第12讲
空间向量与
立体几何综合
满分晋级
立体几何10级
空间向量与立体
几何综合
立体几何9级
点面距离
与动点问题
立体几何11级
折叠问题与
最值问题
新课标剖析
当前
形势
内容 具体要求
证明平行与垂直 √ 运用向量的数量积证明直线与直线的平行与垂直
高考
要求
直线的方向向量 √ 灵活掌握共线向量性质
平面的法向量 √ 利用向量的数量积来计算平面的法向量
线、面位置关系 √ 运用空间向量的性质判断线面之间的平行与垂直
线线、线面、面面的夹角 √ 运用空间向量的数量积计算线线角线面角面面角
空间向量与立体几何在近五年北京卷（理）考查14分
要求层次
A B C
北京
高考
解读
2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年（新课标） 2013年（新课标）
第16题14分 第16题14分 第16题14分 第16题14分 第17题14分
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
12.1空间向量的概念与运算
考点1：空间向量的运算
知识点睛
1．向量的加法、减法与数乘向量运算与平面向量类似；
2．空间向量的基本定理：
共线向量定理：对空间两个向量，（），的充要条件是存在实数，使．
abb0
a∥baxb
x
共面向量：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是，存在唯一的
abcab
一对实数，，使．
x
y
cxayb
空间向量分解定理：如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在唯一一个有序
abc
p
实数组，，，使．
x
y
z
pxaybzc
表达式，叫做向量，，的线性表示式或线性组合．
xaybzc
abc
b，c}a，b，c{a，
，其中都叫做基向量． 上述定理中，，，叫做空间的一个基底，记作
abc
由此定理知，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
四点共面定理：设点为空间任意一点，点是空间不共线的三点，又点满足等式：
O
A，B，C
P
OPxOAyOBzOC
，其中，
x，y，zR
则四点共面的充要条件是．
P，A，B，C
xyz1
<教师备案>四点共面定理的证明．充分性即证：若，则四点共面，
xyz1
P，A，B，C
必要性即证：若四点共面，则有．
P，A，B，C
xyz1
先证充分性：
∵， ∴，
xyz1z1xy
∴．
OPxOAyOB(1xy)OCx(OAOC)y(OBOC)OCxCAyCBOC
即，由共面向量定理知四点共面．
CPxCAyCB
P，A，B，C
再证必要性：
设， 由条件，
xyzk
OPxOAyOBzOC
得：
OPxOAyOB(kxy)OC
x(OAOC)y(OBOC)kOCx(OAOC)y(OBOC)OC(k1)OC
，
∴，
OPOCx(OAOC)y(OBOC)(k1)OC
即，
CPxCAyCB(k1)OC
∵四点共面，而点为空间任意一点， ∴只能，即．
P，A，B，C
Ok1
xyz1
综上知，命题成立．
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
ba，
，在空间任取一点，作，，则叫3．两个向量的夹角：已知两个非零向量
OAOB
OAaOBb
ba，
．通常规定． 做向量与的夹角，记作
0≤a，b≤π
ab
bb，aa，
． 在这个规定下，两个向量的夹角就被唯一确定了，并且
b90a，
，则称与互相垂直，记作． 如果
ab
ab
4．两个向量的数量积：
已知空间两个向量，，定义它们的数量积（或内积）为：
ab
ababcosa，b
空间两个向量的数量积具有如下性质：
⑴ ；⑵ ；⑶ ．
abab0
aaa
ab≤ab
2
空间两个向量的数量积满足如下运算律：
⑴ ；⑵ ；⑶ ．
(a)b(ab)
abba
(ab)cacbc
<教师备案>空间向量的运算法则与平面向量大致一样，只不过是从二维平面转到三维空间．空间向量
主要是用来解决立体几何问题．空间向量在暑期没有预习课程，只有这一讲同步讲义．
经典精讲
提高班学案1
【铺1】 ⑴ 给出下列命题：
①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；
②若空间向量，，满足，则；
abab
ab
③在正方体中，必有；
ABCDABCD
1111
ACAC
11
④若空间向量，，满足，，则；
mnmn
pmp
np
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
124
3
⑵ 如图所示，在平行六面体中，为与
ABCDABCD
1111
M
AC
BD
D
M
C
的交点，若，，，则下列向量中与
ABaADbAAcBM
111111
A
B
D
1
相等的是（ ）
C
1
c
b
111111
A． B．
abcabc
222222
A
1
B
1
a
1111
C． D．
abcabc
2222
⑶ 设，是空间两个不共线的向量，已知，，，
eAB2ekeCBe3e
11212
eCD2ee
212
且三点共线，则＿＿．
A，B，D
k
1，0C4，0，2kA1，2，3kB2，
，，则＿＿．⑷ 若中，，，
k△ABC
C90
【解析】 ⑴ C
当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，却不一定有
起点相同，终点相同，故①错；根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向相同，故②
1
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
错；根据正方体
ABCDABCD
1111
中，向量与的方向相同，模也相等，应有
AC
AC
11
ACAC
11
，故③正确；命题④显然正确；空间中任意两个单位向量模均为，但方向不
1
一定相同，故不一定相等，故⑤错．
⑵ D
11
∵∴
AMABADAMab
，，
22
又
∵
BAaAAc
111
，，，
BMBAAAAM
1111
111
∴
BMacababc
1
．
222
⑶
8
∵∴
CBe3e
12
，，，
CD2ee
12
BDCDCB2eee3ee4e
121212
∵∴∴
A，B，D
三点共线，，，
ABxBD
2ekexe4exe4xe
121212
2x
，
∴
k8
．
，是不共线向量，
∵∴
e
1
e
2
k4x
⑷
10
CB6，1，2kCA3，2，k
，，
则
CBCA6322kk2k200k10
2
，
∴
．
【例1】 ⑴已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点
A，B，C
ABCO
M
A，B，C
一定共面的是（ ）
A． Ｂ．
OMOAOBOCOM2OAOBOC
11111
Ｃ． Ｄ．
OMOAOBOCOMOAOBOC
23333
ππ
⑵设，，，且，，，则（ ）
ab
a，cb，c
a1b2c3abc
36
9
A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
1763
1743
63
3
2
1，3b1，2y，9a2x，
，，如果与为共线向量，则（ ） ⑶若
ab
A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
x1，y1
⑷，，，则向量与的夹角的已知空间三点
【解析】 ⑴ D
OB，OCOA，
系数和为，所以选 由向量四点共面的充要条件，只有选项中
1DD
⑵ A
2222
ππ
∵
abcabc2ab2ac2bc1496cos12cos1763
，
36
111313
x，yx，yx，y
226262
1，1B1，0，4C2，2，3A1，
AB
CA
大小是_______．
∴
abc1763
；
⑶ C
1，3b1，2y，9a2x，
与共线，故有∵，∴
2x13
13
x，y
．
12y9
62
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
⑷
120
AB2，1，3CA1，3，2
，，
cosAB，CA
211332
1414
1
，
2
∴
AB，CA120
．
【例2】 ⑴如图所示，平行六面体中，，分别在和上，且，
1
ABCDABCDDD
11111
E
F
BB
1
BEBB
1
3
2
DFDD
1
，
3
C，FA，E，
1
四点共面；②若，求． ①证明
EFxAByADzAA
1
xyz
D
1
A
1
F
D
A
B
1
E
B
C
C
1
⑵已知空间四边形中，，且，分别是
OABCAOBBOCAOCOAOBOC
M，N
OA，BC
的中点，是的中点，求证：．
GMN
OGBC
12
12
【解析】 ⑴①
∵
ACABADAAABADAAAA
1111
ABAAADAA
11
33
33
ABBEADDF
AEAF
，
C，FA，E，
1
四点共面
∴
211
②，
EFAFAEADDFABBE
ADDDABBBABADAA
111
333
11
∴，∴．
x1，y1，zxyz
33
OAaOBbOCc
，，，⑵ 如图，连接，设，则，
ONAOBBOCAOC
abc
又
OGOMONabc
111
11
OAOBOC
，
222
24
O
M
BCcb
，
1
abccbOGBC
4
22
1
acabbcbcbc
4
2222
1
acosacosaa0
，
4
所以．
OGBC
所以
A
G
N
B
C
12.2平行垂直问题
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
考点2：用空间向量证明平行垂直
知识点睛
1．直线的方向向量与平面的法向量的概念；
2．线、面平行与垂直：
nn，
21
） ，平面的方向向量分别为（设直线的法向量分别为
vv，
21
，
ll，
21
⑴线线的平行关系：∥（或与重合）∥；
llll
1212
vv
12
线面的平行关系：∥或存在实数，使
l
1
l
1
x，y
vxmyn
1
vn0
11
nm，
为平面内的两个不共线的向量） （其中
面面的平行关系：∥（，重合）∥；
nn
12
⑵线线垂直：；
ll
12
vvvv0
1212
⑶线面垂直：；
l
1
v∥n
11
⑷面面垂直：；
nnnn0
1212
<教师备案>上面的证明线、面平行或垂直的结论不是绝对的，有其它的等价条件，需要灵活运用．一
般来讲，证明平行或垂直用纯粹的立体几何更简便，涉及到稍微复杂的求角度时，适合用
空间向量无脑算．
经典精讲
提高班学案2
【铺1】如图，四棱锥中，⊥底面，．底面为梯形，，
PABCDABCDPCABCDAB∥DC
PAAD
ABBCPAABBCEAC
．，点在棱上，且．求证：平面．
EPE2EBPD
PB∥
P
E
A
C
B
D
【解析】 证法一：
以为原点、、所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
AABAP
y
z
2aa
设，则，，，，
PAABBCa
A(0，P(0，0，0)B(0，a，0)0，a)
．
C(a，a，0)
E0，，
33
0)PC(a，a，a)AD(a，y，
， 设，则，
D(a，y，0)
z
P
E
A
By
∵，
PCAD
∴，解得；
PCADaay0
2
ya
则有，，
D(a，a，0)
PD(a，a，a)
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
DC
x
2aaaa
EA0，，ECa，，
，；
3333
∵，平面，∴平面．
PD2EAEC
PDEAC
PD∥
EAC
（或者求出平面的法向量得出与垂直也可证明结论）
EAC
n(1，1，2)
PD
n
证法二：
ABBCABBC△ABC
，，∴是等腰直角三角形；
PAPAAD
平面
ABCDADPCPAC
，又，∴平面；
AD
∴．又，∴也是等腰直角三角形；
ADACAB∥DC△DAC
∴．连接，交于点，
DC2AC2AB
BD
AC
M
DMDC
则
2
．
MBAB
PEDM
在中，
△BPD
2
，
EBMB
∴．又平面，平面，
PD∥EMPD
EACEAC
EM
∴平面．
PD∥
EAC
【例3】 如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、
P
E
A
M
D
C
B
PABCDABCDPDA45
PAPA2E
F
分别为棱、的中点．
ABPD
P
⑴求证：平面；
AF∥
PCE
⑵求证：平面平面；
PCEPCD
【追问】上是否存在一点，使得面？
PCAC
H
EFH
F
D
C
【解析】 以为坐标原点，建立如图所示的坐标系．
A
Axyz
0，2D0，2，0B2，0，0C2，2，0P0，
，，，， ⑴
11E1，0，0F0，，
，， 则
11EP1，0，2EC1，2，0AF0，，
，， 于是，
B
E
A
1
ECEP，
共面． ，所以与
因为
AFEPEC
AF
2
又面，所以平面．
AFECPPCE
AF∥
z
P
H
F
D
E
x
B
A
C
y
2，2PD0，
，所以，即； ⑵ 因为
AFPD0
AFPD
0，0DC2，
，所以，即． 又
AFDC0AFDC
于是面，由⑴平面，
AF
PCDPCE
AF∥
则面面．
PCEPCD
【追问】
22
x，x，2xEHx1，x，2xH
AC2，2，0EF1，，11
设
，则，，，
22
1
易知，由
ACEF0
ACEH2x12x0x
．
2
112
H，，2
于是点
224
满足面．
AC
EFH
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
【点评】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面内找一向量与共线；二是说明
PCE
AFAF
能用平面内的两不共线向量线性表示，三是证明与平面的法向量垂直．证明面面垂
PCE
AF
直，也可以转化证明它们的法向量垂直，或者其中一个面的法向量平行于另一个面．
尖子班学案1
【拓2】 如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三
ABCD
ABEF△ABE
角形，，，．
ABAE
FAFE
AEF45
⑴求证：平面；
EF
BCE
⑵设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，
CDBCE
PAEPM∥
M
请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
M
E
F
A
D
P
C
B
【解析】 ⑴ ∵为等腰直角三角形，，∴．
△ABEAEAB
ABAE
又∵面平面，平面，平面平面，
ABEFABEF
ABCDAEABCDAB
ABEF
∴平面．∴．
AEAEAD
ABCD
因此，，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．
ADABAEA
Axyz
设，则，，，
AB1AE1
B(0，1，0)D(1，0，0)
E(0，0，1)C(1，1，0)
，．
z
E
F
∵，，
FAFE
AEF45
11
∴．从而，
AFE90
F0，，
．
22
11
1)BE(0，1，
，．，
BC(1，0，0)
∴
EF0，，
22
11
EFBE00
，．
EFBC0
22
∴，．
EFBE
EFBC
M
B
y
P
C
A
D
x
∵平面，平面，，
BE
BCEBCBCE
BCBEB
∴平面．
EF
BCE
⑵ 存在点，当为中点时，平面．
MM
AEPM∥
BCE
11
0PM1，，mP1，，
．从而
， 设，
M(0，0，m)
22
1111
由，
PMEF1，，m0，，0m
2222
即为中点时，，
M
AEPMFE
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
又平面，直线不在平面内，
EF
BCEBCE
PM
故平面．
PM∥
BCE
目标班学案1
【拓3】 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边
SABCD
长的倍，为侧棱上的点．
2
P
SD
⑴ 求证：；
ACSD
⑵ 若平面，侧棱上是否存在一点，使得平
SDPACSC
E
BE∥
面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
PACSE:EC
【解析】 ⑴ 连，设交于，连接，由题意知平面．
BDBD
ACOSOABCD
SO
以为坐标原点，，，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如
O
OBOC
OS
x
y
z
Oxyz
图．设底面边长为，
a
则高．
SO2aaa
2
S
P
A
B
C
D
2
26
22
z
S
622
0，0，aDa，0，0C0，a，0S
于是
，， ，
222
226
OC0，a，0SDa，0，a
，，
222
P
A
O
x
BC
E
y
D
OCSD0
，故．
OCSD
从而．
ACSD
⑵ 在棱上存在一点使平面．
SCPAC
EBE∥
26
a，0，aDS
由题设知，
22
是平面的一个法向量，
PAC
设，
CEtCS
222
26
0，a，aCS
Ba，0，0BCa，a，0
则由
，，可得：
222
22
226
BEBCCEBCtCSa，a1t，at
222
．
22661
aaaat0tBEDS0
而．
22223
即当时，．
SE∶EC2∶1
BEDS
而不在平面内，故平面．
BEBE∥
PACPAC
12.3角度与距离问题
考点3：用空间向量求异面直线所成角和点面距离
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
知识点睛
coscosv，v
12
vv，
21
，的方向向量分别为1．设直线则所成角满足： ，
ll，
21
l，l
12
2．空间中的点面距离
⑴体积法
vv
12
π
0，
2
vv
12
⑵空间向量法：定点到平面的距离，可设平面的法向量为，面内一点，
AB
n
则点到平面的距离为
A
ABn
n
ππ
<教师备案>空间两条直线所成角的范围是，异面直线所成角的范围是，而两个向量之间
0，0，
22
π0，
，这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方． 的夹角范围是
经典精讲
尖子班学案2
【铺2】如图，正四棱锥的底面边长与侧面棱长都是，是的中点．
PABCDPC
2M
⑴ 求异面直线和所成角的大小．
AD
BM
⑵ 求异面直线和所成角的余弦值．
AMPD
【解析】 ⑴ 解法一：
∵，∴和所成的角就是和所成的角；
AD∥BCBC
AD
BMBM
∵是正三角形，∴；
△PBCMBC30
∴和所成的角为．
AD
BM
30
解法二：
设在底面的射影为，由于为正四棱锥，
P
OPABCD
所以为底面正方形的中心；
O
以点为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方
O
DA
x
DC
y
向，为轴建立如图所示的空间直角坐标系；
OP
z
Oxyz
由于四棱锥侧面都是边长为2的正三角形，
∴斜高，；
PH3
PO2
∴，，，，
A(1，1，0)B(1，1，0)C(1，1，0)
1，0)D(1，
P0，0，2
；
113212
，，BM，，M
AD(2，0，0)
∴，，；
222222
AxB
z
P
M
D
O
H
y
C
AB
D
P
M
C
∴；
cosAD，BM
ADBM33
ADBM
23
2
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
∴向量与向量所成的角为，即直线和所成的角为．
ADBM
3030
AD
BM
332
AM，，
⑵ 由⑴解法二得，；
PD1，1，2
222
∴；
cosAM，PD
AMPD5
AMPD
10
而直线和所成角只能在至之间，∴直线和所成角的余弦值为．
AMPDAMPD
090
【例4】 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，
OABCDABCD
1
π
ABC
，底面，，为的中点，为
OAABCDOA2
M
OANBC
4
的中点．
⑴ 证明：直线平面；
MN∥OCD
⑵ 求异面直线与所成角的大小；
AB
MD
⑶ 求点到平面的距离．
B
OCD
5
10
O
M
A
B
N
C
D
【解析】 作于点，如图，分别以、、所在直线为、、
APCDAO
PABAP
x
y
z
轴建立空间直角坐标系．
222
，，0P0，，0D
A0，0，0
，，，，，，
B1，0，0O0，0，2M0，0，1
222
22
22
C1，，0
22
，．
N1，，0
44
22
222
OP0，，2OD，，2
1，，1MN
⑴
，．，
222
44
设平面的法向量为，
OCD
nx，y，z
则
nOP0，nOD0，
2
y2z0，
2
即
xy2z0，
22
22
O
z
M
A
By
x
N
C
P
取解得
z2，
n0，4，2
．
22
1，，1MNn0，4，20，
∵
44
D
∴平面．
MN∥OCD
⑵ 设与所成的角为，
AB
MD
22
0，0，MD，，1AB1，，
∵
22
∴
cos，
∴，即与所成角的大小为
1
ABMD
2
ABMD
π
π
AB
MD
．
3
3
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
⑶ 设点到平面的距离为，则为在平面的法向量上的投
B
OCD
dd
OB
OCD
n0，4，2
0，2，OB1，
得影的绝对值；由
d，
OBn
n
2
3
2
所以点到平面的距离为．
B
OCD
3
目标班学案2
【拓3】 如图，已知棱锥的底面是边长为的正方形，在底面的射影落在正方形
SABCDOABCD
4
S
内，且到、的距离分别是、．
O
ABAD
21
⑴ 求证：是定值；
ABSC
⑵ 已知是的中点，且，问在棱上是否存在一点，使异面直线与所
P
SCSO3SAOP
Q
BQ
成的角为？若不存在，说明原因；若存在，则求的长．
90
AQ
z
S
S
P
D
O
AB
C
A
D
O
P
C
y
B
解析图
x
【解析】 ⑴ 以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点且与平行的直线为轴，
OOSO
z
AD
x
过点且与平行的直线为轴，建立如图的空间直角坐标系．
O
AB
y
设高则由已知得
OSh，
图3
O0，0，0，A2，1，0，B2，3，0，C2，3，0，S0，0，h，
AB0，4，0，SC2，3，h，
则即是定值．
ABSC02430h12，
ABSC
⑵ 在棱上任取一点
SA
Qx，y，z，
000
使．
AQAS，0≤≤1
3333
1，3AS2，
． ，
0，3，P1，，，OP1，，S0，
由已知得
2222
1，3，x2，y1，z2，
由得
AQAS
000
从而
x22
0
，，，．
y1z3
00
BQx2，y3，z
000
假设则即
OPBQ，
OPBQ0，
x2y3z0，
000
∴∴．
20，1，40，
33
22
39
3
22
4
191
，，Q，
使．
OPBQ
故在棱上存在点
SA
442
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
此时
AQAS21314
333
444
2
22
．
考点4：用空间向量求线面角
知识点睛
设直线的方向向量为，平面的法向量为，则与所成角满足：
l
vn
l
sincosv，n
vn
π
（）；
0，
2
vn
<教师备案> 用空间向量求角度时很多都不是直接求的角度本身的三角函数值，而是相关联的其它值，
需要注意根据角度的范围定出所求角度的具体值．
经典精讲
【例5】 如图，已知点在正方体的对角线上，．
P
ABCDABCD
1111
BD
1
PDA60
⑴ 求与所成角的大小；
DP
CC
1
⑵ 求与平面所成角的大小．
DP
AADD
11
【解析】 如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
D
DA
Dxyz
0，0)DA(1，
，则
CC(0，0，1)
1
．连结，．
BD
BD
11
D
AB
A
1
D
1
P
B
1
C
C
1
在平面
BBDDBD
1111
中，延长交于．
DP
H
m，1)(m0)DH(m，
， 设
DA60DH，
， 由已知
由
DADHDADHcosDA，DH
可得
2m2m1
2
．
A
1
z
D
1
H
P
D
x
A
B
B
1
C
y
C
1
22
2
DH，，1
解得
m
，所以．
22
2
22
0011
2
22
⑴ 因为，
cosDH，CC
1
2
12
CC45DH，
1
．
所以
即与
DP
CC
1
所成的角为．
45
10)DC(0，，
． ⑵ 平面的一个法向量是
AADD
11
22
0110
1
22
因为
cosDH，DC
，
2
12
DC60DH，
． 所以
可得与平面
DP
AADD
11
所成的角为．
30
1
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
尖子班学案3
【拓2】 如图，在棱长为的正方体中，是侧棱上的一
1
ABCDABCD
1111
P
CC
1
点，且，
CPm
⑴试确定，使得直线与平面所成角的正切值为；
m
AP
BDDB
11
32
⑵在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面
AC
11
Q
m
DQ
1
D
1
A
1
D
A
B
B
1
C
C
1
APD
1
上的射影垂直于？并证明你的结论．
AP
1，0A1，0，0B1，
， 【解析】 ⑴ 建立如图所示的空间直角坐标系，则，
P0，1，mC0，1，0D0，0，0B1，1，1
，，，，
1
D0，0，1
1
，
1AP1，1，mBB0，0，
，，
所以，
BD1，1，0
1
AC1，1，0
，
A
1
z
D
1
Q
D
C y
x
A
B
B
1
C
1
P
又由，
ACBD0
ACBB0
1
知为平面的一个法
AC
BBDD
11
向量，
设与平面
AP
BBDD
11
所成的角为，
APAC
2π
则，
sincos
2
2
APAC
22m
依题意有，解得
232
22m
22
132
1
m
，
3
1
故当
m
时，直线与平面所成的角的正切值为
AP
BDDB
11
32
3
DQx，1x，0
1
，，⑵若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则
1x，1Qx，
AC
11
Q
x
依题意，对任意的要使
m
DQ
1
在平面上的射影垂直于，
APD
1
AP
1
等价于
DQAPAPDQ0x1x0x
11
，
2
即为
Q
AC
11
的中点时，满足题设要求．
目标班学案3
【拓3】如图所示，在直三棱柱中，，为的中点，平面．
ABCABCABD
1111
ABBB
1
D
AC
AC
1
⑴ 求证：平面；
BC
11
ABBA
11
⑵ 设是的中点，试求出与平面所成角的正弦值．
E
CCAE
11
ABD
1
B
1
AE
1
B
D
A
C
1
C
【解析】 ⑴ 连接
AB
1
，∵∴四边形为正方形，
ABBB，ABBA
111
∴．
ABAB
11
AE
1
z
B
1
C
1
B
D
A
x
C
y
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
又∵
ACABD，ACAB，AB
11111
面∴∴面，
ABC
11
∴．又∴平面．
ABBCBBBC，ABBA
11111111
BC
11
⑵ 在矩形中，由可知
ACCAACAD△AAD~△ACC，
111111
CCCC
11
AC
则
，故从而．
AC2AA，
1
ABBC
AAAD
1
1
AC
2
建立如图的空间直角坐标系，不妨设，
AB2
可得
AC2，2，2AE2，2，1
11
，．
由题意可知
AC
1
即为平面的一个法向量，
ABD
1
设
AE
1
与平面所成的角为，
ABD
1
则
sincosAC，AE
11
ACAE
11
ACAE
11
63
233
．
3
0，0E0，2，1A2，
，，，，则
A2，0，2
1
C0，2，2
1
考点5：用空间向量求二面角
知识点睛
nn，
21
，则设平面的法向量分别为所成的二面角满足：
，，
coscosn，n
12
nn
12
nn
12
（为平面，所生成的二面角，）
0，π
<教师备案> 利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过
两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是
钝角．
经典精讲
【例6】 如图，在三棱锥中，，，，平面
PABC ABBC
PAPBPAB
PAPB，
BAC30
平面．
ABC
⑴ 求证：平面；
PA
PBC
⑵ 求二面角的余弦值；
PACB
⑶ 求异面直线和所成角的余弦值．
AB
PC
【追问】在线段上有一点，，求的值，使
PCPEPC
E
得二面角的大小为？
CABE60
【解析】 在平面中作于点，
PAB
POABO
A
C
B
P
∵
平面平面，
PAB
ABC
∴平面．
POABC
过点作的平行线，交于点．
OBCAC
D
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
OB，OPOD，
分别为轴， 如图，以为原点，直线
x
O
y
轴，轴，建立空间直角坐标系．
z
设．∵，
PAPB6
PAPB
∴．
AB23，POBOAO3
∵，
ABBC，BAC30
∴．
BCABtan302
3，0B0，3，0A0，
，，
∴
O0，0，0
，
z
P
0，0.D1，
C2，3，0
，
P0，0，3，
3，3PA0，
，
BC2，0，0，
⑴ ∵
A
M
x
D
O
By
C
∴∴．
PABC0，
PABC
又∵，
PAPB
∴平面．
PA
PBC
⑵ 由⑴知，为平面的一个法向量，
OP0，0，3
ABC
设为平面的一个法向量，
nx，y，z
PAC
∵
AC2，23，0
，
nPA3y3z0
则，令得，，则
y1
x3，z1
n3，1，1
，
nAC2x23y0
nOP35
，
OPcosn，
∴
5
35
nOP
由图象知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
PACBPACB
⑶ ∵，
AB0，23，0，PC2，3，-3
∴，
cosAB，PC
ABPC30
ABPC
10
5
5
∴异面直线和所成角的余弦值是
AB
PC
【追问】
30
．
10
由，可得点
PEPC
E2，3，0，313OP0，
，平面的法向量为
ABC
可以算出平面的一个法向量为
ABE
n31，0，2
1
． （舍）
1
提高班学案3
【拓1】如图，在长方体中，，，点在棱上移动．等于
ABCDABCDADAA1
11111
AB2EABAE
π
何值时，二面角的大小为？
DECD
1
4
D
1
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
A
1
D
A
E
B
C
1
B
1
C
π
OPn
1
，解得，于是
cos
3
OPn
1
1
3
【解析】 以为坐标原点，直线，，
D
DA
DC
DD
1
分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，
x
y
z
AEx
1D0，0，1E1，x，0A1，0，0C0，2，0A1，0，
，，，，．由题意可知为
11
DD
1
则
平面的一个法向量，设平面
ECD
DEC
1
的法向量为，
na，b，c
1CE1，x2，0DC0，2，1DD0，0，
， ∵，，
11
nDC0，
1
2bc0
∴
令，得，，
b1c2a2x
abx20.
nCE0
1，2n2x，
． ∴
z
D
1
A
1
D
x
A
E
B
B
1
Cy
C
1
依题意．
cos
π222
422
nDD
1
nDD
1
x25
2
∴（不合题意，舍去），．
x23
1
x23
2
π
∴时，二面角的大小为
AE23
DECD
1
．
4
【备选】如图，在直三棱柱中，，，．
ABCABC
111
AB1
ACAA3
1
ABC60
⑴ 证明：；
ABAC
1
BAAC
的余弦值． ⑵ 求二面角
1
【解析】 方法一：
⑴ ∵三棱柱为直三棱柱，∴
ABCABCABAA
1111
在中，，，，
△ABCABC60
AB1
AC3
由正弦定理得
ACB30
，
∴
BAC90ABAC
，即．
∴平面，又平面，∴．
AB
ACCAACACCAABAC
111111
⑵ 如图，作交于点点，连结，
ADAC
AC
1
D
BD
1
由三垂线定理知
BDAC
1
B
1
B
B
1
A
1
C
1
A
C
A
1
C
1
D
BAAC
的平面角． ∴为二面角
ADB
1
AAAC
1
336
AD
在
Rt△AAC
中，
1
AC2
6
1
A
B
C
AB615
，∴，
cosADBtanADB
AD35
15
BAAC
即二面角．
的余弦值为
1
5
方法二：
在中，
Rt△BAD
⑴∵三棱柱为直三棱柱，∴，．
ABCABCAAABAAAC
11111
在，，，，
△ABCABC60
AB1
AC3
由正弦定理得
ACB30
，
∴，即．
BAC90ABAC
如图，建立空间直角坐标系，
则，，
A(0，0，0)B(1，0，0)
C0，3，0A0，0，3
，
1
1
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
∴，
AB(1，0，0)
AC0，3，3
1
∵
ABAC1003030
1
∴
ABAC
．
1
⑵ 如图可取为平面的法向量，
mAB(1，0，0)
AAC
1
设平面
ABC
1
的法向量为，
n(x，y，z)
则，
BCn0
ACn0
1
，又，
BC1，3，0
A
C
y
B
1
z
A
1
C
1
B
x
x3y0
∴∴，
x3y
zy
3y3z0
不妨取，则
y1
n3，1，1
cosm，n
mn31101015
mn
311100
2
22222
5
，
BAAC
为锐二面角，
结合图象知二面角
1
BAAC
的余弦值为∴二面角
1
15
．
5
如图，在三棱柱中，，顶点在底面上
ABCABC
111
ABACABC
A
1
的射影恰为点，且．
B
ABACAB2
1
⑴ 分别求出与底面、棱所成的角；
AA
1
ABCBC
⑵ 在棱上确定一点，使，并求出二面角的
BC
11
P
AP14
PABA
1
平面角的余弦值．
【解析】 ⑴ 因
A
1
在底面上的射影恰为点，则底面．
ABCABC
B
AB
1
所以
AABAA
11
就是与底面所成的角．
ABC
π
因
ABAB2，ABAB，
11
故
AAB，
1
4
π
即．
AA
1
与底面所成的角是
ABC
4
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
A
C
1
B
1
C
A
1
A
B
C
1
P
A
1
z
B
1
A
B
y
C2，0，0A0，2，2B0，4，2
，，，，
B0，2，0
11
C2，2，2
1
，
AA0，2，2BCBC2，2，0
111
，，
xC
则
cosAA，BC，
1
AABC41
1
AABC
1
2
88
π
故．
AA
1
与棱所成的角是
BC
3
42，2P2，
． 则⑵ 设
0，BPBC2，2，
111
于是
AP442414
2
2
1
3
（舍去），则为棱的中点，其坐
P
BC
11
2
2
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
3，2P1，
． 标为
设平面的法向量为
PAB
nx，y，z
1
，
nAP0，
x3y2z0，x2z，
则
1
2y0y0，
nAB0
1
1n2，0，
．
不妨取，得
z1
1
而平面
ABA
1
的法向量为则
n1，0，0，
2
cosn，n，
12
故二面角．
PABA
1
的平面角的余弦值是
nn
12
nn
12
225
5
5
25
5
实战演练
【演练1】⑴ 设空间四点满足，其中，则（ ）
O，A，B，P
OPmOAnOB
mn1
A． B．
PAB
PAB
C．点不一定在直线上 D．以上都不对
PAB
⑵ 已知是空间两个向量，若，，，则＿
a，b
a2b2ab7cosa，b
【解析】 ⑴
A
已知，则，
mn1m1n
OP1nOAnOBOAnOAnOB
OPOAnOBOA
APnAB
，
∵AB0
，和共线，即点共线
∴AP
AB
A，P，B
1
⑵
8
2
1
将化为
ab7
ab7
，求得，再由
ab
ababcosa，b
2
1
求得
cosa，b
8
【演练】在正方体中，、分别为棱和的中点，则异面直线与
2
ABCDABCDAABB
111111
M
N
CM
DN
1
夹角的正弦值为（）
142
2
A． B．C． D．
55
3
999
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
z
D
1
A
1
M
D
A
B
B
1
N
C
1
D
1
A
1
M
B
1
N
D
C
1
C
Cy
B
解析图：
x
A
【解析】 B
设正方体棱长为，以为坐标原点，为轴，为轴，
2D
DA
x
DC
y
DD
1
为轴建立空间直角坐
z
1，CM2，2，
DN2，2，1
1
，
标系，可知
cosCM，DN
1
CMDN
1
CMDN
1
11
，
∴
sinCM，DN
45
．
1
9
99
9
【演练3】三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，
ABC
截面为，，平面，
ABCAA
1111
BAC90ABC
AA3
1
，，为中点．
ABAC2AC2
11
D
BC
A
1
B
1
A
D
B
C
1
⑴ 证明：平面平面；
AADBCCB
111
⑵ 求二面角的余弦值．
ACCB
1
【解析】 ⑴ 如图，建立空间直角坐标系，
C
0，0，B2，0，0，C0，2，0A0，
， 则
A0，0，3，C0，，13
11
．
101，，
． ∵为的中点，∴点坐标为
DD
BC
∴，
AD1，，10，AA0，0，3，BC2，2，0
1
∵，
ADBC1212000
AABC0202300
1
．
z
A
1
B
1
A
D
x
B
C
1
BCAAAABCAD，ADA
11
，又∴，
∴平面平面．
AAD
1
BCCB
11
⑵ ∵平面，
AB
ACCA
11
C
y
∴平面，又平面，
BCBC
AAD
1
BCCB
11
0，0mAB2，
为平面如图，可取
ACCA
11
的法向量，
设平面
BCCB
11
的法向量为，则，．
nx，y，z
BCn0
CCn0
1
∵，
CC0，1，3
1
3
2x2y0
n1，1，
∴．
， 可取，则
y1
3
y3z0
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
21010
cosm，n
22222
3
3
2
3
20011
3
21
∴二面角的余弦值为
ACCB
1
．
7
21
．
7
BB2，ABBC1，
1
连接，过点作的垂线交于【演练4】如图，已知长方体中，
BCBCCCAC
1111
B
E
，交于．
BC
1
F
AC
平面； ⑴ 求证：
EBD
1
⑵ 求点到平面的距离；
A
ABC
11
⑶ 求直线与平面所成角的正弦值．
ED
ABC
11
【解析】 如图建立空间直角坐标系．
A
1
B
1
C
1
D
1
BC1
2
CE
； ∵，故
BBC∽BCE
1
BB2
1
0，0，A0，0，2，A0，
1
⑴
1
B1，0，0，D0，1，0，C1，1，0
，
E1，1，，
2
11
1，1，2，BE0，1，，DE1，0，AC
∴
1
22
1
∵
ACBE101120，
1
2
1
AC0DE11102
．
1
2
BEACDEAC
，， ∴，，即
ACBE
1
ACDE
1
11
∵
BEDEE
，所以
AC
1
平面．
EBD
A
F
BC
E
D
z
A
1
B
1
C
1
D
1
A
F
x
B
E
D
y
C
⑵ 设平面的一个法向量为
ABC
11
mx，y，z
ABm0
AB(1，0，0)
BC(0，1，2)
由，
11
，，而
1
11
BCm0
1
x0
1m0，2，
；而，令，得
AA0，0，2
1
， ∴
z1
y2z
∴所求的距离为
d5
AAm
1
m
22
5
5
1
1m0，2，
；而， ⑶ 由⑵知，
ED1，0，
2
mED1
∴设与所成角为，则
ED
m
cos
5
mED
1
所以直线与平面．
ED
ABC
11
所成角的正弦值为
5
【演练5】如图，已知长方体中，，，，棱上是否存在点，
ABCDABCDAA2
11111
AB2P
BC1
DD
1
使平面平面，证明你的结论．
APCACC
11
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
【解析】 如图建立空间直角坐标系，则，，
A1，0，0B1，2，0
C0，2，0C0，2，2
，，假设点存在，且，
1
P
DPa
D
1
A
1
C
1
B
1
C
B
则平面
∵
APCACC
11
平面，，
P0，0，a
法一：
P
D
∴
在平面
ACC
1
中作，垂足为
CHAC
1
H
∵A，H，C
1
三点共线，
010，0，21，2，
∴
CHCA1CC
1
，2，22
，
A
∵CHAC
1
，，
∴CHAC，2，221，2，20
1
∴
8104
4
，，
∴CH，，
999
9
DC
1
H
A
1
P
D
AB
B
1
C y
z
1
∵
面面，，
APCACCCHAC
111
∴CH
面，
APCCHAP
1
8104
∴CHAP，，1，0，a0
，
999
2
∴a
，
5
2
∴
存在点，使面面．
P0，0，
APCACC
11
5
法二：
CC0,0,2
1
，，，
AC1,2,2AP1,0,a
1
x
设平面
ACCAPC
11
的法向量为，平面的法向量为，
mr,s,t
nx,y,z
mCC2t0
1
nAPxaz0
则，
nACx2y2z0
1
mACr2s2t0
1
a2
,1na,
， 即可取，
m2,1,0
2
所以平面
ACCAPC
11
平面，
mnmn0
a2
2
即
2a0
，解得．
a
2
5
2
∴
存在点，使平面平面．
P0，0，
APCACC
11
5
大千世界
在棱长为2的正方体中，、、分别为、、中点，
ABCDABCDAA
11111
EAD
F
G
AB
11
⑴ 求到平面的距离；
B
EFG
⑵ 求二面角的余弦值．
GEFD
1
D
1
C
1
24
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
A
1
F
E
A
G
B
1
D
B
C
【解析】 以为原点，、、
AABAD
AA
1
分别为、、轴建立如图所示的坐标系．
x
y
z
则，，，；
E(0，1，0)
B2，0，0
F(0，0，1)G(1，0，2)
1，1)FG(1，0，1)FE(0，
，； 于是向量
设面的法向量为，则，
EFG
nx，y，z
nFEnFG0
yz0
1，1)n(1，
； 即，于是可取
xz0
⑴ ，设到面的距离为；
EB(2，1，0)
B
EFGh
则
h3
nEB
n
3
3
；
z
A
1
F
Ax
E
D
1
G
y
D
B
B
1
C
1
⑵ 平面的法向量可取成；
ADDA
11
m(1，0，0)
于是
cosm，n
mn13
mn
3
，
3
C
由图象知二面角
GEFD
1
为锐二面角，故它的余弦值为
3
3
第12讲·提高-尖子-目标·教师版
1
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