2
－ax＋lnx存在垂直于
y轴的切线，则实数a的取值范围是________.
2
第2讲导数研究函数单调性
1.函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
[基础回顾]
(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．
[常用结论]
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(
x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对
∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)
在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
[完美题型展现]
题型一判断函数单调性
【玩转角度1】求不含参函数单调性
例1（1）函数f(x)＝x·e－e的递增区间是()
xx
1
＋
A．(－∞，e)B．(1，e)
C．(e，＋∞)D．(e
－1，＋∞)
（2）已知函数f(x)＝xlnx，则f(x)的单调递减区间是
________．
（3）(2020·
开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)
的单调递增区间是
______________________
．
【玩转角度2】讨论含参函数单调性
2x－1
例2已知f(x)＝a(x－lnx)＋
2
，a∈R
.讨论f(x)的单调性．
x
玩转秘籍
利用导数求函数单调区间的三种方法
1．当不等式f′(x)>0或f′(x)<0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调
区间．
2．当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数的实根按
从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单
调区间．
3．不等式f′(x)>0或f′(
x)<0及方程f′(x)＝0均不可解时，根据f′(x)的结构特征，构造新函数g(x)，
通过研究g(x)的单调性来确定f′(x)的符号，从而确定f(x)的单调性．
[题型特训]
1
1.函数y＝
x
2
－lnx的单调递减区间为()
2
A．(－1,1)B．(0,1)
C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)
1
2.(2018·全国卷Ⅰ节选
)已知函数f(x)＝
－x＋aln
x，讨论f(x)的单调性．
x
3.已知函数g
(x)＝lnx＋ax
2
＋bx，其中g(x)的函数图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴．
(1)确定a与b的关系；
(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．
题型二已知函数单调性求参
a
1
例3设函数f(x)＝－＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
xx
32
32
(1)求b，c的值；
(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
[母题变式]
1．在本例第(3)问中，若改为g(x)在(－2，－1)内为减函数，如何解？
2．在本例第(3)问中，若
g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，求a的值？
3．在本例第
(3)问中，若g(x)在(－2，－1)上不单调，求a的取值范围？
玩转秘籍
由函数的单调性求参数的取值范围的方法
可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)
(1)由可导函数f(x)在D上单调递增(或递减)求参数范围问题，
对x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是
f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解
集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知
f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出
f(x)的单调区间，令I是
其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
(4)可导函数在某一区间不单调，实际上就是f′(x)=0在该区间上存在解集。
[题型特训]
1.(2019·渭南质检)已知函数f(x)＝ax
32
＋bx的图象经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x＋9y＝0
垂直．若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，则m的取值范围是________．
1
2．若函数h(x)＝lnx－
ax
2
－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围为________．
2
[变式发散]
1．(变条件)若本例(2)条件变为“函数
h(x)在[1,4]上单调递增”，则a的取值范围为________．
2．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h(x)在[1,4]上存在单调递减区间”，则a的取值范围为________．
3．(变条件)若本例(2)条件变为“函数h(x)在[1,4]上不单调”，则a的取值范围为________．
题型三构造函数用单调性比较大小和解不等式
例4(2019·莆田模拟)设函数f′(x)是定义在(0,2π)上的函数f(x)的导函数，f(
x)＝f(2π－x)，当0＜x＜π时，若
π7π
3
1
f(x)sin
x－f′(x)cosx＜0，a＝
ff
36
，b＝0，c＝－，则()
22
A．a＜b＜cB．b＜c＜a
C．c＜b＜aD．c＜a＜b
例5设函数f′(x)是奇函数f(
x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x
的取值范围是()
B．(A．(－∞，－1)∪(0，1)
－1，0)∪(1，＋∞)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
玩转秘籍
利用单调性解决不等式问题大小比较、解不等式
()
的基本思路
利用题目条件，合理构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的
单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
[题型特训]
1．(2020·江西宜春质检)已知f(
x)是定义在区间(0，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)<2f(x)
恒成立，则()
A．4f(1)<f(2)B．4f(1)>f(2)
C．f(1)<4f(2)D．f(1)<2f′(2)
2.(2020·宁波模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f
(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，则不等式e
xx
f(x)>e
＋3(其中e为自然
数对数的底数)的解集为()
A．(0，＋∞)B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)D．(3，＋∞)
xf′x－fx
3.设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x
2
f(x)>0的解集是
2
x
__________________．
题型四导函数图像和原函数关系
例6(2020·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的
是()
A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)
C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)
[题型特训]
1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()
2．已知函数f(x)＝x
2
＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的大致图象是()
[特训作业]
1．函数f(x)＝(x－3)e
x
的单调递增区间是()
A．(－∞，2)B．(0,3)
C．(1,4)D．(2，＋∞)
2.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大
致是()
ππ
－
3．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为()
53
A．f>f(1)>fB．f(1)>f>f
－－
ππππ
3535
ππππ
－－
D．f>f>f(1)C．f>f(1)>f
3553
1
4．已知函数f(x)＝
x
3
＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的()
2
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
lnx
5．若f(x)＝
，e<a<b，则()
x
A．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)
C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>1
ππ
0，0，
6．已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sinx<
22
f(x)cosx，则()
πππ
A.f>fB．f>f(1)
32
433
ππππ
C.f<fD.f<f
23
6463
11
x
2
2
7．(2020·昆明调研)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<)<
，则不等式f(x＋的解集为
222
____________．
2
8．已知g(x)＝
＋x＋2alnx在[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围为__________．
2
x
9．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的
x的取值范围是____________．
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lnx＋k
10．已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
e
x
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
b
11．(2020·信阳高级中学模拟)已知函数f(x)＝
x
－1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过
e
点(2，－2)．讨论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性．
12．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立，其中y＝f′(x)为y＝f(x)的导
函数，则()
A．8<<16B．4<<8
f2f2
f1f1
f2f2
D．2<<3C．3<<4
f1f1
2
，＋∞
11
32
13．若函数f(x)＝－
xx
＋＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．
3
32
14．对于三次函数f(x)＝ax
32
＋bx＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)
的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x
000
，则称点(x，f(x))为函数y＝f(x)的“拐点”．经过探究发现：任何一
个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g(x)＝2x
3
12199
－6x＋4，则g
2
100100100
＋g＋…＋g＝________.
1
15．已知函数f(x)＝
ax
2
－(a＋1)x＋lnx(a>0)，讨论函数f(x)的单调性．
2
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第3讲导数研究函数极值最值
1．函数的极值与导数
[基础回顾]
f′(x
0
)＝0
条件
xx
00
附近的左侧f′(x)≥0，右侧附近的左侧f′(x)≤0，右
f′(x)≤0
侧f′(x)≥0
图象
极植f(x
极值点x
00
)为极大值f(x)为极小值
00
为极大值点x为极小值点
2.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调
递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[完美题型展现]
题型一求函数极值
例1(2020·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R
).
1
(1)当a＝
时，求f(x)的极值；
2
(2)
讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
玩转秘籍
运用导数求可导函数＝()的极值的一般步骤
yfx
(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数
f′(x)在方程根
的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这
个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.
[题型特训]
1.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x
)＝(x
21
＋ax－1)·e的极值点，则f(x)的极小值为()
x
－
A.－1B.－2eC.5eD.1
题型二
－－
33
已知函数的极(最)值求参数的取值
例2(2020·泰安检测)已知函数
f(x)＝lnx.
(1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程；
m
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋
存在两个极值点x
12
，x，求m的取值范围.
x
玩转秘籍
根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为
0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②
验证：求解后验证根的合理性．
[题
型
特
训]
1.
1
，4
xa
3
2
若函数f(x)＝－＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是()
x
3
32
A.B.
2，2，
1010
33
171017
2，
D.C.
434
，
2.(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax.
2
－(4a＋1)x＋4a＋3]e
x
①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.
题型三求函数最值
x－1
例3(2020·贵阳检测)已知函数f(x)＝
－lnx.
x
(1)
求f(x)的单调区间；
1
，e
(2)求函数f(x)
在
e
上的最大值和最小值(其中
e是自然对数的底数)．
例4(2019·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数.
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值.
玩转秘籍
用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤
第一步：(求导数)求函数f(x)的导数f′(x)；
第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；
第四步：(求最值)将f
(x)的各极值与f(x)的端点值进比较，确定f(x)的最大值与最小值；
第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范
[题型特训]
1．(2017·北京)已知函数f(x)＝ecosx－x.
x
(1)求曲线y＝f(x)
在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数上的最大值和最小值.
f(x)在区间
0，
π
2
题型四
利用导数求解最优化问题
例5(2020·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根
v
3
据以往经验，潜水员下潜的平均速度为＋1(升)，在水底作业
v(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为
10
v
10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9(升)，返回水面的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间用氧量为
2
1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).
(1)
求y关于v的函数关系式；
(2)若c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度
v取什么值时，总用氧量最少.
玩转秘籍
利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：
(1)设自变量、因变量，建立函数关系式
y＝f(x)，并确定其定义域；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程
f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和f′(
x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)回归实际问题作答.
[题型特训]
1．(2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为
O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，
E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以
BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，
分别以BC，CA，AB为折痕折起△
DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边
长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm
3
)的最大值为______.
[特训作业]
1.函数y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()
A.(－1，3)为函数y＝f(x)的递增区间
B.(3，5)为函数y＝f(x)的递减区间
C.函数y＝f(x)在x＝0处取得极大值
D.函数y＝f(x)在x＝5处取得极小值
2.设a∈R，若函数y＝e
x
＋ax有大于零的极值点，则()
A.a<－1B.a>－1
C.a>－D.a<－
11
ee
)＝1处有极值10，则f(2)等于(
3.已知函数f(x)＝x
322
＋ax＋bx＋a在x
A.11或18B.11
C.18D.17或18
4.函数
f(x)＝3x
2
＋lnx－2x的极值点的个数是()
A.0B.1C.2D.无数
x
5.(2019·青岛二模)已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为()
e
A.2e－1B.C.1D.2ln2
－
1
e
6.函数f(x)＝xe
－
x
，x∈[0，4]的最大值是________.
7.已知函数f(x)＝－
x
32
＋ax－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1，1]，则f(m)的最小值是
________.
1
，3
x
3
a
2
上有极值点，则实数a的取值范围是________.－＋x＋1在区间
8.若函数f(x)＝
x
2
32
1
9.设函数f(x)＝alnx－bx(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－
2
相切.
2
(1)求实数a，b的值；
1
，e
(2)求函数f(x)在
e
上的最大值.
10.(2018·天津卷选编)设函数
f(x)＝(x－t)(x－t)(x－t)，其中t，t，t∈R，且t，t，t是公差为d的等差
1
23123123
数列.
(1)若t＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
2
(2)若d＝3，求f(x)的极值.
第4讲利用导数证明不等式（一）
1.常用不等式的生成
[基础回顾]
在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关
e
x
lnx
的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成．
e
x
lnx
（1）生成一：利用曲线的切线进行放缩
设
y
e
x
上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，
P
m
yxmyxm
eee1e
mmmm
由此可得与有关的不等式：
eee1e
xxmm
xm
，其中，，等号当且仅当时成立．特
xRmR
xm
别地，当时，有
m0
e1
xx
xeex
；当时，有．
m1
设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，
ylnxQn
ylnnxnyx1lnn
由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别
lnxx0n0xn
lnxx1lnn
11
nn
1
n
1
地，当时，有；当时，有
n1lnxx1
ne
ln
xx
．
e
利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．
生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩
由图可得；由图可得；由图可得，（），
12
lnln
xx
2121
xx
11
x
30x1
lnln
xx
xx
11
e
xx
1111
（），（）．（）；由图可得，
01xx1x14
lnln
xxxx
22
xx
综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：
e
x
lnx
与有关的常用不等式：
e
x
（1）
e1
x
x
（）；
xR
（2）
ee
x
x
（）．
xR
与有关的常用不等式：
lnx
（1）
x
1
x0
ln1
xx
（）；
x
11
（2）（）；
x0
ln
x
x
ee
x
2121
xx
（），（）；（3）
0x1x1
lnln
xx
xx
11
1111
（），（）．（4）
x10x1
xxxx
lnln
xx
22
用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．
x1
x
lnx1
2.对数平均值不等式链
ab
,
ab
我们将两个正数和的对数平均值定义为：，对数平均值不等式链为：
a
b
Lab
,
lnln
ab
aab
,
abab
abLab
,
11
22
ab
2
22
．
对数平均值不等式链的指数形式为：，其中．
11
ba
ee
2eeeeee
e
ab
2
22
ababab
ab
22
ab
[完美题型展现]
题型一单变量不等式构造单函数求最值
例1(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax＋(2a＋1)x.
2
(1)讨论f(x)的单调性；
3
(2)当a<0时，证明
f(x)≤－
－2.
4a
玩转秘籍
1.证明
f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)>0(利用单调性)，转化为函数求最值。
2.对于含有参数的一个未知数的函数不等式，我们还可以通过放缩，消去参数，转化为研究一
个特例函数的问题，从而使题目的难度大大降低。
[题型特训]
1.已知函数处的切线方程为．
fx
axb
ln
，曲线在点
yfx
1,f1
x2y30
xx
1
ln
x
．（2）证明：当，且时，
x
1
（1）求、的值；
ab
x0x1
fx
题型二单变量不等式构造双函数求最值
例2
(2014·新课标全国Ⅰ)设函数，曲线在点处的切线方程为
be
x
1
fxaex
()ln
x
x
yf(x)(1,f(1))
ye(x1)2.
（I）求
a,b;
（II）证明：
f(x)1.
玩转秘籍
1
进行隔离，公切曲线的寻找需要法1中的两个函数凸性相同，因此需要寻找公切曲线
e
x
11211
有一定的函数不等式放缩经验．该放缩与常用不等式
lnln
xxx
x
ee
x
x
以及
eeeee
xxx
tx
有关，因此熟练掌握与、有关的常用不等式，能有效打开某些不等式的证明思路，使题目的
e
x
lnx
难度降低．法2中的两个函数凸性相反，且两个函数的最值相同，此时可寻找到与轴平行的公切
x
线
y
1
，实现隔离放缩．
e
如何恰当地“改造”函数是解题的关键，这需要我们熟悉与四则运算组合后的函
xe
nx
、、
ln
x
数。
[题型特训]
1.f(x)xlnxax.
已知函数
＝－
(1)a1f(x)(0)
当＝－时，求函数在，＋∞上的最值；
1
2
(2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1>
x
＋
1
－成立.
2
e
x
e
题型三双变量不等式证明
例3(2018·全国卷)已知函数．
fxxalnx
1
x
⑴讨论的单调性；
fx
⑵若存在两个极值点．
fx
xx
12
，，证明：
fxfx
12
xx
12
a
2
玩转秘籍
对于两个未知数的函数不等式问题，其关键在于将两个未知数化归为一个未知数，常见的证明方法
有以下4
种：
方法1：利用换元法，化归为一个未知数
方法2：利用未知数之间的关系消元，化归为一个未知数
方法3：分离未知数后构造函数，利用函数的单调性证明
方法4：利用主元法，构造函数证明
[题型特训]
1．(2020·北京模拟)已知函数，．
fxln1xxgxxlnx
（1）求函数的最大值；
fx
ab
（2）设，证明：．
0ab
02ln2
gagbgb
a
2
题型四数列不等式证明
例4已知函数.
fxx1alnx
（1)若，求的值
fx0
a
111
（2）设为整数，且对于任意正整数，
m
111
2
n
m
，求的最小值.
m
222
玩转秘籍
111
【点评】不等式
111
2
n
m
左边是一个项乘积的形式，处理起来比较
n
222
111
麻烦．考虑取对数，将不等式等价转化为，则容易联
ln1ln
L
1ln1ln
2
n
m
222
想到与有关的常用不等式．
lnx
ln1xx
[题型特训]
1．设函数，，，其中是的导函数．
fxln1xgxxfxx0fxfx
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
fxagxa
（2）设
nN1n
*
，比较与的大小，并加以证明．
gg2Lgnfn
[特训作业]
1.已知函数，曲线在点
fx
yfx
axb
ln
1,f1
处的切线方程为．
x2y30
xx
1
ln
x
．（2）证明：当，且时，
x
1
（1）求、的值；
a
b
x0x1
fx
1
b
2.已知函数
fxax
xaxbxabR
1ln
2
x
（、）．
2e
b
1
（1）若
abFxfxaxlnx
，求函数的单调区间；
x
e2
1
（2）若，，求证：．
a1b1
fxaxbxx
22
ln12e
2
3.已知函数
fxxx
eeln
x
．
（1）求曲线在
yfx
1,f1
处的切线方程；
（2）求证：
fxex
2
．
4.已知函数
fxxaxxR
ln
1
（其中）．
a
2
1
x
，求的值；
ay
2
（1）若曲线在点
yfx
x,fx
00
处的切线方程为
（2）若
1
afx0
2e
（是自然对数的底数），求证：．
e
2e
5.已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为．
fxaxxlnx
xe
e
3
（1）求实数的值；
a
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；
kZx1k
k
fx
x
1
（3）当时，证明：
nm4
mnnm
nm
mn
．
第5讲利用导数证明不等式（2）
极值点偏移和拐点偏移
[基础回顾]
1.极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线
f(x)f(x)f(2mx)f(x)
x
则且若为单峰函数，对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，
xmxm
f(x)f(x)
必为的极值点如二次函数的顶点就是极值点，则刚
f(x)f(x)
.
x
0
，若的两根的中点为
f(x)c
好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移
xx
12
x
0
.
2
xx
12
2
若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内
f(x)f(x)
m
则函数极值点左右侧变左侧的任意自变量都有或，
f(x)f(x)f(2mx)f(x)f(2mx)
mxmx
化快慢不同.故单峰函数定义域内任意不同的实数与极值点
f(x)
x,x()()
1212
满足
fxfx
，则
必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
mm
xx
12
m
2
xxxx
1221
22
xxx
12
()gxc
的极值点
刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左如函数
x
1
0
x
2
e
g(x)
偏
.
2.极值点偏移问题的一般题设形式：
1.
若函数存在两个零点
f(x)
x,x
1212
且（
xx
，求证：为函数的极值点）；
xxx
1200
2
x
f(x
)
2.
若函数中存在
f(x)
x,x
121212
且（
xxf(x)f(x)
满足，求证：为函数的极值
xx2x
1200
x
f
(x)
点）；
3.若函数存在两个零点
f(x)
x,x
1212
且
xx
，令
x
0
xx
12
，求证：；
f'(x)0
0
2
4.若函数中存在
f(x)
x,x
121212
且
xxf(x)f(x)
满足，令
x
0
xx
12
，求证：.
f'(x)0
0
2
[完美题型展现]
题型一不含参极值点偏移
例1（2013湖南）已知函数
fxe
()f(x)f(x)(xx)xx0.
1
x
x
，证明：当
121212
时，
1
x
2
玩转秘籍
极值点偏移解题一般处理策略：
第一步：根据
fxfxxx
1212
建立等量关系，并结合的单调性，确定
fx
x,x
12
的取值
范围；
第二步：不妨设
xx
12
，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化．
第三步：构造关于
xx
12
（或）的一元函数，应用导数研究其
Txfxf2axi1,2
ii
单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．
[题型特训]
1.已知函数
f(x)lnx
2
，若.
xxfxfx
121212
，且，证明：
()()4
xx
x
题型二
含参极值点偏移
例2(201·新课标全国=有两个零点
6.
Ⅰ)已知函数
−2e
2
+𝐨−1)
(I)a
求的取值范围；
(II)x+x<2.
设
122
，是𝐨𝐩的两个零点，证明：
x
1
[题型特训]
设函数，两（2020年江苏省南通市二模第20题）1.
fxeaxa
，其图象与轴交于
Ax,0Bx,0
12
x
点，且
xx
12
．
(1)求的取值范围；
a
(2)证明：
fxx0
12
（为函数的导函数）；
fxfx
题型三拐点偏移
2
例3
已知函数
fx2lnxxxfx+fx=4
，若正实数，
xx
12
，满足
12
求证:
xx2
12
。
玩转秘籍
拐点偏移解题一般处理策略：
并结合的单调性，确定找出拐点，
fx
x,x
12
根据第一步：
fxfx2fxxx2x
120120
的取值范围；
第二步：不妨设
xx
12
，将待证不等式进行变形，进而结合原函数或导函数的单调性等价转化．
第三步：构造关于
xx
12
（或）的一元函数，应用导数研究其单
Txfxf2axi1,2
ii
调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证明．
[题型特训]
1．(2019·济南二模)已知函数f(x)＝
xx(1)
lnxax
(1)求实数a的值；
(2)若
fxfxxx
()()1(),
1212
证明
xx2.
12
a
2
，其导函数f′(x)的最大值为0.
2
[特训作业]
1.已知
fxxxxxxxmxx
lnxxe
为自然对数的底数）．
1
22
若有两个极值点，，且，求证：，．
fx
121212
（
e
mR
2
2.设，函数有两个零点
aR
fxlnxax
xx
1212
、，且
0xx
．
（1）求实数的取值范围；
a
（2）证明：
xxe
12
2
．
3.
已知函数
fxxlnxaxxaaR
在其定义域内有两个不同的极值点
.
2
（）求的取值范围
1.
a
（）设的两个极值点为
2
fx
x,x
12
，证明
xxe
12
2
.
第6讲导数处理恒成立和能成立求参
[基础回顾]
1.
恒成立与能成立问题的解决策略大致分四类：
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临
界.
一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等
式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综
合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热
点．
[完美题型展现]
题型一端点效应处理不等式求参
例1(2016·全国卷)已知函数
f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)．
(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，求a的取值范围．
玩转秘籍
利用导数求不等式中某一参数的试题的难度在不断增加，特别当极值点函数值不容易求的时候，有
时用常规的办法很难解决这类试题，若对某个端点进行验证，再运用分类整合思想分析推断不等式成立的条件，
进而求得实数的取值范围，使得问题获解，那么就可以比较轻松地找到破解这
类题目的有效方法
.
[题型特训]
1.(2020济钢高中12月测)已知函数
fx
()
axb
ln
，曲线在点处的切线方程为
yf(x)(1,f(1))
xx
1
x2y30
．
（Ⅰ）求、的值；
a
b
（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围．
x0x1k
fx
()
ln
xk
xx
1
题型二
4种方法处理不等式求参
x
例2（2020届石家庄高中毕业班教学质量检测）已知函数
fxaxeax
121
.
（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；
a1
fx0,f(0)
（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围.
x0
f(x)0
a
[题型特训]
1.（2020届广州市高中毕业班一模）已知函数．
fxaxlnx1
（1）讨论函数零点的个数；
fx
（2）对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
x0
fxx
e
a
2
x
[特训作业]
1.2020
【衡水中学届高三第一学期期末】
已知函数，函数，.
fxea
()
x
1
g(x)axlnx
aR
（1）求函数的单调区间；
yg(x)
（2）若不等式在区间内恒成立，求实数的取值范围；
f(x)g(x)1[1,)
a
（3）若，求证不等式成立.
x(1,)
exx
x
1
2ln1
2.（厦门2020届高三第一学期期末质检）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当的极小值为，时，记函数，求满足条件的最小整
数.
3.（郑州2020高中毕业年级第一次质量预测）已知函数在处的切线
f(x)lnxa(x1)aR
(1,f(1))
与轴平行
x
.
（）求的单调区间；
1
f(x)
1
x
2
（2）若存在
x1x(1,x)()2(1)
00
，当时，恒有
fxxkx
成立，求的取值范围.
k
22
第7讲导数处理函数零点问题
[基础回顾]
对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．
对于两个函数的选择，有
3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的
情况最为常见．
分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数
fx
的
图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；
x
部分题目利用零点存在性定理并结合函数的单调
性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．
1．下凸函数定义
设函数
fxa,ba,b
为定义在区间上的函数，若对上任意两点
xx
12
，，总有
xx
fxfx
12
，当且仅当
xx
12
时取等号，则称为上的下凸函数．
fxa,
b
f
12
22
2．上凸函数定义
设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点
fxa,ba,b
xx
12
，，总有
xx
fxfx
12
，当且仅当
xx
12
时取等号，则称为上的上凸函数．
f,
xab
f
12
22
[完美题型展现]
题型一利用导数确定函数零点的个数
．例1【2018年全国卷II】已知函数
（）若，求的单调区间；
1
（）证明：只有一个零点．
2
玩转秘籍
讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零
点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数
.
[题型特训]
1.【河南濮阳一中期中】已知函数，
2020.
f(x)lnxmx1
2
mR
（）当时，求函数的单调区间及极值；
1
m2
f(x)
（）讨论函数的零点个数
2
f(x)
.
题型二已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围
例2（2017全国卷）已知函数
f
xaax
e2e
2
xx
.
（1）讨论单调性，
fx
（2）若有两个零点，求实数的取值范围.
fx
a
[题型特训]
1.【福建莆田期末】已知函数
2020·
fxxax
1e
.
2
x
（）讨论的单调性；
1
fx
（）若函数
2
gxxmx
1e1
在有两个零点，求的取值范围
1,
m.
2
x
题型三隐零点问题
2
例3【2017
年全国课标1】已知函数（x）=ax﹣ax﹣xlnx，且（x）≥0．
ff
（1）求a；
（2）证明：（x）存在唯一的极大值点x，且e＜x）＜2．
ff（
00
﹣2﹣2
[题型特训]
1.【江西省九江市2019届高三一模】已知函数．
(1)试讨论函数𝐨𝐩的单调性；
()𝐨𝐩𝐨𝐩
2若函数存在最小值
𝑚
，求证：．
[特训作业]
1.2020·
【福建南平期末】已知函数
fxxax
1e
.
2
x
（）讨论的单调性；
1
fx
（）若函数
2
gxxmx
1e1
在有两个零点，求的取值范围
1,
m.
2
x
2.2020·
【江西赣州期末】已知函数
fxeaxx
()
x
2
（
e
为自然对数的底数）在点的切线方程为
(1,f(1))
y(e3)xb
.
（）求实数的值；
1
a,b
（）若关于的不等式的最大值
2.
x
fxm
()
4
对于任意恒成立，求整数
x(0,)
m
5
3.2020
【重庆八中月考】己知函数
fxexax
1
x
1
2
.
2
（）当时，求的单调区间和极值；
1
a0
fx
（）讨论的零点的个数
2.
fx
4.2020
【辽宁实验中学高三期中】已知函数
fxxeaxgxaR
()(1)(1),()()
(1)
求的单调区间；
g(x)
(2)
若
0ae
（）证明恰有两个零点；
i
f(x)
（）设的极值点，的零点，且
ii
x
0
为为证明：
f(x)f(x)
xxx
110
2x1x
01
.
x
fx
()
x
1
第8讲计数原理
1．分类加法计数原理
[玩前必备]
在第二类办法中有m种不同的方法……种不同的方法，
2
在第一类办法中有m完成它有n类办法，做一件事，
1
在第
n类办法中有m
n
种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．
N＝m
12
＋m＋…＋m
n
2．分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m
12
种不同的方法，做第二个步骤有m种不同的方
法……做第n个步骤有m
nn
种不同的方法．那么完成这件事共有
N＝m种不同的方法．
12
×m×…×
m
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；
分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
[玩转典例]
题型一分类加法计数原理的应用
例1(2020·济南模拟)如果一个三位正整数如“a
1231223
aa”满足a<a，且a>a，则称这样的三位数为凸数(如
)120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(
A．240B．204C．729D．920
例2(2016·全国Ⅲ)定义“规范01数列”{a
nn
}如下：{a}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意
)k≤2m，a中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(
12
，a，…，a
k
A．18个B．16个C．14个D．12个
[玩转跟踪]
1．满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax
2
＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为()
A．
14B．13
C．12D．10
2．在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．
3.如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．
xy
22
4．若椭圆
＋＝1的焦点在y轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆的个数为________．
mn
题型二分步乘法计数原理的应用
例3(1)(2016·全国Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公
)寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(
A．24B．18C．12D．9
(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有
________种不同的报
名方法．
[玩转跟踪]
1．(1)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}
，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则P可表示坐标平面上第
二象限的点的个数为()
A．6B．12
C．24D
．36
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场
比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春
·长
沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐
·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》
排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有
________种．(用数字作答)
2.如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A，B，C，
D，E，F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通．现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有________
种．
题型三两个计数原理的综合应用
例4用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有
________个．(用数字作答)
例5如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂1种颜
色的涂料，其中2和9同色，3和6同色，4和7同色，5和8同色，且相邻区域的颜色不相
同，则不同的涂色方法有()
A．360种B．720种
C．780种D．840种
例6(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，
)由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(
A．48B．18
C．24D．36
(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两
个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()
A．60B．48
C．36D．24
[玩转跟踪]
1．如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不
同，则不同的涂色方法种数为()
A．24B．48
C．72D．96
)40000大的偶数共有(
2．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比
A．144个B．120个
C．96个D．72个
3.如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形
有________个(用数字作答)．
[玩转练习]
1．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有()
A．24种B．4种
C．4
34
种D．3种
)2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(
A．40B．16
C．13D．10
3．集合P＝{x,1}，Q＝{y,1,2}，其中x，y∈{1,2,3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，
y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是
()
A．9B．14
C．15D．21
4．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入
节目单中，那么不同的插法种数为
()
A．504B．210
C．336D．120
()
A．3B．4
C．6D．8
)(
5．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为
6．用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有
A．4320种B．2880种
C．1440种
D．720种
现在用四种颜色给这四
7.如图是一个由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，
个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方
法有()
A．24种B．72种
C．84种D．120种
8.将1,2,3，…，9这9个数字填在如图所示的空格中，要求每一行从左到右、每一列从
上到下分别依次增大，当
3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法为()
A．6种B．12种
C．18种D．24种
9．(多选)“二进制”与我国古代的《易经》有着一定的联系，该书中有两类最基本的符号：“——”和“—
—”，其中“——”在二进制中记作
“1”，“——”在二进制中记作“0”，其变化原理与“逢二进一”的法
则相通．若从两类符号中任取2个符号排列，可以组成的不同的十进制数为
()
A．0B．1
C．2D．3
)10．(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1,2,3号的盒子中，不允许有空盒子的放法共有(
111132
A．CCCC种B．CA种
321343
122
CA种D．18种
423
C．C
11．(一题两空
)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c的系数，则可组成________
个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．
12.如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形
A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色
不同，则不同的涂法有_______种．
13．在某一运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须
在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，
则安排这8名运动员比赛的方式共有________
种．
14．有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4
个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型
号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这
4个操作人员中选3人分别去操作这三种
型号的电脑，则不同的选派方法有________种(用数字作答)．
15．若m，n均为非负整数，在做m＋n的加法时各位均不进位(例如：134＋3802＝3936)，则称(m，n)为
“简单的”有序对，而m＋n称为有序对
(m，n)的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是________．
16．
(2020·山西太原模拟)如图所示，玩具计数算盘的三档上各有
7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部
分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1(允许一侧无珠
)，记上、中、下三档的数字和分别
为a，b，c.例如，图中上档的数字和a＝9.若a，b
，c成等差数列，则不同的分珠计数法有________种．
第9讲排列组合
1．排列、组合的定义
排列的定义
[玩前必备]
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不
从n个不同元素中
取出m(m≤n)个元
同元素中取出m个元素的一个排列
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m
个元素的一个组合
组合的定义
素
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N
的所有不同排列的个数
*
)个元素
从n个不同元素中取出
m(m≤n，m，n∈N
*
)个元素的
所有不同组合的个数
m
A
n
m
C
n
＝
m
＝
A
m
定义
公式
n！
A
m
n
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
n－m！
nn－1n－2…n－m＋1
m！
mnmmm
C
01
nnnnn
＝1，C＝C，C＋C
－－
性质A
n
＝n！，0！＝1
n
m
＝C
n
＋
1
正确理解组合数的性质
nmm
(1)C
nn
＝C：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余
n－m个元素的方法数．
－
mmm
1
m
(2)C
nnnn
＋C＝C
＋
1
：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素
A有C
－
1
种方法；②含特殊元素A有C
m
n
种方法．
－
[玩转典例]
题型一排列问题
例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排
3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
[解题技法]
求解排列应用问题的6种主要方法
直接法把符合条件的排列数直接列式计算
优先法优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
定序问题
除法处理
间接法正难则反、等价转化的方法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元
素排列的空档中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
[玩转跟踪]
1．高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求2个舞蹈节目不
连排，则不同排法的种数是()
A．1800B．3600
C．4320D．5040
)2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有(
A．250个B．249个
C．48个D．24个
3．将7个人(其中包括甲、乙、丙、丁4人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须
相邻，则不同的排法共有()
A．1108种B．1008种
C．960种D．504种
题型二组合问题
例2某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同取法有多少种？
[解题技法]
组合问题的
2类题型及求解方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；
“不
含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键
词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，
用间接法处理．
[玩转跟踪]
1.在某校2020年举办的第32届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报
名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为()
A．30B．36
C．60D．72
()
B．63种A．60种
D．66种C．65种
)3．从{1,2,3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是(
2.(2020·武汉二模)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有
A．72B．70
C．66D．64
4．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用
数字作答)
题型三排列与组合问题的综合应用
考向(一)相邻、相间及特殊元素(位置)问题
例3(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能
连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为
________．
(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系
要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共
8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出
去游玩，每车限坐4
名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐
甲车的4个孩子恰有
2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．
[解题技法]
解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类；
(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位
置
)，再考虑其他元素(位置)．
考向
(二)定序问题
例4某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位
老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式
有________种．
[解题技法]
解定序排列问题的方法
定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列．
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总
A
n
n
nmmn
－
排列数A＝A
nmn
除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种.
A
m
m
考向(三)分组、分配问题
例5(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分
到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种
不同的分派方法．
(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送
方案共有________种．
(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所
1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
[解题技法]
分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A
n
n
(n
为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除
以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排
列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
[玩转跟踪]
1．(2020·广州调研)某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2个，乙大学2个，丙大学1个，
并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐
方法共有
()
A．36种B．24种
C．22种D．20种
2．(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于
2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视
台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”，“对象
采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但
2名女记者不参加“负重扛
机”工作，则不同的安排方案数共有()
A．150B．126
C．90D．54
3．冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去
3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小
区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有______种．
[玩转练习]
1．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名，执行奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，
每个场地由两名来自不同国家的裁判组成，则不同的安排方案总数有()
A．48种B．64种
C．72种D．96种
2．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，
则不同的选法共有()
A．3种B．6种
C．9种D．18种
3．某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，
那么不同的停放方法的种数为()
A．16B．18
C．24D．32
4．(2020·沈阳教学质量监测)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则
不同的站法共有()
A．4种B．8种
C．12种D．24种
5．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同
的参赛方案种数为
()
A．48B．72
C．90D．96
6．(2020·南昌调研)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须
排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有
(
A．120种B．156种
C．188种D．240种
)
7．(多选)某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下
列说法错误的是()
3
A．若任意选择三门课程，选法总数为
A
7
21
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为CC
26
13
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为
C－C
75
121
C－CC
525
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
8．(多选)用0到9这10个数字，可组成没有重复数字的四位偶数的个数为
()
1123
A．A＋A·A·A
9488
23
13
B．A＋A·
94
()
A－A
98
211211
C．A·A·A＋A·A·A
558448
32
134
D．A－A－A
1095
()
A－A
98
9．将标号分别为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1,2的小
球放入同一盒子中，则不同的放法共有()
A．12种B．16种
C．18种D．36种
10．某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语、物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学
与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课方案的种数是
________．
11.如图所示2×2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4
中的任何一个，允许重复．若
填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有______种．(用数字作答)
AB
CD
12．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数
共有________个．(用数字作答)
13．(一题两空)已知10件不同的产品中有4件是次品，现对它们进行测试，直至找出所有的次品为止．
(1)若恰在第5次测试才测试到第1件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是
________．
(2)若恰在第5次测试后就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是
________．
14．将A，B，C，D，E排成一列，要求
A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相
邻)，这样的排列数有__________种．
15.如图，∠MON的边OM上有四点A，A，A，A，ON上有三点B，B，B，则以O，
1234
123
A
1234123
，A，A，A，B，B，B为顶点的三角形个数为________
．
16．(一题两空)将7个相同的小球放入4个不同的盒子中．
(1)不出现空盒时的放入方式共有________种；
(2)可出现空盒时的放入方式共有________
种．
第10讲二项式定理
1．二项式定理
[玩前必备]
10
nnnkknn
－－
1*
bbb＋…＋Caaa
＋…＋C＝C＋C
nk
(n∈N)；(1)二项式定理：(a＋b)
nnnn
nkk
－
ba
，它表示第k＋1项；＝C
(2)通项公式：T
k
＋
1
k
n
10
n
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C
nnn
，C，…，C.
1项数为n＋1.
2各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
3字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数
由零逐项增1直到n.
2．二项式系数的性质
[常用结论]
若二项展开式的通项为T
r
＋
1
＝g(r)·x(r＝0,1,2，…，
h(r)
n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝
0⇔T
r
＋
1
是常数项．
(2)h(r)是非负整数⇔T
r
＋
1
是整式项．
(3)h(r)是负整数⇔T是分式项．
r
＋
1
(4)h(r)是整数⇔T
r
＋
1
是有理项．
[玩转典例]
题型一
命题点
1求二项展开式中的特定项或指定项的系数
二项展开式
1＋
1
x
2
(1＋x)
62
的展开式中x项的系数为()
典例1(1)(2017·全国Ⅰ)
A．15B．20C．30D．35
)＋x＋y)的展开式中，x项的系数为(
(2)(x
25
52
y
A．10B．20
C．30D．60
命题点2已知二项展开式某项的系数求参数
x＋
1
x
典例2(1)(2020届海口调研)若(x－a)
2
106
的展开式中x的系数为30，则a等于()
A.B.C．1D．2
11
32
ax
2
＋
1
x
55
项的展开式中x项的系数为－80，则实数a＝________.
(2)(2016·山东)若
[玩转跟踪]
1．(1)(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x)(1＋x)
243
的展开式中x的系数为()
A．12B．16
C．20D．24
1
8x
3
8
的展开式中的常数项为________
．
(2)已知(x－1)(ax＋1)
62
的展开式中含x项的系数为0，则正实数a＝________.
2．
(2019·天津高考)
2x－
3．
(2019·浙江高考)在二项式(＋x)
2
9
的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是
________．
1
x＋
－1
65
的展开式中，含x
项的系数为()
4．在
x
A．6B．－6
C．24D．－24
题型二
例3(1)(2020·合肥模拟)已知(ax＋b)
二项式系数的性质及各项系数和
64
的展开式中x项的系数与x项的系数分别为135与－18，则
56
(ax＋b)
)的展开式中所有项系数之和为(
B．1A．－1
D．64C．32
)xx|－|a|＋|a|－|a|＋|a|－|a|＝(
(2)若(1－x)＋ax＋axx
52
＝a＋a＋a＋a，则|a
012345012
345
345
A．0B．1
C．32D．－1
(3)在(1＋x)(x∈N)的二项展开式中，若只有x
n
*5
的系数最大，则n＝________.
[玩转跟踪]
1
x
＋
3
x
n
的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是()
B.
D.xx
4
x
66
4
或4x
x
)2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)xxxxx＋a，则|a|＋|a|＋…＋|a|＝(
1．若
3
A．6
x
C．4x
55432
＝a＋a＋a＋a＋a
543210015
A．1B．243
C．121D．122
3．若(x＋2＋m)＋a(x＋1)＋a(x＋1)(x＋1)＋a＋…＋a)＋a＋…＋a)
929229
＝a＋…＋a，且(a－(a＝3，则
0129028139
实数m的值为________．
4．已知(1＋3x)
n
的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为
________．
题型三
例4)(1)设a∈Z且0≤a＜13，若51＋a能被13整除，则a等于(
A．0B．1C．11D．12
二项式定理的应用
2012
(2)(2020·安徽江南名校联考)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cxxx
()
A．iB．－i
C．－1＋iD．－1－i
[玩转跟踪]
2i
2233201720171
等于＋C＋…＋C
2017201720172017
1－i
2310
23101
kk
k
1.(2020·泉州模拟)1－
90C＋90C－90C＋…＋(－1)90C＋…＋90C除以88的余数是()
1010101010
A．－1B．1
C．－87D．87
aa
20182
a
1
2.若(1－2x)＋ax＋axx
201822018
＝a＋＋…＋＝________.
0122018
＋…＋a，则
22018
222
[玩转练习]
2
x
2
＋
54
1.
x
的展开式中x的系数为()
A．10B．20
C．40D
1
＋4x＋4
2
3
2
展开式的常数项为()
2.
x
A．120B．160
C
．200D．240
)2)(2x－1)＋ax＋axxxxx＋a＋a＝(
．80
3．已知(x＋
523
＝a＋a＋
0123456024
a＋a＋a，则a
456
A
．123B．91
C．－120D
．－152
a
x－
53
4．在
x
的展开式中，x的系数等于－
5，则该展开式的各项的系数中最大值为()
A．5B
C．
15D．20
1
x＋
5．若(x
2106
－a)
x
．10
的展开式中x的系数为30，则a等于()
A.B.
11
32
C．1D．2
)＋x＋y)的展开式中，x项的系数为(
6．(x
2552
y
A．10B．20
C．30D．60
)的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(
7．(多选)已知(a＋b)
n
A．7B．8
C．9D．10
8．(多选)已知(3
x－1)＋ax＋ax＋a
nnn
＝a＋…＋a，设(3x－1)的展开式的二项式系数之和为
012
2
nnn
x，T＝a
S
12
＋…＋a
n
，则()
A．a＝1
0
B．T
n
＝2
nn
－(－1)
C．n为奇数时，S
nnnn
＜T；n为偶数时，S＞T
D．S
nn
＝T
9．设a∈Z，且0≤a<13，若51
2018
＋a能被13整除，则a＝()
A．0B．1
C．11D．
10．若
A．10B．20
C．30D．40
x＋
12
a
1
2x－
5
xx
的展开式中各项系数的和为
2，则该展开式中的常数项为()
)＋…＋a，则(a－(2a的值为(
11．已知(x＋2)＋ax＋axx＋3a＋5a＋7a＋9a)
929
＝a
0129135792468
22
＋4a＋6a＋8a)
A．3B．3
910
C．3D．3
1112
3x－
3
1
x
2
m
的展开式中二项式系数之和为128，则m＝________，展开式中的系数是
1
3
x
12．(一题两空)若
________．
13．(2020·合肥模拟)(x－
2)(2x＋1)
32
的展开式中
x的奇次项的系数之和为________．
14．若
x＋
1
2x
n
(n≥4，n∈N)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则
*
n＝________.
16
2
1
x
＋
522
15．已知(a5
＋1)展开式中的二项式系数之和等于
n
x
的展开式的常数项，而(a＋1)的展开式的二
n
项式系数最大的项等于54，则正数a的值为________
．
16．(一题两空)在二项式
3
x
＋
n
x
的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝
72，则n＝________，展开式中常数项的值为________．
本文发布于:2023-11-16 23:22:38，感谢您对本站的认可！
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