(新人教A)高二数学同步辅导教材球

高 二 数 学

（第27周）

主讲教师：徐 瑢

【教学内容】

球

【教学目标】

1.弄清球面及球体的定义，弄清球的截面及其性质；

2.弄清地球的经度与纬度的概念及球面的距离的概念并运用于解题之中；

3.理解球的体积公式和表面积公式的推导思路，熟练用它们解决有关综合性问题；

4.能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题。 6．在解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题时，把球的问题转化为圆的

【知识讲解】

1．“球”与“球面”的概念（见下表）

半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面。 例题讲解

球面所围成的几何体叫球（或球体） 例1.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球的半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是

球面是一个曲面，只有面积，而球是一个封闭的几何体，有表面积，也有体积。 （ ）

球面也可以看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。

2．球的截面性质（见下表）

（1） 用一个平面截球，截面是一个圆面。球面被过球心的平面截得的圆叫做大圆， 解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′半径为r，

被不过球心的截面得的圆叫做小圆。

（2） 球心和截面圆心的连线垂直于截面。

（3） 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：

rRd

22

3．球面的距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度称为两点的球面距离。

球面上两点距离不能通过解三角形直接求得，一般地是先求出大圆半径R和这两点在大圆上的劣弧所对的圆心角θ，再求

出弧长=．

LRθ

4．①纬线是与赤道所在平面平行的截面圆，纬线上的度数叫做纬度，纬度是纬线上的点与球心联线和

赤道所在平面所成的角的度数，即线面角的度数。地球上某一点M的

N

本

M

初

子

θ

O

午

φ

线

S

纬度是指线段OM（O是球心）与赤道平面所成的角θ的度数，若点M在北半球，就是北纬多少度；若点M

在南半球，就是南纬多少度，纬度是线与面之间的角。

②经线是地球面上从北极到南极的半个大圆，经线上的度数叫做经度，经度的概念与二面角的度数有关。

经度差是经线与地轴所确定平面的两个半平面的二面角大小，即二面角。地球上某一点M的经度是由经过地

轴与本初子午线确定的半平面线地轴旋转到点M所形成的二面角的度数，若旋转是向东进行的，则点M的



经度就是东经多少度，若旋转是向西进行的，则点M的经度就是西经多少度，经度是面与面之间所成的角。

5．球面面积公式= 4π（球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，需要用

S R

2

求极限的方法来推导球面面积公式）；球的体积公式：。

VR

4

3



3

问题，是重要方法。

（A） （B） （C） （D）

16864

939

πππ

4π

C

O

A

B

则，△ABC是正三角形

OO



R

2

O

OAABr

2

323

323

。

在Rt△OO′A中，OA=(O′O)+(O′A)

222

即

R()()

222

R

23

23

Rπ

32

1616

99

S=4 选A

球面

πrR

评述：画出直观示意图有利于分析有关元素间的关系，本题将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外

接圆半径及勾股定理的运用，球的截面问题是球与球冠中最常见的问题，要熟练掌握它们的有关计算。

例2.A、B两地都在北纬45°的球面上，它们的经度相差90°，求A、B两地的球面距离（地球半径为R）

解：如图，O为球心，O为北纬45°纬圆圆心，

则由球的截面性质可知，∠AOB就是二面

1

O

角A—OO—B的平面角，即∠AOB=90°，

11

A

B

∠AOO与∠BOO都等于纬度45°的余角

11

O

∴

AOBOR

11

2

2

在Rt△AOB中，可得AB=AO=R,故在△AOB中可得∠AOB=, 所以AB两地间的球面距离为R

11

2

ππ

33

例3．过球面上一点M作互相垂直的三条弦MA，MB，MC；设球的半径为R，求证：MA+MB+MC=4R

2222

分析：由于MA、MB、MC互相垂直，作图时可考虑经过其

中两条（如MB、MC）的球的截面，BC是截面圆的直径，

A

MA与该截面垂直。

O

C

H

M

N

B

证明：如图，设球半径为R，连结BC，过MB和MC的球的截面为小圆H，由MB⊥MC，有BC为圆H的直径，解： 如图，已知球半径为R，设圆柱底面直径为x，高为h，轴截面为矩形ABCD．在Rt△ABC中，AC=2R， AB=h，

连结MH，并延长与球面交于点N，连结AN，设AN的中点为O，连OH，则OH∥AM ∵AM⊥MB， AM⊥MC， BC=x，则x+h=4R．①

∴AM⊥面MBC， AM⊥MN

∴OH⊥面MBC，O为球心，AN为球的直径 ∴MA+MB+MC=MA+MN=AN=(2R)=4R

22222222

评注：本题还可以看成是球的内接长方体的从一个顶点出发的三条棱与对角线长度之间的关系，用长方体的知

识来处理比较简单。

例4．过半径为R的球面上一点P作三条两两互相垂直的弦PA，PB，PC，求三棱锥P-ABC体积的最大值． 2xh=R．②

解 如图10-19，设O为球心，∵PA⊥PB，

∴ ∠APB=90°．PA，PB确定的小圆圆心为O，则AB为其直径．设PO交⊙O于D，则

111

PADB为矩形．又PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥面PADB．又∵OO⊥面PABD，∴PC与OO

11

共面．∴P，C，D在大圆面上．∠CPD=90°，∴O∈CD．CD=2R．根据球的对称性，CD

可视为以矩形PADB为底面、PC为高的球的内接长方体的对角线．设PA=x，PB=y，PC=z，

则

例5．求棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径 1．下列说法错误的是（ ）

解：设ABCD为棱长等于a的正四面体，A、B在对面的射影分别为H、H，AH与BH的交点为O，则O既是 A．到定点的距离等于定长的点的集合是球面

1212

正四面体的外接球球心，又是内切球的球心，OA、OH分别为所求的外接球和内切球的半径。如图 B．以圆的直径为轴，旋转半周所成的曲面叫球面

1

AEa, EHEHa AHa

333

263

122

AHAEHEa

11

22

2

3

A

∵O、H、E、H四点共圆 ∴AO·AH=AH·AE

1212

H

2

∴， 又△AOH∽△AEH得

AOa

AHAE

2

O

D

AH4

6

21

1

B

H

E

1

OHAOEH

21

EHAEAE12

 OHa

AO

6

2

C

1

故正四面体的外接球半径为，内切球半径为 A． B． C． D．6

6633

4122224

aa

例6．半径是R的球，它的内接圆柱的侧面积等于球大圆面积的一半，求这圆柱的体积． 6．若两球表面积之比为1:2，则其半径之比是（ ）

222

2

③

④

若以h为底面直径，x为高，则

【一周一练】

C．过球面上的两个不同点，只能作一个大圆

D．两点间的球面距离是大圆的一段劣弧长

2．球面上有3点A、B、C，若AB=3，AC=4，BC=5，球心到平面ABC的距离的距离为6，则该球的半径

为（ ）

A． B． C． D．以上均不对

13

2

6135

3．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为（ ）

A．4 B．3 C．2.5 D．2

4．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π、16π，则这两平行平面间的距离是（ ）

A．1 B．7 C．3或4 D．1或7

5．半径为1的球面上有三点A、B、C，若它们的球面距离均为，则三棱锥O-ABC的表面积是（ ）

π

2

3

2

33

A．1:2 B．1:4 C．1: D．1:2

22

7．一个球的内接正方体的表面积是54，则球的表面积是（ ）

A．27π B．18π C．9π D．54π

8．一通信卫星转播电视要使地球表面的能收到电视信号，（地球半径为R），则通信卫星离地面的高

1

4

为（ ）

A．R B．R C．2R D．3R

1

2

二、填空题

10．半径为10cm的球内，有一个截面距球心6cm，则该截面的面积等于_________

11．地球半径为R，45°纬圆上有甲、乙两地，它们的球面距离是πR，那么甲、乙两地纬圆上的劣

1

2

弧长等于____________.

12．球的半径为10cm，经过球面上一点作一截面，若截面与经过该点的半径成45°角，则截面圆的面

积是____________

13．与正方体各面相切的球，它的面积与正方体表面积之比为__________.

三、解答题

14．在北纬45°圈上有A、B两地，它们分别在东经50°与140°的经线上，设地球半么为R（1）求A、

B两地之间的纬度线（劣弧）的长

（2）求A、B两地之间的球面距离

【一周一练答案】

2

πR 1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．A 8．A 10．64πcm11．

2

2

12．50πcm， 13．π:6 14.（1）πR （2）πR

2

2

1

4

3