数学史资料

§5.2

阿拉伯数学

5.2.1阿拉伯文明概况

阿拉伯国家指以阿拉伯民族为主体的国家，大多分布在亚洲西部和北非一带，一般使用阿拉

伯语，信奉伊斯兰教。然而“阿拉伯数学”并非指阿拉伯国家的数学，而是指8-15世纪阿

拉伯帝国统治下的中亚西亚地区的数学，是穆斯林、希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉

伯文数学著作。

穆斯林在默罕莫得（mohammed）的鼓舞下，在默罕莫得死后（632）不到半个世纪的时间

内征服了从印度到西班牙，乃至北非和南意大利的大片土地，到7世纪初，阿拉伯半岛基本

统一。661年，叙利亚总督摩阿维亚(muawiyah)被选为哈里发后改为世袭制,开始了倭马亚王

朝(umayyads, 661-750).755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国。750年阿布尔·阿拔斯(abū

'l-abbās,722-754)推翻倭马亚王朝，建立了东部王国阿拔斯王朝，762年迁都巴格达。756年，

逃亡到西班牙的倭马亚王朝后裔阿卜杜·拉曼(abdal-rahmān) 宣告建立西部阿拉伯王国，定

首都西班牙的哥尔多华。909年，伊斯兰什叶派脱离巴格达，在北非突尼斯建立一个新的哈

里发国家，973年迁都埃及开罗。

11世纪开始，阿拉伯帝国受到外民族的侵略，11世纪初东亚突厥人一支的塞尔柱(ljuk)人

入侵阿拉伯，并于1055年在巴格达建立素丹政权；1097年十字军东征，开始了基督教欧洲

对穆斯林亚洲的征服；1258年，蒙古人旭烈兀(1219-1265)占领巴格达，建立伊儿汗国，从

此阿拉伯帝国灭亡。

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文

艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献。阿拉伯建国后，东西两个帝国的哈里发都十分重

视科学与艺术事业，他们曾经从拜占庭帝国收买过大量希腊人手稿，他们还延请各地科学家

到他们的首都从事科学研究，巴格达成为当时的科学文化中心与商业中心，那里设有学院、

图书馆、天文台等科学机构。6世纪柏拉图学院被罗马王封闭后，很多希腊学者转入波斯，

这样具有希腊学术传统的波斯文化后来成为阿拉伯文化的一部分。埃及的亚历山大里亚城曾

是希腊的学术中心，被阿拉伯征服后，也成为留给阿拉伯人的重要文化遗产，而且叙利亚学

派所在的安提阿、大马士革与基督教景教派所在地以得撒，都在阿拉伯帝国的统治下。这样

阿拉伯获得印度、希腊、近东等多地区的文化，大多来源于希腊人的手稿或叙利亚与希伯来

文译本。今天的研究表明，中国的文化也曾直接流入阿拉伯，或通过印度间接传播阿拉伯世

界。

在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右传入巴格达，并译成阿

拉伯文，8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在内的希

腊天文数学经典先后都被译成阿拉伯文字。9世纪最著名翻译家，阿拉伯学者伊本·科拉

（Tabit ibn Qorra,836-901)翻译了欧几里得、阿波罗尼乌斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修

斯等人的著作。到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。

5.2.2阿拉伯数学

在中世纪的东方，除中国人之外，阿拉伯人在科学上的成就是非常突出的。就数学而言，阿

拉伯人的成就主要在代数学、三角学方面，更为重要的是，阿拉伯人在把古代东方数学文化

传播到欧洲，导致欧洲近代数学的建立，作出了不可磨灭的贡献。

1.代数学

阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。花拉子米

(Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi,约783~850)是中世纪对欧洲

数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》

（al-kitāb al-mukhta sar fī hisāb al-jabr wa'l-muqābala）

（约820年前后）一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大

影响。阿拉伯语“al-jabr”, 意为还原移项，“a'l-muqābala”

即对消之意，传入欧洲后，到十四世纪“al-jabr”演变为拉丁语

“algebra”，也就成了今天的英文"algebra"。《代数学》的内容

尽管所讨论的数学问题比丢番图和印度人的问题主要是算术问题，

简单，但讨论一般性解法而比起丢番图的著作更接近于近代初等代

数。《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x）和数（常数）这三

2

者组成。接着分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题。第一章讨论“平方等于根”的

方程，即ax = bx 型方程；第二章讨论“平方等于数”的方程，即ax = b 型方程；第三

22

章讨论“根等于数”的方程，即一次方程ax = b；第四、五、六章是关于三项二次方程求

解问题，分别讨论三种类型的二次方程：

x + px = q ， x + q = px ，x = px + q ,

222

都给出了相应的求根公式。这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式

x + px + q = 0

2

这样，花拉子米相当于获得一般的求根公式.

每一问题求出正根x后，花拉子米又求出根的平方x 。他明确指出，二次方程可能有两个

2

正根，也可能有负根，但他不取负根与零根。

在以上六章内容之后，花拉子米又以几何方式证明上述各种解法的合理性。花拉子米还指出，

任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”（即移项与合并同类项）的步骤化成他所讨论

的六种类型方程。由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的算术方式，具有初等

代数性质，不过，在使用代数符号方面，相对丢番图和印度人的工作有了退步。花拉子米用

几何方式证明代数解法的传统被阿拉伯其它数学家所继承，这种几何证明方式的来源今天尚

不清楚，它似乎来源于希腊人的传统，但更接近于中国宋元数学中的“条段法”。

花拉子米的另一本书《印度计算法》（algoritmi de numero indorum）也是数学史上十分

有价值的数学著作，其中系统介绍印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法。尽管在

8世纪印度数码和记数法随印度天文表传入阿拉伯，但并未引起人们的广泛注意，正是花拉

子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来，更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲

传播，为欧洲近代数学的发生提供了科学基础，所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码。该

书在欧洲传播后，“algoritmi”也演变为“algorithm”。

花拉子米的数学工作为艾布·卡米勒（abu kamil，约850~930）所继承，此人被称作“埃

及的计算家”，可能是埃及人。他的《计算技巧珍本》的传播和影响仅次于花拉子米的《代

数学》，许多数学问题也采自于花拉子米的书，他把埃及、巴比伦式的实用代数与希腊式理

论几何结合起来，也常常用几何图示法证明代数解法的合理性。其另一著作《论五边形和十

边形》包括几何和代数两方面的内容，关于四次方程解法和处理无理系数二次方程是其主要

特色。

波斯人奥马海亚姆（omar khayyam，1048?-1131）是11

·

世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人，他曾

得到塞尔柱统治者马利克沙（malik-shah,1055~1092）的

重用，受命在伊斯法罕（今伊朗境内）天文台负责历法改

革工作，制定了精密的哲拉里历。他在代数学方面的成就

集中反映于他的《还原与对消问题的论证》（简称《代数

学》）一书中，其中有开平方、开立方算法，根据奥马自

己所说，这些方法来源于印度算法，但后人将其与印度的

相关方法相比较，发现相去甚远，倒与中国的宋元时期的

增乘开方法十分接近，而且在取实数根的近似分数时，采

用与秦九韶、朱世杰相同的公式。该书对代数学发展的最

杰出贡献是用圆锥曲线解三次方程。

希腊人门奈赫莫斯（menaechmus,约bc360）为解决倍立方体问题而发现了圆锥

曲线，实际上它与三次方程相联系。阿基米德在解用平面截球，使所截

x = 2a

32

得的两部分体积比为定值的问题时，导致一个三次方程：(a -x) = bc。他

x

22

利用两条圆锥曲线 y(a - x) = ab和的交点来求解。阿基米德的传统启

ax = cy

22

发了阿拉伯数学家，一些人也采取这种方式解三次代数方程。奥马?海亚姆首先

对不高于三次的代数方程分为25类（系数为正数），找到14类三次方程，对每

类三次方程给出相应一种几何解法，例如解 + ax = b，首先将其化为+

x x cx

333

= cd，（这里c= a， cd = b，按照希腊人的数学传统，a、b是线段，c为正

2222

方形，cd为长方体），方程 + cx = cd的解就是抛物线 = cy与半圆 =

232222

xxy

x(d - x) 交点的横坐标x。他首先画出正焦弦为c的抛物线，再画出直径为d

的半圆，过它们的交点作垂线ps，则qs长度就是方程的解。这一创造，使代数

与几何的联系更加密切。可惜在1851年以前，欧洲人并不了解奥马?海亚姆的这

种解析几何方法。

在求高次方程的数值解上，晚期的纳西尔·丁

（nasir-eddin,1201~1274）和阿尔·卡西

（al-kashī,?~1429）都给出了开高次方的一般性算法。

阿尔·卡西是蒙古帖木儿时代撒马尔罕天文台负责人，他

在《算术之钥》中还给出了用于开方的二项式系数表，与

11世纪中国贾宪的“开方作法本源图”十分相似，而且所

介绍的两种造表方法之一，与杨辉算书所录贾宪“增乘方

法求廉草”完全一致。《算术之钥》中还有“契丹算法”

（即盈不足术，当时的历史学家称中国为契丹

al-khataayn）和“百鸡问题”，后来传入欧洲。阿拉伯

人代数学确切的来源并不清楚，除印度、亚历山大里亚的

希腊数学外，应当还有中国数学的影响。

在使用数学符号方面，与丢番图相比阿拉伯人退步了，阿拉伯数学家没有继承丢

番图的做法，始终用语言叙述他们的解法。

2.三角学

由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏

利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大汇编》（almagest）、梅尼劳斯的《球

面论》(sphaerica)等古典著作。

天文计算的需要，阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数表的编造。9世纪的海拜什·哈

西卜(al-hasīb, 764?~870?)在印度人的基础上制定间隔为15' 的60进制正弦表，并且还编

制了间隔为1?的正切表。正切、余切函数的引入，导源于古代的立竿测影，中国唐代一行

在编制的《大衍历》中，所立“九服晷影”就是关于不同地理纬度处晷影、漏刻长度的表格

算法，其中用到了与正切表等价的影长数表，可视为最早的正切表。艾布·瓦法(abū'l-wafā,

940~997?)在哈西卜的基础上进一步编制出间隔为10' 的正弦表和正余弦表，特别是比鲁尼

(al-bīrūnī, 973~1050)利用二次插值法制定了正弦、正切函数表。

对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼（al-battānī, 858?~929）

作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。其《天文论著》（又名《星的科学》）

被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参

考了它的成果。在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余

切。他称正弦为jība，来源于阿耶波多的印度语术语jīva, 拉丁语译作sinus, 后来演变

为英语sine；称正切为umbra versa, 意即反阴影;余切为umbra recta, 意即直阴影;后来

演变拉丁语分别为tangent和cotangent,首见于丹麦数学家芬克（1561~1656）的《圆的几

何》（1583）一书中。而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(abū'l-wafā, 940~997?)

最先引入的。

阿尔·巴塔尼还发现了一些三角函数关系式以及球面三角形的余弦定理：

cosa = cosb cosc + sinb sinc cosa.

艾布·瓦法和比鲁尼(al-bīrūnī, 973~1050)等人进一步丰富了三角学公式。艾布·瓦法曾

在巴格达天文台工作，其重要的天文学著作《天文学大全》继承并发展了托勒玫的《大汇编》，

尽管它在天文学方面没有什么超越托勒玫的创造，但其三角学方面的成就足以彪炳史册。其

中除一些精细的三角函数表外，还证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于

弦的一些定理，证明了平面和球面三角形的正弦定理。比鲁尼曾经得到马蒙（ma'mun）哈里

发的支持，在乌尔根奇建造天文台并从事天文观测，是一位有146多部著作的多产学者，其

《马苏德规律》一书，在三角学方面有一些创造性的工作，他给出一种测量地球半径的方法，

他的做法首先用边长带有刻度的正方形测出一座山高，再于山顶悬一直径可以转动的圆环,

从山顶观测地平线上一点，测得俯角，从而算出地球半径。比鲁尼算得1子午线长为

106.4-124.2公里。

比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半

角公式。后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sin1的值。



阿尔·卡西首先求出sin72和sin36的值，以求12 = sin



（7260）的值，再用半角公式求sin3的值，由三倍角



公式得出sin3=3sin1 4sin1，即sin1是三次方程



3

sin3=3x- 4x的解，阿尔·卡西用牛顿叠代法求出sin1



3

的近似值。

如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么这

种情况在纳西尔·丁那里发生了一些改变。1201年纳西

尔·丁出生于伊朗的图斯，生活于十字军和蒙古人的侵占

时代，是一位知识渊博的学者。由于蒙古伊儿汗帝国的君

主旭烈兀十分重视科学文化，纳西尔·丁受到他的礼遇，

他建议在马拉盖建造大型天文台得到旭烈兀的允许和支持，其后他一直在这里从

事天文观测与研究。他的天文学著作《伊儿汗天文表》（1271）是历法史上的重

要著作，其中测算出岁差51"/每年。其《天文宝库》对托勒玫的宇宙体系加以

评注，并提出新的宇宙模型，对后世天文学理论的形成具有一定的启发作用。他

的《论完全四边形》是一脱离天文学的系统的三角学专著，是三角学成为一门独

立于天文学的纯粹数学分支。所谓完全四边形，即指两两相交的平面上的四条直

线或球面上的四条大圆弧所构成的图形。该书系统阐述了平面三角学，明确给出

正弦定理。讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形

的6种边角关系(c为直角)：

cosc = cosa cosb ; cosc = ctga ctgb ;

cosa = cosa sinb ; cosa = tgb ctgc ;

sinb = sincsinb ; sinb = tga ctgb .

并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角

形。指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是

球面三角与平面三角的一个重要标志。纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世

纪的欧洲三角学传播与发展有着非常重要的作用。

与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的，

例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒等式sin + cos =1作代数运算而求解，

22

aa

而不是利用几何关系的推算，这是一种进步。他们和印度人一样，用弧的正弦而

不用双倍弧的弦，正弦（或半弦）的单位取决于半径的单位。

3.几何学

与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，他们的几何学工作显得薄弱，阿拉伯人在几何方

面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲。他们主要受欧几里得、阿基米德、

阿波罗尼乌斯、海伦和托勒玫等人的影响，希腊几何学对阿拉伯数学的严格性产生一定的作

用。他们曾经对《几何原本》作过评注，其第五公设引起了他们的注意，不少人试图证明这

条公设，如焦赫里(ai-jawhari，约830)、著名学者塔比·伊本·库拉(thabit ibn qurra,

约826~901)、伊本·海塞姆(ibn al-haytham,965~1040?)、奥马·海亚姆以及纳西尔·丁

等人。

奥马·海亚姆在其《辨明欧几里得公设中的难点》（1077）中，用反证法试图证明平行公设。

在证明过程中，实际上引用了与第五公设等价的假设：两条直线如果越来越近，那么它们必

定在这个方向上相交。

奥马·海亚姆的证明被纳西尔·丁所继承，西尔·丁在他的两种《几何原本》译注中都讨论

了平行公理，其《令人满意的论著》一书是关于平行公设研究的专著。

实际上，纳西尔·丁的证明没有考虑到折线向左延展过程中，越来越密，以至永远不能超过

ab的中点，更不用说到达da边了。17世纪英国数学家华里司（,1616-1703）再次

研究了纳西尔·丁的这一证法。

阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几

何的诞生有一定的影响。