2022版新教材高中数学第二章直线和圆的方程2

直线的一般式方程

基础过关练

题组一求直线的一般式方程

1(2021江西临川二中高二上第一次月考)已知直线过点(0,3),且与直线--1=0平行,则的方程是

.lxyl

()

A.+-2=0 B.-+2=0

xyxy

C.+-3=0 D.-+3=0

xyxy

2过点(2,3)且垂直于直线2+-5=0的直线方程为 ()

.Axy

A.-2+4=0 B.2+-7=0

xyxy

C.-2+3=0 D.-2+5=0

xyxy

3在平面直角坐标系中,直线2--2=0绕它与轴的交点按逆时针方向旋转90所得的直线方程是

.xyyA°

()

A.-2+4=0 B.+2-4=0

xyxy

C.-2-4=0 D.+2+4=0

xyxy

4已知直线经过点(2,3),且斜率为-

.lP.

3

2

(1)求直线的一般式方程;

l

(2)求与直线平行,且过点(-3,1)的直线的一般式方程;

l

(3)求与直线垂直,且过点(-3,1)的直线的一般式方程

l.

题组二直线方程几种形式的相互转化

5(2021重庆八中高二上月考)直线3++1=0的倾斜角为 ()

.xy

√

A.

ππ2ππ

6333

B. C. D.−

6(2020湖北宜昌高二上期末)直线3+2+6=0在轴上的截距为,则= ()

.xyybb

A.3 B.-2 C.2 D.-3

7已知直线-+1-3=0,当变化时,所有直线都恒过点()

.kxykk

A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)

1

8若<0,<0,则直线++=0的图形可能是 ()

.acbcaxbyc

9直线+=1(≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 ()

.axbyab

A. B.

2222||

𝑎𝑎

||

𝑎𝑎

C. D.

𝑎𝑎𝑎𝑎

题组三直线一般式方程的综合应用

10(2020北京清华大学附中高二上期中)若直线+2-1=0与-2-1=0垂直,则的值为 ()

.axyxya

A.1 B.-1 C.4 D.-4

1111

11(2021河北保定唐县一中高二上月考)若直线+(1+)-2=0和直线+2+4=0平行,则的值为 ()

.xmymxym

A.1 B.-2

C.1或-2 D.-

3

2

12(2020浙江温州高二上期末)已知直线:(+1)-2+1=0(为常数),若直线的斜率为,则=,

.lmxymlm

2

2

1

若=-1,则直线的倾斜角为

ml .

13如图,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行

.

李票费用(元)与行李质量(千克)的关系用直线的方程表示

yxAB.

(1)求直线的方程;

AB

(2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李?

能力提升练

题组一求直线的一般式方程

1()已知直线++1=0和直线++1=0都过点(2,1),则过点(,)和点(,)的直线方程是

.axbyaxbyAPabPab

()

1122111222

2

A.2++1=0 B.2-+1=0

xyxy

C.2+-1=0 D.+2+1=0

xyxy

2()已知过点(2,1)的直线与轴、轴分别交于,两点若为线段的中点,则这条直线的方程为

.MxyPQ.MPQ

()

A.2--3=0 B.2+-5=0

xyxy

C.+2-4=0 D.-2+3=0

xyxy

3()已知点(0,1),点在直线:+=0上运动,则当线段最短时,直线的一般式方程

.ABlxyABAB

为

.

4(2021山东济宁实验中学高二月考,)直线过点(4,1)且与轴、轴的正半轴分别交于、两点,为

.lxyABO

坐标原点,则△面积的最小值为,当△面积取最小值时,直线的一般式方程

AOB AOBl

是

.

5(2021山东枣庄八中高二上月考,)求适合下列条件的直线方程:

.

(1)经过点(2,-3),并且其倾斜角等于直线-3+1=0的倾斜角的2倍的直线方程;

Axy

√

(2)经过点(-2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程

A.

题组二直线一般式方程的应用

6(2020湖北武汉华中师大一附中高二上期中,)“=1”是“直线(+4)+3+1=0与(-4)+(+4)-5=0

.mmxmymxmy

垂直”的 ()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

7(2020安徽安庆一中高二上月考,)设(-2,2),(1,1),若直线:++1=0与线段有交点,则的取值

.ABlaxyABa

范围是 ()

A.-∞,-,2]

(

22

]∪[2,+∞) B.[-

C.(-∞,-2]∪[,+∞ D.[-2,

22

)

]

3

33

33

8(多选)(2021山东新泰中学高二上月考,)已知直线:(++1)-+1=0,其中∈R,下列说法正确的是

.laaxya

()

A.当=-1时,直线与直线+=0垂直

alxy

B.若直线与直线-=0平行,则=0

lxya

C.直线过定点(0,1)

l

2

D.当=0时,直线在两坐标轴上的截距相等

al

9()直线sin++2=0(∈R)的倾斜角的取值范围是

.xαyα .

)直线:+-1-=0过定点,过此定点,且倾斜角为的直10(2020辽宁六校协作体高二上期中,

lmxym .

2

π

线方程为

.

11()已知直线:+3-5=0,:3-+1=0若,与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆,则

.lxylkxy.ll

1212

k .

=

12(2020湖北宜昌高二上期末,)(1)已知直线:2+7+4=0与直线:+3-2=0平行,求的值;

.lxylmxym

12

(2)已知直线:(+2)+(1-)-1=0与直线:(-1)+(2+3)+2=0互相垂直,求的值 深度解析

laxaylaxaya.

12

答案全解全析

基础过关练

1D设直线的方程为-+=0(≠-1),由点(0,3)在直线-+=0上得0-3+=0,解得=3,

. lxyccxyccc

因此直线的方程为-+3=0,故选D

lxy.

2A设垂直于直线2+-5=0的直线方程为-2+=0,由点(2,3)在直线-2+=0上,得2-6+=0,解得=4,

. xyxycxyccc

因此所求的直线方程为-2+4=0,故选A

xy.

3D直线2--2=0与轴的交点为(0,-2),∵直线2--2=0的斜率为2,

. xyyAxy

∴所求直线的斜率为-,

2

∴所求直线的方程为+2=-,即+2+4=0,故选D

yxxy.

2

4解析(1)由题意知直线的方程为-3=-(-2),即3+2-12=0

. lyxxy.

2

3

1

1

4

(2)设所求直线的方程为3+2+=0(≠-12),因为所求直线过点(-3,1),所以-9+2+=0,解得=7,故所求直线

xymmmm

的一般式方程为3+2+7=0

xy.

(3)设所求直线的方程为2-3+=0,因为所求直线过点(-3,1),所以-6-3+=0,解得=9,故所求直线的一般式

xynnn

方程为2-3+9=0

xy.

5C将直线的方程3++1=0化为斜截式,得=−3-1,

. 𝑎𝑎𝑎x

√√

因此直线的斜率=-3,设直线的倾斜角为,则tan=−3,

k𝑎𝑎

√√

因为∈[0,π),所以=,故选C

αα.

2π2π

33

,即倾斜角为

𝑎𝑎

6D将直线的方程3+2+6=0化为截距式,得=1,所以=-3,故选D

. xyb.

+

-2-3

7C将直线方程-+1-3=0化为点斜式方程为-1=(-3),所以直线过定点(3,1)

. kxykykx.

8C由题意知,直线方程可化为=-−<0,故直线的斜

. y𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎

,∵<,<,∴>,−>,∴−

𝑎𝑎0𝑎𝑎0𝑎𝑎00

率小于0,在轴上的截距大于0故选C

y..

9D将方程化为截距式为=1,

.

11

+

𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑎𝑎

∴三角形的面积=

S.

||||=

22||

𝑎𝑎𝑎𝑎

1111

10C因为直线+2-1=0与-2-1=0垂直,所以-4=0,解得=4故选C

. axyxyaa..

11A由直线+(1+)-2=0和直线+2+4=0平行,

. xmymxy

1×2=(1+),

𝑎𝑎

得{解得=1故选A

m..

𝑎

≠-2,

12答案0;45

. °

解析由题得-,∴=0

m.

𝑎

2

+1

-22

=

2

1

若=-1,则直线的斜率=-=1,所以直线的倾斜角为45

mk°.

-2

13信息提取①行李票费用(元)与行李质量(千克)呈线性关系;②由图中标出的坐标知

. yx

ABAB.

(60,6),(80,10);③,两点在直线上

数学建模以行李票费用(元)与行李质量(千克)的关系为背景构建直线方程

yx.

解析(1)由题图知点(60,6),(80,10)

AB.

由直线方程的两点式得,整理得-5-30=0

80-6010-6

=

xy.

(2)依题意,令=0,解得=30,即旅客最多可免费携带30千克的行李

yx.

能力提升练

𝑎𝑎

-60-6

5

1A因为点(2,1)在直线++1=0上,所以2++1=0,由此可知点(,)在直线2++1=0上因为点

. AaxbyabPabxy.

1111111

AaxbyabPabxy.Pab

(2,1)在直线++1=0上,所以2++1=0,由此可知点(,)在直线2++1=0上所以过点(,)和

2222222111

点(,)的直线方程是2++1=0

Pabxy.

222

2C设所求直线的方程为-1=(-2)令=0,得=1-2,所以点坐标为(0,1-2),又因为为线段的中

. ykx.xykQkMPQ

点,点纵坐标为0,所以根据中点坐标公式得,故所求直线的方程为+2-4=0

Pxy.

0+(1-2)1

𝑎

22

=1,解得=−

𝑎

3答案-+1=0

. xy

解析当线段最短时,⊥,所以=1所以直线的方程为=+1,化为一般式方程为-+1=0

ABABlk.AByxxy.

AB

4答案8;+4-8=0

. xy

解析设直线的方程为=1(>0,>0)

lab.

𝑎𝑎

+

𝑎𝑎

由点(4,1)在直线上知=1

41

𝑎𝑎

+

.

∵>0,>0,

ab

∴1=≥2·,即=8,=2时取等号

4141414

+=,当且仅当=

√

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

√

𝑎𝑎

ab.

从而≥4,即≥16,

√

𝑎𝑎ab

∴=≥8,

Sab

1

△

AOB

2

∴△面积的最小值为8,此时直线的方程为=1,即+4-8=0

AOBlxy.

𝑎𝑎

82

+

5解析(1)直线-3+1=0的斜率为,所以其倾斜角为30,

. x𝑎°

√

√

3

3

所以所求直线的倾斜角为60,

°

故所求直线的斜率为3,

√

又所求直线经过点(2,-3),所以其方程为+3=3(−2),即3−−3−23=0

Ay𝑎𝑎𝑎.

√√√

(2)设直线方程为=1,

𝑎𝑎

𝑎𝑎

+

1

则{解得{或{

2

||=1,

𝑎𝑎

2,1,==-

-22

𝑎𝑎

+=1,

𝑎𝑎

𝑎𝑎

=1=-2.

故所求的直线方程为+2-2=0或2++2=0

xyxy.

6B两直线垂直⇔(+4)(-4)+3(+4)=0⇔(+4)(-1)=0⇔=1或=-4

. mmmmmmmm.

∵{1}⫋{1,-4},

∴“=1”是“直线(+4)+3+1=0与(-4)+(+4)-5=0垂直”的充分不必要条件,故选B

mmxmymxmy.

7C由++1=0得,=--1,

. axyyax

因此直线过定点(0,-1),若直线斜率存在,则斜率=-

lPlka.

6

如图所示,当直线由直线按顺时针方向旋转到直线的位置时,符合题意

lPAPB.

易得=

k.

1-(-1)1)2-(-3

PB

1-0-2-02

=2,==−

𝑎𝑎𝑎

结合图形知,-≥2或-≤-,解得≤-2或≥故选C

aaaa..

33

22

8AC对于A项,当=-1时,直线的方程为-+1=0,显然与+=0垂直,所以正确;

. alxyxy

对于B项,若直线与直线-=0平行,则(++1)·(-1)=1×(-1),

lxyaa

2

解得=0或=-1,所以不正确;

aa

对于C项,当=0时,=1,所以直线过定点(0,1),所以正确;

xy

对于D项,当=0时,直线的方程为-+1=0,在轴,轴上的截距分别是-1,1,所以不正确故选AC

alxyxy..

9答案[0,,π

.

π3π

44

]∪[

)

解析直线sin++2=0的斜率=-sin,∵-1≤sin≤1,∴-1≤≤1,

xαykααk

∴直线的倾斜角的取值范围是[0,,π

π3π

44

]∪[

)

.

10答案(1,1);=1

. x

解析直线的方程可化为(-1)+(-1)=0,

lmxy

令{得{

𝑎

-1=0,

𝑎

-1=0,

𝑎

=1,

𝑎

=1.

故直线过定点(1,1)

l.

当倾斜角为时,直线垂直于轴,所以其方程为=1

π

2

xx.

11答案±1

.

解析如图所示,直线:+3-5=0分别交轴,轴于,两点,直线:3-+1=0过定点(0,1)

lxyxyABlkxyC.

12

由点在线段上知⊥或与轴交于点,且∠+∠=180

COBlllxDBCDBAD°.

212

①由⊥知,1×3+3×(-1)=0,解得=1

llkk.

12

②由∠+∠=180得,∠=∠

BCDBAD°BADOCD.

7

设直线的倾斜角为,的倾斜角为,则=180-∠,=90+∠,

lαlαα°BADα°OCD

112212

∴=180-∠=180-∠

α°BAD°

1

OCD°α°α°αα°α°α

=180-(-90)⇒=270-⇒tan=tan(270-)=tan(90-)=

212122

cos(90°-)sin

𝑎𝑎

22

==

22

sin(90°-)cos

𝑎𝑎

1

tan

𝑎

2

1

⇒tan·tan=1,

αα

12

∴-×3=1⇒=-1

3

kk.

综上所述,的值为±1

k.

12解析(1)直线方程可化为:=-−+

. ly𝑎𝑎.

1

,2:=−

𝑎𝑎

7733

242

𝑎

依题意得,-

377

=−,解得=

𝑎

.

(2)∵⊥,∴(+2)(-1)+(1-)(2+3)=0,解得=±1

llaaaaa.

12

将=±1代入方程,均满足题意

a.

故当=1或=-1时,直线⊥

aall.

12

方法技巧已知直线的一般式方程,如果含参数的直线不能判断斜率存在,直接利用一般式的结论解决问题可

以避免分类讨论

.

𝑎

26

8