高二数学新教材选择性必修第一册1.4.1 空间向量的应用(一)(精讲

1.4.1 空间向量应用（一）

思维导图

常见考法

1 / 11

考法一平面的法向量

【例】（年广东潮州）如图已知是直角梯形，∠＝，⊥平面，＝＝＝

12020ABCDABC90°SAABCDSAABBC

1

1AD

，＝

2

，试建立适当的坐标系．

(1)求平面ABCD的一个法向量；

(2)求平面SAB的一个法向量；

(3)求平面SCD的一个法向量．

【答案】见解析

【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标

1

，0，0



，S(0,0,1)． 系，则A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D



2

→

(1)∵SA⊥平面ABCD，∴AS

＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量．

1

→



(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面SAB，∴AD

＝是平面SAB的一个法向量．



2

，0，0

1

→→

，1，0



，SC＝(1,1，－1)．设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)， ＝

(3)在平面SCD中，DC



2

→

1







x＝－2y，n·DC

＝0，



x＋y＝0，



→→

则n⊥DC，n⊥SC，所以得方程组∴





2



→



z＝－y，









x＋y－z＝0，



n·SC

＝0，

2 / 11

令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．

1.利用待定系数法求平面法向量的步骤

(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)

→→

(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量AB

，AC

→





n·AB

＝0，

(3)列方程组：由



列出方程组

→





n·AC

＝0，

→





n·AB

＝0，

(4)解方程组：



→





n·AC

＝0.

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)

(6)得结论：得到平面的一个法向量

2.求平面法向量的三个注意点

(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量

(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量

【一隅三反】

1．（2020年广东惠州）正方体ABCD­ABCD中，E、F分别为棱AD、AB的中点，在如图所示的空间

11111111

直角坐标系中，求：

(1)平面BDDB的一个法向量；

11

(2)平面BDEF的一个法向量．

3 / 11

【答案】见解析

【解析】设正方体ABCD­A

1111

BCD的棱长为2，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2)．

→

(1)连接AC(图略)，因为AC⊥平面BDDB，所以ACB的一个法向量．

1111

＝(－2,2,0)为平面BDD

→→

(2)DB

＝(2,2,0)，DE＝(1,0,2)．设平面BDEF的一个法向量为n＝(x，y，z)．

→

y＝－x，







2x＋2y＝0，n·DB



＝0，



∴∴∴







1

→





x＋2z＝0，







z＝－x.

2



n·DE

＝0，

令x＝2，得y＝－2，z＝－1.∴n＝(2，－2，－1)即为平面BDEF的一个法向量.

22019·

．（涟水县第一中学高二月考）四棱锥中，底面，为正方形

PABCDABCDABCD

PA

AC,BD

的对角线，给出下列命题：

①为平面的法向量；

BC

PAD

②为平面的法向量；

BD

PAC

③为直线的方向向量；

CD

AB

④直线的方向向量一定是平面的法向量．

BCPAB

其中正确命题的序号是

______________

【答案】②，③，④

【解析】①因为底面是正方形，所以，由平面知不是平面的法向量；

ABCDBC//AD

AD

PADPAD

BC

②由底面是正方形知，因为底面，平面，所以，又

ABCDBDACABCD

PAPABD

BDABCD



PAACA

，平面，平面，所以平面，为平面的法向量，②

PABD

PACPACPACPAC

AC

BD

正确；

③因为底面是正方形，所以，则为直线的方向向量，③正确；

ABCD

CD//AB

CD

AB

④易知，因为底面，平面，所以，又，

BCABABCDBCPABC

PAPA

ABCD

PAABA

平面，平面，所以平面，故④正确

PABPABPAB.

AB

BC⊥

4 / 11

故答案为：②，③，④

考点二 空间向量证明平行

【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角

三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．

（1）求证：PB∥平面EFG.

（2）证明平面EFG∥平面PBC

【答案】见解析

【解析】

证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，

∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，

D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．

→→→→→→

∴PB＝(2，0，－2)，FE＝(0，－1，0)，FG＝(1，1，－1)，设PB＝sFE＋tFG，

即(2，0，－2)＝s(0，－1，0)＋t(1，1，－1)，

t＝2，





∴解得s＝t＝2，∴PB＝2FE＋2FG，



t－s＝0，





－t＝－2，

→→→

→→→→→

又∵FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.

→→→→

（2）证明 ∵EF＝(0，1，0)，BC＝(0，2，0)，∴BC＝2EF，∴BC∥EF.

5 / 11

又∵EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC，

同理可证GF∥PC，从而得出GF∥平面PBC.又EF∩GF＝F，EF，GF⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面PBC.

线线平行证明两直线的方向向量共线

①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；

②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行

①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题 面面平行

【一隅三反】

1.在正方体ABCD­ABCD中，M，N分别是CC，BC的中点．求证：MN∥平面ABD

11111111

．

【答案】见解析

【解析】 法一 如图，以D为原点，DA，DC，DD

1

所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标

11

→

0，1，



，N，于是DA＝(1,0,1)，系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A

，1，1

11

(1,0,1)，B(1,1,0)，M

22



→





n⊥DA

1

，

11



→→

DB.设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则

＝(1,1,0)，MN＝



22

，0，

1



→





n⊥DB

，

线面平行

→





n·DA

1

＝x＋z＝0，

即取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A



1

BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．

→





n·DB

＝x＋y＝0，

11

→→

，0，



·(1，－1，－1)＝0，∴MNBD ·n＝

⊥n.∴MN∥平面A又MN

1

．

22



1111

→→→→→→→→→→

法二 MN＝C－C＝－＝－D，∴MN∥DA，∴MN∥平面A

11111111111

NMCBCC(DAD)＝DABD

．

2222

11111111

→→→→

→→→→→→→→→

法三 MN＝C－C＝－＝－＝－＝－

1111111

NMCBCCDAAADBAB.

DBA＋BA＋BA

B

22222222

1

()()

→→→→→→

即MN可用A与DB线性表示，故MN与A，DB是共面向量，故MN∥平面A

111

BBBD

．

22020·.

．（上海杨浦复旦附中高二期中）已知平面



的一个法向量为，则直线与

n(1,2,2),AB(2,1,0)

AB

平面的位置关系为



_______.

【答案】直线在平面上或直线与平面平行

ABAB



6 / 11

【解析】由，所以为平面的一个法向量

nAB12+21+200



nAB

.

又向量

n



.

所以直线在平面上或直线与平面平行

ABAB



.

故答案为：直线在平面上或直线与平面平行

ABAB



.

32019·.

．（江苏海陵泰州中学高二月考）已知直线平面

l//



，且的一个方向向量为，平面

l

a2,m,1



的一个法向量为，则

n1,,2



【答案】

8

【解析】由题意，知，∴，即，∴

anan0



2,m,11,,20



m8

.

故答案为：

8

考法三 空间向量证垂直

【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A

111

BC的所有棱

长都为2，D为CC

111

的中点．求证：AB⊥平面ABD.



1

m

______.

2





1



2

【答案】见解析

【解析】方法一 设平面A

1

BD内的任意一条直线m的方向向量为m.由共面向量定理，则存在实数λ，μ，

→→→→→

使m＝λBA＋μBD＝a，BC＝b，BA＝c，显然它们不共面，并且|a|＝|b|＝|c|＝2，a·b＝a·c＝0，b·c＝2，

11

.令BB

以它们为空间的一个基底，

1

→→→→→

1

λ＋μ



a＋μb＋λc， a＋b，AB

则BA＝a＋c，BD＝＝a－c，m＝λBA＋μBD＝

111



2

2

→→



λ＋μλ＋μ

11

a＋μb＋λc＝4－2μ－4λ＝0.故ABAB·m＝(a－c)·

11

⊥m，结论得证．



22

方法二 取BC的中点O，连接AO.

因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.

因为在正三棱柱ABC—A

11111

BC中，平面ABC⊥平面BCCB，

且平面ABC∩平面BCC

1111

B＝BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCCB.

7 / 11

取B

1111

C的中点O，以O为原点，分别以OB，OO，OA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A

11

(0，2，3)，A(0，0，3)，B(1，2，0)．

→→

设平面A＝(－1，2，3)，BD＝(－2，1，0)．

11

BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，BA

→





n·BA

1

＝0，



－x＋2y＋3z＝0，

→→

因为n⊥BA，n⊥BD，故即

1





→

－2x＋y＝0，







n·BD

＝0，

令x＝1，则y＝2，z＝－3，故n＝(1，2，－3)为平面A

1

BD的一个法向量，

→→→

而AB＝(1，2，－3)，所以AB＝n，所以AB∥n，故AB

11111

⊥平面ABD.

（1）利用空间向量证明线线垂直时，确定两条直线的方向向量，由向量数量积为0即可得证

（2）利用空间向量法证明线面垂直的方法有两种：

①利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量

垂直；

②求出平面的法向量，验证直线的方向向量与平面的法向量平行

（3）利用空间向量法证明面面垂直有两种方法：

①证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为线面垂直；②证明两平面的法向量垂直

【一隅三反】

12018·

．（浙江高三其他）已知平面



的法向量为，，则直线与平面的

n(2,2,4)

AB(1,1,2)

AB

位置关系为（）

A B C

．．．与

ABAB



【答案】

A

【解析】



AB



相交但不垂直．

D

AB//



AB1,1,2,n2,2,4,n2AB,n//AB,AB





.

本题选择选项

A.

22020·

．（安徽池州。高二期末（理））已知平面



的法向量为，若直线平面，则直线的



4,3,7

l

l

8 / 11

方向向量可以为（）

A B

．．



8,6,14

C

．



4,3,3,4,



8,6,14

D

．





2525

77

【答案】

B

【解析】因为直线平面，故直线的方向向量与平面的法向量平行，

l



l

因为故选：



8,6,142



4,3,7

,B.

32019·

．（瓦房店市实验高级中学高二月考）四棱锥中，底面是平行四边形，

PABCDABCD

AB2,1,4AD4,2,0AP1,2,1



，，，则直线与底面的关系是

PA

ABCD

( )

A B C D60°

．平行．垂直．在平面内．成角

【答案】

B

【解析】依题意，而，所以

PAAP1,2,1



PAAB2240,PAAD4400

PAAB,PAAD

，而，所以平面故选：

ABADAPA

ABCD

.B

42020·

．（江苏省邗江中学高一期中）如图，在正方体

ABCDABCD

1111

中，分别是的中点，

E,F

BB,CD

1

试用空间向量知识解决下列问题

（）求证：（）求证平面．

1 2

DFDE

1

DF

1

ADE

【答案】（）证明见解析；（）证明见解析

12

【解析】（）如图所示：以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，

1

DA,DC,DD

1

x,y,z

2

则，，，，，

D0,0,2

1



F0,1,0D0,0,0E2,2,1A2,0,0





9 / 11

故，，故，故

DF0,1,2DE2,2,1

1



DFDE0220

1

DFDE

1

.

（），故，故，

2

AE0,2,1



DFAE0220

1

DFAE

1

又，，故平面

DFDE

1

AEDEE

DF

1

ADE

.

52019·

．（九台市第四中学高二期末（理））如图，四边形是矩形，平面，，

ABCDABCD

PAPAAB1

点是的中点，点在边上移动

FPBE

BC

.

（）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；

1

EEF

BCPAC

（）证明：无论点在边的何处，都有

2EBC

PEAF

.

【答案】（）平面，理由见解析（）证明见解析

1.2

EF//PAC

【解析】（）是的中点，是的中点，

1

EFPB

BC

EF//PCPACPAC

..

又平面平面，

EF

PC

EF//PAC

平面

.

（）以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，

2

A

AD，AB，AP

x

y

z

10 / 11

则，，，

A(0,0,0)

P(0,0,1)

B(0,1,0)

F0,,





11



22

设，则

D(a,0,0)

Ca,1,0



E

在上，

BC



设，

E(m,1,0),(0ma)

PE(m,1,1)

，，

AF0,,





11



22

PEAF0

，

PEAF

.



无论点在边的何处，都有

E

BC

PEAF

.

11 / 11