博弈论平话

博弈论平话

王则柯 著

中信出版社

图书在版编目（）数据

CIP

博弈论平话/王则柯著. —北京：中信出版社，2011.4

ISBN 978–7–5086–2656–7

I. 博… II. 王…III. 对策论－普及读物 IV. F224.32

中国版本图书馆CIP数据核字（2011）第017280号

博弈论平话

BOYILUN PINGHUA

著  者：

王则柯

策划推广：中信出版社（China CITIC Press）

出版发行： 中信出版集团股份有限公司

（北京市朝阳区惠新东街甲4号富盛大厦2座 邮编 100029）

（CITIC Publishing Group）

承 印 者：

开  本：印  张：字  数：

787mm×1092mm 1/16 16.75 160千字

版  次：印  次：

2011年4月第1版 2011年4月第1次印刷

定  价：

39.00元

书  号：

ISBN 978–7–5086–2656–7/F·2245

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目

录

前言·VII

第一章

 博弈三要素与囚徒困境·1

民营书店的价格大战·3

我怎样被博弈论吸引·6

如此不公平，取胜概率却相等·10

囚徒困境与博弈三要素·13

从囚徒困境说严格优势策略均衡·16

价格大战和双赢对局·19

为什么主要讨论非合作博弈·22

公共品供给的囚徒困境·25

政治家的囚徒困境·28

基数支付和序数支付·30

美苏争霸的囚徒困境·33

第二章

视觉友好的对角排列·48

情侣博弈表达的对称性嗜好·51

第三章

| IV | 博弈论平话 |

理性人一定自私自利吗？·54

不该一律贬斥自利行为·57

情侣的拥挤博弈·60

默契是协调的一种方式·63

劣势策略消去法的讨论·65

简单博弈模型的应用·69 

智猪博弈和搭便车行为·71

为什么大股东挑起监督经理的重任·74

猎人博弈和帕累托优势·76

斗鸡博弈和航行规则·79

银行挤兑的成因和预防·83

数据不同，结果各异·86

囚徒困境两败俱伤的隐含条件·89

禁鸣喇叭与交通顺畅·95

串通作弊和风险优势·98

营造克己奉公的制度环境·101

·104“最惠客待遇”对谁有利

风险优势的判定·107

说说风险优势的从属地位·110

第四章

 混合策略与均衡筛选·117

扑克牌对色游戏·119

混合策略和纳什定理·122

寻找纳什均衡的反应函数法·125

再说混合策略纳什均衡·130

扑克牌讹诈游戏·136

慕尼黑谈判模拟·141

聚点均衡·143

聚点均衡作为共识均衡·146

聚点均衡的制度设置·148

相关均衡·151

商品品牌的“地域连坐”效应·154

品牌地域连坐的博弈分析·157

抗共谋均衡·161

盯着不散伙的共谋·165

德国世界杯警方的优势策略·169

第五章

 零和博弈与霍特林模型·173

零和博弈与非零和博弈·175

均衡的观察与验证·179

纳什均衡与杂货铺定位·183

西方两党政治的稳定性和欺骗性·187

动机和实现不是一回事·191

摊贩为什么都往市场门口挤？·193

学校门口等出租车的争先行为·196

多人博弈的霍特林模型·199

对抗性排序·207

经济学家的对称性偏好·211

第六章

 动态博弈和子博弈精炼均衡·215

抓钱游戏·217

你死我活，还是你好我好·221

编排故事，加深理解·224

博弈结果依赖制度设置·227

树型博弈策略组合的粗线表示·230

确定树博弈的纳什均衡·234

树型博弈的子博弈·237

子博弈精炼纳什均衡·240

求解动态博弈的倒推法·244

博弈论向自己出难题·247

实验经济学和行为经济学·250

索引·253

| VI | 博弈论平话 |

前

言

最近四五十年，经济学经历了一场博弈论革命。1994年度

的诺贝尔经济学奖授予三位博弈论专家，2005年度的诺贝尔经

济学奖又授予两位博弈论专家，可以看做博弈论成熟的标志。

这也更激发了人们了解博弈论的热情。20世纪末期以来一个重

要社会现象，是世界经济一体化的发展。伴随进行的，是大众

传媒中经济术语的一体化。现在，人们对于“零和博弈”、“囚

徒困境”、“双赢对局”这些本来属于博弈论（game theory）的

专门术语，已经耳熟能详。难怪“当代最后一个经济学全才”

保罗·（Paul Samuelson）教授，在他生命的最后年

萨缪尔森

月，告诫我们说：“要想在现代社会做一个有文化的人，你必

须对博弈论有一个大致的了解。”

经典意义上的经济学，以经济主体人的自利行为以及相应

的市场反应作为研究的出发点。无论是消费者还是生产者，也

无论是竞争形势还是垄断形势，基本上是经济主体人面对市场

作出自己的最优决策。形势严峻也好宽松也好，行为的结果是

主体人自己决策的结果。

拿同质商品的市场来说吧，像垄断（monopoly）那样没有

对手的决策是比较简单的，“计算”生产和供应多少东西到市

场上去可以实现最大利润就可以了。这时候，所论商品的市场

价格由市场的需求和垄断企业的供给共同决定，因此说垄断企

业是价格的决定者（price maker）。当然还有另外“一个”价

格决定者，那就是市场的需求，但是因为这个市场需求是千千万万消费者的

消费意愿和消费能力的总和，所以它已经不再具有人格化的面貌。另一方面，

像完全竞争（perfect competition）那样对手很多的情况下的决策也比较简单，

因为对手多了，他们的意愿、能力、特别是他们的决策相互汇合，其中也包

括相互抵消，结果“全体对手的决策”和市场需求合在一起，呈现可以预见

的规律，从而可以把对手们的整体反应归结为主体人面对的“一个”不再具

有人格化面貌的市场。因为占有市场份额很小的每个竞争企业，不能影响所

论商品的市场价格，所以我们说竞争企业是价格的接受者（price taker）。这

时候，给定商品的市场价格，竞争企业要做的，就是“计算”应该生产和供

应多少商品到市场上去，才可以实现最大利润。

现代经济活动早已超出上述模式。特别是当主体人面对少数几个作为对

手的主体人的时候，主体人决策的后果，要由他自己的决策和他的对手的决

策共同决定。前面说了，垄断和完全竞争这两种极端情形的决策，都是“计

算型”决策。最困难和最不确定的是只有少数几个对手的情形，即所谓寡头

经济（oligopoly），每一方的市场份额都很大，每一个主体人的行为后果，受

理性行为的理论，是讨论人们在博弈的交互作用中如何决策的理论。

作为一门学科系统地学习博弈论，不是一件容易的事情。事实上目前

在我国，许多最好的大学，也只在经济学研究生中开设比较全面的博弈论

课程。这么说来，博弈论对于广大读者似乎只好敬而远之了。其实不然。

系统地讲授博弈论固然对学生有很高的要求，但是通过比较浅显的例子和

故事普及博弈论的一些知识和方法，阐发博弈论的一些思想和观念，应该

还是大有作为的。

本着这个宗旨，本书从囚徒困境、情侣博弈、诺曼底登陆模拟和慕尼黑

谈判模拟等入手，介绍静态博弈、动态博弈、纳什均衡、零和博弈、双赢对局、

帕累托优势、子博弈精炼纳什均衡等博弈论的基本概念，以及劣势策略消去

法、相对优势策略下划线法、确定混合策略纳什均衡的反应函数法、动态博

弈的倒推法等博弈论基本方法，帮助具有中学文化程度的读者了解博弈论的

若干初步知识。

本书最早的版本，是1998年在中国经济出版社出版的《博弈论平话》，后

来在2004年扩充成《新编博弈论平话》在中信出版社出版，在2007年按照概

念和方法的内在逻辑重新整理并且扩充成为《人人博弈论》在中信出版社出

版，三个版本都连续重印多次。

这次我们按照读书市场的反馈，修枝剪叶，把《人人博弈论》缩编成本

书呈现在读者面前。篇幅虽然比较小，却已经把绝大部分至少在大学本科才

反过来说，现在比较好的大学才能够教授的博弈论课程的内容，凡是不

使用高等数学的，我们在本书中已经讲得相当清楚了，而且叙述方式要浅白

得多。说到数学方法，我们实际上只用到加减乘除。学问讲究发现的乐趣和

心得的喜悦，讲究润物细无声。我们并不追求面面俱到，只是努力以朴实浅

近的文字唤起读者对博弈论和现代经济学的好奇心。

在进行博弈分析的时候，对于同时决策博弈，需要画出矩阵形的表格，

对于先后决策的博弈，需要把博弈表达为一棵“树”。这是学科本身的要求。

除此以外，只要有可能，我都用几何图形代替数字计算和代数推导。这也是

作者风格的一个体现。

最大的变化，则是新写了一节“囚徒困境两败俱伤的隐含条件”。大家知

道，囚徒困境是博弈论最重要的一个模型，“囚徒困境导致两败俱伤”，差不

多已经成为人们的共识。可是囚徒困境之所以导致两败俱伤，是有它的前提

条件的，忽略这个前提条件，就会误导学生和读者误用囚徒困境导致两败俱

伤的这个结论。

我的电子信箱是lnswzk@ 和 ch84111987@ ，敬

第一章

博弈三要素与囚徒困境

这一章是全书的一个导引，首先回顾博弈论普及工作的成效，远溯差不多30

年前作者自己怎样被博弈论吸引。最重要的，则是通过“囚徒困境”博弈，说明

表达一个博弈必须明确博弈参与人、他们可以选择的策略或者行动，以及在每种

策略组合之下参与人的博弈所得即支付这样三个要素。我们还以“囚徒困境”为例，

说明什么是博弈参与人的严格优势策略，什么是博弈的严格优势策略均衡，并且

演示寻找严格优势策略均衡的劣势策略消去法。

这一章还谈到“双赢对局”的概念，以及基数支付和序数支付的关系。

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 1 |

民营书店的价格大战

我坐在从广州到杭州的CZ3803航班上，翻阅当天的《南方都市报》。西

湖和钱塘江是我喜欢的地方，在大学里教书和同学们探讨经济学是我喜欢的

工作。现在有人请我到西湖旁边做我喜欢的工作，实乃人生乐事。说起教书，

我在经济学院校讲授的主要是微观经济学、博弈论和信息经济学，不敢随便

揽别的活。

报纸对开的B8和B9两版的大字标题映入我的眼中：

北京两大书店分别以7.5折和7折应对竞争，引发价格大战

书价跳水

原来，2006年9月1日，号称北京市最大书店的“第三极书局”广告

宣布：“请允许我热烈地爱读者一回——从9月1日至10月20日，全场图

书7折。”

这个消息早在预料之中。事实上早在一个半月以前，紧邻第三极书

局的中关村图书大厦，就已经打出“7月15日至8月15日全场图书7.5折”

的条幅，后来又打出“8月19日至10月15日，继续全场7.5折”的广告。

这样连续的打折倾销，叫旁边的第三极书局怎么受得了？

对开两版其他文字的标题是：

打折是无奈之举：这是割喉战？

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 3 |

打折风起云涌：7折还能赢利吗？

打折之后：各方力量开始博弈

最坏的结果：劣币驱逐良币

国营PK民营：需要那么多高度同质化的书城吗？

配题大照片的文字则是：

第三极书局推出全场7折，不仅是对竞争对手的应战，对全国图书零

售业或许都将产生系列震荡。

你看，诸如国营、民营、零售、竞争、打折、博弈、对手、赢利、同质化，

全是经济学词汇，真是硝烟弥漫。其中什么叫做竞争、什么叫做赢利、什么

叫做同质化，是微观经济学需要厘清的概念，至于博弈和对手，当然属于博

弈论的范畴了。所以这一组文章引起我的兴趣。

所谓“国营PK民营”，背景在于中关村图书大厦是新华书店系统的“巨

无霸”，面积1万平方米，而第三极书局是民营书店，面积接近2万平方米。

按照记者的说法，第三极书局是迄今最大的民营书店。至于网络用语“PK”

的准确含义，我并不十分有把握，但是从上下文看，应该是对手战或者对决

的意思。由于两家巨型书店开打如此惨烈的价格战，附近的中小型书店也就

只好跟进。一家网上书店甚至开出6.9折的超低价。

对开两版中最长的一篇文章，题为《我们的书价虚高吗？》，其中5个小

标题是：

| 4 | 博弈论平话 |

拆解图书利润链条

定价的差异何在？

书业面临“囚徒困境”？

打折的几种可能性

图书相对购买力低

其中“囚徒困境”已经是博弈论的专门术语了，“囚徒困境”是最典型的

一种博弈模式。

两版报纸，让我浮想联翩。作为热心于普及经济学知识的学者，我高兴

地看到，以科普小册子《博弈论平话》1998年在中国经济出版社出版为标志，

经济学人普及博弈论知识的多年努力，已经遍地开花。传媒和大众都知道“价

格大战的囚徒困境”的说法，就是一个明证。有些提法不大准确，例如价格

大战已经非常惨烈了，却说“各方力量开始博弈”。不过这恐怕也是赶着写稿

发稿，遣词造句难免欠斟酌的缘故。真的问一句“怎么这时候才开始博弈”，

记者自己一定马上醒悟过来。

“囚徒困境”非常重要。历史上，学人杜撰的“囚徒困境”模型和其他一

我怎样被博弈论吸引

1981年秋天，我受中山大学派遣，到美国普林斯顿大学数学系进修两年，

邀请人是在数学系和在经济学系都有办公室的（Harold W. Kuhn）教授。

库恩

部分由于中山大学体现了中山大学和岭南大学两所大学的传承，在普林斯顿

我结识了在那里经济学系任教的岭南大学学长（Gregory C. Chow）教

邹至庄

授和他的夫人、主持普林斯顿大学国际中心的女士，得到他们很大

邹陈国瑞

帮助。这两种人际关系，种下了我后来从事经济学教育的基因。

但是还有一个小小的因素，那就是我曾经被博弈论的一道很浅的习题深

深吸引，心灵感受震动：原来，大学博弈论练习可以设计得那么深刻而有趣。

当时，我已经快40岁了，主要的课题，是在库恩教授的带领下，计算复

杂性理论的研究。我没有修很多课，但是乐意收集习题。那道习题深深地打

动了我，以至于我花了一天时间，“不务正业”，给上海的《科学画报》投稿，

向中学生介绍这个博弈论故事。

普林斯顿大学的那道习题是这样的：

如果给你两个师的兵力，由你来当“司令”，任务是攻克“敌方”占

据的一座城市，通往城市的道路只有甲乙两条，而敌方的守备力量是三

个师。规定：双方的兵力只能整师调动；当你发起攻击的时候，你的兵

力超过敌方，你就获胜；你的兵力比敌方的守备兵力少或者相等，你就

失败。那么，你将如何制订攻城方案？

如果你不懂博弈论，看到这样的题目难免会抱怨：为什么给敌方三个师

的兵力而只给我两个师？这太不公平。兵力已经吃亏，居然还要规定兵力相

等则敌胜我败，连规则都不公平，完全偏袒敌方。这游戏实在没法玩。为此

你也许会大为不满，你这个“司令”要来个躺倒不干。

其实，运用博弈论的方法稍加分析，就可以知道这次模拟“作战”，每一

方取胜的概率都是50%，即谁胜谁负的可能性是一半对一半。你这个“司令”

能否神机妙算，指挥队伍克敌制胜，还得看你的本事。

为什么说取胜的概率是一半对一半呢？那就让我们先学一点儿“纸上谈

兵”。

我们来分析一下：敌方有三个师，布防在甲乙两条通道上。由于必须整

师布防，敌方有4种部署方案，即：

A 三个师都驻守甲方向；

B 两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向；

C 一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向；

D 三个师都驻守乙方向。

同样，你有两个师的攻城部队，可以有3种部署方案，即：

a 集中全部两个师的兵力从甲方向攻击；

b 兵分两路，一师从甲方向，另一师从乙方向，同时发起攻击；

c 集中全部两个师的兵力从乙方向攻击。

我们把双方的部署方案都叫做策略，那么敌方有4种策略可供选择，我

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 7 |

方有3种策略可供选择。4乘3等于12，所以一共有12种策略组合，或者说12

种可能的策略对局。在下面3行4列的表格左边，我们写上“我方”和可供我

方选择的3种策略a、b、c，上面写上“敌方”和可供敌方选择的4种策略A、B、

C和D。这样，每个格子就表示一种策略对局。

每个格子里面，如果我们用左下方的“＋”表示我方攻克，用左下方的

“－”表示我方攻城失败，用右上方的“＋”表示敌方守住，用右上方的“－”

表示敌方城池陷落，那么就可以得出下述交战双方的胜负分析表：

敌方

ABCD

a

++––

––++

–++–

+––+

––++

++––

我方

b

c

攻防作业演练

假设你这个“司令”采取a方案，那么如果敌方采取A方案，你的两个师

将遇到敌方三个师的抵抗，你要败下阵来，所以描述我方的a策略与敌方的

A策略相碰的格子里面，左下方是－，右上方是＋；如果敌方取B方案，你

的两个师遇到敌方两个师以逸待劳的抵抗，你也要败下阵来，所以描述我方

的a策略与敌方的B策略相碰的格子里面，同样是左下方－，右上方＋；但是

如果敌方取C方案，你以两个师打敌人一个师，你就会以优势兵力获得胜利，

结果在描述我方的a策略与敌方的C策略相碰的格子里面，是左下方＋，右上

| 8 | 博弈论平话 |

方－；同样，如果敌方采取D方案，你攻在敌方的薄弱点上，你就能长驱直

入，轻取城池，结果在描述我方的a策略与敌方的D策略相碰的格子里面，也

是左下方＋，右上方－。其他两行的格子里面的＋和－，也是这个道理。

你看，在所有可能的12种策略对局之中，有一半你这个“司令”取胜，

有一半敌方取胜，可不是一半对一半？

兵力偏袒敌人，规则也偏袒敌人。如此不公平的一个博弈，敌我双方取

胜的概率竟然相等。你看到博弈论“纸上谈兵”的魅力了吧？

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 9 |

如此不公平，取胜概率却相等

上一节交战双方的胜负分析表，还可以一步一步尽量化简，得出更加醒

目的图像。

怎么化简呢？如果先从我方入手，3种策略当中一下子是分不出优劣来的。

a和b，b和c，a和c之间，都说不上谁比谁优，谁比谁劣。于是我们从敌方入

手，尝试站在敌军的立场，比较4种不同的策略。

先比较策略A和B。如果我方采取策略a，那么敌方取策略A或者策略B

都会赢，结果一样。如果我方采取策略b，敌方取策略A会输取策略B会赢。

如果我方采取策略c，敌方采取策略A或策略B都会输。可见，站在敌方的立

场，策略B比策略A好：采取策略A会赢的话（如我方采取a），采取策略B

一定也会赢；采取策略A会输的话（如我方采取b或c），采取策略B却不一定

会输，因为假如我方取策略b，敌方就赢了。比较敌方的策略A 和B，我们知

道B是敌方的优势策略，A是敌方的劣势策略。同样，比较敌方的策略C和策

略D，我们知道C是敌方的优势策略，而D是敌方的劣势策略。

敌方

ABCD

a

++––

––++

–++–

+––+

––++

++––

我方

b

c

攻防作业演练（1）

| 10 | 博弈论平话 |

智慧的或者说理性的博弈，是不会采用自己的劣势策略的，所以

参与人

当作出博弈的上述矩阵表示以后，如果发现劣势策略，我们就应该把它划去，

如上图两条竖直的虚线所示。

敌方

BC

a

+–

–+

++

––

–+

+–

我方

b

c

攻防作业演练（2）

现在，剩下上面那个3行2列的矩阵，6个格子中，敌胜我负的比较多，

似乎敌方的赢面比较大。其实不然。因为到了敌方不会采用A和D这两种“笨

蛋”策略的时候，到了敌方只剩下B和C两个较优策略的时候，我方的a、b、

c三个策略之中，原来显不出劣势的策略b，现在很明显是劣势策略了。你也

不是笨蛋，所以你这个“司令”也应该把你的劣势策略b删去。最后，得到

下面那个两行两列的矩阵博弈表示。

敌方

BC

a

我方

c

–+

+–

+–

–+

攻防作业演练（3）

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 11 |

情况最终就是这样：敌方必取策略B或策略C那样的二一布防，一路两

个师，另一路一个师，而我方必集中兵力于某一路实施攻击，即a或c那样的

攻击策略。这样，你若攻在敌方的薄弱处，你就获胜；你若攻在敌人兵力较

多的地方，你就失败。总之，敌我双方获胜的可能性还是一样大。

所以，“司令”先生，请不要躺倒不干，你并不比对方吃亏。

这两节介绍的那个博弈论题目，有一个醒目的标题，叫做：

诺曼底

登陆模拟博弈

。

原来，第二次世界大战进行到1944年的时候，以艾森豪威尔为总司

令的盟军，经过近一年的准备，在英国集结了强大的军事力量，准备横

渡英吉利海峡，在欧洲开辟第二战场。当时可供盟军渡海登陆的地点有

两个：一是塞纳河东岸的布隆涅—加来—敦刻尔克一带；另一个是塞纳

河西岸的诺曼底地区。

在诺曼底登陆模拟博弈中，所谓我军，就是艾森豪威尔为统帅的盟

军，所谓敌军，就是法西斯德国军队。这虽然是一个模拟的例子，却具

有相当的现实意义。跨海作战，攻方能够调动来渡海作战的兵力，通常

总是比守方可以用于守备的兵力少。模拟博弈中假设攻方兵力为两个师

而守方的兵力为三个师，背景就是这样。另外，渡海登陆作战，通常至

囚徒困境与博弈三要素

一次严重的纵火案发生后，警察在现场抓到甲乙两个犯罪嫌疑人。事实

上正是他们为了报复而一起放火烧了这个仓库，但是警方没有掌握足够的证

据。于是，警方把他们隔离囚禁起来，要求坦白交代。如果他们都承认纵火，

每人将入狱三年；如果他们都不坦白，由于证据不充分，他们每人将只入狱

一年；如果一个抵赖而另一个坦白并且愿意作证，那么抵赖者将入狱五年，

而坦白者将得到宽大释放，免于刑事处罚。这样，两个犯罪嫌疑人面临的博

弈格局如下面表格所示。和前面几节一样，每个格子中左下角的数字是甲的

博弈所得，右上角的数字是乙的博弈所得。现在，这些数字都不是正数。

乙

坦白抵赖

坦白

甲

抵赖

0–1

–5–1

–3–5

–30

囚徒困境

表述一个博弈的基本要素有三个：第一，参与人或者局中人（players）；

第二，他们可选择的（actions）或（strategies）；第三，所有可能的

行动策略

对局的结果，用局中人在相应对局下的博弈所得来表示，这个博弈所得，叫

做赢利、赢得、得益或（payoffs）。将来，我们主要采取“支付”的说法。

支付

这里注意，“支付”要理解为因为他们参与博弈所得到的支付，而不是他们付

出的支付。

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 13 |

在诺曼底登陆模拟博弈中，博弈的两个参与人是盟军和德军；盟军可

以选择的策略是a、b、c，德军可以采取的策略是A、B、C和D；博弈的各

种对局下双方之支付则是相应格子中的+和–，或者我们可以把它们改写为

+1和–1。而在这一节上面介绍的博弈中，博弈的两个参与人是犯罪嫌疑人甲

和犯罪嫌疑人乙；他们可以选择的策略都是同样的两个，即坦白和抵赖；甲

在各种对局下之博弈所得，是相应格子里面左下角的数字，乙在各种对局下

之博弈所得，是相应格子里面右上角的数字。

概括起来，三要素是：

参与人或者局中人；

他们可以选择的行动或策略；

每个参与人在各种对局下的博弈所得，叫做赢利、赢得、得益或支付。

这种用矩阵形式的表格表示两个参与者的博弈所得的做法，来自博弈理

论的一位先驱者托马斯·（Thomas C. Schelling）。美国普林斯顿大学经

谢林

济学系的（Avinash K. Dixit）教授和耶鲁大学经济学和管理学教授

迪克西特

奈尔伯夫

（Barry J. Nalebuff）在他们的博弈论普及读物《策略思维》中告诉

我们，谢林教授曾经说过：“假如真有人问我有没有对博弈论作出一点贡献，

我会回答有的。若问是什么，我会说我发明了用一个矩阵反映双方得失的做

法……我不认为这个发明可以申请专利，所以我免费奉送，不过，除了我的

学生，几乎没有人愿意利用这个便利。现在，我也供给各位免费使用我发明

的矩阵。”

谢林教授这么说，实在是太谦虚了。要知道，他在1960年出版的著作《对

| 14 | 博弈论平话 |

抗的策略》，迄今是博弈论方面很有影响的文献。他的其他论著，有《抉择与

后果》、《军备与势力范围》、《策略分析与社会问题》等等。他对博弈论有非

常大的贡献。虽然谢林教授的博弈论写作以著作为主，与其他博弈论学者以

论文为主很不相同，并且谢林的写作以语言描述为主，很少采用更加时髦的

数学形式的推导，但是他对于博弈论的巨大的和启发性的贡献，最终还是得

到国际学界的承认。喜欢语言描述的谢林教授和非常数学化的（Robert

奥曼

Aumann）教授，因为对于博弈论的巨大贡献，一起获得2005年度的诺贝尔

经济学奖。

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 15 |

从囚徒困境说严格优势策略均衡

回到上一节开始讨论的嫌疑犯博弈问题。如果两个嫌疑犯都是只为自己

利益打算的所谓（rational agent），两位犯罪嫌疑人博弈可能的结

理性主体人

果会怎样呢？要是乙抵赖，那么，如果甲坦白甲就可以得到宽大释放；要是

乙坦白，那么，如果甲也坦白的话甲要坐三年牢，但是如果甲抵赖的话甲可

要坐五年牢。可见对于甲来说，不管乙采取什么策略，他坦白自己总是比较

有利的。所以两相比较，坦白是他的。

全面的严格的优势策略

全面，指的是不论对方采取哪个策略，我的这个策略总显示优势：对方

坦白，我坦白比抵赖好；对方抵赖，我也是坦白比抵赖好。严格，指的是这

个优势策略的结局确实要好一些：对方坦白，我坦白得–3确实比抵赖得–5

好；对方抵赖，我坦白得0也确实比抵赖得–1好。这里，严格是说：–3不仅

仅是不差于–5，而且是严格好于–5；0不仅仅是不差于–1，而且是严格好于

–1。“全面的严格的优势策略”说起来拗口，我们约定以后可以就简称为

严格

。优势劣势是比较而言的。在这个博弈（strictly dominant strategy）

优势策略

中，既然坦白是严格优势策略，那么抵赖就是相应的（strictly

严格劣势策略

dominated strategy）。

同样道理，坦白也是犯罪嫌疑人乙的全面的严格的优势策略，抵赖是相

应的严格劣势策略。

理性的主体人是不会采用对自己明显不利的严格劣势策略的，所以在分

析博弈可能的结局的时候，我们应该把局中人的严格劣势策略删去。下面图

中一横一竖的两条粗实线，就代表两个参与人各自把自己的严格劣势策略删

去。在这个博弈中把双方的严格劣势策略都删去以后，我们就得到这样的结

| 16 | 博弈论平话 |

论：博弈的结局是双方都选择“坦白”策略，在双方博弈的这个对局之下，

他们各得支付–3。

乙

坦白抵赖

坦白

甲

抵赖

–3

–3

0–1

–5–1

0

–5

劣势策略消去法

经济学习惯把市场力量对峙的稳定结局，叫做市场均衡（equilibrium）。

比方说电视机的市场，供不应求将驱使价格上升，供大于求将迫使价格下降，

供求力量对峙的结果，会在某个价格水平达到市场供求的均衡。但是像上面

这样用删去劣势策略的方法得到的由双方的严格优势策略组成的对局，作

为这个博弈的均衡，叫做（equilibrium of strictly dominant

严格优势策略均衡

strategies）。

这个博弈有一个一直沿用的专门名称，叫做（Prisoners

囚徒困境

’

Dilemma），所谓囚徒就是上面讲的嫌疑犯。在囚徒困境两行两列的矩阵格

式中，下面一行对应的是甲的严格劣势策略，右面一列对应的是乙的严格劣

势策略，把它们都删去，就得到“坦白，坦白”得“–3，–3”这个严格优势

策略均衡。注意，在“–3，–3”或者（–3，–3）这样的写法中，第一个数字

是甲之所得，第二个数字是乙之所得。总之，面对上述形式的博弈表达，在

（–3，–3）这样的写法中，第一个数字是表格左方博弈参与人之所得，第二个

数字是表格上方博弈参与人之所得。

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 17 |

为节约篇幅，今后有时候将只在“矩阵表格”里用黑体字把结果的位置

表示出来。注意，这里讲的严格优势策略，是全面的严格的优势策略：不论

对方采取什么策略，我采取这个策略总比采取任何别的策略都好，而且要确

实显出好来，不许“打平手”。被全面的严格的优势策略压住的那个策略，才

叫做严格劣势策略。像上面那样通过把严格劣势策略删去的方法寻求对局结

果的方法，叫做。如果甲乙都有三四个甚至更多的策略

严格劣势策略消去法

选择，通常需要一次一次又一次把严格劣势策略删去，才能最后得到一个均

衡。这样一次一次把严格劣势策略删去以寻求对局结果的方法，叫做

严格劣

。（iterated elimination of strictly dominated strategies）

势策略逐次消去法

价格大战和双赢对局

“囚徒困境”固然是博弈论专家设计的例子，但是囚徒困境博弈模型可以

用来描述两个企业的“价格大战”等许多经济学现象。

经济学把两个企业合起来垄断或几乎垄断了某种商品的市场的情形，称

为双寡头经济。双寡头经济是寡头经济的一种。寡头经济可以有好几个企业，

双寡头只限于两个企业。两个企业互相竞争，都想打垮对手，争取更大的利

润。可口可乐公司和百事可乐公司，几乎垄断了美国碳酸饮料市场，它们之

间的争斗，可以看做这个样子的争斗。

争斗的目的，最后当然是增加自己企业的利润。可能有些读者会想，要

增加利润，那就要提高商品的价格。东西卖得贵了，钱不就赚得多了吗？的

确，如果只有你一家企业垄断了整个市场，提高价格可能增加你的利润。但

是现在存在两家相互竞争的企业，消费者可以在两家之间选择。这时候，提

价的结果不仅不能增加利润，反而可能会使自己企业的利润下降。这里，要

紧的因素是市场份额。如果你提价，对方没有提价，你的东西贵了，消费者

润将上升到60亿美元。这时候，究竟是采用较高的价格好还是采用较低的价

格好，两个企业面临的博弈或对策，可以在下面的表格中表示出来，单位是

10亿美元，现在都是正数。因为是关于对策的学问，博弈论也叫做。

对策论

百事可乐

低价高价

低价

可口可乐

高价

3

3

65

15

6

1

价格大战

很明显，对于两个企业，高价都是他们的严格劣势策略，所以，根据严

格劣势策略消去法，双方价格大战的结果，是左上方都采取低价策略进行价

格大战各赚30亿美元的情况。

比较囚徒困境的博弈和价格大战的博弈，细心的读者可以发现，要是把

前面两节囚徒困境博弈的矩阵表示中的每个数字都加上6，正好就变成了现在

价格大战博弈的矩阵表示。如果你一开始就发现了这一点，那么价格大战的

结果就不需要重新用严格劣势策略消去法来做了，你马上可以肯定博弈的结

果是左上方的格子所示。事实上，每个数目都加大6，那么优势的仍然优势，

劣势的仍然劣势，对局形势并没有任何实质性的变化。将来我们还会进一步

看到，许多商战的对策形势，都可以像价格大战博弈那样，归结为囚徒困境

博弈。这也是为什么博弈论的书通常都要从囚徒困境博弈讲起的道理。

那么不管对方的决策怎样，自己总是采取低价策略会占便宜。这就促使双方

都采取低价策略。但是，如果双方勾结或合作起来，都实行比较高的价格，

那么双方都可以因为避免价格大战而获得较高的利润。有人把这样一种双方

都采取高价策略的对局形势，叫做（two-win或者win-win）对局。

双赢

由于在这个企业价格大战博弈之中，如果双方勾结或联手采取高价策略，

双方将都是双赢对局的赢家，所以我们常常把价格大战的参与人采取高价策

略，说成他们采取合作策略。相应地，如果参与人采取低价策略，就说他采

取不合作策略，或者背叛策略。

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 21 |

为什么主要讨论非合作博弈

博弈论主要研究非合作的博弈。本书也将基本上不谈合作或勾结的情形。

这有两方面的原因。

从经济的角度来看，如果几个大企业联手或勾结起来形成对行业的垄

断，谋求最大利润，那么它们结成的联盟，称为“卡特尔”（Cartel）。卡特尔

因为由自主的企业组成，所以很不稳定。以产量竞争来说，组成卡特尔，就

要讨价还价，达成限制产量的协定，总产量因为协定的限制降低了，价格也

就会上去，可能比结成卡特尔以前高出很多。这时候，谁要是偷偷地扩大产

量，它可能占到很大的便宜。卡特尔联盟和组成联盟的成员之间的关系，不

是上下级的关系，不是谁服从谁的关系。卡特尔的成员，都是独立的经济主

体，只不过为了利益走到一起来了。既然偷偷违反协议增加产量或提供优惠

会捞到很大的便宜，这就促使一些成员违反协议。所以说，卡特尔行为本身

就提供了瓦解卡特尔的激励。在人类经济活动中，除了石油输出国组织欧佩

克（OPEC）还算比较成功以外，卡特尔成功的例子实在很少。

行为。很快，国务院就发出文件，指出协议非法。这主要是不许企业联手抬

高商品价格损害消费者的利益。原则上说，政府鼓励企业之间的竞争。企业

竞争，会给广大消费者带来很大的好处。比如在20世纪90年代初期，我国移

动电话市场原来基本上是一家垄断，设置使用一部移动电话的费用，高达数

千元上万元。后来打破这一垄断，允许几家企业经营，设置一部移动电话的

费用，很快就下降到千元以下。

初看起来，鼓励竞争似乎对企业不利，使企业不容易赚钱。但是只有这

样，才能激励企业改善管理，开发技术，努力以较低的成本生产质量较好的

东西，提高企业的市场竞争力。由于历史的原因，我国绝大多数企业在国际

市场上的竞争力还很低。竞争力不是天生就有的，竞争力本身就是竞争的结

果。不首先让我们的企业在国内市场好好竞争，它们在国际市场就不可能有

强大的竞争力。我们在下一章会比较深入地展开这个问题。

发达国家对垄断现象和卡特尔现象的限制往往更加严厉。20世纪70年代，

美国两家航空公司的老总在电话交谈中有一句话有试探对方票价走向的意图，

马上受到反托拉斯局的检控和惩罚。更典型的例子是，20世纪80年代，经过

多年的辩论和漫长的立法程序，美国把原来垄断电话通讯市场的AT&T公司

强行分割为几个公司。分割以后，由于公司之间的竞争，电话服务的价格很

快就下降了一半，再加上竞争激励出来的技术进步，现在用电话卡从美国往

中国打电话，每分钟只要几美分。我国电话服务市场长期是垄断的，所以直

到10年前，在我国许多地方，装一部电话不仅要花三四千元，而且还要排队

等待不少时间才能装上。但是在许多发达国家，如果你要装电话，只需通知

电话公司，马上就会给你装好，完全不用缴纳什么安装费。由于竞争，如果

你把选择的电话服务从原来的公司撤出来转到另一家公司，新的公司还马上

会给你奖励，比如说奖励你30分钟的国内长途电话费，再加一件T恤什么的。

现在，我国电话服务市场开放竞争，不仅消费者马上在话费等方面得到实惠，

电话服务水平也明显上升。

由于合作和勾结不容易，更由于政府多半都鼓励竞争，所以，我们将主

要研究非合作博弈。

| 24 | 博弈论平话 |

公共品供给的囚徒困境

公共品和私人品，性质很不一样。私人品是私有私用，除了像他穿得整

齐你看着也舒坦那样十分间接的效应以外，别人很难沾什么光。公共品则不

一样，不管是谁提供的，许多人都可以享用。典型的如路灯，只要有人装了，

路人都将得到好处，哪怕他没有为此贡献过一分一厘。

设想乡下某个地方有一个只有张三李四两户人家的小居民点，由于道路

情况不好，与外界的交通比较困难。假设修一条路出去，每家都能得到“3”

那么多好处，但是修路的成本相当于“4”。这时候要是没有人协调，张三李

四各自打是否修路的小算盘，那么两家博弈的形势如下：如果两家联合修路，

每家分摊成本“2”，各得好处“3”，两家的纯得益都是“1”；如果一家修另

一家坐享其成，修的一家付出“4”而得到“3”，得益是“–1”，坐享其成的

一家可以白白得益“3”；如果两家都不修路，结果两家的得益都是“0”。归

纳起来，就是下面的博弈。

李四

修不修

修

张三

不修

–1

3

0

0

13

1–1

合作修路博弈

坐享其成的一家可以白白得益“3”，是因为我们假设修路的一方并不因

此获得路权，即他不能因为修了路就不让邻居走。

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 25 |

在这个博弈中，对方修路、自己不修路可以坐享其成；对方不修路、自

己修路将得不偿失，所以修路是张三的严格劣势策略，我们应该把它消去。

同样，修路也是李四的严格劣势策略，所以也应该把它消去。这样运用严格

劣势策略消去法，我们就得到黑体字所示的这个博弈的严格优势策略均衡：

两家都不修路，大家都得0。

一般来说，如果张三只有李四一家邻居，李四只有张三一家邻居，他们

多半会守望相助，关系比较好。这样的两家，自然会好好商量修路的问题，

一起把路修好，大家都得到好处。相反的极端情形，两家有仇，也是可能的，

那就麻烦了，不是什么修路不修路的问题，迟早要出事。但是，这两种情形，

因为掺杂了别的因素在里面，所以都不在博弈论讨论之列。

机关大院，居民小区，要有专人协调管理，把身边看起来很琐碎但是弄不好

就很损工作条件和生活环境的事情做好。

发达国家一方面比较讲究个人意志，另一方面对公共秩序的管理十分严

格。比方说你买了房子，一方面房子连同地皮都是你的私产，另一方面你不

能对你的私产为所欲为。哪怕只是草地没养好，破坏了小区的格调，社区也

要管你。邻居对于你没有管护好草地影响了小区格调的抱怨，邻居对于你喜

欢大声喧哗扰人清梦的抱怨，都通过社区匿名地通报给你。

政治家的囚徒困境

同样，政治家们也会变成“囚徒困境”中的“囚徒”。迪克西特和奈尔伯

夫的《策略思维》中讲了这么一个例子。

1984年，大多数政治家都很明白，美国联邦预算的赤字实在太高了。解

决财政问题的基本思路，不外乎“节流”和“开源”。联邦的巨额开支每一笔

都理据十足，所以裁减开支在政治上并不可行。这样一来，大幅增税应该是

不可避免的。不过，谁愿意担当政治领导角色，带头主张这么做呢？议会政

治的政治家以讨好选民为己任，而增税是选民最不喜欢的事情。民主党总统

候选人沃尔特·蒙代尔（Walter Mondale）想要在自己的竞选活动当中为这

么一个政策转变制造声势，却被罗纳德·里根打得落花流水，因为里根许诺

“绝不加税”。1985年，这个议题陷入僵局，无论你怎么划分政治派别，无论

是民主党还是共和党，无论是众议院还是参议院，无论是政府还是国会，各

方都希望把提出加税的主动权推给对方。

从各方的角度看，最好的结果在于，另一方有人提出加税和削减开支，

他们因此不得不付出政治代价。反过来，假如自己提出这样的政策，而对方

坚守被动局面，并不附和，自己就会落得最糟糕的下场。双方都知道，与同

时坚守被动，眼看巨额赤字上升而无所作为相比，联合起来共同倡议加税和

削减开支，共同分享荣誉也分担谴责，显然会对整个国家更有利，即便对他

们自己的政治生涯，从长期而言也会有好处。

这样，我们可以画出一个已经熟悉的表格，标明可能的策略和结果，将

上述情况变成一个博弈。参与博弈的双方分别是民主党和共和党。为了表示

数字越小越好！每个格子左下角是共和党给出的排序，右上方是民主党给出

的排序。

民主党

主动被动

主动

共和党

被动

43

13

21

24

共和党和民主党的排序

显而易见，对每一方而言，保持被动是一个优势策略。而这也是真实发

生的事情，第99届国会根本没有作出任何加税决定。第99届国会确实通过了

《格拉姆–鲁德曼–霍灵斯法》（Gramm-Rudman-Hollings Act），这一法案规定

以后必须实行削减赤字政策。不过，这只是一种伪装，好像采取了行动，实

际却推迟了作出艰难抉择的时间。这一目的与其说是通过限制财政支出的做

法做到了，不如说只是玩弄了一下会计上的小把戏。

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 29 |

基数支付和序数支付

细心的读者应该注意到，上一节政治家囚徒困境的支付矩阵，和我们前

面讲过的支付矩阵很不一样。以前讲的支付矩阵，在运用劣势策略消去法的

时候，都是把相应于支付数目小的策略删去，把相应于支付数目大的策略留

下，但是上一节讲的政治家的囚徒困境，我们却把相应于数目大的策略删去，

把相应于数目小的策略留下。这是很大的不同。

如果你在阅读上一节的时候，没有注意到这个差别，我就要责怪你读书

粗心、不经大脑了。

究竟把小的删去还是把大的删去，不能任意胡来。关键是看大的好还是

小的好，看大的表示好的还是小的表示好的。以前讲的支付，具体来说就是

赢利、赢得或者得益，越大越好。但是上一节讲的政治家的囚徒困境，文字

已经说清楚，“为了表示谁更加倾向于怎么做，我们把每个结果按照各方的利

益给出从1到4的排序，数字越小越好”。每个格子左下角是共和党给出的排

序，右上方是民主党给出的排序。这就是说，在每个博弈参与人的四种结果

当中，1表示的是第一好的结果，2就是第二好，3就是第三好，而4是总共四

种情形当中当事人认为最不好的情形。

日常生活中，人们常常用两种不同的数字方式表示好坏，表示不同的满

意程度。一种是像百分制考试、托福、GRE、跳水比赛、体操比赛、十项全

能比赛的计分那样，分数越高越好。我们在介绍政治家的囚徒困境以前使用

的所有支付表示，都是这样的表示。另外一种，是像体育比赛第几名这样的

表示，第1名比第2名好，第7名比第23名强，等等，表示名次的数字越小越

好。政治家囚徒困境的上述讨论，就采用了这样的表示方式。所以，以前是

| 30 | 博弈论平话 |

删小留大，现在是删大留小，但都是删劣留优。

数字是大的好还是小的好，这要看你使用什么制度。小学生比成绩，如

果按百分制比，分数越高越好，如果按名次比，第1名比别的都好。

由此可见，数字表达好坏，有两种基本的制度：一种是百分制那样的

基数序数

（cardinal）表示制度，数字越大越好；另外一种是第1名最好的

（ordinal）表示制度，数字越小越好。为什么叫做基数表示和序数表示呢？原

来，按照语义学，数词分为两种：基数词和序数词。像１、95、7.8、–3.1416等，

是基数词，而第１、第2、第７等，是序数词。可见，基数词给出数值，而序

数词给出排序。简单博弈表示中的支付，排出次序或者序次来，是最本质的

操作，至于基数赋值究竟是多少，其实反而是第二位的。如果你在阅读本书

的前面部分的时候，觉得价格大战中的6、3、1、5不好把握，（为什么不是7、

3、1、5呢？）觉得情侣博弈中的2、1、0这些数字不好把握，（为什么不是4、

2、0呢？）那是相当正常的现象。但是究竟哪个比哪个好，你应该容易把握。

这种对比，正好说明排序比基数赋值重要。

总之，以前讨论过的支付矩阵，都是基数支付矩阵，上一节讨论政治家

的囚徒困境讲的支付矩阵，却是序数支付矩阵。有些读者不满足于了解博弈

论的思想，而且决心掌握本书介绍的博弈论的初步方法。对于这些读者，建

议你们把前面进过的用基数支付矩阵讨论的博弈，全部改用序数支付矩阵重

新讨论一次。这样，方法就掌握了。

值得注意的是，序数词不仅是第１、第2、第７等，我们也可以说第０，

它比第1更好，可以说第7.8，介乎第7和第8之间。还可以说第–3.1416、第

π、第3π等，不一定是整数，也不一定是正数，甚至不一定是所谓“有理数”。

反正原则是越小越好。

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 31 |

如果大家对序数表达不大习惯，暂时不使用也没有太大关系。记得我给

大学一年级下学期的同学上“中级微观经济学”的第一课时，曾经打出下面

这样一个标题：

第0章 预备知识

课堂里泛起一阵轻轻的笑声。笑声说明一些同学不习惯章节从0而不是从

1排起。但是笑声很轻，并且很快过去，却又说明不习惯的同学马上就习惯了。

所以，如果你对序数表达不习惯，那么我告诉你，这到头来还只是一个习惯

不习惯的问题，没什么了不起。

作为一个教师，我更多的是体验这阵笑声传达的一种心心相印的意境。

| 32 | 博弈论平话 |

美苏争霸的囚徒困境

军备竞赛是囚徒困境的又一个典型例子。下面讲的，源自30年前美国的

博弈论课本，本书不敢掠美。

从军事上看，30多年前，美国和苏联是世界上的两个超级大国，它们相

互对垒。假定每一方都有两种策略选择，一个是扩军，发展战略核武器，甚

至实施“星球大战”计划等；另一个是彻底裁军，直至不设军备。如果双方

都扩军，则各花费2 000亿美元用于军费。彻底裁军，则军费为0。

在一个弱肉强食的世界上，如果美国裁军不设防，但是苏联扩军，苏联

就可以任意欺侮和损害美国。这样，美国会受到很大损失。损失之大，直至

丧失主权。这使我们可以非正式地把这种情况下美国的赢利记做–∞，即负

无穷大。

这时候，欺侮人的一方的赢利是多少呢？你可能想象应该是+∞，即正

无穷大。其实不然。你想想，砍伐一片森林所造成的损失，难道可以用所得

到的木材的价值来补偿吗？更不必说占领甚至炸毁对方一座城市，你所得到

的远远低于对方的损失。被欺侮一方的损失，并不会等量地转化为欺侮人的

一方的利益，这常常是对抗的规律。所以，在一方扩军欺侮别人而另一方裁

军任人欺侮的情况下，我们假定欺侮人的一方将只掠夺到一个有限数额的财

富，比方说10 000亿美元。这10 000亿美元的掠夺成本是上面讲的2 000亿美

元。没有这2 000亿美元的军费来武装到牙齿，就不能征服对方。所以，在上

述数据假设之下，掠夺者之纯赢利应该是8 000亿美元。

可见，如果双方都裁军，各方在这种实际上没有对峙的军事对峙中的赢

利都为0。如果双方都扩军，那么在这场均势的军事对峙中，各方的赢利都等

| 第一章 博弈三要素与囚徒困境 | 33 |

于–2 000亿美元，双方都花了军费嘛。如果一方扩军另一方裁军不设防，扩

军的一方赢利为8 000亿美元，不设防的一方赢利为–∞。这样，我们就可以

写下美苏两家的争霸博弈。

苏联

扩军裁军

–2 000

–2 000

8 0000

8 000

0

扩军

美国

裁军

–∞

–∞

美苏军备竞赛

运用劣势策略消去法，我们马上知道，双方都扩军是这个争霸博弈唯一

的优势策略均衡，以后我们还会知道，双方都扩军是这个争霸博弈唯一的“纳

什均衡”。

30多年前，现实的军备竞赛形势，的确很像左上角格子代表的情形。这

是很可悲的。人类为什么那么愚蠢，不和平共处于不花费军费的右下角呢？

这本来是对双方都比较有利的情况呀。原因很简单：在一个弱肉强食的世界

上，不论对方是扩军还是裁军，站在自己利益的立场，扩军总是比裁军有

利。如果苏联裁军，那么美国也裁军将得0，美国若扩军将得8 000，所以为

了自己的利益美国要扩军；如果苏联扩军，那么美国也扩军将损失军费开支

2 000，美国若裁军将损失无穷大，所以为了自己的利益美国更要扩军。反过

来也一样，这就造成了实际上和囚徒困境一样的争霸博弈均衡：双方都扩军，

双方都损失。

值得一提的是，这是人们30多年前的数据和思维。现在，世界大势已经

| 34 | 博弈论平话 |

和那个时候很不相同。苏联解体，世界上只剩下美国这个超级大国。在美国

现代史上，里根总统的地位为什么那么高？部分原因就是他的“星球大战”

计划，拖垮了苏联的经济，为美国成为世界上唯一的超级大国创造了条件。

读者是否注意到，上面的分析，隐含美苏实力完全相当的假设条件，但

是实际情况却是苏联不像美国那么富强。如果苏联比美国弱一点，情况又怎

么样？这里说的“弱一点”，不妨具体想象为军力弱一点点，但是整个经济实

力弱很多。请试试作一个美苏军备博弈分析，体现苏联比美国弱一点的这种

情况。你会发现，只要一方不是比另外一方弱得太多，两个超级大国还是要

第二章

情侣博弈和协调博弈

如果博弈参与人没有严格的优势策略怎么办？难道参与人没有严格的优势策

情侣博弈和纳什均衡

迄今我们讲过的博弈均衡，都是严格优势策略均衡。我们已经知道，这

种由每个博弈参与人的严格优势策略组成的博弈均衡，可以用一次一次消去

严格劣势策略的“严格劣势策略消去法”做出来。可惜，很多博弈没有严格

优势策略组成的严格优势策略均衡。下面的情侣博弈就是一个例子。

情侣还讲什么博弈？你可能这样问。其实，即使是情侣，双方的爱好或

者偏好还是不完全相同的。设想大海和丽娟正在热恋。难得的周末又到了，

安排什么节目好呢？周末晚上，中国足球队要在世界杯外围赛中和伊朗队作

生死之战。大海是个超级球迷，国内的什么“中超”联赛都不肯放过，何况

是不争气的国家队的生死大战？也正好是这个周末的晚上，俄罗斯一个著名

芭蕾舞剧团莅临该市演出芭蕾舞剧《胡桃夹子》。丽娟最崇尚钢琴芭蕾这样的

高雅艺术，对斯拉夫民族的歌唱和芭蕾更是崇拜得五体投地，她怎么肯放过

正宗俄罗斯的芭蕾《胡桃夹子》？这么说，一个在自己家里看电视转播的足

球比赛，一个去剧院看芭蕾演出不就得了？问题在于，他们是热恋中的情侣。

各自度过这难得的周末时光，才是最不乐意的事情。这样一来，他们真是面

临一场温情笼罩下的“博弈”：

丽娟

足球芭蕾

足球

大海

芭蕾

1

在情侣博弈中，双方都没有严格优势策略和严格劣势策略。我们不妨这

样给大海和丽娟的“满意程度”赋值：如果大海看球，让丽娟一个人去看芭

蕾，双方的满意程度都为0；两人一起去看足球，大海的满意程度为2，丽娟

的满意程度为1；两人一起去看芭蕾，大海的满意程度为1，丽娟的满意程度

为2。应该不会有丽娟独自看球而大海独自去看芭蕾的可能，不过人们还是把

它写出来，设想因此双方的满意程度也都是0。这样来描述大海和丽娟的情侣

博弈，你觉得怎么样？

读过前一章的读者知道寻求严格优势策略均衡的严格劣势策略消去法。

现在，芭蕾不是大海的劣势策略，因为如果丽娟坚持芭蕾，他选足球只得0，

选芭蕾却还可得1。足球当然更不是大海的劣势策略。所以，大海没有绝对的

劣势策略。同样，丽娟也没有绝对的劣势策略。这样，严格劣势策略消去法

就没有用武之地了。

但是，他们总会作出一个较好的选择，因为他们是热恋的情侣。博弈论

中最重要的概念“纳什均衡”，指明了情侣博弈等一大类策略优势不那么明显

的博弈的结局。策略优势不明显，指的是双方都没有“不论对方采取什么策

略我总是采取这个策略好”的严格优势策略。其实，我们只须关心一种双方

“相对的优势策略”的组合。在情侣博弈中，双方都去看足球，或者双方都去

看芭蕾，就是我们所说的相对的优势策略的组合：一旦处于这样的位置，双

方都不想单独改变策略，因为单独改变没有好处。准确地说，是单独改变不

会带来进一步的好处。比方说两人一起看足球，大海得2丽娟得1；如果大海

单独改变去看芭蕾，变成自己得0，没有好处；如果丽娟单独改变去看芭蕾，

也变成自己得0，同样没有好处。所以，两人一起去看足球，是稳定的博弈对

局。按照同样的思路，两人一起去看芭蕾，也是稳定的博弈对局。

| 40 | 博弈论平话 |

这样的思考引导我们得到（Nash equilibrium）的概念，

纳什均衡纳什

（John F. Nash）是在1950年建立这一概念的数学家，由于对博弈论作出奠基

性的贡献，他在1994年荣获诺贝尔经济学奖。在情侣博弈中，双方都去看足

球，或者双方都去看芭蕾，是博弈的两个纳什均衡。我们在博弈的上述表示

中，用黑体数字表达两个纳什均衡的位置。

这里要注意的是，纳什均衡不是（2，1）和（1，2），而是（足球，足球）

和（芭蕾，芭蕾），因为纳什均衡是双方策略的组合。两个纳什均衡分别是：

大海选足球，丽娟也选足球；丽娟选芭蕾，大海也选芭蕾。我们只是用（2，1）

指示大海选足球丽娟也选足球这个（足球，足球）均衡，用（1，2）指示丽

娟选芭蕾大海也选芭蕾这个（芭蕾，芭蕾）均衡。总之，两个纳什均衡是（足

球，足球）和（芭蕾，芭蕾），在这两个均衡中，博弈双方的所得分别是（2，1）

和（1，2）。我们在前面说过，在（2，1）或者（1，2）这样的写法中，第一

个数字是博弈的“左方参与人”大海之所得，第二个数字是博弈的“上方参

与人”丽娟之所得。所谓左方参与人，就是写在博弈表格左边的参与人；所

谓上方参与人，就是写在博弈表格上方的参与人。

这一节我们借助情侣博弈引入博弈论最重要的概念—纳什均衡。因为

绝对优势策略一定是相对优势策略，所以很显然，前一章讨论囚徒困境那样

的博弈时建立的严格优势策略均衡，也都属于现在引入的纳什均衡。但是，

纳什均衡却不一定是严格优势策略均衡。一句话，纳什均衡的概念要求比较

宽，比较低，严格优势策略均衡的概念要求比较高，比较窄。

，说的是恩爱夫妻原来的标准说法是（battle of xes）

情侣博弈性别之战

的偏好差异所引起的对局形势，是利益关系方面双方大同小异这么一种情况。

不同的说法适合不同的情形，读者可以有自己的偏好。

| 第二章 情侣博弈和协调博弈 | 41 |

情侣博弈的其他例子

情侣博弈有许多不同的版本，现在我们再讲一个。假定陈明和钟信都是

某大学英语系的学生，一直是很要好的朋友。高年级了，他们在考虑选修第

二门外语。陈明偏向修德语，钟信偏向修法语，但最要紧的是两人选同一门

课才可以一起复习，对话，继续他们以往如切如磋如琢如磨相得益彰的同学

生涯。这时，他们面临的抉择，可以表示为下面的博弈：

钟信

德语法语

2

3

1

1

2

1

3

1

德语

陈明

法语

选修课博弈

如果把上次讲的情侣博弈中的所有数字都加上1，就得到现在这样的数字

矩阵。可见，这个“选修课博弈”实质上和上次讲的情侣博弈完全一样。在

这个博弈中，有两个用黑体数字表示的纳什均衡，一个是两人都修德语，陈

明得3，钟信得2，另一个是两人都修法语，陈明得2，钟信得3。纳什均衡

是稳定的，就是说处于纳什均衡的时候，任何一方都不想单独改变策略选择，

因为单独改变不会带来进一步的好处。

战争里面也有性别之战或者情侣博弈这样的策略格局。第二次世界大战

进行到1944年冬天的时候，在欧洲战场西线以美军和英军为主的反法西斯盟

| 42 | 博弈论平话 |

军，面临集中资源主要支持英国蒙哥马利元帅还是主要支持美国巴顿将军的

抉择。如果两个国家集中资源主要支持美国的巴顿将军，美国得4，英国得3；

如果主要支持蒙帅，美国得3，英国得4。如果分散资源各自为战，那么因为

希特勒德国已经走向穷途末路，西线盟军还是会胜利前进的，但是取胜态势

会缓慢很多。如果英国支持蒙帅，美国支持巴顿，美英两国各得2；如果颠倒

过来英国支持巴顿，美国支持蒙帅，则只能各得1。所以，美英双方这种友军

博弈的形势如下：

英国

支持巴顿支持蒙帅

3

4

1

1

3

2

4

2

支持巴顿

美国

支持蒙帅

盟军战略选择博弈

前面讲的“选修课博弈”矩阵中的每个数字再加1，差不多就得到现在这

个美英双方支持策略的博弈。这为我们提供了情侣博弈的又一个例子。这个

博弈也有两个纳什均衡，一个是美英两国集中资源主要支持巴顿，另一个是

他们集中资源主要支持蒙哥马利。

左下角格子里的数字为什么不是2和2而是1和1，留待以后再说。

讲到现在，情侣博弈与经济决策有什么关系呢？这就要看你的想象力了。

比如两个相邻的企业都要解决各自的供水问题。如果他们各干各的，成本就

会比较高，效益就没那么好。如果两个企业联合起来投资建设共用的供水系

| 第二章 情侣博弈和协调博弈 | 43 |

统，效益就会比较好。但是在选择合作方案的时候，由于各种因素，在携手

合作的大前提下，还是可能有小算盘的考虑。你想这样，他想那样，这也是

人之常情嘛。这种合作比不合作好，但是在合作的大局下面又不免有小算盘、

相对优势策略下划线法

前面讲了情侣博弈的几个例子，它们都有两个稳定的纳什均衡。所谓纳

什均衡，就是双方的一种策略对局形势，在这种对局之下，每一方都不想从

这时候对峙的策略单独偏离出去。值得注意的是，上面两节的各种情侣博弈

的纳什均衡，我们都是“看”出来的。当然，能够看出来，并且作论证，也

是本事。但是如果对局复杂一些，不容易看出来，那该怎么办？

有办法。这就是现在我们要讲的相对优势策略下划线法。具体做法如下：

丽娟

足球芭蕾

1

2

0

0

1

0

2

0

足球

大海

芭蕾

相对优势策略下划线法

在我们熟悉的上面这个情侣博弈中，如果大海选足球，丽娟的相对优势

策略是也选足球，这样她可以得1，总比她选芭蕾将得0好。于是，我们在左

上方格子中的右上角的1下面画线；如果大海选芭蕾，丽娟求之不得当然选

芭蕾可以得2，这时芭蕾是她的相对优势策略，于是我们在右下方格子中的右

上角的2下面画线。同样，如果丽娟选足球，大海当然选足球从而他可以得2，

这是他的相对优势策略，我们应该在左上方格子中左下角的2下面画线；如

果丽娟选芭蕾，大海也选芭蕾他可以得1为好，芭蕾变成大海的相对优势策

略，于是我们在右下方格子中左下角的1下面画线。

| 第二章 情侣博弈和协调博弈 | 45 |

纳什均衡可以采用上述（method of underlining

相对优势策略下划线法

relatively dominant strategies）来确定：首先像上面所做的，逐次在相应的支

付数字下面画线，标示局中人相对于对方可能的策略选择（一行或一列）的

相对优势策略的位置。

双方的相对优势策略都这样在相应的支付数字下面画线以后，如果

哪个格子里面两个数字下面都被画线，这个格子所对应的双方相对优势

策略的组合，就是一个纳什均衡。

这样运用相对优势策略下划线法，因为有两个格子都是其中的两个支付

数字的下面都被画了线，我们马上可以知道，上述情侣博弈有两个纳什均衡，

一个是一起看足球得（2，1），一个是一起去看芭蕾得（1，2）。在上述博弈

矩阵中，这两个均衡都已经用黑体字表示出来。

必须说明的是，以前讲过的可以直接用劣势策略消去法做出来的优势策

略均衡，都可以用现在讲的相对优势策略下划线法来做。道理其实很简单：

绝对优势策略一定是相对优势策略。

以最早讲的囚徒困境为例，如果甲坦白，乙的相对优势策略是也坦白，所

以要在左上方格子里面右上角的–3下面画线；如果甲抵赖，乙的相对优势策略

还是坦白，所以要在左下方格子里面右上角的数字0下面画线。再看甲：如果

乙坦白，甲的相对优势策略是也坦白，这样我们应该在左上方格子里面左下角

的数字–3下面画线；如果乙抵赖，甲的相对优势策略还是坦白，所以要在右上

方格子中左下角的数字0下面画线。这样把所有相对优势策略全部在相应的支

付数字下面画线标记以后，就可以看到，只有左上方一个格子是两个支付数字

| 46 | 博弈论平话 |

下面都被画了线的，这个格子代表的策略组合（坦白，坦白）就是囚徒困境博

弈的均衡。它是以前讲的优势策略均衡，也是现在讲的纳什均衡。

乙

坦白抵赖

–3

坦白

甲

抵赖

–3

0

–5

–1

0

–1

–5

相对优势策略下划线法对付囚徒困境

归纳起来，前一章讲过的优势策略均衡一定也是纳什均衡，因为如果

已经处于绝对优势策略的位置的话，不会有单独改变策略选择的激励。另

外，可以用以前讲的劣势策略消去法做出来的优势策略均衡，一定可以用

现在讲的相对优势策略下划线法做出来，虽然还是采用劣势策略消去法比

视觉友好的对角排列

我们的博弈矩阵中的书写支付的表格，是在每个格子里面左下右上两个

地方错开写下左方参与人的支付和上方参与人的支付。下面就是一个熟悉的

例子。这一节，专门谈谈我们这种在博弈矩阵格子中“对角”排列的支付表

示方法的好处。

钟信

德语法语

德语

陈明

法语

13

12

21

31

支付对角表示的选修课博弈

大部分博弈论书籍的支付排列方法，和我们使用的这种对角表示方法不

同。它们使用平列的支付表示，博弈矩阵表格的每个格子里面，两个支付数

字按照下述形式平列：第一个数字是与这个格子对应的对局之下左方参与人

之所得，第二个数字是与这个格子对应的策略组合之下上方参与人之所得：

钟信

德语法语

德语

陈明

的时候，颇伤眼力。

为了说明这个问题，我们写下博弈有甲乙两个参与人且每人有两个策略

选择的下述博弈：

甲有“上”、“下”两个策略可供选择，乙有“左”、“右”两个策略

可供选择；

在甲上乙左的策略组合，甲的支付是A1，乙的支付是C1；

在甲上乙右的策略组合，甲的支付是B1，乙的支付是C2；

如果对局是甲下乙左，甲的支付是A2，乙的支付是D1；

如果对局是甲下乙右，甲的支付是B2，乙的支付是D2。

为了确定博弈的均衡，我们需要比较A1和A2的大小，比较B1和B2的

大小，比较C1和C2的大小，比较D1和D2的大小。在对角排列的情形中，

这种比较是比较容易的。因为无论上下比较还是左右比较，都是“干干净净”

的A1和A2比较，B1和B2比较，C1和C2比较，D1和D2比较，当中没有阻隔。

乙

左右

上

甲

下

D1D2

A2B2

C1C2

A1B1

视觉友好演示

但是面对平列表示，这种比较就不那么“干干净净”了。A1和A2比较

| 第二章 情侣博弈和协调博弈 | 49 |

以及B1和B2比较还算干净，但是C1和C2比较，需要跨过一个B1，D1和D2

比较，需要跨过一个B2，当中都有阻隔。

对于专业研习博弈论的大学生和青年学者，这个小小的阻隔可能并不是

什么问题。在他们的火眼金睛面前，比较这些数字只不过是“小菜一碟”。可

是作为多年教授博弈论的一位老教师，我却感到这个小小的阻隔很伤眼力。

相信不专攻博弈论的普通读者，会和我一样，比较喜欢对角表示。

乙

左右

上

甲

下

A1C1B1C2

A2D1B2D2

费神比较演示

最后指出，这种甲有“上”、“下”两个策略可供选择、乙有“左”、“右”

两个策略可供选择、支付表示为A1、C1、B1、C2、A2、D1、B2和D2的博弈，

形式上概括了所有参与人数目为2、可供每个参与人选择的策略数目也是2的

同时决策博弈。

| 50 | 博弈论平话 |

情侣博弈表达的对称性嗜好

前面说过，情侣博弈的英文原名是battle of xes，有人翻译成性别之战，

有人翻译成夫妻之争，我觉得都不如翻译为情侣博弈来得好。不过萝卜白菜

各有所爱，自然不必强求。

但是在几乎所有博弈论著作中，情侣博弈原来的模型大体上如下面的矩

阵所示，我们姑且把它叫做情侣博弈的“标准”表述吧。我觉得这个“标准”

表述的一个支付赋值没有道理。情侣博弈说的是，即使是热恋的情侣，双方

的爱好还是不相同的。大海是个超级球迷，丽娟最喜欢芭蕾，但是分开各自

度过这难得的周末时光，才是他们最不乐意的事情。这是博弈形势的背景。

丽娟

足球芭蕾

10

20

02

01

足球

大海

芭蕾

情侣博弈的“标准”表述

一起看球，大海最高兴得2，丽娟也高兴得1；一起欣赏芭蕾，丽娟最高

兴得2，大海也高兴得1；两人分开，大海看球丽娟看芭蕾，大家都不那么高

兴，各得0。这些设置都没有问题。但是左下方格子表示的是，本来不喜欢芭

蕾的大海偏偏赌气独自去看芭蕾，本来不喜欢足球的丽娟偏偏赌气独自去看

足球，怎么也是各得0呢？我看至少应该各得–1。因为0是分开各自找自己

喜欢的节目的赋值，现在是分开各自去看自己不喜欢的节目，赋值当然要比0

| 第二章 情侣博弈和协调博弈 | 51 |

低。这就应该得到下面的博弈矩阵：

丽娟

足球芭蕾

10

20

–12

–11

足球

大海

芭蕾

情侣博弈“标准”表述的修正

那么，在情侣博弈原先的矩阵表达中，为什么左下角两个数字都设为0

呢？原来，许多经济模型专家和博弈论专家，都有一种“对称性怪癖”或者

说“对称性嗜好”，喜欢对称的模型。如果左下角两个数字都设为0，这样得

到的模型，就有他们喜欢的对称性。我们在第五章会具体说明经济学家为什

么喜欢对称性。但是，当实际情况很难具有对称的表达时，硬要追求脱离实

际的对称性，模型的信服力可能受损。

这也是开头的时候我们在叙述美英是集中资源共同支持巴顿将军还是共

同支持蒙哥马利元帅的下述博弈的表达中，左下角不是两个2而是两个1的道

理。我们觉得这样表达比较好，比较有说服力。

英国

支持巴顿支持巴顿

32

42

14

13

支持巴顿

美国

支持蒙帅

盟军战略选择博弈

| 52 | 博弈论平话 |

经济模型是时髦的说法。上面讲的都是经济模型。经济模型很有用，但

是盲目崇拜不可取。别人提出一个模型，我们要想想它是否符合实际。

另外，如果以为模型越大越细致越好，那就错了。最要紧的，是看模型

是否抓住了事物的本质，看有关的数据是否比较接近实际。在这个原则之下，

如果能够说明同样的问题，模型是越简单越好，越简单越值得夸奖。复杂的

模型会使讨论对象变得模糊，甚至在相应的计算中出现误差掩盖本质的局面，

从而不能得出任何有意义的结果。谢天谢地，本书讨论的博弈论，只需要比

理性人一定自私自利吗？

如果你同意我们对原来“标准”的情侣博弈模型的数据作修改，同意下

面大海和丽娟的“周末节目博弈”，我还想利用这个机会为现代经济学的理性

行为假设说几句话。

丽娟

足球芭蕾

10

20

–12

–11

足球

大海

芭蕾

周末节目博弈

现代经济学所谓经济主体人的“理性行为”，被许多人误解为只是从自己

的利益出发。其实不是这样。现代经济学所说的理性行为，是经济主体人奔

着自己的目标函数的“最大化”而去，就是说努力在既有的约束条件之下使

自己的目标函数的函数值达到最大。

首先，理性的经济主体人有一个明确的“目标函数”，其次，他的行为是

努力让他的目标函数的“函数值”达到最大。这就是现代经济学的理性人假

设。所以，如果用通俗的语言讲，所谓理性人，就是目标明确的人。仅此而已，

岂有他哉！

看到这里，读者不免要问，这样简单的模式假设，何以概括大千世界那

态的现实世界。

以“目标明确”四个字为主要特征的理性人模式，概括力非常强，差别

在于各人的目标不同。如果某个人的目标函数是他个人财富的总值，从而他

的行为的目标是个人财富最大化，那么他的确是只考虑自己利益最大化的经

济主体人。但是如果某个人甲的目标函数是另一个人乙的幸福和快乐，那么

甲已经不是只关心自己利益的主体人了。符合这种模式的人很多，初级的母

爱，就大体上可以用这种目标函数之下的理性行为来描述。君不见，一些母

亲哪怕自己吃剩饭，看着儿女“享受”麦当劳，心里也高兴。

经济学者当中，流传着“进入目标函数了”的说法。原来，大千世界有

一些大多数人觉得不可理喻的行为，但是经济学者觉得还是可以理解。例如，

香港、广州都发现过个别居民喜欢收集垃圾的案例，他们自己满屋子都是垃

圾，臭气熏天，老鼠成群，惹得邻居十分恼火。但是在经济学者看来，他们

也是理性人，只不过他们把收集旁人看来是垃圾的东西作为自己的目标罢了。

底下最大公无私的人物了。

在我们已经讨论过的模型当中，西方的政治家可以说以选票数目作为自

己的目标函数，追求选票数目最大，以便当选议员、省长、州长甚至总统。

可口可乐公司和百事可乐公司可以说以自己的销售利润作为目标函数，追求

不该一律贬斥自利行为

前面谈了理性行为未必自利，更未必自私自利。但是这一节，我们进一

步谈谈不该一律贬斥自利行为。

觉得自利行为一定要损害别人，这是一些对现代经济学无聊批评的实质

内涵。居民想生活得好一些，企业想利润高一些，不都是天经地义的事情吗？

这当然是理性行为。现代经济学正是在这种自利的假设之下，给我们展示发

达市场经济的前景。如果你在伦理上还是接受不了希望自己好的理性行为，

老是觉得必须依靠希望别人好社会才能发展得好一些，那么为什么不换个角

度想想，现代经济学已经说明了“为自己”的社会会发展得很好，那么我们

这个许多人还为别人着想的社会，理应发展得比经济学展示的前景更好。这

样想，你会不会觉得舒服一些？

但是，完全不为自己着想就好吗？实在不见得。大家读过美国作家

（），我这里给出著名的短篇小说

The Gift of the Magi

欧·亨利《麦琪的礼物》

它的一个版本：吉姆和德拉小两口很穷。吉姆有一只挂表，但是穷得买不起

表链；德拉有一头金色的秀发，可穷得连梳子也买不起。圣诞节到了，吉姆

们都陷入非理性行为。

但是，我们可以专门建立一个模型来分析吉姆和德拉的圣诞礼物博弈：

小两口往常过着平淡而心心相印的生活，各得1；如果吉姆把表卖了给德拉买

梳子，吉姆得2，德拉得3；如果德拉剪去一头秀发换回表链给吉姆，德拉得

2，吉姆得3。这些应该讲得过去，或者你把2和3对调也行。但是吉姆卖表买

梳和德拉剪发换链同时发生，那么他们一定都非常非常伤心，伤心做了永远

难以弥补的蠢事，各得 – 4。这不是我罚他们，是他们自己的心境。

德拉

剪秀发换表链不剪

卖表买梳

吉姆

不卖

2

3

1

–4

–4

2

1

3

圣诞礼物博弈

有人喜欢悲剧美。笔者年过花甲，又因常为理性行为辩护遭误会，但是

每当认真地想到《麦琪的礼物》这个故事，仍不免心里流泪，美不起来。只

要不害人，真不该谴责为自己考虑。国人说的“保重身体，就是孝敬父母，

就是珍重朋友”，还是很有道理的。一向以来，舆论宣扬许多不顾身体不顾家

庭的无私奉献，在这些事迹背后和事迹以后，有不少叫人悲绝的不美的故事。

社会恐怕很难因为这些事迹就真正增加整体的祥和与福利。你说是不是？

顺便说说，西风东渐，国人也开始讲究礼物要让人惊喜。《麦琪的礼物》

告诉我们，惊喜是奢侈品，如果你还不富裕，你享受不起。

有趣的是，现在在一些发达国家，人们在送请帖的时候，会注明希望收

| 58 | 博弈论平话 |

到什么礼物。这样，礼物的“惊喜性”就靠边站了，而原来，礼物的“惊喜

性”正是我们许多人头脑里的发达国家文化的一个情景。这究竟是亵渎还是

进化，世人莫衷一是。让我们再看看吧，何必马上追求什么结论。发达国家

的一些超级市场，还标榜欢迎礼品退货，货款不是退给购买者，而是退给受

礼人。商业操作之下，礼品文化也开始讲究送礼别忘了附送购买礼品的发票。

这究竟是沆瀣一气，还是良性互动，同样留待世人评说。

情侣的拥挤博弈

拥挤，是人类社会面临的另外一个问题。我们国家比别人不如意的地方

很多，最难赶上别人的地方，恐怕就是我们比别人拥挤。偏偏在这样的背景

下，我们还要通过“黄金周”长假期这样的制度设置，制造进一步的拥挤，

真是不可思议。

现在，我们也用博弈论的工具，简单明了地讨论一下拥挤的制度毛病。

假设在一个小地方只有两对情侣，这个小地方只有一个小公园可去，公园里

面只有两张椅子可供情侣休憩。周末时分，假设情侣在家的满意程度为1，独享公

园的满意程度为4，分享公园的满意程度为2，那么两对情侣的拥挤博弈形势如下：

乙对情侣

去公园在家

去公园

甲对情侣

在家

41

11

21

24

两对情侣的拥挤博弈

为什么两对情侣分享公园的满意程度比较低呢？我们可以设想公园很小，

两张椅子非常接近，所以两对情侣各据公园的一张椅子时他们的满意程度，

比起一对情侣到公园来独享公园时要低。

我在杭州西湖旁边写作本书时，常常独自到西湖边走走。按照我的经验，

只要不是假日，市民或者游客在西湖岸边总是可以找到独自坐下来的一张椅

子，安静地度过一段时间。可是周末拥挤的时候情况就不一样了，至于长假

| 60 | 博弈论平话 |

期拥挤周，苏堤白堤上挤满了人，找到一张椅子可以坐下的机会更是微乎其

微。最要紧的是，在拥挤的时候哪怕你侥幸找到一张椅子坐下，你会是什么

心情？那个时候，你会感到面对的西湖也已经不是心目中的西湖了。

如果你大体上同意我上述说法，就不难理解上述博弈矩阵的2∶4了。老

实说，工作日流连西湖的感觉，比周末游览西湖的体验，好得太多。而在长

假期间，西湖一带却变成忍受拥挤的地方。

博弈形势清楚了，博弈的结果也就随之清楚：不论另外一对恋人是不是去

这个小公园，每对恋人都是去公园比较好。这是这个情侣拥挤博弈唯一的纳什

均衡。还是囚徒困境的形势。在这个均衡状态，每对恋人的满意程度都是2。

现在我们修改上述情侣公园博弈模型，在保持公园情况不变的前提下，

让这个小地方的情侣数目增加到4对，而且由于一些留给读者想象的原因，这

4对情侣总是两对两对统一行动。

模型的主要变化，就是拥挤程度增加。这时候，如果4对情侣同时到小公

园去，而小公园只有两张椅子，我们可以设想这时候他们各自的满意程度为0。

如果只有两对情侣一起到公园去，两对恋人各据一张椅子，那么正如前面说

过的，他们各自的满意程度都是2。至于在家不出门的，各自的满意程度还是

1，也和前面一样。这样，博弈的格局变成如下的表格：

三四两对

去公园在家

去公园

一二两对

在家

21

11

0 1

0 2

2×2对情侣的拥挤博弈

| 第二章 情侣博弈和协调博弈 | 61 |

在这个新的博弈中，每一方都没有全局的优势策略，也没有全局的劣势

策略，所以我们不能够使用劣势策略消去法来求博弈的纳什均衡。但是运用

相对优势策略下划线法，我们很容易看出这个博弈的两个纳什均衡：一个是

一二两对恋人去公园，三四两对恋人在家；另外一个均衡则相反，一二两对

恋人在家，三四两对恋人去公园。如果不是这两个均衡的结果，而是右下角

那样4对恋人都在家，那么就白白辜负了公园的景致，或者相反，像左上角

那样4对恋人都挤到小公园去，又大倒胃口。

眼看博弈有两个明显的纳什均衡，而且这两个均衡又比不出孰优孰劣，

那么怎么办好呢？

是的，这个新的博弈属于所谓协调博弈：两个明显的均衡都很好，但是

每次总是需要双方协调到一个均衡去才好。不然的话，或者互让，或者撞车，

都是很不理想的情况。

我们在后面会专门讨论协调博弈，现在只是指出，有些协调博弈的协调

默契是协调的一种方式

我和李杰博士编著、在中国人民大学出版社出版的大学本科《博弈论教

程》，在第一章的习题里面，有下面三个热身性质的题目：

1. 扑克牌只有黑红二色。现在考虑玩一种“扑克牌对色”游戏。甲

乙二人各出一张扑克牌。翻开以后，如果二人出牌的颜色一样，甲输给

乙一支铅笔；如果二人出牌的颜色不一样，乙输给甲一支铅笔。

试把扑克牌对色游戏表达为一个博弈。

2. 现在把上题的扑克牌对色游戏修改如下：甲乙二人各出一张扑克

牌。翻开以后，如果二人出牌的颜色一样，公证人奖励甲乙二人各一支

铅笔；如果二人出牌的颜色不一样，公证人不给任何奖励。

试把这新的扑克牌对色游戏表达为一个博弈。

3. 为了区别起见，前一个题目规则是甲输给乙或者乙输给甲的游戏

是一起出黑牌或者老是一直出红牌这样的默契。只要答案出现“默契”两字，

或者明确表达了实际上是默契的意思，这个题目就做对了。

上一节2×2对情侣的拥挤博弈中，有两个明显的纳什均衡，一个是一二

两对恋人去公园，三四两对恋人在家，另一个是一二两对恋人在家，三四两

对恋人去公园。这个博弈反复进行几次，博弈双方一定很快就会形成默契：

这次一二两对恋人留在家里，三四两对恋人到公园去，下次三四两对恋人留

在家里，一二两对恋人去公园游玩。依靠这样的默契，博弈参与人协调出对

于双方都比较好的结果。

有些人觉得，难度大的题目才可能“考”出学生的理解，难度大的题目

才有训练价值。我们不这样看。有些比较浅的题目，也可以考察学生的把握

程度。如果两个深浅不同的题目都能够启发读者加深对同一个概念的把握，

劣势策略消去法的讨论

在介绍了相对优势策略下划线法以后，有必要回过头来再稍许深入一点

看看第一章学习的劣势策略消去法。

除了本书开头作为引子的诺曼底战役模拟以外，我们在正式介绍劣势策

略消去法以后所讲的例子，消去的都是“全面严格”的劣势策略。例如在下

图价格大战博弈中，站在可口可乐的立场，因为高价得到的1和5在每个位置

都比低价得到的3和6小，所以可口可乐要删去它的高价策略。这里，“全面”

指的是每个位置都这样，“严格”指的是每个位置都严格地比出大小。同样，

站在百事可乐的立场，它也要删去自己的高价策略。

百事可乐

低价高价

3

3

65

15

6

1

低价

可口可乐

高价

价格大战

合作修路博弈也是这样，张三选择修路所得的1和–1，在每个位置都比

不修路所得的3和0小，所以张三要删去他的修路选择。李四也是这样。

再看下页第二个表格的例题博弈，考虑是否能够找出博弈的纳什均衡以及如

何找出博弈的纳什均衡的问题。读者看到，甲选择下策略所得的0和0，总是不

比选择上策略所得的800和0好。这么看来，甲应该删去他的下策略。同样，乙

选择右策略所得的0和1 000，总是不比选择左策略所得的600和1 000好，因此

乙应该删去他的右策略。这样做了以后，我们得到一个纳什均衡，就是（上，左）。

| 第二章 情侣博弈和协调博弈 | 65 |

李四

修不修

13

修

张三

–1

不修

3

0

0

1–1

合作修路博弈

乙

左右

上

甲

下

1 0001 000

00

6000

8000

消去法解例题博弈

做到这里，容易产生一个想法，就是这个博弈没有其他（纯）策略纳什

均衡了，因为成为（纯）策略纳什均衡的其他可能性，都被删去线删除了。

具体来说，就是删去线扫荡了表示所有其他三种（纯）策略组合的那三个格

子。这里需要说明，相对于后面将要介绍的所谓混合策略，迄今我们学过的

策略都是“纯策略”。至于为什么要叫做纯策略，只有到那个时候才能明白，

所以目前在需要强调的时候，我们姑且只是把迄今学过用过的策略，都写成

“（纯）策略”。

但是，这个博弈是否只有（上，左）这一个（纯）策略纳什均衡呢？不是。

只要我们运用相对优势策略下划线法做做，就可以发现，这个博弈还有（下，

| 66 | 博弈论平话 |

右）这个（纯）策略纳什均衡。

乙

左右

600

800

1 000

0

0

0

1 000

0

上

甲

下

下划线法解例题博弈

问题出在哪里呢？出在虽然甲选择下策略所得的0和0，总是不比选择上

策略所得的800和0好，但不是全面严格的劣。具体来说，甲选择下策略所得

的头一个0固然比选择上策略所得的800差，但是他选择下策略所得的第二个

0，却不比选择上策略所得那个0差。可是我们就这样把甲的下策略删去了。

这与我们原来要求的劣势策略消去法不符。

那么，只要判断一个（纯）策略不比某个（纯）策略好，就把它删去，

这种做法有没有合理性呢？

合理性还是有的。所谓一个（纯）策略不比某个（纯）策略好，当然是

指它在每一个位置都不比那个（纯）策略好。既然这个（纯）策略在每一个

位置都不比某个（纯）策略好，参与人就有道理不保留它。

博弈论把这种不是全面严格劣势的劣势策略，叫做“弱劣势策略”。注意

弱劣势策略不是比原来说的全面严格的劣势策略更差的策略，反而是可能比

原来说的全面严格的劣势策略好一点的策略。这里，“弱”的不是策略本身，

弱的是它与优势策略的差距，就是说差距没有那么大。相对于某个优势策略

的两个劣势策略，一个差距大，一个差距小，当然是差距弱的要强一点。

| 第二章 情侣博弈和协调博弈 | 67 |

虽然删去弱劣势策略有它的合理性，问题是这样做的杀伤力比较大。在

例题博弈中把另外一个纳什均衡“杀”掉，就是一个例子。本书特意用虚线

表示这种可以叫做“弱劣势策略消去法”的做法，以示区别。

令人欣慰的是，虽然弱劣势策略消去法的杀伤力比较大，但是不会把所

有（纯）策略纳什均衡都“杀”掉，而且做出来的那个（纯）策略纳什均衡，

第三章

简单博弈模型的应用

这一章我们介绍若干建立博弈模型讨论现实的经济问题和社会现象的例子。

智猪博弈和搭便车行为

本书迄今讨论过的博弈，主要是囚徒困境博弈和情侣博弈。有些读者可

能会说，囚徒困境和情侣博弈都那么简单，还需要什么博弈论分析吗？其实，

我们是利用这两种最典型的博弈，引入博弈三要素、参与人的优势策略和博

弈的优势策略均衡、参与人的相对优势策略和博弈的纳什均衡等重要概念，

说明劣势策略消去法和相对优势策略下划线法等基本方法。我们还谈到共赢

等其他概念。

如果你真的觉得囚徒困境和情侣博弈简单，说明你对博弈论有灵性。除

了提醒要注意以为懂了实际却不懂得多少的可能以外，我们更愿意强调的是，

简单的例子如果能够说明方法，能够启迪思维，就有它的价值。这一节首先

讲博弈论著作中常见的另一个简单的例子game of boxed pigs，张维迎教授等

学者把它翻译成。

“智猪博弈”

笼子里面有两只猪，一只比较大，一只比较小。笼子很长，一头有一个

按钮，另一头有饲料的出口和食槽。按一下按钮，将有相当于10个单位的猪

食进槽，但是按按钮并且跑到食槽所需要付出的“劳动”，加起来要消耗相当

于2个单位的猪食。问题是按钮和食槽分置笼子的两端，按按钮的猪付出劳动

跑到食槽的时候，在食槽旁边坐享其成的另一只猪早已吃了不少。如果大猪

守在食槽旁边，大猪呼啦吃到9个单位，因为按按钮而后到的小猪只能吃到

1个单位；如果它们同时按按钮同时跑到食槽，大猪能够吃到7个单位猪食，

小猪吃到3个单位；如果小猪守在食槽旁边而大猪按按钮，小猪可以吃到4个

单位，而后来赶来的大猪可以吃到6个单位猪食。

| 第三章 简单博弈模型的应用 | 71 |

小猪

按等

按

大猪

等

–10

90

1

5

4

4

智猪博弈

智猪博弈的具体情况就如上面的矩阵。左上方的格子表示，如果两只猪

同时按按钮，同时跑向食槽，大猪吃进7个单位，付出2个单位，得益5个单

位，小猪吃进3个单位，付出2个单位，实得1个单位；右上方的格子表示，

大猪按按钮，小猪先吃，大猪吃进6个单位，付出2个单位，得益4个单位，

小猪吃进4个单位，实得4个单位；左下方的格子表示，大猪等待，小猪按按

钮，大猪先吃，吃进9个单位，得益9个单位，小猪吃进1个单位，但是付出

了2个单位，实得–1个单位；右下方的格子则表示双方都懒得动，所得都是0。

比较1，–1和4，0两列数字，我们知道在食槽旁边等待是小猪的严格优

势策略，按按钮是小猪的严格劣势策略。先把小猪的劣势策略消去。在剩下

的右边一列中，比较4和0，这时候等待就变成了大猪的劣势策略（注意，是

现在才变成劣势策略）。把它也删去，就得到智猪博弈的结局：小猪只是坐享

其成地等待，每次都是大猪去按按钮，小猪先开始吃，大猪再赶来吃。

智猪博弈有许多应用。这次先讲灯塔建造的经典例子。在美国的大湖地

区，你可以看到许多古老的灯塔。当年，大航运公司因为船舶多，航班频密，

迫切需要建造灯塔，但是小航运公司在这方面的积极性就比较低。结果大公

司花钱建造灯塔，公司从建造灯塔中所获得的效益超过了灯塔的花费，所以

| 72 | 博弈论平话 |

这项投资对于大公司而言是值得的。但是因为大公司这样做了，小公司因此

就可以“搭便车”，也得到好处。

另外我们可以讲一个字面意义上真正“搭便车”的例子。在发达国家，

除了日本许多人口稠密的地区和纽约这样人口稠密的城市以外，大部分家庭

都有自己的汽车。人们出行，都要自己开车。在那样的地方，公共交通一般

都不发达，如果你没有自己的汽车，往往就会寸步难行。我们在美国的留学

生，哪怕经济很不富裕，也要先买一辆二手车来用，就是这个道理。

如果你早就想到一个地方去，可是因为没有车子一直未能成行，碰巧某

为什么大股东挑起监督经理的重任

考察现代企业制度，智猪博弈最典型的运用，是说明大股东和小股东的

角色差异和行为差异。

在一个公司里面，股东应该承担监督经理的职能。但是监督经理的工作是

很不容易的，需要花费很大的精力和很多的时间去搜集信息，并作出分析。一

句话，“监督成本”是很高的。但是股东有大有小。别人向一家公司投资1个亿，

是这家公司的大股东，你买了这家公司几手股票，也是这家公司的小股东。假

定公司运营得好赢利较多时，公司分红会是运营不太好时的几倍，那么虽然你

这个小股东和他这个大股东都希望公司运营得好，但是利益关切程度却实在相

差很远。设想公司运营得好，大股东的分红可以增加1 000万元，你这个小股

东的分红可以增加1万元。增加1万元分红当然是好事，但是如果这需要你密

切监督经理的工作才能实现，而密切监督经理的工作，本身的代价就远远超过

1万元，那么你就没有多少积极性去密切监督经理们的工作。大股东就不一样，

哪怕花几万元十几万元的代价雇人监督经理的工作，也是很值得的：几万元十

几万元代价的监督可以换来近千万元的分红增加，何乐而不为？

可见，大股东相当于智猪博弈中的大猪，小股东相当于小猪。在大小股东

是否密切监督经理工作的博弈中，大股东因为利益攸关会担当起搜集信息监督

另外一家由于某些原因近年来手头非常拮据。这两家有一条年久失修的路与

外面的公路网连接。手头拮据的一家，在别的更紧迫的地方钱都不够用，怎

么拿得出钱来修路呢。对于他来说，路是该修的，但是没有钱也就只好将就

将就。那么，富裕的一家怎么办？本来，他可以等到邻居愿意拿钱出来修路

的时候再和他商量两家分摊修路的费用，但是他等不了。这不仅因为他很难

容忍每天要走坑坑洼洼的路，还因为路是否修好对他的影响太大。比方说花

2 000美元可以修好这条路，路修好以后给他带来的新增经营利润等好处相当

于3 000美元，那么虽然最理想的情况是两家各出1 000美元，他可以因为修

路而得益3 000–1 000=2 000美元，但是自己等不及而全资把路修好的话，也

可以得益3 000–2 000=1 000美元。在这个例子中，你还可以设想富裕的一家

不仅生产活动繁忙而且社交活动很多，路不好会很糟糕，而贫穷的一家许多

活动都保持在很低的水平，路是否修好一时不太要紧。可就不是活生生的智

猪博弈的形势？

经济实力较强的一家，对公用品的需要比较迫切。如果公用品提供了，

他得到的好处也多，他就是智猪博弈中的“大猪”。比较穷的一家，对公用

品就不那么讲究了。比方说，道路好一点儿当然好，道路差一点也凑合着过。

让他掏那么多钱来提供公共品，他是不肯的。他就是智猪博弈中的“小猪”。

既然“大猪”不能忍受不提供公用品的情形，又没有合适的制度安排，最后

猎人博弈和帕累托优势

这一节讲另一个著名的博弈模型——猎人博弈。设想在古代的一个地方，

有两个猎人，那时候，狩猎是人们的主要生计。为了简单起见，假设主要的

猎物只有两种，鹿和兔子。在古代，人类的狩猎手段比较落后，弓箭的威力

也有限。在这样的条件下，我们可以进一步假设，两个猎人一起去猎鹿，才

能猎获一只鹿，如果一个猎人单兵作战，他只能打到4只兔子。从填饱肚子

的角度来说，4只兔子算它能管4天吧，一只鹿却差不多能够解决一个月的食

物问题。这样，两个猎人的行为决策，大体上就可以写成以下的博弈形式：

乙

猎鹿打兔

猎鹿

甲

打兔

10

10

0

4

4

0

4

4

猎人博弈

打到一只鹿，两家平分，每家管10天吧；打到4只兔子，只能供一家吃4

天。表格中的数字就是这个意思，每个格子里面，左下角的数字是甲的得益，

右上角的数字是乙的得益。如果他打兔子而你去猎鹿，他可以打到4只兔子，

而你将一无所获，得0。

如果对方愿意合作猎鹿，你的最优行为是与他合作猎鹿；如果对方只想

自个儿去打兔子，你的最优行为也只能是自个儿去打兔子，因为这时候你想

猎鹿也是白搭，一个人单独制服不了一只鹿，所以你将一无所获。这样，运

| 76 | 博弈论平话 |

用前面讲过的相对优势策略下划线法，我们就知道，这个猎人博弈有两个纳

什均衡：一个是两人一起去猎鹿，得（10，10），另一个是两人各自去打兔子，

得（4，4）。

两个纳什均衡，就是两个可能的结局。那么，究竟哪一个会发生呢？是

一起去猎鹿还是各自去打兔子呢？这就和情侣博弈一样，结局究竟是哪一个

纳什均衡，不能完全由纳什均衡这一事实本身来确定。

比较支付分别是（10，10）和（4，4）两个纳什均衡，我们明显地看

到，两家一起去猎鹿的好处比各自去打兔子的获益要大得多。按照长期合

作研究的两位博弈论大师美国的（John C. Harsanyi）教授和德国的

哈萨尼

泽尔滕

（Reinhard Selten）教授的说法，甲乙一起去猎鹿得（10，10）的纳

什均衡比两人各自去打兔子得（4，4）的纳什均衡具有（Pareto

帕累托优势

Advantage）。这个猎人博弈的结局，最大可能是具有帕累托优势的那个纳什

均衡——甲乙一起去猎鹿得（10，10）。

经济学思想史上，人们对于经济如何才算是有效率的，一直有很不相同

的看法。例如太平天国信奉“不患寡，患不均”，就很有代表性，但是大家都

知道，只讲究平均，不能作为效率的标准。公平是经济学中最富争议的概念，

效率也是很有争议的一个概念。

帕累托

（Vilfredo Pareto，1848~1923年）是法国巴黎出生的意大利经济

学家。自从现代经济学主要关注社会资源的配置以来，经济学家求同存异，

逐渐撇开一般效率评价的许多分歧，倾向于接受以帕累托命名的所谓

帕累托

效率

（Pareto Efficency）标准：经济的效率体现于配置社会资源以改善人们

的境况，主要看资源是否已经被充分利用。如果资源已经被充分利用，要想

再改善，我就必须损害你或别的什么人；要想再改善，你就必须损害另外某

| 第三章 简单博弈模型的应用 | 77 |

个人。一句话，要想再改善，任何人都必须损害别的一些人了，这时候就说

经济已经实现了帕累托效率。相反，如果还可以在不损害别人的情况下改善

任何人，就认为经济资源尚未充分利用，就不能说经济已经达到帕累托效率。

这时候就说经济处于帕累托非效率的状态。

具体到我们的猎人博弈，比起（4，4）来，（10，10）不仅是总额的改善，而

且每个人都得到很大改善。猎人博弈中支付为（10，10）的均衡对支付为（4，4）

的均衡具有帕累托优势，就是这个意思。从支付为（4，4）的均衡到支付为

（10，10）的均衡，博弈的每个参与者都得到改善。

| 78 | 博弈论平话 |

斗鸡博弈和航行规则

斗鸡博弈

（或者叫做小鸡博弈）的名称来自美国儿童之间的一种说法：

如果说谁是chicken（小鸡）或dove（鸽子），就等于说谁是胆小鬼。斗鸡博

弈原来的英文名称就是the game of chicken。看来，在许多男童的心目中，（小）

鸡代表胆小，是世界各国的共通之处。中国的孩子从小玩“老鹰捉小鸡”，就

是一个证明。正巧，美国孩子也把老鹰（hawk）选做勇敢的象征。

设想吉米和东尼这两个小孩被伙伴们鼓动得要进行一场勇气的博弈，两

人分别从一条独木桥的两端冲向对方，谁先胆怯退下让路，谁就是小鸡。做

父母的都清楚，孩子被别的孩子鼓动得这样做，并非没有可能。这是为人父

母者无穷无尽的担心的重要来源之一。那么，吉米和东尼这场斗鸡博弈的对

阵形势怎样呢？请看下图：

东尼

退怯勇进

3

退怯

吉米

勇进

2

4

0

3

2

0

4

斗鸡博弈

如果吉米退怯东尼勇进，吉米会感到在小伙伴们的心目中威信扫地，得

益为2，而东尼以胜利者自居，得益为4；如果吉米勇进而东尼退怯，他们的

得益正好相反；如果吉米和东尼都退怯不前，哪怕两人内心其实都胆怯，但

是在旁边的小伙伴看来却两人都还“虎视眈眈”，所以他们自己可以不感觉太

| 第三章 简单博弈模型的应用 | 79 |

丢脸，各得3；如果两人都拼死勇进，那么不是碰得头破血流就是两人同时下

水，各得0。这就是上面的博弈矩阵。

有些读者可能会问：丢脸了为什么还得2，头破血流了为什么还得0而不

是负数？原来，这是因为许多经济学家不喜欢负数。不过对于分析斗鸡博弈

来说，不喜欢负数并不要紧。事实上，如果你那么较真，觉得负数才比较合理，

那么不妨把上面斗鸡博弈矩阵中的数字全部都减2，得到下面新的表示：

东尼

退怯勇进

1

1

0

勇进

2

–2

0

–2

2

退怯

吉米

斗鸡博弈另一版本

虽然具体数字不相同，但是因为每个位置的数字不多不少都是相差2，所

以两个矩阵表示在分析博弈结果时的作用完全一样。由于这个原因，我们说

上述两个博弈矩阵完全。为了确定起见，我们就拿上面原来的矩阵进行

等价

分析。利用相对优势策略下划线法马上就可以知道，斗鸡博弈有两个纳什均

衡，一是吉米勇进东尼退让，吉米得4东尼得2，二是吉米退让东尼勇进，吉

米得2东尼得4，都是一胜一负。

两个纳什均衡，就是两种可能的结果。实际博弈结果究竟是哪一个呢？

还是那句话：要由别的因素来决定。在情侣博弈中，我们设想过如果正好是

丽娟的生日大海就高姿态一些，等等。上一节，我们还讲过可以按照帕累托

标准确定博弈的实际结果。以后，我们还要讲按照所谓风险优势确定博弈的

| 80 | 博弈论平话 |

实际结果，展望通过制度设置引导出比较好的博弈结局。现在借斗鸡博弈，

讲讲大海航行的避让规则。这也是一种制度设置。

斗鸡博弈的另一个真正不同的版本，是像下面那样把3改为1。但是读者

马上可以看出，策略选择并没有变化，特别是纳什均衡没有变化。

东尼

退怯勇进

退怯

吉米

勇进

2

4

0

1

1

2

0

4

斗鸡博弈新版本

利用这个斗鸡博弈，可以描述海上航行中船舶交会的形势。两艘相向而

行的船舶，双方互不相让就会撞船，都得0；两艘向十字交会点行驶的船舶，

双方互不相让也会撞船，也得0。当然，双方都让着不走，也不好，各得1。

一方让一点，让另一方先通过，先通过的得4，让路的得2，这都比一起抢行

造成事故或一起退让双方浪费时间来得好，这就是下面这个船舶交会博弈的

两个纳什均衡。

乙

让后争先

让后

甲个

争先

2

4

0

1

1

2

0

4

船舶交会博弈

问题是谁先行谁让行，不能等待临时谈判。海上避碰，至少要像许多国

家规定车辆在标志不明显的马路上靠右走那样，定下不容谈判的规矩，以便

对号入座，避免临时商量。人们规定，迎面交会的船舶，各向右偏一点儿，

问题就解决了。十字交会的船舶，则规定看见对方左舷的那艘船要让，慢下

来一点儿或者偏右一点儿都可以。这就从制度上规定了避让的方式。

右舷

原速直行

左舷

偏右慢让

左舷右舷

银行挤兑的成因和预防

假定有一个银行，只有两个储户，银行的全部资金就是这两个储户的存

款。每个储户存了100万元的定期存款，银行就拿总数为200万元的这笔钱

去作投资，就是把钱贷给某个公司去做项目。贷款当然是定期的。按照设想，

项目完成投资收回以后，银行可以拿出240万元偿还给储户，每个储户将得

到120万元。120＞100，这正是定期存款的激励。

但是根据现行法律，如果储户在没有到期的时候把定期存款提走，那么只

要银行有能力，就必须允许他提走原来存入的100万元。至于银行和它投资的

公司的关系，本来，如果公司破产，银行到期也不能收回全部投资，不过为了

讨论问题简单起见，我们假设银行是向一家经营很好的公司投资。如果银行在

投资期限未到的时候要从公司抽回资金，它就要因为违反合同而受到惩罚。

现在的问题是，如果有储户在期限未到的时候要把存款抽回去，那么因

为按照假设这个银行只有两个储户并且它的全部资金就是那两个储户的存款，

银行就不得不从它投资的公司把资金抽回。银行因为提前撤回资金要受罚，

从而收回的资金远少于200万元，可以拿出来支付给储户的比如说只有140万

元。这时，我们可以写出两个储户是否等待期满以后才取回存款的博弈如下：

储户乙

提前取款到期取款

提前取款

储户甲

到期取款

70

70

100

40

120

100

120

40

银行挤兑

| 第三章 简单博弈模型的应用 | 83 |

双方同时提前抽调存款，因为银行只有140万元可供支付，每人可得70

万元；双方期满才支取存款，每人可得120万元；如果只有一方提前支取，那

么他得到原来的存额100万元，而银行因为被迫提前抽回投资，可动用资金

只有140万元，当另一储户在期满时来支取他的存款的时候，银行就要破产，

他顶多只能得到40万元的补偿，远远小于原来的存款额100万元。

明白了这样的博弈形势，我们用相对优势策略下划线法，很快可以知道

这个博弈有两个纳什均衡，一个是最好的，即双方都待期满才来兑现他们的

存款，每人得120万元；另一个就很不好，即双方争先恐后都要同时提前抽

回他们的存款，这就造成银行挤兑。问题是，如果一个储户有提前取款的动

向，另一个为了自己的利益不受损失，一定会马上跟进，要求同时提前提取。

这就会发生银行挤兑。

在这个例子中，如果觉得银行只有两个储户不可思议，那么你不妨把它

想象成银行有两万个储户，一边一万个，双方博弈，分析方法还是一样的。

事实上，绝大多数银行挤兑都发生在传闻银行经营不好有可能破产的时候，

一旦破产，储户就可能遭受严重损失。所以，银行一定要使自己的资金来源

多元化，一定要使自己的投资适当分散，一定要注意良好的经营业绩，还一

定要掌握相当比例的准备金。不然的话，一点儿风吹草动就可能让它在挤兑

之下破产。银行破了产，损失最大的还是广大储户，通常还造成严重的社会

动荡。各国中央银行不仅要求商业银行自己有足够的准备金，而且要求商业

即使银行破产，储户10万美元以下的私人存款，将由联邦保障局负责兑现。

在发达国家的银行开户，一定要清楚你走进去的银行，储户利益是否得到了

这样的保证。

前面为了简化讨论，假设银行只有两个储户；后来放宽，假设银行有两

万个储户，但是这两万个储户的行为，只有两种模式，两万个储户按照这两

种模式，分成完全相等的两组，每组一万户的步调完全一致。仔细想想，假

设条件这样“放宽”，其实并没有放宽。

真正的放宽，可以有许多做法。现在我们提供下面这样一种：假设银行

有两万个存款额度、存款期限都相等的储户，但是其中只有少数几个提前取

款。你不妨自己运用博弈论的方法或者其他经济学的方法论证一下，那少数

数据不同，结果各异

在第一章“公共品供给的囚徒困境”那一节中，我们讲过一个例子：设

想乡下某地有一个只有两户人家的小居民点，由于道路情况不好，与外界的

交通比较困难。如果修一条路出去，每家都能得到3那么多好处，但是修路

的成本相当于4。要是没有人协调，两家各自打“是否修路”的小算盘，那么

博弈的形势如下面的表格所示：如果两家联合修路，每家分摊成本2，各得好

处3，两家的纯赢利都是1；如果一家修另一家坐享其成，修的一家付出4而

得到3，赢利–1，坐享其成的一家可以白白赢利3。这时，因为没有人协调，

站在各自私利的立场，修路对于甲来说是劣势策略，对于乙来说也是劣势策

略。于是，运用严格劣势策略消去法，就可以知道这个博弈有唯一的纳什均

衡，就是双方都不修路，双方都得0。

乙

修不修

修

甲

不修

–1

3

0

0

13

1–1

公共品提供博弈之一

但是，如果每家因为修了路将得到的好处不是3而是5或者更多，博弈的

情况将发生根本的变化。以好处是5为例，这时候如果合伙修路，每人分摊

成本2，得到好处5，合伙修路每家的纯得益是3；如果一家单独修路，他承

担全部成本4，纯得益是5–4＝1，不投资修路的一家占便宜搭便车，纯得益

| 86 | 博弈论平话 |

是5。这样，博弈情况就如下面的新表：

乙

修不修

3

3

1

5

0

1

0

5

修

甲

不修

公共品提供博弈之二

现在，双方都没有全面严格的劣势策略，所以不能使用劣势策略消去法。

但是运用相对优势策略下划线法，我们容易知道这个博弈有两个纳什均衡：

甲修路乙坐享其成，或者乙修路甲坐享其成。对方坐享其成固然令人不愉快，

要紧的是修路者觉得单独花钱修路对自己还是有好处的。

比较上下两种情况，我们可以看出，在好处比成本多不了多少的情况下，

如果没有人协调，公共品的供应就缺乏激励保证。这是因为一家独力承担成

本的话，设置公共品对于他来说将得不偿失。但是，在好处比成本多很多的

情况，人们就比较愿意独力承担提供公共品的成本。可见，博弈中0、3、4、

5这些模拟数据要基本反映实际情况，不可太随意，这是一个非常重要的问题。

事实上，如果一座石桥塌了，因为修桥的成本大，没有政府或制度协调的话，

人们往往宁愿将就着绕道或趟水过河。但是如果公寓走道的电灯坏了，因为

一个灯泡的成本很有限，住家独自买一个新的灯泡换上去的可能性就比较大。

前面我们讲过帕累托效率的概念：如果资源已经被充分利用，要想再改

善某些人的处境就必须损害其他什么人了，就说这个经济已经实现了帕累托

效率，或者说已经达到了（Pareto optimal）。本节第一个博弈说明，

帕累托最优

| 第三章 简单博弈模型的应用 | 87 |

非合作博弈的结局常常不是帕累托最优的。这种情况的博弈虽然只有两个局

中人，但是它的结局其实就是“三个和尚没水喝”的结局。事实上，二人博

弈的分析也能够帮助我们说明不少“多人博弈”的前景。

三个和尚没水喝的局面是可以作帕累托改善的：设想有人协调一下，安

排一个轮流挑水或抬水的制度，三个和尚的处境都会得到改善。修路博弈的

第一种情况也是这样，如果有人协调一下分摊修路成本，两家的处境都会从0

改善到1，双方就有积极性分摊修路的成本了。

值得注意的是，第二种情形的修路博弈的两种可能的结局都已经是帕

累托最优的，就是说已经不能再作帕累托改善，不能再改善一个人而不损

囚徒困境两败俱伤的隐含条件

我们在“为什么主要讨论非合作博弈”这一节，谈过经济活动中的卡特

尔现象，那就是几个大企业联手或勾结起来形成对行业的垄断，谋求最大利

润。我们也指出，卡特尔行为本身就提供了瓦解卡特尔的激励。所以在人类

经济活动中，除了石油输出国组织欧佩克还算是比较成功的以外，卡特尔行

为成功的例子实在很少。

现在，我们也可以从“数据不同，结果各异”的角度，谈谈欧佩克作为

一个卡特尔为什么还能够比较成功，认识囚徒困境之所以导致两败俱伤实际

上存在隐含条件。

原始的囚徒困境模型是这样的：

乙

坦白抵赖

–2

–2

0–1

–3–1

0

–3

坦白

甲

抵赖

囚徒困境

乙

低价高价

低价

甲

高价

1

1

32

02

3

0

价格大战

于是，运用劣势策略消去法，我们知道，如果甲乙这两家企业组成高价

联盟卡特尔的话，这个卡特尔容易瓦解。两家企业总是要偷偷降价，引发两

败俱伤的价格大战。

其实这需要一个前提条件，那就是两家企业的实力相当。很可惜的是，

许多读者在学习博弈论的时候，都没有领悟这个前提条件，许多院校在讲授

博弈论的时候，都没有点出这个隐含条件。这样一来，就很难从博弈论的角

度说明，为什么有些卡特尔还是可以成功。

现在，我们对比讨论价格大战囚徒困境模型中两家企业实力相当的情形

和两家企业实力差距很大的情形，看看结果会有什么不同。

首先是两家企业实力相当的情形，他们的博弈可以表达为：

乙

结果自然是走向两败俱伤的那个唯一的均衡，从而如果它们结成高价联

盟卡特尔，这个卡特尔不会稳定。

但是如果两家企业的实力差距很大，比方说甲乙两家企业实力差距是9∶1，

那么博弈可以表达为：

乙

低价高价

2

18

?4

?36

30

0

低价

甲

高价

实力悬殊价格大战

三个格子里面的利润赋值，都很自然。左上方格子和右下方格子的数据

说明，不论是两家企业都采取高价策略还是都采取低价策略，两家企业实现

的利润都是9∶1的关系。另外，实力相当情形和实力悬殊情形左上方格子

利润赋值之间18+2=10+10的关系，体现市场容量相同；两种情形右下方格子

利润赋值之间36+4=20+20的关系，也体现市场容量相同。右上方格子里面30

和0的利润赋值也很清楚：既然实力相当情形面对对手的低价竞争你采取高

价策略，利润也降为0，那么实力比较小的企业面对强大对手的低价竞争还是

采取高价策略，利润自然为0。

但是左下方格子里面两个利润赋值，却值得我们仔细捉摸。这个格子反

映的是实力小的企业乙采取低价策略、实力大的企业甲采取高价策略的那样

一种对局情况。这时候，市场当然“钟爱”企业乙，倾向于企业乙，可是因

为企业乙实力比较弱，它“吃不下”那么大的市场份额，结果虽然市场倾向

| 第三章 简单博弈模型的应用 | 91 |

于它，市场的一个很大的份额还是要“留给”实力强大的对手——企业甲。

由此可见，左下方格子右上角企业乙的利润赋值，达不到30那么大，而左下